第一章第五節(jié) 獨立性—概率論與數(shù)理統(tǒng)計(李長青)

1、第五節(jié) 獨立性一、兩個事件的獨立性 例 1 一袋中裝有 a 個黑球和 b 個白球，采用有放回摸球，求：（1） 在已知第一次摸得黑球的條件下，第二次摸出黑球的概率；（2） 第二次摸出黑球的概率.解 以事件 A 表示第一次摸得黑球，事件 B 表示第二次摸得黑球， 則由此算得 另一方面，有從而有定義1.7 對于任意兩個事件 A, B, 若 成立, 則稱事件 A, B是相互獨立的, 簡稱為獨立的.定理1.4 若隨機事件A, B 相互獨立, 則下列事件對 分別也是相互獨立的. 證 由于A, B 相互獨立, 所以 又 從而有 由此可得 同理可證事件對 即事件A, 是相互獨立的. 的獨立性. 例2 在例1中

2、如果采用不放回摸球, 試求同樣兩個事件的概率. 解 在不放回的情形, 利用古典概型容易求得 所以 另外易知 顯然 即事件 A 與事件 B 不是相互獨立的. 二、多個事件的獨立性 定義1.8 對于三個事件 A, B, C, 若 (1) (2)同時成立, 則稱事件 A, B, C 相互獨立. 注: (1)式成立稱事件 A, B, C 兩兩獨立, 值得注意的 是兩兩獨立并不能保證三個事件相互獨立. 例3 拋擲一枚均勻的硬幣兩次, 觀察其正反面出 現(xiàn)的情況, 則試驗的樣本空間為 定義隨機事件如下: 顯然 由此知事件 A, B, C 兩兩獨立, 所以 A, B, C 不相互獨立. 但是定義1.9 設 是

3、 n 個事件，如果對于所有可能的組合下述各式成立 則稱 相互獨立. 事件的獨立性有如下幾個性質：1、如果 n 個事件相互獨立，則其中 任意 k （1 k n ）個事件也相互獨立。2、如果 n 個事件相互獨立，則將其中任意 k （1 k n ）個事件換成其相應的對立事件，則得到的 n 個事件仍然相互獨立。三、事件獨立性在概率計算中的應用 相互獨立，若事件所以 上式可以簡化概率的計算. 由得摩根律知例4 若每個人血清中含有肝炎病毒的概率為0.4%, 混合100個人的血清, 求此血清中含有肝炎病毒的概率.解 以 Ai ( i = 1, 2, , 100 ) 表示事件“第 i 個人的 血清含有肝炎病毒

4、”, 我們可以認為諸 Ai 是相互獨立的, 所求的概率為 由獨立性可得 例5 甲、乙兩射手射擊同一目標,他們擊中目標的概率分別為0.9與0.8,求在一次射擊中(每人各射一次)目標被擊中的概率.解 設 A 表示事件“甲射中目標”，B 表“乙射中目標”，C 表示“目標被擊中”。則由獨立性，有例6 設某系統(tǒng)由 n 個元件連接而成. 以 Ai 表示事件“在時間段0, t 內(nèi)第 i 個元件正常工作” ( i = 1,2, , n ), A 表示事件“在時間段 0, t 內(nèi)系統(tǒng)正常工作”. 又假定各個元件能否正常工作相互獨立, 即各個元件是否發(fā)生故障不影響其它元件是否發(fā)生故障, 從而事件Ai ( i =

5、1,2, , n )相互獨立. () 串連系統(tǒng)的可靠性 如果該系統(tǒng)由 n 個元件串連而成(如上圖 ) , 稱其為串連系統(tǒng). 系統(tǒng)能正常工作可表示為 設每個元件的可靠性為 r, 則系統(tǒng)的可靠性為 由于 由上式可以看到, 元件越多( n 越大) , 系統(tǒng)的可靠性就越小. 對于串連系統(tǒng), 組成系統(tǒng)的元件要盡可能地少, 以保證系統(tǒng)有較大的可靠性. 結論： () 并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性 將 n 個元件按右圖所示 并聯(lián)而組成該系統(tǒng)，稱其為 并聯(lián)系統(tǒng). 可表示為 如果每個元件的可靠性仍為 r, 則系統(tǒng)的可靠性為 對于并聯(lián)系統(tǒng), 元件越多, 系統(tǒng)的可靠性越大. 結論:則系統(tǒng)能正常工作四、貝努利概型 定義1.10 如

6、果一個試驗所有可能的結果只有兩個: A (成功)與 (失敗), 并且 (其中 , 稱此類試驗為貝努利試驗. 定義11:設 E 為一貝努里試驗，將 E 在相同條件下獨立重復進行 n 次，每次試驗中結果 A 出現(xiàn)的概率保持不變，均為 p ( 0 p 1 ). 把這 n 次獨立重復試驗總起來看作一個試驗，并稱其為 n 重貝努里試驗 ,記 作 定理1.5 在 n 重貝努利試驗中, 設 A 在各次試驗記 中發(fā)生的概率為則在 n 次試驗中事件 A 恰好發(fā)生 k 次的概率為 證 以 Bk 表示事件 “在 n 重貝努利試驗 中事件A 恰好出現(xiàn) k 次”,以 Ai 表示事件“在第 i 次試驗中A發(fā)生”，上式右邊

7、的每一項表示在 n 次重復試驗中,在某確定的 表示事件“在第 i 次試驗中 發(fā)生” , 則 k 次試驗中出現(xiàn) A, 在另外 nk 次試驗中出現(xiàn) 上式右邊一共有項, 而且兩兩互不相容. 由試驗的獨立性 及有 同理可得其余各項所對應事件的概率均為 利用概率的可加性即得 例7 設有 N 件產(chǎn)品, 其中有 M 件次品, 現(xiàn)進行 n 次有放回的抽樣檢查, 問共抽得 k 件次品的概率是多少？ 解 由于抽樣是有放回的, 每次抽樣產(chǎn)品成份不發(fā)生變化, 現(xiàn)次品這一事件, 由二項概率公式可得 因此這是 n 重貝努利試驗, 若以 A 記各次試驗中出則例8 某火炮對一目標進行8次獨立射擊, 每次射擊 命中目標的概率為0.6, 設目標至少被擊中兩次才能被摧毀, 求目標被摧毀的概率. 解 由于各次射擊是獨立的, 因此, 8次射擊相當于8重貝努利試驗,若以 A 記各次射擊中命中目標這一事 件, 則 設 B 表示事件“目標被摧毀”, 表示事件“8次射擊中命中目標 k 次” 則所求的概率為例 10 一個人要開門, 他共有 n 把鑰匙, 其中僅有一次試開成功的概率 pk 是多少？ 即在每次把能將門打開. 他隨機地選取一把鑰匙開門, 被使用, 這人在第 k