新高二2022年暑假講義第10講 橢圓（解析版）

1、第10講 橢圓新課標(biāo)要求經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過(guò)程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。知識(shí)梳理1平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距2焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c,0)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)其中a，b，c的關(guān)系為 a2b2c2.3.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)eq f(

2、y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)圖形范圍axabybayabxb對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：(0,0)焦點(diǎn)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|2c頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)；B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)；B1(b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b離心率eeq f(c,a)(0,1)4點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)eq avs4al(位,置,關(guān),系)eq blcrc (avs4alco1(點(diǎn)P在橢圓上f(xoal(2

3、,0),a2)f(yoal(2,0),b2)1,點(diǎn)P在橢圓內(nèi)f(xoal(2,0),a2)f(yoal(2,0),b2)1,點(diǎn)P在橢圓外f(xoal(2,0),a2)f(yoal(2,0),b2)1)5直線與橢圓的位置關(guān)系及判定位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)組成的方程組的解判定方法(利用判別式)相交2個(gè)2個(gè)解0相切1個(gè)1個(gè)解0相離0個(gè)無(wú)解0名師導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)1 橢圓定義的應(yīng)用【例1-1】(1)已知定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，其中F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|PF2|8，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A橢圓B圓C直線 D線段(2)若P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓eq f(x2,25)eq f(y2,9)1上一點(diǎn)，

4、則PF1F2的周長(zhǎng)等于()A16 B18C20 D不確定【分析】根據(jù)橢圓的定義求解(1)|F1F2|8，|PF1|PF2|F1F2|，點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2，故選D.(2)由eq f(x2,25)eq f(y2,9)1可知，c2a2b225916，c4，故F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)|F1F2|8，根據(jù)橢圓的定義，可知|PF1|PF2|2a10，PF1F2的周長(zhǎng)為10818，故選B.(1)D(2)B【例1-2】若方程eq f(x2,16m)eq f(y2,m9)1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A9m16 B9meq f(7,2)C.eq f(7,2)m16 Dmeq f(

5、7,2)【分析】方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，表明方程中y2下面對(duì)應(yīng)的分母大于x2下面對(duì)應(yīng)的分母，由此建立關(guān)于m的不等式組，求得實(shí)數(shù)m的取值范圍依題意，可得eq blcrc (avs4alco1(16m0，,m90，,m916m，)解得eq f(7,2)m16.C【變式訓(xùn)練1-1】設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓eq f(x2,16)eq f(y2,12)1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為2，則PF1F2是()A鈍角三角形 B銳角三角形C斜三角形 D直角三角形由題意，得|PF1|PF2|8，|PF1|PF2|2，|PF1|5，|PF2|3，又c24，c2，2c4，即|F1F2|4.|P

6、F2|2|F1F2|2|PF1|2，PF1F2為直角三角形D【變式訓(xùn)練1-2】若方程x2ky23表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_將方程化為eq f(x2,3)eq f(y2,f(3,k)1，由于它表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，所以有3eq f(3,k)0，解得k1.(1，)知識(shí)點(diǎn)2 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2-1】求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，2)，(0,2)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，3eq r(2)；(2)a8，c6；(3)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(eq r(3)，2)，(2eq r(3)，1)【分析】(1)中有兩種方法，一是定義法，二是根據(jù)點(diǎn)在橢圓上求解；(2)中由于焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸不

7、確定，故分情況討論；(3)可利用橢圓的一般方程求解【解】(1)解法一：由題意，得2aeq r(4023r(2)22)eq r(4023r(2)22)(6eq r(2)(6eq r(2)12，解得a6.又c2，b2a2c232.所求的橢圓的方程為eq f(x2,32)eq f(y2,36)1.解法二：橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)所求的橢圓方程為eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)由題意得eq blcrc (avs4alco1(f(16,b2)f(18,a2)1，,a2b24，)得eq blcrc (avs4alco1(a236，,b232.)所求的橢圓方程為eq f(x2,32)e

8、q f(y2,36)1.(2)a8，c6，b2a2c2643628.當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓方程為eq f(x2,64)eq f(y2,28)1；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓的方程為eq f(y2,64)eq f(x2,28)1.故所求的橢圓方程為eq f(x2,64)eq f(y2,28)1或eq f(y2,64)eq f(x2,28)1.(3)設(shè)所求的橢圓的方程為Ax2By21，其中A0，B0.由題意，得eq blcrc (avs4alco1(3A4B1，,12AB1，)得eq blcrc (avs4alco1(Af(1,15)，,Bf(1,5).)故所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,15)e

9、q f(y2,5)1.【變式訓(xùn)練2-1】已知F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|3，則橢圓C的方程為()A.eq f(x2,2)y21 Beq f(x2,3)eq f(y2,2)1C.eq f(x2,4)eq f(y2,3)1 Deq f(x2,5)eq f(y2,4)1|AB|3，|AF2|eq f(3,2)，在RtAF1F2中，|AF1|2eq f(9,4)4eq f(25,4)，即|AF1|eq f(5,2)，|AF1|AF2|42a，即a2.c1，beq r(3)，橢圓C的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,3

10、)1.C知識(shí)點(diǎn)3 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【例3-1】求橢圓4x29y236的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率【分析】欲解此題，需將橢圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再確定焦點(diǎn)的位置及a，b，c的值，然后求解【解】橢圓方程可變形為eq f(x2,9)eq f(y2,4)1，a3，b2，c eq r(a2b2)eq r(94)eq r(5).橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和焦距分別為2a6,2c2eq r(5)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(eq r(5)，0)，F(xiàn)2(eq r(5)，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(3,0)，A2(3,0)，B1(0，2)，B2(0,2)，離心率eeq f(c,a)eq f(r(5),3).【變式訓(xùn)練3-1】若直線x

11、2y20經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq f(x2,5)y21B.eq f(x2,4)eq f(y2,5)1C.eq f(x2,5)y21或eq f(x2,4)eq f(y2,5)1D以上答案都不對(duì)直線與坐標(biāo)軸交于(0,1)，(2,0)，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，c2，b1，a25，方程為eq f(x2,5)y21；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，c1，b2，a25，方程為eq f(x2,4)eq f(y2,5)1.C知識(shí)點(diǎn)4 根據(jù)橢圓的性質(zhì)求橢圓的方程【例4-1】根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，離心率為eq f(3,5)；(2)焦點(diǎn)在x軸上，且一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端

12、點(diǎn)的連線互相垂直，焦距為6.【分析】欲求橢圓的方程，只需確定a，b的值，確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸即可【解】(1)由題意，得2a10，a5.又eeq f(c,a)eq f(3,5)，c3.b2a2c225916.當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓方程為eq f(x2,25)eq f(y2,16)1；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓方程為eq f(y2,25)eq f(x2,16)1.(2)焦距為6，2c6，c3.B1FB2F，B1FO45，|OB1|OF|，bc3，a2b2c218.焦點(diǎn)在x軸上，所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,18)eq f(y2,9)1.【變式訓(xùn)練4-1】(1)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在

13、x軸上，離心率為eq f(r(3),2)，且橢圓C上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)(2)若橢圓eq f(x2,2)eq f(y2,m)1的離心率為eq f(1,2)，則m_.(1)由題意，知2a12，a6.又eeq f(c,a)eq f(r(3),2)，c3eq r(3).b2a2c236279.又焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,36)eq f(y2,9)1.(2)由題意，得eeq f(c,a)eq f(1,2)，a24c24(a2b2)，3a24b2，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a22，b2eq f(3,2)，即meq f(3,2)，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，b22，a

14、2m，a2eq f(4,3)b2eq f(8,3)，即meq f(8,3)，meq f(3,2)或eq f(8,3).(1)eq f(x2,36)eq f(y2,9)1(2)eq f(3,2)或eq f(8,3)知識(shí)點(diǎn)5 橢圓離心率的應(yīng)用【例5-1】我國(guó)自主研制的第一個(gè)月球探測(cè)器“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射后，在地球軌道上經(jīng)歷3次調(diào)相軌道變軌，奔向月球，進(jìn)入月球軌道，“嫦娥一號(hào)”軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)地球半徑為R，衛(wèi)星近地點(diǎn)，遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離分別是eq f(R,2)，eq f(5R,2)(如圖所示)，則“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星軌道的離心率為()A.eq f(1,5) Beq

15、f(2,3)C.eq f(2,5) Deq f(1,3)【分析】欲求離心率，只需由橢圓的幾何性質(zhì)分析得到a、c的值，再由eeq f(c,a)計(jì)算可得由題意，得aceq f(5,2)RR，aceq f(R,2)R，aeq f(5,2)R，cR，eeq f(c,a)eq f(R,f(5R,2)eq f(2,5)，故選C.C【例5-2】若橢圓上存在點(diǎn)P，使得P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之比為21，求這個(gè)橢圓離心率的取值范圍【分析】應(yīng)利用|PF|范圍，再求e范圍【解】設(shè)|PF1|PF2|21，即|PF1|2|PF2|，又|PF1|PF2|2a，|PF2|eq f(2a,3).又ac|PF2|ac，aceq f(

16、2a,3)ac，解得eeq f(1,3).又0e1，eq f(1,3)e1.【變式訓(xùn)練5-1】已知直線l：ykx與橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)交于A，B兩點(diǎn)，其中右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0)，且AF與BF垂直，則橢圓C的離心率的取值范圍為()A.eq f(r(2),2)，1 ）B（0，eq f(r(2),2)）C.（eq f(r(2),2)，1 ） D（0，eq f(r(2),2) 由題意得AF與BF垂直，運(yùn)用直角三角形斜邊的中線即為斜邊的一半，可得|OA|OF|c.由|OA|b，即cb，得c2b2a2c2，即c2eq f(1,2)a2.又0e1，解得eq f

17、(r(2),2)e1.C知識(shí)點(diǎn)6 直線與橢圓的位置關(guān)系【例6-1】已知橢圓C：eq f(x2,4)y21.(1)若(eq r(3)，n)在橢圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)n的取值范圍；(2)m為何值時(shí)，直線yxm與橢圓C相交、相切、相離？【分析】對(duì)于(1)利用點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系求解；對(duì)于(2)，將直線與橢圓聯(lián)立，利用判別式求解【解】(1)(eq r(3)，n)在橢圓內(nèi)，eq f(3,4)n21，解得eq f(1,2)neq f(1,2).n的取值范圍是eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2).(2)由eq blcrc (avs4alco1(yxm，,f(x2,4)y21，)得5x28

18、mx4m240，64m245(4m24)16(4m25m25)16(5m2)當(dāng)16(5m2)0，即eq r(5)meq r(5)時(shí)，直線與橢圓相交；當(dāng)16(5m2)0，即meq r(5)時(shí)，直線與橢圓相切；當(dāng)16(5m2)0，即meq r(5)或meq r(5)時(shí)，直線與橢圓相離【變式訓(xùn)練6-1】直線yx2與橢圓eq f(x2,m)eq f(y2,3)1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是()Am1Bm1且m3Cm3 Dm0且m3由eq blcrc (avs4alco1(yx2，,f(x2,m)f(y2,3)1，)得(3m)x24mxm0.由題意，得eq blcrc (avs4alco1(16m24

19、m3m0，,m0，,m3，)解得m1且m3.B知識(shí)點(diǎn)7 弦長(zhǎng)問(wèn)題【例7-1】求直線yx1被橢圓eq f(x2,4)eq f(y2,2)1所截得的弦長(zhǎng)【分析】將直線與橢圓方程聯(lián)立，再套弦長(zhǎng)公式可求出弦長(zhǎng)【解】設(shè)直線yx1與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，由eq blcrc (avs4alco1(yx1，,f(x2,4)f(y2,2)1，)得3x24x20.由題意，得方程有兩根x1，x2，根據(jù)韋達(dá)定理，得x1x2eq f(4,3)，x1x2eq f(2,3)，|AB| eq r(1k2)|x2x1|eq r(2)eq r(x1x224x1x2)eq r(2)eq r(f(16,9

20、)f(8,3)eq f(4r(5),3).直線yx1被eq f(x2,4)eq f(y2,2)1所截得的弦長(zhǎng)為eq f(4r(5),3).【變式訓(xùn)練7-1】已知直線l：ykx1與橢圓eq f(x2,2)y21交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|eq f(4r(2),3)，則k_.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,f(x2,2)y21，)得(12k2)x24kx0，所以x1x2eq f(4k,12k2)，x1x20.由|MN|eq f(4r(2),3)，得(1k2)(x1x2)2eq f(32,9)，所以(1k2)(x1x2)24x1x2eq f(

21、32,9)，即(1k2)eq f(4k,12k2)2eq f(32,9)，化簡(jiǎn)得k4k220，所以k21，所以k1.1知識(shí)點(diǎn)8 直線與橢圓的綜合應(yīng)用【例8-1】設(shè)橢圓C：eq f(x2,2)y21的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：OMAOMB.【分析】(1)由橢圓C的方程可求得右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，由于lx軸，從而求出A的坐標(biāo)，進(jìn)一步可求得AM的方程；(2)對(duì)直線l分三種情況討論：當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，可直接求得OMAOMB；當(dāng)直線lx軸時(shí)，可直接求得OMAOMB；當(dāng)直線l與x軸不重合也不垂直

22、時(shí)，可設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用斜率公式表示出kMAkMB.把直線l的方程代入橢圓C的方程，消去y轉(zhuǎn)化為x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可證明kMAkMB0，從而證得OMAOMB.【解】(1)由橢圓方程為eq f(x2,2)y21，得F(1,0)，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l的方程為x1.由已知可求得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(r(2),2)或eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(r(2),2).又M(2,0)，所以AM的方程為yeq f(r(2),2)xeq r(2)或yeq f(r(2),2)xe

23、q r(2).(2)當(dāng)l與x軸重合時(shí)，OMAOMB；當(dāng)lx軸時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以O(shè)MAOMB；當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1eq r(2)，x20”是“方程mx2ny21表示的曲線是橢圓”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件若方程mx2ny21表示橢圓，則m0，n0，且mn，可推得mn0.反之不成立，所以“mn0”是“方程mx2ny21表示的曲線是橢圓”的必要不充分條件B2方程 eq r(x12y2) eq r(x12y2)2表示()A橢圓 B圓C直線 D線段設(shè)P(x，y

24、)，A(1,0)，B(1,0)，則方程表示|PA|PB|2，而|AB|2.|PA|PB|AB|，方程表示線段AB.D3橢圓5x2ky25的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,2)，則k的值為()A1 Beq f(3,5)C.eq f(3,5) D25將橢圓5x2ky25化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2eq f(y2,f(5,k)1，由題意，得eq blcrc (avs4alco1(f(5,k)1，,f(5,k)14，)k1.A4已知ABC的周長(zhǎng)為18，|AB|8，A(4,0)，B(4,0)，|CA|CB|，則點(diǎn)C的軌跡方程為()A.eq f(x2,25)eq f(y2,9)1(y0)B.eq f(y2,25)eq f(x2,9)

25、1(y0)C.eq f(x2,25)eq f(y2,9)1(y0，x0)D.eq f(y2,25)eq f(x2,9)1(y0，x|AB|，點(diǎn)C的軌跡是橢圓，且2a10,2c8，a5，c4，b2a2c29，橢圓方程為eq f(x2,25)eq f(y2,9)1.又|CA|CB|，xb0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則橢圓C的離心率為()A.eq f(r(6),3) Beq f(r(3),3)C.eqC. f(r(2),3) Deq f(1,3)由題意知，以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a.又直線bxay2ab0與圓相切，圓心

26、到直線的距離deq f(2ab,r(a2b2)a，解得aeq r(3)b，eq f(b,a)eq f(1,r(3)，eeq f(c,a)eq f(r(a2b2),a)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)2)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,r(3)2)eq f(r(6),3).A5我們把離心率為黃金比eq f(r(5)1,2)的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”設(shè)F1，F(xiàn)2是“優(yōu)美橢圓”C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓C上滿足F1PF290的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為()A0B1 C2D4如圖所示，在RtOF1B中，|F1B|a，

27、|OF1|c，則sin F1BOeq f(|OF1|,|F1B|)eq f(c,a)eq f(r(5)1,2)eq f(r(2),2)，F(xiàn)1BO45，F(xiàn)1BF20)，過(guò)焦點(diǎn)F作x軸的垂線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且|AB|1，則該橢圓的離心率為()A.eq f(r(3),2) Beq f(1,2) C.eq f(r(15),4) Deq f(r(3),3)橢圓eq f(x2,a2)y21的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為( eq r(a21)，0)由題意，得eq f(a21,a2)y21，yeq f(1,a).|AB|1，eq f(2,a)1，a2，c eq r(a21)eq r(3)，離心率eeq f(c

28、,a)eq f(r(3),2).A7已知F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且eq o(PF1,sup6()eq o(PF2,sup6()c2，則此橢圓離心率的取值范圍是_設(shè)P(x，y)，則eq o(PF1,sup6()(xc，y)，eq o(PF2,sup6()(xc，y)，eq o(PF1,sup6()eq o(PF2,sup6()x2c2y2c2，即x2y22c2，即橢圓上存在點(diǎn)P，使得|PO|eq r(2)c，又|PO|b，abeq r(2)ca，b22c2a2，由a2c22c2，得eeq f(r(3)

29、,3)，由2c2a2，e2eq f(1,2)，eeq f(r(2),2)，eeq f(r(3),3)，eq f(r(2),2).eq f(r(3),3)，eq f(r(2),2)8已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓短軸的端點(diǎn)，且F1PF290，則該橢圓的離心率為_(kāi)由題，可知|OP|OF2|，bc，a22c2，e2eq f(1,2)，即eeq f(r(2),2).eq f(r(2),2)9設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq f(x2,36)eq f(y2,20)1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為橢圓C上一點(diǎn)且在第一象限若MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為_(kāi)

30、設(shè)M(m，n)，m，n0，橢圓C：eq f(x2,36)eq f(y2,20)1的a6，b2eq r(5)，c4，eeq f(c,a)eq f(2,3)，由M為橢圓C上一點(diǎn)且在第一象限，得|MF1|MF2|.又MF1F2為等腰三角形，可能|MF1|2c或|MF2|2c，即有6eq f(2,3)m8，即m3，neq r(5)，或6eq f(2,3)m8，即m30，舍去綜上，M(3，eq r(15)(3，eq r(15)10已知橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，離心率eeq f(r(3),2)，且過(guò)點(diǎn)P(2,3)，求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【解】當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,a2)e

31、q f(y2,b2)1(ab0)，由題意得eq blcrc (avs4alco1(f(c,a)f(r(3),2)，,f(4,a2)f(9,b2)1，,a2b2c2，)解得a240，b210，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,40)eq f(y2,10)1；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)，由題意得eq blcrc (avs4alco1(f(c,a)f(r(3),2)，,f(9,a2)f(4,b2)1，,a2b2c2，)解得a225，b2eq f(25,4)，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(y2,25)eq f(x2,f(25,4)

32、1.綜上，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,40)eq f(y2,10)1或eq f(y2,25)eq f(x2,f(25,4)1.11已知橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的上頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，eq r(3)，離心率為eq f(1,2).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，A為橢圓左頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓右焦點(diǎn)，求eq o(PA,sup6()eq o(PF,sup6()的取值范圍【解】(1)由題意，得eq blcrc (avs4alco1(br(3)，,f(c,a)f(1,2)，,a2b2c2.)解得eq blcrc (avs4alco1(a2，,br(3

33、)，,c1.)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,4)eq f(y2,3)1.(2)由(1)得，A(2,0)，F(xiàn)(1,0)，設(shè)P(x，y)，則eq o(PA,sup6()(2x，y)，eq o(PF,sup6()(1x，y)，eq o(PA,sup6()eq o(PF,sup6()(2x)(1x)y2x2x23eq f(3,4)x2eq f(1,4)x2x1eq f(1,4)(x2)2(2x2)eq o(PA,sup6()eq o(PF,sup6()0,412在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)已知

34、點(diǎn)(1，e)和eq blc(rc)(avs4alco1(e，f(r(3),2)都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【解】由題設(shè)，知a2b2c2，eeq f(c,a)，由點(diǎn)(1，e)在橢圓上，得eq f(12,a2)eq f(e2,b2)1，即eq f(1,a2)eq f(c2,a2b2)1，b2c2a2b2，a2a2b2，b21，c2a21.由點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(e，f(r(3),2)在橢圓上，得eq f(e2,a2)eq f(blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)2,b2)1，即eq f(c2,a4)eq f(blc(rc)(avs4alc

35、o1(f(r(3),2)2,1)1，eq f(a21,a4)eq f(3,4)1，整理得a44a240，解得a22.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,2)y21.B組-素養(yǎng)提升已知橢圓eq f(x2,9)eq f(y2,5)1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方，若線段PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是_如圖，設(shè)右焦點(diǎn)為F1，PF中點(diǎn)為M，則OM為FPF1的中位線，由題意，得|OF|2，則|OM|2，|PF1|4，又|PF1|PF2|2a6，|PF|2，在PFF1中，cos PFF1eq f(16416,242)eq f(1,4)，sin PFF1eq f(

36、r(15),4)，ktan PFF1eq r(15).eq r(15)3.1.3直線與橢圓的位置關(guān)系A(chǔ)組-應(yīng)知應(yīng)會(huì)1過(guò)橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,3)1(aeq r(3)的焦點(diǎn)，作垂直于x軸的直線，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|AB|eq f(3,2)，則a的值為()A4B2C3 D9|AB|eq f(2b2,a)eq f(6,a)eq f(3,2)，a4.A2過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，作斜率為eq r(2)的直線，交橢圓eq f(x2,12)eq f(y2,3)1于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的長(zhǎng)為()A2 B4C.eq f(4r(3),3) Deq f(2r(3),3)由eq blcrc (avs4a

37、lco1(yr(2)x，,x24y212，)得x2eq f(4,3)，解得xeq f(2r(3),3)，|AB| eq r(1k2)|x2x1|eq r(3)eq f(4r(3),3)4.B3已知圓M：x2y22mx30(m0)的半徑為2，橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,3)1的左焦點(diǎn)為F(c,0)，若經(jīng)過(guò)F點(diǎn)且垂直于x軸的直線l與圓M相切，則a的值為()A.eq f(3,4) B1C2 D4圓M的方程可化為(xm)2y23m2，則由題意得m234，即m21(m0)，m1，則圓心M的坐標(biāo)為(1,0)由題意知，直線l的方程為xc，又直線l與圓M相切，c1，a231，a2.C4設(shè)直線

38、l過(guò)橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的一半，則C的離心率為()A.eq f(1,4) Beq f(r(3),2)C.eq f(r(2),2) Deq f(r(2),4)不妨設(shè)橢圓C的方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，由已知，得eq f(2b2,a)a，eq f(b2,a2)eq f(1,2)，eeq f(c,a) eq r(f(a2b2,a2) eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)2) eq r(1f(1,2)eq f(r(2),2).C5已知F1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)是橢圓eq f(x2

39、,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在橢圓上，F(xiàn)1PF2，且當(dāng)eq f(2,3)時(shí)，F(xiàn)1PF2的面積最大，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq f(x2,12)eq f(y2,3)1 Beq f(x2,14)eq f(y2,5)1C.eq f(x2,15)eq f(y2,6)1 Deq f(x2,16)eq f(y2,7)1由題意，知c3，當(dāng)F1PF2的面積最大時(shí)，點(diǎn)P與橢圓在y軸上的頂點(diǎn)重合，此時(shí)F1POeq f(,3).aeq f(3,sin 60)2eq r(3)，beq r(3)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,12)eq f(y2,3)1.A6在焦距為2c的橢圓M：eq

40、 f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則“bc”是“橢圓M上至少存在一點(diǎn)P，使得PF1PF2”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件若橢圓M上至少存在一點(diǎn)P，使得PF1PF2，則bc，所以“bb0)的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若F2AB是面積為4eq r(3)的等邊三角形，則橢圓C的方程為_(kāi)由F2AB是面積為4eq r(3)的等邊三角形知，ABx軸，得eq f(b2,a)eq f(r(3),3)2c，eq f(1,2)2ceq f(2b2,a)4eq r(3)，又a2b2c2，聯(lián)立，得a29

41、，b26，c23，故所求的橢圓C的方程為eq f(x2,9)eq f(y2,6)1.eq f(x2,9)eq f(y2,6)19(懷化模擬)已知橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得F1PF2120，則橢圓的離心率的取值范圍是_由題意可得，橢圓的上頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的等腰三角形中，頂角應(yīng)大于等于120，所以底角小于等于30，則eq f(c,a)eq f(r(3),2)，即eeq f(r(3),2).又0eb0)上，且點(diǎn)M到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為2eq r(5).(1)求橢圓C的方程；(2)已知?jiǎng)又本€yk(x1)與橢圓C相交于

42、A，B兩點(diǎn)，若Peq f(7,3)，0，求證：eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()為定值【解】(1)由題意，得eq blcrc (avs4alco1(f(2,a2)f(1,b2)1，,2a2r(5)，)解得eq blcrc (avs4alco1(a25，,b2f(5,3)，)即橢圓C的方程為eq f(x2,5)eq f(y2,f(5,3)1.(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,f(x2,5)f(y2,f(5,3)1，)得(13k2)x26k2x3k250，36k44(3k21)(3k25)48k2200，x1x2eq f(6k2,3k21)，x1x2eq f(3k25,3k21)，所以eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()x1eq f(7,3)，y1x2eq f(7,3)，y2x1eq f(7,3)x2eq f(7,3)y1y2x1eq f(7,3)x2eq f(7,3)k2(x11)(x21)(1k2)x1x2eq f(7,3)k2(x1x2)eq f(49,9)k2(1k2)eq f(3k25,3k21)eq f(7,3)k2eq f(6k2,3k21)eq f(49,9)k2eq f(3k416k25,3k21)eq f(