2022年新教材高中數(shù)學(xué)第二章等式與不等式2.3一元二次不等式的解法課件新人教B版必修第一冊 課件(共29張PPT)

1、2.2.3一元二次不等式的解法1.會用因式分解法或配方法解一元二次不等式.2.會解決與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題.3.能將簡單的分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解.實(shí)數(shù)符號之間的關(guān)系ab0或ab0的不等式稱為一元二次不等式,其中a,b,c是常數(shù),而且a0,式中的不等號也可以是“”“”“”等.2.一元二次不等式所有解組成的集合為一元二次不等式的解集.一元二次不等式的解法1.因式分解法:一般地,如果x1x2,則不等式(x-x1)(x-x2)0的解集是(-,x1)(x2,+).2.配方法:一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)通過配方可變?yōu)?x-h)2k或(x-h)20時,(x-h)2k的解集

2、為(-,h-)(h+,+),(x-h)2k的解集為(h-,h+).當(dāng)kk的解集為R,(x-h)2k的解集為x|xh.(x-h)20或f(x)g(x)00或f(x)g(x)a(a0)0g(x)f(x)-ag(x)0判斷正誤,正確的畫“”,錯誤的畫“”.1.不等式x2-xx2-1是一元二次不等式.()2.不等式x2+x-20的解集相同.()3.不等式x2-2x-30可化為(x-1)24.()4.不等式x(1-x)0的解集為0,1.()5.不等式1的解集為x|x2.()原不等式可化為0,同解于(x-1)(x-2)0,解集為x|x2.已知2x2+(2-m)x-m0.問題1.若m=1,如何求該不等式的解

3、集?提示:當(dāng)m=1時,原不等式為2x2+x-10,解得x,所以原不等式的解集為xx.含參數(shù)的一元二次不等式的解法2.當(dāng)m0時,如何求出關(guān)于x的不等式的解集?提示:因?yàn)?x2+(2-m)x-m=(x+1)(2x-m),所以原不等式等價于(x+1)(2x-m)0.因?yàn)閙0,所以-10,對m分類討論求解.熟練掌握一元二次不等式的解法是解決此類不等式問題的基礎(chǔ),所以應(yīng)當(dāng)熟記形如ax2+bx+c0(a0)的不等式在各種情況下的解集的形式.含參數(shù)的一元二次不等式的解題步驟:將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù);判斷相應(yīng)的方程是否有根(如果可以直接分解因式,可省去此步);根據(jù)根的情況寫出相應(yīng)的解集,若方程有兩個相異實(shí)根,還

4、要比較兩根的大小.根據(jù)上面的步驟可能產(chǎn)生的討論形式:若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù),則應(yīng)討論其與0的關(guān)系,然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式;判斷方程的根的個數(shù),討論方程的判別式與0的關(guān)系;確定方程無根時可直接寫出解集,確定方程有兩個根時,要討論兩根的大小關(guān)系,從而確定解集的形式.破疑典例1.()解下列關(guān)于x的不等式(aR).(1)x2-(a2+a)x+a30;(2)2x2+ax+20.思路點(diǎn)撥:(1)根據(jù)根的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論求解.(2)根據(jù)判別式與0的關(guān)系進(jìn)行分類討論求解.解析(1)原不等式x2-(a2+a)x+a30可化為(x-a)(x-a2)0.當(dāng)a0時,aa2,所以原不等式的

5、解集為x|xa2;當(dāng)a=0時,a=a2=0,所以原不等式的解集為x|x0;當(dāng)0aa2,所以原不等式的解集為x|xa;當(dāng)a=1時,a=a2=1,所以原不等式的解集為x|x1;當(dāng)a1時,aa2,所以原不等式的解集為x|xa2.綜上,當(dāng)a1時,原不等式的解集為x|xa2;當(dāng)a=0時,原不等式的解集為x|x0;當(dāng)0a1時,原不等式的解集為x|xa;當(dāng)a=1時,原不等式的解集為x|x1.(2)2x2+ax+2=0的判別式為=a2-16.當(dāng)a2-160,即a4或a(-a+)或x(-a-).當(dāng)a2-16=0時,a=4或a=-4.當(dāng)a=4時,解得x-1;當(dāng)a=-4時,解得x1.當(dāng)a2-160,即-4a4時,解

6、得xR.綜上,當(dāng)a4時,原不等式的解集為或x;當(dāng)-4a0.思路點(diǎn)撥:因?yàn)槎雾?xiàng)的系數(shù)a不確定,所以需要根據(jù)a的取值進(jìn)行分類討論.解析(1)當(dāng)a=0時,原不等式為-2x+40,所以x2,不等式的解集為x|x2.(2)當(dāng)a0時,方程ax2-2(a+1)x+4=0的判別式=4(a-1)20,其兩根分別為x1=2,x2=,且0時,方程ax2-2(a+1)x+4=0的根為x1=2,x2=.當(dāng)1時,不等式的解集為;當(dāng)2,即0a1時,不等式的解集為;當(dāng)=2,即a=1時,不等式的解集為x|x2.綜上所述,當(dāng)a=0時,不等式的解集為x|x2;當(dāng)a1時,不等式的解集為;當(dāng)0a0.問題1.若不等式對任意xR恒成立,

7、如何求k的取值范圍?提示:可利用對應(yīng)方程的根的判別式求解.2.若不等式對任意xx|1x2恒成立,如何求k的取值范圍?提示:分離參數(shù).3.若不等式對任意xx|-1x2恒成立,如何求k的取值范圍?提示:分離參數(shù)(注意對應(yīng)的二次函數(shù)圖像對稱軸的位置).如何解決一元二次不等式恒成立問題1.求一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題,可通過二次函數(shù)求最值,也可通過分離參數(shù),再求最值.解決恒成立問題一定要分清自變量和參數(shù),一般地,已知范圍的是變量,求解范圍的是參數(shù).對于一元二次不等式恒成立問題,恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像在給定的定義域內(nèi)全部在x軸上方,恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像在給定的定義域內(nèi)全部在x軸

8、下方.2.求不等式恒成立問題中參數(shù)范圍的常用方法:(1)利用一元二次方程根的判別式解一元二次不等式在R上的恒成立問題.設(shè)y=ax2+bx+c(a0),則y0恒成立y0恒成立y0恒成立y0恒成立(2)分離自變量和參數(shù),利用等價轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題. 拔高問題若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù),又該如何解決此類問題?4.xR,mx2-mx-10,如何求m的取值范圍?提示:若m=0,顯然-10,滿足題意;若m0,則即-4m0.綜上,m的取值范圍為m|-4m0.破疑典例1.()已知函數(shù)y=x2+mx-1,若對于任意xx|mxm+1,都有y0成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.思路點(diǎn)撥:作出函數(shù)y=x2+mx-

9、1的大致圖像,觀察圖像列出不等式組,解不等式組即可.答案-m0解析作出二次函數(shù)y=x2+mx-1的大致圖像(圖像略),對于任意xx|mxm+1,都有y0成立,則有解得-m0.2.()若不等式ax2+2ax-(a+2)0的解集是,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.思路點(diǎn)撥:ax2+2ax-(a+2)0的解集是,即ax2+2ax-(a+2)0在R上恒成立,對a進(jìn)行分類討論求解.解析不等式ax2+2ax-(a+2)0的解集是,等價于不等式ax2+2ax-(a+2)0在R上恒成立.當(dāng)a=0時,-20,解集為,滿足題意;當(dāng)a0時,a需滿足解得-1a0.綜上可知,a的取值范圍是a|-1a0.易錯警示解決含參數(shù)的一元二次

10、不等式問題,要關(guān)注二次項(xiàng)系數(shù)是否含有參數(shù),若二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù),則要對二次項(xiàng)系數(shù)是不是0進(jìn)行討論.3.()若對任意的mm|1m3,mx2-mx-6+m0恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.思路點(diǎn)撥:此題是關(guān)于m的不等式的恒成立問題,可以分離變量,利用m的范圍構(gòu)建關(guān)于x的不等式求解.解析mx2-mx-6+m0(x2-x+1)m-60,m3,即x2-x-10,解得x0,所以x+10,所以3x-10,即0a(a0)的分式不等式可同解變形為 0,故可轉(zhuǎn)化為解g(x)f(x)-ag(x)0.(2)解0(0)型的分式不等式,轉(zhuǎn)化為整式不等式后,應(yīng)注意分子可取0,而分母不能取0.(f(x),g(x)為關(guān)于x的整式,且

11、g(x)0).破疑典例1.()解下列關(guān)于x的不等式:(1)0;(2)1.思路點(diǎn)撥:(1)化為(4x+2)(3x-1)0進(jìn)一步求解.(2)移項(xiàng)、通分化為0,再化為進(jìn)一步求解.解析(1)原不等式等價于(4x+2)(3x-1)0,所以原不等式的解集為.(2)原不等式可化為0,所以原不等式等價于所以原不等式的解集為.2.()解下列關(guān)于x的不等式:(1)-11;(2)0和x0兩種情況分別求解后取并集.(2)移項(xiàng)、通分化為0(aR),再化為(ax+1-a)(x-1)1或x1或x0時,由1;當(dāng)x-1得x1或x-1.(2)原不等式可化為-(1-a)0(aR),即0(aR),進(jìn)一步化簡為(ax+1-a)(x-1)0時,不等式化為(x-1)0.因?yàn)?,所以不等式的解集為.