中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第一編教材知識梳理篇第二章方程(組)與不等式(組)第二節(jié)一元二次方程及應(yīng)用(精講)試題

1、第二節(jié)一元二次方程及應(yīng)用懷化七年中考命題規(guī)律 )年份題型題號考查點考查內(nèi)容分值總分已知一元二2016選擇4根的判別式次方程，判44別根的情況已知一元二2015選擇7根與系數(shù)的次方程，求44關(guān)系方程的兩根的平方和先利用根的判別式求字母的取值范根與系數(shù)的圍，再利用2014解答23關(guān)系根與系數(shù)的1010和根的判別關(guān)系在此范式圍下求字母的值，從而求代數(shù)式的值或最值根與系數(shù)的考查利用根與系數(shù)的關(guān)關(guān)系2012解答22系解題應(yīng)結(jié)1010和根的判別合根的判別式式思考考查含有字2011解答22根的判別式母的一元二1010次方程的根的情況縱觀懷化七年中考，一元二次方程的解法和應(yīng)用，沒有單獨設(shè)題，主要涉及根的命題規(guī)

2、律判別式和根與系數(shù)的綜合應(yīng)用，而且大多以解答題形式呈現(xiàn)，選擇題只出現(xiàn)一次，題目難度中等 .預(yù)計 2017 年懷化中考考查根的判別式與根的系命題預(yù)測數(shù)關(guān)系的可能性很大，應(yīng)強化訓(xùn)練，一元二次方程的應(yīng)1/11用也應(yīng)注意，不容忽視 .懷化七年中考真題及模擬 )解一元二次方程1 ( 2015 靖州模擬 ) 用配方法解方程x2 4x1 0，配方后的方程是(A)A (x 2) 2 3B(x 2) 23C (x 2) 2 5D(x 2) 252/11根與系數(shù)的關(guān)系(1 次)2 ( 2015 懷化中考 ) 設(shè) x1， x2 是方程 x2 5x 3 0 的兩個根 ，則 x12 x2的值是 (C)A 19B25C3

3、1D 30根的判 別式和根與系數(shù)的關(guān)系 (4 次)x2x 1 0 的根的情況為 ( A )3 ( 2016 懷化中考 ) 一元二次方程A有兩個不相等的實數(shù)根B有兩個相等的實數(shù)根C只有一個實數(shù)根沒有實數(shù)根D4 ( 2011 懷化中考 ) 已知：關(guān)于x 的方程 ax 2 (1 3a)x 2a 1 0.當 a 取何值時 ，二次函數(shù) y ax2( 1 3a)x 2a 1 的對稱軸是 x 2；(2) 求證： a 取任何實數(shù)時 ，方程 ax2 (1 3a)x 2a1 0 總有實數(shù)根13a解： (1) 依題意得2a 2， a 1；(2) (1 3a)2 4a(2a 1) 9a2 6a 1 8a24a a2

4、2a 1 (a 1) 2 0，即方程 ax2 (1 3a ) x2a 10 總有實數(shù)根122a 0的兩個實數(shù)根5 ( 2012 懷化中考 ) 已知 x，x是一元二次方程 (a 6)x 2ax是否存在實數(shù) a，使 x1 x1x2 4 x2 成立？若存在 ，求出 a 的值；若不存在 ，請你說明理由；求使 (x 1 1)(x 21) 為負整數(shù)的實 數(shù) a 的整數(shù)值解： x， x是一元二次方程(a 6)x2 2ax a 0的兩個實數(shù)根， a 6 0，2即1（2a） 2 4（ a 6） a0，a 6， 2aaa0.(1) 假設(shè)存在實數(shù) a使 x1 x1x2 4 x2 成立 ， 則 4 (x 1 x2)

5、x1x2 0 ， 4 a6 a6 0，即 a3/1124. a 24 滿足 a0且 a6， 存在實數(shù) a24，使 x x x 4 x成立； (2)(x 1)(x21) (x x ) x x211221121 1 2aa 6， 要使其為負整數(shù) ，則只需 a 為 7， 8， 9， 12. 1a 6a 6a 66( 2014 懷化中考 ) 設(shè) m是不小于 1 的實數(shù) ，使得關(guān)于x 的方程 x2 2(m2)x m2 3m 3 0 有兩個不相等的實數(shù)根 x1， x2.111(1) 若 1，求的值；x1x23 2mmx1mx22(2) 求 1 x11 x2m 的最大值解： 方程有兩個不相等的實數(shù)根， b2

6、 4ac 4(m 2) 2 4(m2 3m 3) 4m 40， m1，結(jié)合題意知： 1m0； (2) |x 1 x2|1， |x 1 x2| 21， (x 1 x2) 2(x 1 x2) 2 4x1x2 1， 22 4（m 2） 1，解得 m 8. ma2 ab（ a b），9 ( 2016 原創(chuàng) ) 對于實數(shù)a， b， 定義新運算 “* ” ： a* b 例如： 4*2 ，因為 42，所以ab b2（ ab），4*2 42 42 8.(1) 求( 5)*( 3) 的值；若 x1， x2 是一元二次方程 x2 5x6 0 的兩個根 ，求 x1*x 2 的值解： (1) 50) 的方程配方法一般

7、適用于解二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為偶數(shù)的這類一元二次方程，配方的關(guān)鍵是把方程左邊化為含有未知數(shù)的_完全平方 _式，右邊是一個非負常數(shù)求根公式為_x bb2 4ac(b 24ac0) _，適用于所有的一元2a二次方程因式分解法的步驟： (1) 將方程右邊化為 _0_；(2) 將方程左邊分解為一次因式的乘積； (3) 令每個因式等于 0，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程，它們的解就是一元二次方程的解.6/11【溫馨提示】關(guān)于x 的一元二次方程ax2 bxc0(a 0) 的解法：2c(1) 當 b 0， c 0 時， x a，考慮用直接開平方法解；(2) 當 c 0，b 0 時，用因式分

8、解法解；(3) 當 a一元二次方程根的判別式3根的判別式：一元二次方程ax2 bx c0(a 0) 的根的情況可由_b2 4ac_來判定，我們將_b2 4ac_稱為根的判別式4判別式與根的關(guān)系：當 b2 4ac0? 方程有 _兩個不相等 _的實數(shù)根；當 b2 4ac0.一元二次方程的應(yīng)用5列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：審題；設(shè)未知數(shù)；列方程；解方程；檢驗；做結(jié)論6一元二次方程應(yīng)用問題常見的等量關(guān)系：增長率中的等量關(guān)系：增長率增量基礎(chǔ)量；利率中的等量關(guān)系：本息和本金利息，利息本金利率時間；利潤中的等量關(guān)系：毛利潤售出價進貨價，純利潤售出價進貨價其他費用，利潤率利潤進貨價【方法點撥】利用方程根的意

9、義，把方程的根代入方程中，是解決一元二次方程有關(guān)問題的一種重要方法，我們可以把這種方法稱為讓根回家7/11中考重難點突破 )一元二次方程的概念及解法【例 1】 (1)2是關(guān)于 x 的一元二次方程 ，則 m_ 若方程 (m 1)x m 1 mx 50(2) 解方程： (x 1)(2x 1) 3(x 1) 【解析】第 (2) 題中，方程兩邊都含有因式(x 1) ，如果在方程兩邊同時約去(x 1) ，就會導(dǎo)致方程失去一個根 x1，本題可先移項，利用分解因式法求解【學(xué)生解答】解：(1) 1； (2)方程化為 (x 1)(2x 1) 3(x 1) 0，即 (x 1)(2x 1 3) 0，所以 x 1 0

10、 或 2x 4 0，所以方程的解為 x 1， x 2.12【點撥】解一元二次方程時，不能隨便在方程兩邊約去含未知數(shù)的代數(shù)式，否則，可能導(dǎo)致方程失去一個根8/111 ( 2016 懷化學(xué)業(yè)考試指導(dǎo)) 下列方程中是關(guān)于x 的一元二次方程的是(C) x2 1 0 ax2bx c0Ax2B(x 1)(x 2) 1 3x 2 2xy 5y20CD2( 2015 溆浦模擬 ) 用配方法解一元二次方程x2 4x5 0，此方程可變形為 ( A ) (x 2)2 9(x 2) 29ABC (x 2) 2 1D(x 2) 213解下列方程(1)( 2016 安徽中考 )x 2 2x 4；22解： x 2x 1 5

11、，(x 1) 5， x 1 5， x 1 5， x 1 5 ；12(2)(2 016 天津中考 )x 2x 120.解： (x 4)(x 3) 0， x 40或 x 3 0， x1 4， x2 3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和判別式x22(m 1)x m2 10.【例 2】 ( 2015 懷化中考 ) 已知關(guān)于 x 的一元二次方程(1) 若方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；若方程兩實數(shù)根分別為 x1 、x2，且滿足 (x 1 x2) 2 16x1x2，求實數(shù) m的值【學(xué)生解答】解： (1) 由題意有 2(m 1)2 4(m2 1) 0，整理得 8m 80，解得 m 1， 實數(shù) m的取值范圍是

12、m 1； (2) 由兩根關(guān)系 ，得 x1 x2 2(m 1) ， x1 x2 m2 1 ， (x 1 x2) 2 16 x1x2， (x 1 x2) 23x x 16 0， 2(m1)222或 m1， m 1， m 1. 3(m 1) 16 0， m 8m 9 0，解得 m 912【點撥】通過根與系數(shù)關(guān)系求得的m值必須滿足 0.9/114 ( 2016 昆明中考 ) 一元二次方程x2 4x 4 0 的根的情況是 (B )A有兩個不 相等的實數(shù)根B有兩個相等的實數(shù)根C無實數(shù)根2D無法確定5( 2016 涼山中考 ) 已知 x 、 x的兩根 ，則 x x x x的值是 (D )是一元二 次方程 3

13、x 6 2x1211224884A3B. 3C 3D. 3一元二次方程的應(yīng)用【例 3】 ( 2015 咸寧中考 ) 隨著市民環(huán)保意識的增強，煙花爆竹銷售量逐年下降咸寧市2013 年銷售煙花爆竹20 萬箱，到2015 年煙花爆竹銷售量為9.8 萬箱求咸寧市2013 年到 2015 年煙花爆竹年銷售量的平均下降率【解析】先設(shè)咸寧市2013 年到 2015 年煙花爆竹年銷售量的平均下降率是x，那么把2013 年煙花爆竹銷售量看作單位1，在此基礎(chǔ)上可求2 014 年的年銷售量，以此類推可求2015 年的年銷售量，而2015 年的年銷售量為9.8 萬箱，據(jù)此列方程即可【學(xué)生解答】解：設(shè)咸寧市2013 年

14、到 2015 年煙花爆竹年銷售量的平均下降率是x，依題意得20(1 x) 29.8 ，解這個方程 ，得 x10.3 ， x2 1.7 ，由于 x2 1.7 不符合題意 ，故舍去 x 0.3 30%.答：咸寧市2013 年到 2015 年煙花爆竹年銷售量的平均下降率為30%.10/116( 2016 畢節(jié)中考 ) 為進一步發(fā)展基礎(chǔ)教育，自2014 年以來，某縣加大了教育經(jīng)費的投入，2014 年該縣投入教育經(jīng)費6 000 萬元 .2016 年投入教育經(jīng)費8 640 萬元假設(shè)該縣這兩年投入教育經(jīng)費的年平均增長率相同(1) 求這兩年該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率；(2) 若該縣教育經(jīng)費的投入還將保持相

15、同的年平均增長率，請你預(yù)算2017 年該縣投入教育經(jīng)費多少萬元解： (1) 設(shè)該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率為x. 則有： 6 000 (1 x) 2 8 640 ，解得x 0.2. 所以該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率為20%；(2) 因為2016 年該縣投入教育經(jīng)費為8 640萬元，且增長率為20%，所以2017 年該縣投入教育經(jīng)費y8640(1 0.2) 10 368( 萬元 ) 答： 2017 年該縣投入教育經(jīng)費10 368 萬元7( 2016 原創(chuàng) ) 唐山市某商店準備進一批季節(jié)性小家電，單價40 元經(jīng)市場預(yù)測，銷售定價為52 元時，可售出 180 個，定價每增加1 元，銷售量凈減少10 個 ；定價每減少1 元，銷售量凈增加10 個因受庫存的影響，每批次進貨個數(shù)不