線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)及總結(jié)

1、-. z.線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)行列式1. n階行列式2.特殊行列式，3.行列式的性質(zhì)定義記，行列式稱(chēng)為行列式的轉(zhuǎn)置行列式。性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。性質(zhì)2 互換行列式的兩行或列，行列式變號(hào)。推論如果行列式有兩行列完全一樣成比例，則此行列式為零。性質(zhì)3行列式*一行列中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式；推論1的*一行列中所有元素的公因子可以提到的外面;推論2中*一行列所有元素為零，則。性質(zhì)4假設(shè)行列式的*一列行的元素都是兩數(shù)之和，則性質(zhì)6把行列式的*一列行的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。計(jì)算行列式常用方法：利用定義；利用運(yùn)算把行列式化為上三角形

2、行列式，從而算得行列式的值。4.行列式按行列展開(kāi)余子式在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來(lái)的階行列式叫做元素的余子式，記作。代數(shù)余子式，叫做元素的代數(shù)余子式。引理一個(gè)階行列式，如果其中第行所有元素除i，j元外都為零，則這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即。高階行列式計(jì)算首先把行列上的元素盡可能多的化成0，保存一個(gè)非零元素，降階定理階行列式等于它的任意一行列的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即，。矩陣1.矩陣行列式是數(shù)值，矩陣是數(shù)表，各個(gè)元素組成方陣：行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣A。記作：An。行(列)矩陣：只有一行(列)的矩陣。也稱(chēng)行(列)向量。同型矩陣：兩矩陣的行數(shù)相等，列

3、數(shù)也相等。相等矩陣：AB同型,且對(duì)應(yīng)元素相等。記作：AB零矩陣：元素都是零的矩陣不同型的零矩陣不同對(duì)角陣：不在主對(duì)角線上的元素都是零。單位陣：主對(duì)角線上元素都是1，其它元素都是0，記作：E注意矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個(gè)算式，一個(gè)數(shù)字行列式經(jīng)過(guò)計(jì)算可求得其值，而矩陣僅僅是一個(gè)數(shù)表，它的行數(shù)和列數(shù)可以不同。2.矩陣的運(yùn)算矩陣的加法說(shuō)明只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)展加法運(yùn)算。矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律；，稱(chēng)為矩陣的。數(shù)與矩陣相乘數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律設(shè)為矩陣，為數(shù)；。矩陣相加與數(shù)乘矩陣統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的線性運(yùn)算。矩陣與矩陣相乘設(shè)是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣，則規(guī)定矩陣A與矩陣B的乘積是一個(gè)矩陣，其中，并把

4、此乘積記作注意1。A與B能相乘的條件是：A的列數(shù)B的行數(shù)。2。矩陣的乘法不滿(mǎn)足交換律，即在一般情況下，而且兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣。3。對(duì)于n階方陣A和B，假設(shè)AB=BA，則稱(chēng)A與B是可交換的。矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律；，假設(shè)A是n階方陣，則稱(chēng)Ak為A的k次冪，即，并且，。規(guī)定：A0E 只有方陣才有冪運(yùn)算注意矩陣不滿(mǎn)足交換律，即，但也有例外轉(zhuǎn)置矩陣把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作，；。方陣的行列式由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作注意矩陣與行列式是兩個(gè)不同的概念，n階矩陣是n2個(gè)數(shù)按一定方式排成的數(shù)表，而n階行列式則是這些數(shù)按一定的運(yùn)算法則所確定的一

5、個(gè)數(shù)。；對(duì)稱(chēng)陣設(shè)A為n階方陣，如果滿(mǎn)足A=AT，則A稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)陣。伴隨矩陣行列式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣稱(chēng)為矩陣A的伴隨矩陣。性質(zhì)易忘知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)展加法運(yùn)算。2只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘,且矩陣相乘不滿(mǎn)足交換律。3矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的數(shù)乘運(yùn)算不同。逆矩陣：ABBAE，則說(shuō)矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱(chēng)為A的逆矩陣。說(shuō)明1 A ，B互為逆陣，A = B-1只對(duì)方陣定義逆陣。只有方陣才有逆矩陣3.假設(shè)A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的。定理1矩陣A可逆的充分必要條件是，并且當(dāng)A可逆時(shí)，有重要奇異矩陣與非奇異矩陣當(dāng)時(shí)

6、，稱(chēng)為奇異矩陣，當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為非奇異矩陣。即。求逆矩陣方法初等變換的應(yīng)用：求逆矩陣：。逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)。 3.矩陣的初等變換初等行列變換。初等列變換：把初等行變換中的行變?yōu)榱?，即為初等列變換，所用記號(hào)是把r換成c。矩陣等價(jià)行階梯形矩陣：可畫(huà)出一條階梯線，線的下方全為零，每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)階梯線的豎線每段豎線的長(zhǎng)度為一行后面的第一個(gè)元素為非零元，也是非零行的第一個(gè)非零元。非零行數(shù)及矩陣的秩 R(B)=3行最簡(jiǎn)形矩陣：行階梯矩陣中非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在的列的其他元素都為0.標(biāo)準(zhǔn)型：對(duì)行最簡(jiǎn)形矩陣再施以初等列變換，可以變換為形如的矩陣，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)型。標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是所

7、有與矩陣A等價(jià)的矩陣中形狀最簡(jiǎn)單的矩陣。初等變換的應(yīng)用求逆矩陣：或。4.矩陣的秩矩陣的秩任何矩陣，總可以經(jīng)過(guò)有限次初等變換把它變?yōu)樾须A梯形，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)是唯一確定的。非零行的行數(shù)即為矩陣的秩說(shuō)明1. 矩陣Amn，則R(A) minm,n;2. R(A) = R(AT);3. R(A)r的充分必要條件是至少有一個(gè)r 階子式不為零; 4. R(A)r的充分必要條件是所有r + 1 階子式都為零.滿(mǎn)秩和滿(mǎn)秩矩陣矩陣，假設(shè)，稱(chēng)A為行滿(mǎn)秩矩陣；假設(shè)，稱(chēng)A為列滿(mǎn)秩矩陣；。矩陣秩的求法定理1 矩陣A經(jīng)過(guò)有限次行(列)初等變換后其秩不變。即假設(shè)AB，則R(A)=R(B)。推論矩陣秩的性質(zhì)總結(jié)。第

8、三章1. n維向量n個(gè)數(shù)a1,a2,an組成的一個(gè)有序數(shù)組(a1,a2,an) 稱(chēng)為一個(gè)n維向量,記為，其中第i個(gè)數(shù)ai稱(chēng)為向量的第i個(gè)分量。向量組假設(shè)干個(gè)同維數(shù)的列向量或同維數(shù)的行向量所組成的集合叫做向量組。設(shè)矩陣A=(aij)mn有n個(gè)m維列向量，即，。同理，也可說(shuō)矩陣A有m個(gè)行向量組組成。向量，向量組，矩陣與方程組的關(guān)系向量組矩陣：向量方程方程組：，可簡(jiǎn)寫(xiě)作向量方程方程組矩陣形式線性組合給定向量組和向量b，如果存在一組數(shù)使，則向量b是向量組A的線性組合，這時(shí)稱(chēng)b向量能由向量組A線性表示。定理1向量b能由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩。即R(A)=R(A,b)。向量組的

9、線性表示設(shè)有兩個(gè)向量組，假設(shè)B組中每個(gè)向量都能由向量組A線性表示，則稱(chēng)向量組B能由向量組A線性表示，假設(shè)向量組A與向量組B能相互線性表示，則稱(chēng)這兩個(gè)向量組等價(jià)。向量組的線性相關(guān)給定向量組，如果存在不全為零的數(shù)使，則稱(chēng)向量組是線性相關(guān)的，否則稱(chēng)它線性無(wú)關(guān)；假設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式成立，則稱(chēng)向量組A線性無(wú)關(guān)。線性相關(guān)：可線性組合表示的，線性無(wú)關(guān)：相互獨(dú)立，互不代表注意1.對(duì)于向量組來(lái)說(shuō)，不是線性無(wú)關(guān)，就是線性相關(guān)。2.對(duì)于兩個(gè)向量來(lái)說(shuō)，線性相關(guān)意味著兩向量的分量對(duì)應(yīng)成比例，幾何含義兩向量共線；三個(gè)向量線性相關(guān)意味著三向量共面。4.包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的，此時(shí)總存在不為零的k，使得線性相關(guān)性的

10、判定定理向量組當(dāng)時(shí)線性相關(guān)的充分必要條件是中至少有一個(gè)向量可由其余m-1個(gè)向量線性表示定理4向量組線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣小于向量的個(gè)數(shù)m，向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是RA=m。最大線性無(wú)關(guān)向量組設(shè)有向量組A，如果在A中能選出r個(gè)向量，滿(mǎn)足：；(2)向量組A中任意r +1個(gè)向量(如果有的話)都線性相關(guān)；則稱(chēng)向量組是向量組A的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)向量組。(2)*向量組A中任何一個(gè)(其它)向量可由線性表示。第四章線性方程組的解線性方程組如果有解，則稱(chēng)其為相容的，否則稱(chēng)為不相容的。n元齊次線性方程組A*=01R(A) = n A*=0 有唯一解，零解無(wú)非零解2R(A) n A*=0 有非零解. n元非齊次線性方程組無(wú)解的充分必要條件是有唯一解的充分必要條件是有無(wú)限多解的充分必要條件是根底解系齊次線性方程組的通解具有形式(c1, c2為任意常數(shù))，稱(chēng)通解式中向量構(gòu)成該齊次線性方程組的根底解系。非齊次線性方程組解的通解具有形式(c1, c2為任意常數(shù))，不帶參數(shù)局部是非齊次方程組的一個(gè)特解；帶參數(shù)局部的兩個(gè)向量構(gòu)成對(duì)應(yīng)齊次方程的根底解系。齊次方程組解的性質(zhì)、構(gòu)造非