稱為單位階躍函數(shù)

1、時(shí)域分析法是根據(jù)系統(tǒng)的微分方程，以拉普拉斯變換作為數(shù)學(xué)工具，直接解出控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。然后，依據(jù)響應(yīng)的表達(dá)式及其描述曲線來(lái)分析系統(tǒng)的控制性能，如穩(wěn)定性、快速性、穩(wěn)態(tài)精度等，并找出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)與這些性能之間的關(guān)系。 第三章 時(shí)域分析法表達(dá)式曲線3.1 典型輸入信號(hào)及性能指標(biāo) 一個(gè)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，不僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，而且還同系統(tǒng)的初始狀態(tài)以及加在系統(tǒng)上的外作用信號(hào)有關(guān)。 為了分析和比較控制系統(tǒng)的優(yōu)劣，通常對(duì)初始狀態(tài)和外作用信號(hào)做一些典型化處理。初始狀態(tài)：零狀態(tài)外作用：應(yīng)盡可能簡(jiǎn)單又能反映實(shí)際情況。一、典型輸入信號(hào) 1階躍函數(shù) 其表達(dá)式為 當(dāng)a=1時(shí)，稱為單位階躍函數(shù)，記作1(t)，

2、則有 單位階躍函數(shù)的拉氏變換為 2速度函數(shù)（斜坡函數(shù)） 其表達(dá)式為 當(dāng)a=1時(shí)，r(t)=t，稱為單位速度函數(shù)，其拉氏變換為 3加速度函數(shù)（拋物線函數(shù)） 其表達(dá)式為 當(dāng)a=1/2時(shí)，稱為單位加速度函數(shù)，其拉氏變換為 4脈沖函數(shù) 其表達(dá)式為 單位脈沖函數(shù)(t)，其數(shù)學(xué)描述為單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為 5正弦函數(shù) 其表達(dá)式為 其拉氏變換為 二、階躍響應(yīng)的性能指標(biāo) 分析控制系統(tǒng)時(shí)的假定條件有：?jiǎn)挝回?fù)反饋初始狀態(tài)為零給定輸入為單位階躍函數(shù)（由假設(shè)條件知，系統(tǒng)的期望輸出為1）對(duì)控制系統(tǒng)性能的一般要求：穩(wěn)、快、準(zhǔn)。穩(wěn)：即穩(wěn)定性，在響應(yīng)曲線上的反應(yīng)是有界輸入產(chǎn)生有界輸出。它是系統(tǒng)固有性質(zhì)，由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決

3、定，與外界因素?zé)o關(guān)。由單位階躍響應(yīng)曲線判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性0.5td延遲時(shí)間td0.10.9tr上升時(shí)間tr峰值時(shí)間tptp超調(diào)量%調(diào)節(jié)時(shí)間ts誤差帶ts振蕩次數(shù)N穩(wěn)態(tài)誤差ess控制系統(tǒng)的典型單位階躍響應(yīng)ess=1-h()過(guò)渡過(guò)程性能指標(biāo)：描述快速性和平穩(wěn)性。穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)：描述準(zhǔn)確性。3.2 一階系統(tǒng)分析 傳遞函數(shù)分母為一次多項(xiàng)式的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。 一、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 一階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 一階系統(tǒng)也稱為慣性環(huán)節(jié) 二、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 單位階躍輸入的拉氏變換為 取C(s)的拉氏變換，可得一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 則 或?qū)懗?一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是一條由零開(kāi)始，按指數(shù)規(guī)律上升并

4、最終趨于1的曲線。響應(yīng)曲線具有非振蕩特征，故又稱為非周期響應(yīng)。 css=1 代表穩(wěn)態(tài)分量 代表動(dòng)態(tài)分量 動(dòng)態(tài)分量即在動(dòng)態(tài)過(guò)程/過(guò)渡過(guò)程中出現(xiàn)的分量。 初一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 沒(méi)有超調(diào) 量；調(diào)節(jié)時(shí)間 ts=3T(5%) ts=4T(2%)沒(méi)有穩(wěn)態(tài)誤差，即初T越小系統(tǒng)快速性越好三、五一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)通過(guò)對(duì)不同輸入下的響應(yīng)進(jìn)行分析可得：對(duì)于線性定常系統(tǒng)，在零初始條件下，若輸入信號(hào)間呈微分的關(guān)系，則其對(duì)應(yīng)輸出之間也呈微分關(guān)系。微分穩(wěn)態(tài)輸出取決于輸入。微分穩(wěn)態(tài)輸出01t例3.1 一階系統(tǒng)如圖所示,試求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時(shí)間ts。如果要求ts0.1 s，試問(wèn)系統(tǒng)的反饋系數(shù)應(yīng)調(diào)整為何值？解：(1)

5、由結(jié)構(gòu)圖寫(xiě)出閉環(huán)傳遞函數(shù)從(s)的分母多項(xiàng)式看出時(shí)間常數(shù)T=0.1 s，故調(diào)節(jié)時(shí)間(2) 計(jì)算ts0.1 s的反饋系數(shù)值設(shè)反饋系數(shù)為Kh，則系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)故要求ts=0.1 s，代入上式得所以調(diào)節(jié)時(shí)間3.3 二階系統(tǒng)分析 傳遞函數(shù)分母為二次多項(xiàng)式的系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。 一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 閉環(huán)傳遞函數(shù)一般式 其中： 為阻尼系數(shù) 為無(wú)阻尼自然頻率/固有頻率 為系統(tǒng)特征方程，其解為系統(tǒng)特征根。（P61頁(yè)3-16式）其閉環(huán)特征方程為 由二次方程求根公式得系統(tǒng)的特征根為 隨著取值的不同，特征根(閉環(huán)極點(diǎn)) 在s平面上的分布有如下特點(diǎn)：二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 1.過(guò)阻尼1的情況 系統(tǒng)閉環(huán)特征方

6、程有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根,設(shè) 則穩(wěn)態(tài)分量為1，動(dòng)態(tài)分量為兩項(xiàng)指數(shù)項(xiàng)。過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線（不同于一階系統(tǒng)）速度為0性能指標(biāo)：無(wú)超調(diào)無(wú)誤差調(diào)節(jié)時(shí)間？經(jīng)轉(zhuǎn)換后可得因此，過(guò)阻尼二階系統(tǒng)可以看成兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。 閉環(huán)傳遞函數(shù)過(guò)阻尼二階系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間特性: 當(dāng)T1=T2(=1的臨界阻尼情況):ts=4.75T1；當(dāng)T1=4T2(=1.25)時(shí): ts3.3T1；當(dāng)T14T2(1.25)時(shí): ts3T1。2.臨界阻尼=1的情況 系統(tǒng)具有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根s1,2= -n。 所以 取C(s)的拉氏反變換，得臨界阻尼下二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) h(t)曲線單調(diào)遞增至穩(wěn)態(tài)值，且初始速度為0.3.欠阻尼0

7、1的情況 欠阻尼二階系統(tǒng)具有一對(duì)負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，時(shí)間響應(yīng)呈衰減振蕩特性，故又稱為振蕩環(huán)節(jié)。 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為 特征根為一對(duì)共軛復(fù)根 衰減系數(shù)d 阻尼振蕩角頻率特征根為一對(duì)共軛復(fù)根 阻尼角當(dāng)輸入信號(hào)為單位階躍作用時(shí) 取C(s)的拉氏變換，得欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 或者寫(xiě)成 式中 穩(wěn)態(tài)分量的值等于1，動(dòng)態(tài)分量是一個(gè)隨時(shí)間t的增長(zhǎng)而衰減的振蕩過(guò)程。 決定了瞬態(tài)分量衰減的快慢，即特征根距虛軸越遠(yuǎn)衰減越快；d決定了瞬態(tài)分量震蕩的頻率，即特征根距實(shí)軸越遠(yuǎn)震蕩越劇烈；欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 當(dāng) =0時(shí)，零阻尼響應(yīng)為 無(wú)阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為具有頻率為n的不衰減(等幅)振蕩

8、。 二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的通用曲線 圖3-17 和%的關(guān)系曲線 平穩(wěn)性：越大，%小，平穩(wěn)性越好。二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的通用曲線 快速性：00.7，ts； 0.72，ts；ts最短，且5，故工程其稱為最佳阻尼比。二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的通用曲線 穩(wěn)態(tài)精度：ess=0三、欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)性能指標(biāo) 1.上升時(shí)間tr2.峰值時(shí)間tp ：響應(yīng)曲線達(dá)到第一峰值/最大值所需的時(shí)間。 令 應(yīng)取3.超調(diào)量% 超調(diào)量的定義 超調(diào)量只是阻尼比的函數(shù)。 4.調(diào)節(jié)時(shí)間ts 根據(jù)調(diào)節(jié)時(shí)間的定義得根據(jù)調(diào)節(jié)時(shí)間的定義得由于上式較難求出具體解析表達(dá)式，故常采用近似計(jì)算：由此知，ts與n近似成反比，即調(diào)節(jié)時(shí)間與特征根距虛

9、軸的距離近似成反比。例3-2 設(shè)單位負(fù)反饋位置隨動(dòng)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 當(dāng)給定位置為單位階躍時(shí)，試計(jì)算放大器增益KA=200時(shí)，輸出位置響應(yīng)特性的性能指標(biāo)：峰值時(shí)間tp、調(diào)節(jié)時(shí)間ts和超調(diào)量 。如果將放大器增益增大到KA=1500或減小到KA=13.5，那么對(duì)響應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能有何影響？ 解：由于系統(tǒng)是單位負(fù)反饋，所以閉環(huán)傳遞函數(shù)對(duì)照標(biāo)準(zhǔn)形式 當(dāng)KA=200時(shí)，得到得到故峰值時(shí)間 調(diào)節(jié)時(shí)間 超調(diào)量 如果KA增大到KA=1500，同樣可計(jì)算出 則 當(dāng)KA減小到13.5時(shí)，可以算出 系統(tǒng)成為過(guò)阻尼二階系統(tǒng)，峰值和超調(diào)量不復(fù)存在，而調(diào)節(jié)時(shí)間ts等效為大時(shí)間常數(shù)T1的一階系統(tǒng)來(lái)計(jì)算，得到的值為不同KA時(shí)的階

10、躍響應(yīng)曲線 （a）原系統(tǒng)（b）增加速度負(fù)反饋（c）增加一階微分環(huán)節(jié)四、二階系統(tǒng)響應(yīng)性能的改善措施例題解析3.4 高階系統(tǒng)分析 （一）高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：不妨只考慮互異的極點(diǎn)的情況：高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：上式表明，（1）高階系統(tǒng)單位階躍函數(shù)的響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)值和一系列的衰減指數(shù)曲線及衰減振蕩指數(shù)曲線組成。（2）各指數(shù)項(xiàng)衰減的快慢取決于si和kk，即取決于特征根到虛軸的距離。離虛軸越遠(yuǎn)衰減的越快。（3）各指數(shù)項(xiàng)的幅值/系數(shù)(Ai、Bk)跟閉環(huán)零極點(diǎn)有關(guān)。（3）各指數(shù)項(xiàng)的系數(shù)(AiBk)與零極點(diǎn)分布間的關(guān)系：若極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，則相應(yīng)系數(shù)很小；若某極點(diǎn)接近一零點(diǎn)，而又遠(yuǎn)離其他極點(diǎn)和零點(diǎn)，則相應(yīng)系數(shù)也很小

11、；若某極點(diǎn)遠(yuǎn)離零點(diǎn)又接近原點(diǎn)或其他極點(diǎn)，則相應(yīng)系數(shù)就比較大；系數(shù)大而衰減慢的這些項(xiàng)將在動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程中起主要作用。主導(dǎo)極點(diǎn)系統(tǒng)有一個(gè)極點(diǎn)（一對(duì)復(fù)極點(diǎn)）離虛軸最近（且附近無(wú)零點(diǎn)存在），而其他極點(diǎn)與虛軸的距離是其距虛軸距離的五倍以上，則可近似認(rèn)為，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性由這個(gè)（這對(duì)）極點(diǎn)決定，其他極點(diǎn)引起的瞬態(tài)分量可忽略不計(jì)。則這個(gè)（這對(duì)）極點(diǎn)就稱為高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。高階系統(tǒng)可利用主導(dǎo)極點(diǎn)降階為一階/二階系統(tǒng)來(lái)近似估算其性能指標(biāo)。偶極子距離很近的零極點(diǎn)其對(duì)系統(tǒng)的影響可忽略不計(jì)，這樣的一對(duì)零極點(diǎn)被稱為偶極子。例如某系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：其單位階躍響應(yīng)為：S2,3就是該系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)，對(duì)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)過(guò)程其主要

12、作用。S1為非主導(dǎo)極點(diǎn)。模值之比（到原點(diǎn)的距離之比）： 二階系統(tǒng)三階系統(tǒng)作業(yè)P1023.2/3.33.5 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 一、穩(wěn)定性的定義 如果系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消失后經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間系統(tǒng)能重新恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，則系統(tǒng)具有不穩(wěn)定性。 穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種固有特性，它只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與初始條件及外作用無(wú)關(guān)。二、穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)條件 （簡(jiǎn)化處理） 設(shè)系統(tǒng)處于全零平衡狀態(tài)，特征根均為不同實(shí)根，現(xiàn)選單位脈沖信號(hào)作為輸入信號(hào)，則系統(tǒng)輸出響可寫(xiě)成：即單位脈沖響應(yīng)為：系統(tǒng)穩(wěn)定具有負(fù)實(shí)部系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：系統(tǒng)特征根（即閉環(huán)極點(diǎn)）都具有負(fù)實(shí)部，或者說(shuō)

13、特征根都嚴(yán)格位于s左半平面（虛軸左方）。二階系統(tǒng)： 當(dāng)均大于零時(shí)，均有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)穩(wěn)定。穩(wěn)定的充要條件（續(xù)）一階系統(tǒng)：當(dāng)同號(hào)，特征根為負(fù)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。高階系統(tǒng)的穩(wěn)定性需借助于代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)。由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知：3勞思(Routh)判據(jù) 若系統(tǒng)的特征方程為 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：勞思表中第一列所有元素均大于零，如果第一列出現(xiàn)小于零的元素，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。并且第一列中數(shù)值符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程正實(shí)部根的數(shù)目。三、代數(shù)判據(jù) 例 已知系統(tǒng)的特征方程為試用勞思判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定正實(shí)部根的數(shù)目。解：根據(jù)特征方程的系數(shù)列出勞思表：第一列元素不同號(hào)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。第一列中數(shù)值符

14、號(hào)改變兩次，所以有兩個(gè)正實(shí)部的根。 0.2878 + 1.4161i 0.2878 - 1.4161i -1.2878 + 0.8579i -1.2878 - 0.8579i例如特征方程為列寫(xiě)勞思表： 用正數(shù)代替第三行第一列的0元素，繼續(xù)計(jì)算勞思表。令0研究勞思表的第一列元素符號(hào)。第一列元素符號(hào): 改變兩次，系統(tǒng)不穩(wěn)定 。出現(xiàn)這種情況系統(tǒng)肯定不會(huì)是穩(wěn)定的，當(dāng)?shù)谝涣性責(zé)o符號(hào)改變，表明系統(tǒng)有一對(duì)純虛根；有符號(hào)改變時(shí)，表明系統(tǒng)有s右平面的根。0.7207 + 1.1656i0.7207 - 1.1656i-0.6018 + 1.3375i-0.6018 - 1.3375i-1.23784勞思穩(wěn)定判

15、據(jù)的特殊情況 已知一系統(tǒng)的特征方程為 列寫(xiě)勞思表： s1行全為零。由s2行系數(shù)構(gòu)造輔助方程 F(s)=21s2+63=0 求導(dǎo)得用方程代替原來(lái)表中的零行，再繼續(xù)計(jì)算。 勞思表第一列有兩次符號(hào)變化，因此有兩個(gè)實(shí)部為正的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 -3.0000 1.0000 + 2.4495i1.0000 - 2.4495i0.0000 + 1.7321i0.0000 - 1.7321i例 單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 試求增益K的穩(wěn)定域。 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程 解： 即 列勞斯表如下： 所以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，增益的穩(wěn)定域?yàn)?0K0，則40K-270，得 K0.675 a1a2-a0a30，則1115-(40K

16、-27)0 ,得 K4.8所以滿足要求的K值范圍為 0.675K4.8顯然，比系統(tǒng)原來(lái)的穩(wěn)定域0K0。 (2) 由得 K6 所以穩(wěn)定性條件為0K6 第二步，求E(s)。 由穩(wěn)定性判據(jù) E(s)輸入信號(hào)r(t)=t，所以 則 第三步，用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差ess。 (0K6)例3-10 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示。當(dāng)輸入信號(hào)r(t)=1(t)，干擾n(t)=1(t)時(shí)，求系統(tǒng)總的誤差ess。 解： 第一步，判別穩(wěn)定性。 系統(tǒng)特征方程為：只要參數(shù)K1、K2大于零，系統(tǒng)就穩(wěn)定。 在r(t)=1(t)，n(t)=1(t)的共同作用下，系統(tǒng)總的誤差信號(hào)為 第二步，求E(s)。 R(s)對(duì)應(yīng)的誤差閉環(huán)傳函為：N(s

17、)對(duì)應(yīng)的誤差閉環(huán)傳函為：第三步，應(yīng)用終值定理計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差ess。 三、輸入信號(hào)r(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系 當(dāng)只有輸入作用時(shí)，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為 系統(tǒng)的誤差信號(hào)為 將G(s)H(s)寫(xiě)成典型環(huán)節(jié)串聯(lián)形式 式中K為開(kāi)環(huán)增益；為積分環(huán)節(jié)數(shù)目。 則穩(wěn)態(tài)誤差信號(hào)為 系統(tǒng)根據(jù)開(kāi)環(huán)傳函含有積分環(huán)節(jié)的數(shù)目v定義系統(tǒng)的型別。v=0稱為0型系統(tǒng)，v=1稱為I型系統(tǒng)，則 由于G(s)H(s)當(dāng)s趨于零時(shí)的極限為K/s ，所以 上式表明：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess除了與外作用R(s)有關(guān)外，還與系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益K和積分環(huán)節(jié)數(shù)目（系統(tǒng)型別）有關(guān)。 下面分別討論不同輸入信號(hào)r(t)作用下，穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系。

18、1當(dāng)輸入信號(hào)為階躍作用r(t)=r01(t)時(shí)，（r0為表示階躍量大小的常數(shù)），則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為：令則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為：Kp被稱為系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)。對(duì)一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)，在求給定輸入為階躍信號(hào)時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)，可用上述兩個(gè)公式直接求解。2當(dāng)輸入信號(hào)為斜坡作用r(t)=0t1(t)時(shí)，（ 0表示輸入信號(hào)的速度），則 穩(wěn)態(tài)誤差令則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為：3.當(dāng)輸入信號(hào)為等加速度作用r(t)=a0t2/2 1(t)時(shí)，(a 0為加速度)，則 穩(wěn)態(tài)誤差令則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為：典型輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 系統(tǒng)型別 靜態(tài)誤差系數(shù) 階躍輸入 斜坡輸入 加速度輸入 KpKKa1.系統(tǒng)的型別越高，跟蹤典型輸入信號(hào)的無(wú)差能力越強(qiáng)。2.Kp，Kv，Ka的取值只有三種：0，和K。3.Kp，Kv，Ka越大，ess越小，故Kp，Kv，Ka可以表征系統(tǒng)的控制精度。4.ess的取值也只有三種：，0和有限值。5.提高控制精度的方法：增加K或v。例3-11 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示。已知輸入信號(hào)r(t)=