高等數(shù)學(xué)下 第八單元通用PPT課件

1、高等數(shù)學(xué)下 第八單元 第八章 第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念 一、 區(qū)域1. 鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn) P0 的鄰域.在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 ,也可寫(xiě)成點(diǎn) P0 的去心鄰域記為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 區(qū)域(1) 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn) P : 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E = , 若對(duì)點(diǎn) P 的任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點(diǎn)也含 E則稱 P 為 E 的內(nèi)點(diǎn)；則稱 P 為 E 的外

2、點(diǎn) ;則稱 P 為 E 的邊界點(diǎn) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的外點(diǎn) ,顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E , E 的外點(diǎn)必不屬于 E , E 的邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于 E . D(2) 開(kāi)區(qū)域及閉區(qū)域 若點(diǎn)集 E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱 E 為開(kāi)集； 若點(diǎn)集 E E , 則稱 E 為閉集； 若集 D 中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱 D 是連通的 ; 連通的開(kāi)集稱為開(kāi)區(qū)域 ,簡(jiǎn)稱區(qū)域 ;機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 。 。 E 的邊界點(diǎn)的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;例如，在平面上開(kāi)區(qū)域閉區(qū)域機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

3、返回 結(jié)束 3. n 維空間n 元有序數(shù)組的全體稱為 n 維空間,n 維空間中的每一個(gè)元素稱為空間中的記作即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一個(gè)點(diǎn). 二、多元函數(shù)的概念 引例: 圓柱體的體積 三角形面積的海倫公式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義1. 設(shè)非空點(diǎn)集點(diǎn)集 D 稱為函數(shù)的定義域 ; 數(shù)集稱為函數(shù)的值域 .特別地 , 當(dāng) n = 2 時(shí), 有二元函數(shù)當(dāng) n = 3 時(shí), 有三元函數(shù)映射稱為定義在 D 上的 n 元函數(shù) , 記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例如, 二元函數(shù)定義域?yàn)閳A域說(shuō)明: 二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面

4、.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的圖形一般為空間曲面 .三元函數(shù) 定義域?yàn)閳D形為空間中的超曲面.單位閉球.三、多元函數(shù)的極限定義2. 設(shè) n 元函數(shù)點(diǎn) ,則稱 A 為函數(shù)(也稱為 n 重極限)當(dāng) n =2 時(shí), 記二元函數(shù)的極限可寫(xiě)作：P0 是 D 的聚若存在常數(shù) A ,對(duì)一記作都有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)任意正數(shù) , 總存在正數(shù) ,切例1. 設(shè)求證：證:故總有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 要證 若當(dāng)點(diǎn)趨于不同值或有的極限不存在，解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點(diǎn) (0, 0) ,在點(diǎn) (0, 0) 的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k 值不同極限

5、不同 !在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在 .以不同方式趨于不存在 .例3. 討論函數(shù)函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、 多元函數(shù)的連續(xù)性 定義3 . 設(shè) n 元函數(shù)定義在 D 上,如果存在否則稱為不連續(xù),此時(shí)稱為間斷點(diǎn) .則稱 n 元函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 連續(xù), 連續(xù)的等價(jià)定義：例如, 函數(shù)在點(diǎn)(0 , 0) 極限不存在, 又如, 上間斷. 故 ( 0, 0 )為其間斷點(diǎn).在圓周機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).函數(shù)如果函數(shù)在 D 上各點(diǎn)處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上連續(xù).定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則機(jī)

6、動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 對(duì)任意(有界性定理) (最值定理) (介值定理) 閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):解: 原式例2.求例3. 求函數(shù)的連續(xù)域.解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)1. 區(qū)域 鄰域 : 區(qū)域連通的開(kāi)集 2. 多元函數(shù)概念n 元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 有3. 多元函數(shù)的極限4. 多元函數(shù)的連續(xù)性1) 函數(shù)2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

7、返回 結(jié)束 作業(yè)P51 2 (4), (5); 3 6 (2), (4)第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、 偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算二 、高階偏導(dǎo)數(shù) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分 第八章 三 、全微分 定義1.在點(diǎn)存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注意:一、 偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法同樣可定義對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點(diǎn) ( x , y ) 處對(duì) x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù) ,記為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 或 y 偏導(dǎo)數(shù)存在 ,例如, 三元函

8、數(shù) u = f (x , y , z) 在點(diǎn) (x , y , z) 處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)定義為(請(qǐng)自己寫(xiě)出)二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點(diǎn) M0 處的切線對(duì) x 軸的斜率.在點(diǎn)M0 處的切線斜率.是曲線機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì) y 軸的函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如,注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù).上節(jié)例 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在上節(jié)已證 f (x , y) 在點(diǎn)(0 , 0)并不連續(xù)!同理注意：函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù),但偏導(dǎo)數(shù)不一定存在.例如,上節(jié)例 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 f (x , y)

9、 在點(diǎn)(0 , 0)偏導(dǎo)數(shù)不存在!幾何上表示圓錐面，是其尖點(diǎn).顯然點(diǎn)是連續(xù)的，在不存在不存在事實(shí)上,例1 . 求解法1:解法2:在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例2. 設(shè)證:求證機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)例3. 已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說(shuō)明:(R 為常數(shù)) , 不能看作分子與分母的商 !此例表明,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整體記號(hào),二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z = f ( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù) .按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個(gè)

10、二階偏導(dǎo)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 數(shù):例4. 求函數(shù)解 :注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的二階偏導(dǎo)數(shù).例如,二者不等機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則證明 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理1.例如, 對(duì)三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,說(shuō)明:本定理對(duì) n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)時(shí), 有而初等(證明略) 三、全微分定義: 如果函數(shù) z = f ( x, y )在

11、定義域 D 的內(nèi)點(diǎn)( x , y )可表示成其中 A , B 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關(guān)，稱為函數(shù)在點(diǎn) (x, y) 的全微分, 記作若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點(diǎn)( x, y) 可微，機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 處全增量則稱此函數(shù)在D 內(nèi)可微.(2) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1) 函數(shù)可微函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) (x, y) 可微由微分定義 :得函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)可微 即定理2.(必要條件)若函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)(x, y)

12、 可微 ,則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證: 由全增量公式必存在,且有得到對(duì) x 的偏增量因此有 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 反例: 函數(shù)易知 但因此,函數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不可微 .注意: 定理2 的逆定理不成立 .偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微 !即:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理3 (充分條件)證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 所以函數(shù)在點(diǎn)可微.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注意到, 故有推廣: 類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問(wèn)題.例如, 三元函數(shù)習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,記作故有下述疊加原理稱為偏微分.的全微分為于是機(jī)

13、動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例5. 計(jì)算函數(shù)在點(diǎn) (2,1) 處的全微分. 解:例6. 計(jì)算函數(shù)的全微分. 解: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 可知當(dāng)全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用近似計(jì)算由全微分定義較小時(shí),及有近似等式:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (可用于近似計(jì)算; 誤差分析) (可用于近似計(jì)算) 半徑由 20cm 增大解: 已知即受壓后圓柱體體積減少了 例7. 有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到 20.05cm , 則 高度由100cm 減少到 99cm ,體積的近似改變量. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 求此圓柱體例8.計(jì)算的近似值. 解: 設(shè),則取則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

14、 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)1. 偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論 定義; 記號(hào); 幾何意義 函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù) 混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)2. 偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法 求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義 求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)時(shí), 應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 微分定義:4. 重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 5. 微分應(yīng)用 近似計(jì)算機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè) P55 1 (2) , (4)，(5) ; 2 ; 4 ; 9第三節(jié)本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)微分法二、多元隱函

15、數(shù)微分法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元復(fù)合函數(shù) 第八章 和隱函數(shù)的微分法一、多元復(fù)合函數(shù)微分法定理. 若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù), 在點(diǎn) t 可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)證: (略)且有鏈?zhǔn)椒▌t機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( 全導(dǎo)數(shù)公式 )若定理中 說(shuō)明: 例如:易知:但復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)減弱為偏導(dǎo)數(shù)存在, 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則定理結(jié)論不一定成立.（定義求）（定義求）推廣:1) 中間變量多于兩個(gè)的情形. 例如,設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微 .2) 中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 又如,當(dāng)它們都具有可微條件時(shí), 有注意:這里表示固定 y 對(duì) x 求

16、導(dǎo),表示固定 v 對(duì) x 求導(dǎo)與不同,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例1. 設(shè)解法1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例1. 設(shè)解法2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例2.解法1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例2.解法2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 為簡(jiǎn)便起見(jiàn) , 引入記號(hào)例3. 設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解: 令則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、多元隱函數(shù)微分法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 兩邊對(duì) x 求導(dǎo)當(dāng)則1、例4. 已知可確定隱函數(shù)解: 令則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 求兩邊對(duì) x 求導(dǎo)另一求法 利用等式兩邊直接求導(dǎo)法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)

17、下頁(yè) 返回 結(jié)束 同理再求導(dǎo)，得兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)同樣可得則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2、當(dāng)例5. 設(shè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解法1 利用公式法設(shè)則兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解法2 利用等式兩邊直接求導(dǎo)法同理再對(duì) x 求偏導(dǎo)，得例5. 設(shè)內(nèi)容小結(jié)1. 多元復(fù)合函數(shù)微分法例如,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 多元隱函數(shù)微分法方法1. 方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)法(復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法);方法2. 隱函數(shù)求導(dǎo)公式法.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè) P59 1 (1), (4)； 6 (1) ， 8第四節(jié)復(fù)習(xí) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、空

18、間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 第八章 復(fù)習(xí): 平面曲線的切線與法線已知平面光滑曲線切線方程法線方程在點(diǎn)有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、空間曲線的切線與法平面過(guò)點(diǎn) M 與切線垂直的平面稱為曲線在該點(diǎn)的法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 位置.空間光滑曲線在點(diǎn) M 處的切線為此點(diǎn)處割線的極限平面.1. 曲線方程為參數(shù)方程的情況切線方程機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 此處要求也是法平面的法向量,切線的方向向量:稱為曲線的切向量 .如個(gè)別為0, 則理解為分子為 0 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 不全為0, 因此得法平面方程 例1.求圓柱螺

19、旋線 對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和法平面方程.切線方程法平面方程即即解: 由于對(duì)應(yīng)的切向量為在機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 , 故2. 曲線為一般式的情況光滑曲線當(dāng)曲線上一點(diǎn), 且有時(shí), 可表示為處的切向量為 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 法平面方程機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則在點(diǎn)切線方程有例2. 求曲線在點(diǎn)M ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得曲線在點(diǎn) M(1,2, 1) 處有:切向量得解:切線方程即法平面方程即點(diǎn) M (1,2, 1) 處的切向量機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、曲面的切平面與

20、法線 設(shè) 有光滑曲面通過(guò)其上定點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn) M,切線方程為不全為0 . 則 在且點(diǎn) M 的切向量為任意引一條光滑曲線下面證明:此平面稱為 在該點(diǎn)的切平面.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 上過(guò)點(diǎn) M 的任何曲線在該點(diǎn)的切線都在同一平面上. 證:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在 上,得令由于曲線 的任意性 , 表明這些切線都在以為法向量的平面上 ,從而切平面存在 .曲面 在點(diǎn) M 的法向量法線方程切平面方程復(fù)習(xí) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 曲面時(shí), 則在點(diǎn)故當(dāng)函數(shù) 法線方程令特別, 當(dāng)光滑曲面 的方程為顯式 在點(diǎn)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí), 切平面方程機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例3. 求球面

21、在點(diǎn)(1 , 2 , 3) 處的切平面及法線方程. 解:所以球面在點(diǎn) (1 , 2 , 3) 處有:切平面方程 即法線方程法向量令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例4. 確定正數(shù) 使曲面在點(diǎn)解: 二曲面在 M 點(diǎn)的法向量分別為二曲面在點(diǎn) M 相切, 故又點(diǎn) M 在球面上,于是有相切.與球面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 , 因此有1. 空間曲線的切線與法平面 切線方程法平面方程1) 參數(shù)式情況.空間光滑曲線切向量?jī)?nèi)容小結(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 空間光滑曲線切向量2) 一般式情況.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 法平面方程切線方程空間光滑曲面曲面 在點(diǎn)法線方程1) 隱式情

22、況 .的法向量切平面方程2. 曲面的切平面與法線機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 空間光滑曲面切平面方程法線方程法向量機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2）顯式情況.思考與練習(xí)1. 如果平面與橢球面相切,提示: 設(shè)切點(diǎn)為則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (二法向量平行) (切點(diǎn)在平面上)(切點(diǎn)在橢球面上)證明 曲面上任一點(diǎn)處的切平面都通過(guò)原點(diǎn).提示: 在曲面上任意取一點(diǎn)則通過(guò)此 作業(yè) P67 2，3，5, 82. 設(shè) f ( u ) 可微,第七節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明原點(diǎn)坐標(biāo)滿足上述方程 .點(diǎn)的切平面為第五節(jié)一、方向?qū)?shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、梯度 方向

23、導(dǎo)數(shù)與梯度 第八章 一、方向?qū)?shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)點(diǎn)的某鄰域有定義，則射線的參數(shù)方程為為始點(diǎn)的一條射線，為以同方向的單位向量，是與令定義:則稱若下列極限存在: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 記作 為函數(shù)在點(diǎn) 處沿方向 l 的方向?qū)?shù).（) 當(dāng) l 與 x 軸同向 當(dāng) l 與 x 軸反向定理:在該點(diǎn)沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在 ,證明: 由函數(shù)且有得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 故若在點(diǎn)可微，則函數(shù)為 l 的方向角.其中在點(diǎn)可微，機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)于三元函數(shù)) 的方向?qū)?shù)為在點(diǎn)(方向角為沿方向 l( ）例1. 求函數(shù) 在點(diǎn) P(1, 1, 1

24、) 沿向量3) 的方向?qū)?shù) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解: 向量 l 的方向余弦為例2. 求函數(shù) 在點(diǎn)P(2, 3)沿曲線朝 x 增大方向的方向?qū)?shù).解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為它在點(diǎn) P 的切向量為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例3. 設(shè)是曲面在點(diǎn) P(1, 1, 1 )處指向外側(cè)的法向量,解: 方向余弦為而同理得方向的方向?qū)?shù).在點(diǎn)P 處沿求函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、梯度 方向?qū)?shù)公式令向量這說(shuō)明方向：f 變化率最大的方向模 : f 的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義即同樣可定義二元函數(shù)稱為函數(shù) f (P) 在點(diǎn)

25、 P 處的梯度記作(gradient),在點(diǎn)處的梯度 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 向量?jī)?nèi)容小結(jié)1. 方向?qū)?shù) 三元函數(shù) 在點(diǎn)沿方向 l (方向角的方向?qū)?shù)為 二元函數(shù) 在點(diǎn)的方向?qū)?shù)為沿方向 l (方向角為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 梯度 三元函數(shù) 在點(diǎn)處的梯度為 二元函數(shù) 在點(diǎn)處的梯度為3. 關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 可微機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P73 2，3，6 作業(yè)第八節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第八章 第六節(jié)一、二元函數(shù)的極值 二、最值應(yīng)用問(wèn)題三、條件極值機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二元函數(shù)的極值一、二元函數(shù)的極值 定義: 若函數(shù)則稱函

26、數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如 :在點(diǎn) (0,0) 有極小值;在點(diǎn) (0,0) 有極大值;在點(diǎn) (0,0) 無(wú)極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn) . 例如,定理1 (必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值 ,則有存在故機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 時(shí), 具有極值定理2 (充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令則: 1)

27、 當(dāng)A0 時(shí)取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)時(shí), 沒(méi)有極值.時(shí), 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例1.求函數(shù)解: 第一步 求駐點(diǎn).得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步 判別.在點(diǎn)(1,0) 處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在點(diǎn)(3,0) 處不是極值;在點(diǎn)(3,2) 處為極大值.在點(diǎn)(1,2) 處不是極值;機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn) ,在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.

28、因此為極小值.正負(fù)0在點(diǎn)(0,0)并且在 (0,0) 都有 可能為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、最值應(yīng)用問(wèn)題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn) 駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個(gè)極值點(diǎn)P 時(shí), 為極小 值為最小 值(大)(大)依據(jù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例3.解: 設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為 x , y m ,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長(zhǎng)方體水問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí), 才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為時(shí), 水箱所用材料最省.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例4. 有一寬為 24cm 的長(zhǎng)方形鐵板 ,把它折起來(lái)做成解: 設(shè)折起來(lái)的邊長(zhǎng)為 x cm,則斷面面積x24一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,積最大. 為問(wèn)怎樣折法才能使斷面面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 令解得:由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由式解出cos 代入三、條件極值極值問(wèn)題無(wú)條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法1 代入法.求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除