2022屆廣東省深圳市南山區(qū)南頭高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知，滿足，且的最大值是最小值的4倍，則的值是（ ）A4BCD2已知函數(shù)的圖象如圖所示，則可以為（ ）ABCD3圓柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） ABCD4已知函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則的取值范圍為

2、（ ）ABCD5若是定義域為的奇函數(shù)，且，則A的值域為B為周期函數(shù)，且6為其一個周期C的圖像關(guān)于對稱D函數(shù)的零點有無窮多個6某地區(qū)教育主管部門為了對該地區(qū)模擬考試成進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了200分到450分之間的2000名學(xué)生的成績，并根據(jù)這2000名學(xué)生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示，則成績在，內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為（ ）A800B1000C1200D16007已知等差數(shù)列中，則（）A10B16C20D248設(shè)i為數(shù)單位，為z的共軛復(fù)數(shù)，若，則（ ）ABCD9拋物線的焦點為，點是上一點，則（ ）ABCD10下列與函數(shù)定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是（ ）ABCD11某幾何體的三視圖如圖所示，圖中圓

3、的半徑為1，等腰三角形的腰長為3，則該幾何體表面積為（ ）ABCD12如圖所示，為了測量、兩座島嶼間的距離，小船從初始位置出發(fā)，已知在的北偏西的方向上，在的北偏東的方向上，現(xiàn)在船往東開2百海里到達(dá)處，此時測得在的北偏西的方向上，再開回處，由向西開百海里到達(dá)處，測得在的北偏東的方向上，則、兩座島嶼間的距離為（ ）A3BC4D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知，則展開式中的系數(shù)為_14已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值是_15在ABC中，BAC，AD為BAC的角平分線，且，若AB2，則BC_.16，則f（f（2）的值為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說

4、明、證明過程或演算步驟。17（12分）數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，為的前n項和，求證：.18（12分）已知.（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若時不等式成立，求的取值范圍.19（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知圓，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線平分圓M的周長.（1）求圓M的半徑和圓M的極坐標(biāo)方程；（2）過原點作兩條互相垂直的直線，其中與圓M交于O，A兩點，與圓M交于O，B兩點，求面積的最大值.20（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù))，以原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.()求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；(

5、)已知直線與曲線交于，兩點，與軸交于點，求.21（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線、交于、兩點，是曲線上的動點，求面積的最大值.22（10分）團(tuán)購已成為時下商家和顧客均非常青睞的一種省錢、高校的消費方式，不少商家同時加入多家團(tuán)購網(wǎng).現(xiàn)恰有三個團(tuán)購網(wǎng)站在市開展了團(tuán)購業(yè)務(wù)，市某調(diào)查公司為調(diào)查這三家團(tuán)購網(wǎng)站在本市的開展情況，從本市已加入了團(tuán)購網(wǎng)站的商家中隨機(jī)地抽取了50家進(jìn)行調(diào)查，他們加入這三家團(tuán)購網(wǎng)站的情況如下圖所示.（1）從所調(diào)查的50家商家中任選兩家，求他

6、們加入團(tuán)購網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率；（2）從所調(diào)查的50家商家中任取兩家，用表示這兩家商家參加的團(tuán)購網(wǎng)站數(shù)量之差的絕對值，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）將頻率視為概率，現(xiàn)從市隨機(jī)抽取3家已加入團(tuán)購網(wǎng)站的商家，記其中恰好加入了兩個團(tuán)購網(wǎng)站的商家數(shù)為，試求事件“”的概率.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】試題分析：先畫出可行域如圖：由，得，由，得，當(dāng)直線過點時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，最大值為3；當(dāng)直線過點時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，最小值為3a；由條件得，所以，故選D.考點：線性規(guī)劃.2A【解析】根據(jù)圖象可知，函

7、數(shù)為奇函數(shù)，以及函數(shù)在上單調(diào)遞增，且有一個零點，即可對選項逐個驗證即可得出【詳解】首先對4個選項進(jìn)行奇偶性判斷，可知，為偶函數(shù)，不符合題意，排除B；其次，在剩下的3個選項,對其在上的零點個數(shù)進(jìn)行判斷, 在上無零點, 不符合題意，排除D；然后,對剩下的2個選項,進(jìn)行單調(diào)性判斷, 在上單調(diào)遞減, 不符合題意，排除C.故選：A【點睛】本題主要考查圖象的識別和函數(shù)性質(zhì)的判斷，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于容易題3B【解析】三視圖對應(yīng)的幾何體為如圖所示的幾何體，利用割補法可求其體積.【詳解】根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示，它是一個圓柱截去上面一塊幾何體，把該幾何體補成如下圖所示的圓柱，其

8、體積為，故原幾何體的體積為. 故選：B.【點睛】本題考查三視圖以及不規(guī)則幾何體的體積，復(fù)原幾何體時注意三視圖中的點線關(guān)系與幾何體中的點、線、面的對應(yīng)關(guān)系，另外，不規(guī)則幾何體的體積可用割補法來求其體積，本題屬于基礎(chǔ)題.4A【解析】分析可得,顯然在上恒成立,只需討論時的情況即可,然后構(gòu)造函數(shù),結(jié)合的單調(diào)性,不等式等價于,進(jìn)而求得的取值范圍即可.【詳解】由題意,若,顯然不是恒大于零,故.,則在上恒成立;當(dāng)時,等價于,因為,所以.設(shè),由,顯然在上單調(diào)遞增,因為,所以等價于,即,則.設(shè),則.令,解得,易得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,從而，故.故選:A.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題,利用函數(shù)單調(diào)性是

9、解決本題的關(guān)鍵,考查了學(xué)生的推理能力,屬于基礎(chǔ)題.5D【解析】運用函數(shù)的奇偶性定義，周期性定義，根據(jù)表達(dá)式判斷即可.【詳解】是定義域為的奇函數(shù)，則，又，即是以4為周期的函數(shù)，所以函數(shù)的零點有無窮多個；因為，令，則，即，所以的圖象關(guān)于對稱，由題意無法求出的值域，所以本題答案為D.【點睛】本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，主要是抽象函數(shù)的性質(zhì)，運用數(shù)學(xué)式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.6B【解析】由圖可列方程算得a，然后求出成績在內(nèi)的頻率，最后根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)頻率可以求得成績在內(nèi)的學(xué)生人數(shù).【詳解】由頻率和為1，得，解得，所以成績在內(nèi)的頻率，所以成績在內(nèi)的學(xué)生人數(shù).故選：B【點睛】本題主要考查頻率直方圖的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)

10、題.7C【解析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到，再計算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中，故答案選C【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是數(shù)列的?？碱}型.8A【解析】由復(fù)數(shù)的除法求出，然后計算【詳解】，故選：A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除法運算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，掌握復(fù)數(shù)的運算法則是解題關(guān)鍵9B【解析】根據(jù)拋物線定義得，即可解得結(jié)果.【詳解】因為，所以.故選B【點睛】本題考查拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.10C【解析】分析函數(shù)的定義域和單調(diào)性，然后對選項逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性，由此確定正確選項.【詳解】函數(shù)的定義域為，在上為減函數(shù).A選項，的定義域為，在上為增函數(shù)，不符合.B選項，的定

11、義域為，不符合.C選項，的定義域為，在上為減函數(shù)，符合.D選項，的定義域為，不符合.故選：C【點睛】本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.11C【解析】幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，計算得到答案.【詳解】幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，故幾何體的表面積為.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.12B【解析】先根據(jù)角度分析出的大小，然后根據(jù)角度關(guān)系得到的長度，再根據(jù)正弦定理計算出的長度，最后利用余弦定理求解出的長度即可.【詳解】由題意可知：

12、，所以，所以，所以，又因為，所以，所以.故選：B.【點睛】本題考查解三角形中的角度問題，難度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答問題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。131【解析】由題意求定積分得到的值，再根據(jù)乘方的意義，排列組合數(shù)的計算公式，求出展開式中的系數(shù)【詳解】已知，則，它表示4個因式的乘積故其中有2個因式取，一個因式取，剩下的一個因式取1，可得的項故展開式中的系數(shù)故答案為：1【點睛】本題主要考查求定積分，乘方的意義，排列組合數(shù)的計算公式，屬于中檔題142【解析】由題，得，然后根據(jù)純虛數(shù)的定義，即可得到本題答案.【詳解】由題，得，又復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，

13、解得.故答案為：2【點睛】本題主要考查純虛數(shù)定義的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.15【解析】由，求出長度關(guān)系，利用角平分線以及面積關(guān)系，求出邊，再由余弦定理，即可求解.【詳解】,，.故答案為:.【點睛】本題考查共線向量的應(yīng)用、面積公式、余弦定理解三角形，考查計算求解能力，屬于中檔題.161【解析】先求f（1），再根據(jù)f（1）值所在區(qū)間求f（f（1）.【詳解】由題意，f（1）=log3（111）=1，故f（f（1）=f（1）=1e11=1，故答案為：1【點睛】本題考查分段函數(shù)求值，考查對應(yīng)性以及基本求解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）證明見解析【解析】（1）

14、利用與的關(guān)系即可求解. （2）利用裂項求和法即可求解.【詳解】解析：（1）當(dāng)時，；當(dāng)，可得，又當(dāng)時也成立，；（2），【點睛】本題主要考查了與的關(guān)系、裂項求和法，屬于基礎(chǔ)題.18（1）；（2）【解析】分析：(1)將代入函數(shù)解析式，求得，利用零點分段將解析式化為，然后利用分段函數(shù)，分情況討論求得不等式的解集為；(2)根據(jù)題中所給的，其中一個絕對值符號可以去掉，不等式可以化為時，分情況討論即可求得結(jié)果.詳解：（1）當(dāng)時，即故不等式的解集為（2）當(dāng)時成立等價于當(dāng)時成立若，則當(dāng)時；若，的解集為，所以，故綜上，的取值范圍為點睛：該題考查的是有關(guān)絕對值不等式的解法，以及含參的絕對值的式子在某個區(qū)間上恒成立求

15、參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，需要會用零點分段法將其化為分段函數(shù)，從而將不等式轉(zhuǎn)化為多個不等式組來解決，關(guān)于第二問求參數(shù)的取值范圍時，可以應(yīng)用題中所給的自變量的范圍，去掉一個絕對值符號，之后進(jìn)行分類討論，求得結(jié)果.19（1）， （2）【解析】先求出，再求圓的半徑和極坐標(biāo)方程；（2）設(shè) 求出,再求出得解.【詳解】（1）將化成直角坐標(biāo)方程，得 則，故，則圓 ，即，所以圓M的半徑為.將圓M的方程化成極坐標(biāo)方程，得.即圓M的極坐標(biāo)方程為. （2）設(shè)，則,用代替.可得,【點睛】本題主要考查直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化，考查極徑的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.20（1）(x1)2y24,直

16、線l的直角坐標(biāo)方程為xy20；（2）3.【解析】(1)消參得到曲線的普通方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程的互化公式求得直線的直角坐標(biāo)方程；(2)先得到直線的參數(shù)方程，將直線的參數(shù)方程代入到圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.【詳解】(1)由曲線C的參數(shù)方程 (為參數(shù)) (為參數(shù))，兩式平方相加，得曲線C的普通方程為(x1)2y24；由直線l的極坐標(biāo)方程可得coscossinsincossin2，即直線l的直角坐標(biāo)方程為xy20.(2)由題意可得P(2，0)，則直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則|PA|PB|t1|t2

17、|，將 (t為參數(shù))代入(x1)2y24，得t2t30，則0，由韋達(dá)定理可得t1t23，所以|PA|PB|3|3.21（1），；（2）.【解析】（1）在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù)，可得出曲線的普通方程，將曲線的極坐標(biāo)方程變形為，進(jìn)而可得出曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）求出點到直線的最大距離，以及直線截圓所得弦長，利用三角形的面積公式可求得面積的最大值.【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程得，.所以，曲線的普通方程為，將曲線的極坐標(biāo)方程變形為，所以，曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）曲線是圓心為，半徑為為圓，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的最大距離為，因此，的面積為最大值為.【點睛】本題考查曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的相互轉(zhuǎn)換，同時也考查了直線截圓所形成的三角形面積最