[初中課件]一道課本習題的探究

1、一道課本習題 的拓展探究一 習題來源如圖，ABAC于點B，CDBD于點D，P是BD上一點，且AP=PC，APPC，則ABPPDC。請說明理由。 浙教版八年級數(shù)學(上冊直角三角形全等的判定課后作業(yè)題第2題(第47頁) ： 已知條件：1、一組邊相等（AP=PC）2、三個角相等（ABP=APC=PDC=90） A+1= 901+2= 902+C=9012A=2,C=1結論：ABPPDC基本圖形的構造與應用條件、結論的互逆變換基本圖形的變化拓展結論的延伸與拓展條件的弱化問題演變?nèi)鐖D，ABAC于點B，CDBD于點D，P是BD上一點，且AP=PC，APPC，則ABPPDC。請說明理由。一、結論的延伸與拓展

2、觀察圖形猜想AB、BD、CD之間的關系，并證明你的猜想。 例1、已知A、D是一段圓弧上的兩點，且在直線L的同側，分別過這兩點作L的垂線，垂足為B、C，E是BC上一動點，連結AD、AE、DE，且AED=90。如圖，若點E恰為這段圓弧的圓心，則線段AB、BC、CD之間有怎樣的等量關系？請寫出你的結論并予以證明。再探究：當A、D分別在直線L兩側且ABCD，而其余條件不變時，線段AB、BC、CD之間又有怎樣的等量關系？請直接寫出結論，不必證明。（1）經(jīng)歷觀察猜想到驗證的解決問題方法；培養(yǎng)學生探究能力與解決問題的能力。 （2）讓題設條件與圖形“動”起來，克服思維定勢和圖形位置定勢，使學生習慣于“開放”與

3、“探究”的思維。 E 例2、如圖，在筆直的公路L的同側有A、B兩個村莊，已知A、B丙村分別到公路的距離AC=3km，BD=4km?，F(xiàn)要在公路上建一個汽車站P，使該車站到A、B兩村的距離相等，（1）試用直尺和圓規(guī)在圖中作出點P；（2）若連接AP、BP，測得APB=90，求A村到車站的距離。CDABLP添加應用背景一、結論的延伸與拓展?jié)B透數(shù)形結合思想、培養(yǎng)應用數(shù)學知識解決問題的能力 。二、條件和結論的互逆變換 例3、兩個全等的含30、60角的三角板DEA和三角板ACB如圖所示放置，E，A，C三點在一條直線上，連結BD，取的BD中點M，連結EM，EC，試判斷的CME形狀，并說明理由培養(yǎng)思維的靈活性。

4、 如圖，ABAC于點B，CDBD于點D，P是BD上一點，且AP=PC，APPC，則ABPPDC。請說明理由。 三、弱化條件 弱化條件“線段相等”則結論由三角形的全等弱化為三角形相似。演變命題1 當一個命題成立的條件較為豐富時，可考慮減少其中一兩個條件，或?qū)⑵渲幸粌蓚€條件一般化，并確定相應的命題結論，從而加工概括成新的命題以求拓展應用。例4、如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點A在x軸上，點C在y軸上，將邊BC折疊，使點B落在邊OA的點D處已知折痕 ，且 (1)判斷OCD與ADE是否相似？請說明理由；(2)求直線CE與x軸交點P的坐標；P6X8X3X4X10X5X5X如圖

5、， ABC和CDE中，點D在邊BC的延長線上，AC=CE，ACE=B=D，則ABCCDE 。 弱化條件“直角”，則“全等三角形”結論仍然成立。演變命題2 =90三、弱化條件例5、ABC為等邊三角形，點D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且DEF也為等邊三角形。（1）在圖中找到除等邊三角形邊長相等的線段，證明你的結論。（2）你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變換相互得到？寫出變換過程。 如圖， ABC和CDE中，點D在邊BC的延長線上，AC=CE，ACE=B=D，則ABCCDE 。 三、弱化條件 同時弱化條件“線段相等”、“直角”，則結論由三角形的全等弱化為三角形相似。演變命題3 =90 例6

6、、 如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC=AD=6，ABC60，點E，F(xiàn)分別在線段AD、DC上（點E與點A、D不重合），且BEF120，設AE=x，DF=y（1）求y與x的函數(shù)解析式（2）當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？充分運用數(shù)形結合和建立函數(shù)模型求最值問題ACE=B=D=90 ABPPDCAP=CP B=APC=D ABPPDCACE=B=DAP=CP B=APC=D=90 ABPPDCABPPDC無論如何變換，本質(zhì)是三個角相等，應用三角形相似（全等）來解決。四、圖形的變化拓展從圖形運動中找出規(guī)律，轉(zhuǎn)化為一般的幾何證明問題，探究解決新問題的策略。平移平移旋轉(zhuǎn)軸對稱ABCD

7、EFG3.在正方形ABCD中，E,F分別是DC,BC邊上的點，且BF=CE,連接BE,AF相交于點G,下列結論不正確的是( ) A、 BE=AF B 、 DAF= BEC C、AFB+ BEC=90 D、 AFBCABCDEH4.在ABC中,高AD,BE相交于點H,且BH=AC,則ABC=例4、 某課外學習小組在一次學習研討中，得到了如下兩個命題：1、如圖（1），在等邊ABC中，M，N分別是AC，AB上的點，BM與CN相交于點O，若BON=60，則BM=CN；2、如圖（2），在正方形ABCD中，M，N分別是CD，AD上的點，BM與CN相交與點O，BON=90，則BM=CN；3、如圖（3），在正

8、五邊行ABCDE中，M，N分別是CD，DE上的點，BM與CN相交于點O，若BON=108，則BM=CN。 任務要求1、請你從1，2，3 三個命題中選擇一個進行證明；2、請你繼續(xù)完成下面的探索； 試在圖（3）中畫出一條與CD相等的線段DH，使點H在正五邊行的邊上，且與CN相交所成的角是108 ，這樣的線段有幾條？如圖（4），在正五邊行ABCDE中。M，N分別是DE，EA上的點，BM與CN相交于點O，若BON=108， 請問結論BM=CN是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，試說明。五、基本圖形的構造 幾何綜合性問題通常是由若干個基本問題組合而成，其圖形也是由若干個基本圖形組合而成，因而，學生

9、不僅要具備必需的圖形的分解能力，同時，還應具備必需的輔助線構造基本圖形的技能。 五、基本圖形的構造例7、如圖21，MON=90，MON的內(nèi)部有一個正方形AOCD，點A，C分別在射線OM，ON上，點B在ON上的任意一點，在MON的內(nèi)部作正方形AB1C1D1。連接DD1，求證： ADD1=90連接CC1，猜一猜，C1CN的度數(shù)？并證明你的結論。ON上任取一點B2，以AB2為邊。在MON的內(nèi)部作出正方形AB2C2D2，觀察圖形，并結合（1），（2）的結論，請你再作出一個合理的判斷。D添加輔助線構造基本圖形來解決問題的能力HI例8、已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3分別以OB,OA所在直線為x

10、軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系F是邊BC上的一個動點（不與B,C重合），過F點的反比例函數(shù) 的圖象與AC邊交于點E請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點F，使得將CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB上？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由（ ,3）(4, )3（1）添加直角坐標系，與函數(shù)結合，是一道代數(shù)與幾何的綜合題，考查相似三角形、圖形與坐標、函數(shù)等知識； （2）培養(yǎng)學生綜合分析問題能力、處理實際問題能力和應變能力。 具有較強代表性和典型性的習題是數(shù)學問題的精華，教學不要忽視了這些小題，要善于“借題發(fā)揮”，進行一題多解，一題多變，多題組合，引導學生去探索數(shù)學問題的規(guī)律性和方法，以達到“做一

11、題、通一類、會一片”的教學效果，讓學生走出題海戰(zhàn)術，真正做到輕負高質(zhì)，這對激發(fā)學生學習的興趣，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，創(chuàng)新能力，數(shù)學素質(zhì)，都將起作積極的推動作用。三、感悟與反思浙教版八(下) 第18頁 作業(yè)題第5題從一張等腰直角三角形紙板中剪一個盡可能大的正方形，應怎樣剪？請畫圖說明你的剪法。如果這張紙板的斜邊長為30cm，能剪出的最大正方形的面積是多少cm2？題目來源原題：如圖，以正方形ABCD的一邊AD為邊在正方形外作等邊ADE，連接BE，則BED的度數(shù)為（ ） （A）30 （B）37.5 ( C) 45 (D) 50 浙教版八(下) 第158頁 目標與評定第9題【原題】已知：如圖在平行四邊

12、形ABCD中，ADC的平分線交AB于點E,DEA=680(1)求證： AD=AE(2)求平行四邊形ABCD各內(nèi)角的度數(shù)。浙教版八(下) 第127頁 目標與評定第7題如圖，一只箱子沿著斜面向上運動，箱高AB=1.2m.當BC=2.4m,點B離地面的距離，求此時點A離地面的距離（精確到）原題展示來源浙教版九上課本第117頁A組第2題EBDFAC代數(shù)的改編題變1：柯巖街道某服裝廠2009年1月份生產(chǎn)服裝5萬件,后來由于市場需求,這年第一季度共生產(chǎn)服裝萬件.求2、3月份的平均月增長率問題1：柯巖街道某服裝廠2009年1月份生產(chǎn)服裝5萬件,后來由于市場需求,3月份生產(chǎn)服裝萬件.求2、3月份的平均月增長率

13、。變2：柯巖街道某服裝廠2009年1月份生產(chǎn)服裝5萬件,后來由于市場需求, 3月份生產(chǎn)服裝達萬件.其中3月份月增長率是2月份的2倍.求2、3月份的月增長率分別是多少？問題1：柯巖街道某服裝廠2009年1月份生產(chǎn)服裝5萬件,后來由于市場需求,3月份生產(chǎn)服裝萬件.求2、3月份的平均月增長率。變3：柯巖街道某服裝廠生產(chǎn)的服裝原來每件售價96元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，現(xiàn)在每件售價54元，則平均每次降價的百分率是多少？ 柯巖街道某服裝廠有一個專賣店，將成本為40元的服裝按50元出售，能賣出500件，已知這種服裝每漲價1元，就會少銷售10件。為了賺得8000元的利潤，售價應定為多少？這時的銷量為多少件?變1

14、：（若要讓顧客獲得實惠）變2：（獲利不能超過50%） 服裝廠有一個專賣店，將成本為40元的服裝按50元出售，能賣出500件，已知這種服裝每漲價1元，就會少銷售10件。為了賺得8000元的利潤，售價應定為多少？這時的銷量為多少件?變3：把“每漲價1元，就會少銷售10件” 改為“每漲價2元，就會少銷售10件”變4：把“每漲價1元，就會少銷售10件” 改為“每漲價元，就會少銷售10件”（若要讓顧客獲得實惠） 服裝廠有一個專賣店，將成本為40元的服裝按50元出售，能賣出500件，已知這種服裝每漲價1元，就會少銷售10件。為了賺得8000元的利潤，售價應定為多少？這時的銷量為多少件? （若要讓顧客獲得實惠）變5：把“為了賺得8000元的利潤” 改為“為了賺得10000元的利潤”變6：把“為了賺得8000元的利