上海市松江區(qū)2022屆高三一模數(shù)學(xué)試卷

1、2021-2022學(xué)年上海市松江區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（一模）一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，712每題5分，共54分）1（4分）已知集合A1，2，3，4，5，Bx|2x60，則AB 2（4分）計算： 3（4分）已知復(fù)數(shù)z1+i（其中i是虛數(shù)單位），則z2+z 4（4分）關(guān)于x，y的方程組的增廣矩陣為 5（4分）二項式（x2+）5的展開式中含x4的項的系數(shù)是 （用數(shù)字作答）6（4分）若拋物線y24x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是 7（5分）已知圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，則這個圓錐的體積為 8（5分）第24屆冬奧會將于2022年2月4日20日在北京

2、張家口舉行，某大學(xué)從7名志愿者中選出4人分別從事對外聯(lián)絡(luò)、場館運行、文化展示、賽會綜合這四項服務(wù)中的某一項工作，則不同的選派方案共有 種9（5分）已知函數(shù)f（x）sinx+cosx（0），若f（x）f（）對任意的實數(shù)x都成立，則的最小值為 10（5分）已知a0，b0，且+，則2a+b的最小值為 11（5分）已知等差數(shù)列an的首項a12，且對任意m，nN*（mn），存在kN*，使得am+anak成立，則a1+a2+a3+a4+a5的最小值為 12（5分）已知函數(shù)f（x），若對任意的x12，+），都存在x22，1，使得f（x1）f（x2）a，則實數(shù)a的取值范圍為 二.選擇題（本大題共4題，每題5分

3、，共20分）13（5分）已知角的終邊經(jīng)過點P（3，4），將角的終邊繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則tan等于（）ABCD14（5分）某校有高一學(xué)生390人，高二學(xué)生360人，高三學(xué)生345人，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取部分學(xué)生作為樣本若從高二學(xué)生中抽取的人數(shù)為24人，則高一學(xué)生和高三學(xué)生應(yīng)抽取的人數(shù)分別為（）A高一學(xué)生26人、高三學(xué)生23人B高一學(xué)生28人、高三學(xué)生21人C高一學(xué)車多于24人、高三學(xué)生少于24人即可D高一、高三學(xué)生人數(shù)都不限15（5分）如圖，已知點A平面，點O，直線a，點P且PO，則“直線a直線OA”是“直線a直線PA”的（）A充分不必要條件B必要

4、不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件16（5分）已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，當(dāng)i1，1（i1，2，3，4，5）時，|1+2+3+4+5|的最大值為（）A6B12C18D三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18分）17（14分）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABBCBB12，ABBC，D為AB的中點（1）求異面直線BC1與DC所成角的大小（用反三角函數(shù)表示）；（2）求證：BC1平面A1CD18（14分）在ABC中，內(nèi)角A、B、C所對邊分別為a、b、c，已知csinCbsinBa（sinAsinB）（1）求角C的值；（2）若c3，求ABC周長的最大值19（

5、14分）以太陽能和風(fēng)能為代表的新能源發(fā)電具有取之不盡、零碳排放等優(yōu)點近年來我國新能源發(fā)電的裝機容量快速增長，學(xué)校新能源發(fā)電研究課題組的同學(xué)通過查閱相關(guān)資料，整理出20152020年全國各類發(fā)電裝機容量統(tǒng)計表（單位：萬萬千瓦）年份傳統(tǒng)能源發(fā)電新能源發(fā)電總裝機容量火力發(fā)電水力發(fā)電核能發(fā)電太陽能發(fā)電風(fēng)能發(fā)電201510.063.200.270.431.3115.27201610.603.320.340.761.4716.49201711.103.440.361.301.6417.84201811.443.530.451.741.8419.00201911.903.560.492.102.0520.1

6、0202012.453.700.502.532.8222.00請根據(jù)如表提供的數(shù)據(jù)，解決課題小組的兩個問題：（1）2015年至2020年期間，我國發(fā)電總裝機容量平均每年比上一年增加多少萬萬千瓦（精確到0.01）？同期新能源發(fā)電裝機容量的年平均增長率是多少（精確到0.1%）？（2）假設(shè)從2021年開始，我國發(fā)電總裝機容量平均每年比上一年增加2萬萬千瓦，新能源發(fā)電裝機容量的年平均增長率為20%，問從哪一年起，我國新能源發(fā)電裝機容量首次超過發(fā)電總裝機容量的60%？20（16分）已知雙曲線：1（a0，b0）的焦距為2，漸近線方程為yx（1）求雙曲線的方程；（2）若對任意的mR，直線ykx+m與雙曲線總

7、有公共點，求實數(shù)k的取值范圍；（3）若過點（1，0）的直線l與雙曲線交于M、N兩點，問在x軸上是否存在定點P，使得為常數(shù)？若存在，求出點P的坐標(biāo)及此常數(shù)的值，若不存在，請說明理由21（18分）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù)k和A，對任意的xR，都有|f（x）kx|A成立，則稱函數(shù)f（x）為“擬線性函數(shù)”，其中數(shù)組（k，A）稱為函數(shù)f（x）的擬合系數(shù)（1）數(shù)組（2，1）是否是函數(shù)g（x）的擬合系數(shù)？（2）判斷函數(shù)s（x）xsinx是否是“擬線性函數(shù)”，并說明理由；（3）若奇函數(shù)h（x）在區(qū)間0，p（p0）上單調(diào)遞增，且h（x）的圖像關(guān)于點（p，q）成中心對稱（其中p，q為常數(shù)），證明：

8、h（x）是“擬線性函數(shù)”2021-2022學(xué)年上海市松江區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（一模）參考答案與試題解析一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，712每題5分，共54分）1（4分）已知集合A1，2，3，4，5，Bx|2x60，則AB1，2【分析】先求出集合B，然后結(jié)合集合的交集運算即可求解【解答】解：A1，2，3，4，5，Bx|2x60 x|x3，則AB1，2故答案為：1，22（4分）計算：1【分析】，可求【解答】解：1故答案為：13（4分）已知復(fù)數(shù)z1+i（其中i是虛數(shù)單位），則z2+z1+3i【分析】把復(fù)數(shù)z1+i直接代入z2+z，然后利用復(fù)數(shù)的平方和加法運算求解【解答】解：由z1+

9、i，得z2+z（1+i）2+（1+i）1+2i+i2+1+i1+3i故答案為：1+3i4（4分）關(guān)于x，y的方程組的增廣矩陣為 【分析】直接由增廣矩陣的定義得答案【解答】解：由增廣矩陣的定義可知，關(guān)于x，y的方程組的增廣矩陣為，故答案為：5（4分）二項式（x2+）5的展開式中含x4的項的系數(shù)是 10（用數(shù)字作答）【分析】先求出二項式（x2+）5的展開式中通項公式，令x的系數(shù)等于4，求出r的值，即可求得展開式中含x4的項的系數(shù)【解答】解：二項式（x2+）5的展開式中通項公式為 Tr+1 x102r xrx103r令 103r4，可得 r2，展開式中含x4的項的系數(shù)是 10，故答案為106（4分）

10、若拋物線y24x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是 5【分析】由題意得到點P的橫坐標(biāo)，從而求出點P到拋物線準(zhǔn)線的距離，由拋物線的定義求解即可【解答】解：因為拋物線y24x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P的橫坐標(biāo)為4，又拋物線的準(zhǔn)線為x1，所以點P到拋物線準(zhǔn)線的距離為4+15，由拋物線的定義可知，點P到該拋物線焦點的距離是5故答案為：57（5分）已知圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，則這個圓錐的體積為 【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，高為h，利用軸截面，求出底面半徑和圓錐的高，由錐體的體積公式求解即可【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，高為h，因為圓錐的軸截

11、面是邊長為2的等邊三角形，所以r1，l2，h，則這個圓錐的體積為故答案為：8（5分）第24屆冬奧會將于2022年2月4日20日在北京張家口舉行，某大學(xué)從7名志愿者中選出4人分別從事對外聯(lián)絡(luò)、場館運行、文化展示、賽會綜合這四項服務(wù)中的某一項工作，則不同的選派方案共有 840種【分析】顯然，這是一個從7個不同元素中任意選出4個不同元素的排列數(shù)問題，結(jié)合公式容易求解【解答】解：由已知得：不同的選派方案共有840（種）故答案為：8409（5分）已知函數(shù)f（x）sinx+cosx（0），若f（x）f（）對任意的實數(shù)x都成立，則的最小值為 【分析】由已知條件可得， 是函數(shù)f（x）的最大值，再結(jié)合正弦函數(shù)的

12、性質(zhì)，即可求解【解答】解：f（x）sinx+cosx，f（x）f（）對任意的實數(shù)x都成立， 是函數(shù)f（x）的最大值，kZ，0，的最小值為故答案為：10（5分）已知a0，b0，且+，則2a+b的最小值為 8【分析】2a+b2a+4+b4（2a+4+b）（）4，展開后利用基本不等式即可求解【解答】解：因為a0，b0，且+，則2a+b2a+4+b4（2a+4+b）（）4（4+）448，當(dāng)且僅當(dāng)且+，即a1，b6時取等號，此時2a+b取得最小值8故答案為：811（5分）已知等差數(shù)列an的首項a12，且對任意m，nN*（mn），存在kN*，使得am+anak成立，則a1+a2+a3+a4+a5的最小值為

13、 10【分析】由條件可令m1，n5，得aka1+a5，進(jìn)一步代入化簡可得d，分析k的取值范圍，可得d的最小值，而a1+a2+a3+a4+a510+10d，故d最小時，S5最小【解答】解：對任意m，nN*（mn），存在kN*，使得am+anak成立，所以令m1，n5，則aka1+a5，又aka1+（k1）d2+（k1）d，a1+a52+2+4d4+4d，所以2+（k1）d4+4d，所以（k5）d2，顯然k5，所以d，當(dāng)1k4時，d單調(diào)遞減，所以當(dāng)k4時，dmin2，當(dāng)k6時，d0，所以dmin2，因為a1+a2+a3+a4+a510+10d，所以當(dāng)d最小時，a1+a2+a3+a4+a5有最小值1

14、02010，故答案為：1012（5分）已知函數(shù)f（x），若對任意的x12，+），都存在x22，1，使得f（x1）f（x2）a，則實數(shù)a的取值范圍為 （，【分析】由函數(shù)解析式，再對a進(jìn)行分類討論，即可得到a的范圍【解答】解：當(dāng)x0時，x22，1時，f（x2）2，7，當(dāng)a0時，如圖所示，f（x）|xa|，x0，當(dāng)x12，+）時，f（x）minf（2）0，此時f（x1）f（x2）0a，滿足題意，當(dāng)0a2時，如圖所示，f（x）|xa|，x0，當(dāng)x12，+）時，f（x）minf（2）|2a|0，要使f（x1）f（x2）a恒成立，只需f（x1）minf（x2）mina即|2a|2a，即42aa，解得a，當(dāng)

15、a2時，當(dāng)x12，+）時，f（x1）minf（a）0，f（x1）f（x2）的最小值可以取0，而0a，不滿足f（x1）f（x2）a恒成立，綜上，a的取值范圍為（，故答案為：（，二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13（5分）已知角的終邊經(jīng)過點P（3，4），將角的終邊繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則tan等于（）ABCD【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用求出結(jié)果【解答】解：角的終邊經(jīng)過點P（3，4），所以tan，cot將角的終邊繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，所以tan故選：B14（5分）某校有高一學(xué)生390人，高二學(xué)生360人，高三學(xué)生345人，為了解學(xué)生

16、的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取部分學(xué)生作為樣本若從高二學(xué)生中抽取的人數(shù)為24人，則高一學(xué)生和高三學(xué)生應(yīng)抽取的人數(shù)分別為（）A高一學(xué)生26人、高三學(xué)生23人B高一學(xué)生28人、高三學(xué)生21人C高一學(xué)車多于24人、高三學(xué)生少于24人即可D高一、高三學(xué)生人數(shù)都不限【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合分層抽樣的定義，即可求解【解答】解：高二學(xué)生360人，抽取人數(shù)為24人，3602415，高一學(xué)生抽取人數(shù)為3901526人，高三學(xué)生抽取人數(shù)為3451523人故選：A15（5分）如圖，已知點A平面，點O，直線a，點P且PO，則“直線a直線OA”是“直線a直線PA”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C

17、充要條件D既不充分也不必要條件【分析】利用直線與平面垂直的判斷定理，推出結(jié)果，即可判斷選項【解答】解：已知點A平面，點O，直線a，點P且PO，直線a直線OA，POOAO，可知直線a平面POA，PO平面POA，所以直線a直線PA；直線a直線PA，PAOAA，可知直線a平面POA，OA平面POA，所以直線a直線OA，所以“直線a直線OA”是“直線a直線PA”的充要條件故選：C16（5分）已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，當(dāng)i1，1（i1，2，3，4，5）時，|1+2+3+4+5|的最大值為（）A6B12C18D【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，由坐標(biāo)法表示出|1+2+3+4+5|，并利用列舉法求得最大

18、值【解答】解：以A為原點，AD為x軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，正六邊形的邊長為2，所以：B（1，），F(xiàn)（1，），C（3，），E（3，），D（4，0），|1+2+3+4+5|1（1，）+|2（3，）+3（4，0）+4（3，）+5（1，）|令t312+21315+235+623+634+324+345，下用例舉法求得t的所有可能取值12345 t 1 1 1 1 1 24 1 1 1 11 16 1 1 11 1 0 1 11 1 18 11 1 1 1 01 1 1 1 1 2211 1 1 121 11 1 121 111 121 11 11 10 111 1 1811 11 112 11

19、1 118 1 111 18 1 11 118 1 1 111 4111 1121111 11411 1 1 1141 111121 11 1 161 1 1112 11111 4 111 1 18 11 1118 1 1111 411111 10111 1 1611 111141 1111 611111 161111118由表格數(shù)據(jù)可知t的最大值為24，所以|1+2+3+4+5|的最大值為12，故選：B三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18分）17（14分）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABBCBB12，ABBC，D為AB的中點（1）求異面直線BC1與DC所成角

20、的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）；（2）求證：BC1平面A1CD【分析】（1）根據(jù)異面直線所成角的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明BC1平面A1CD【解答】解：（1）連結(jié)AC1，交A1C于點O，連結(jié)OD，因為D是AB的中點，所以BC1OD，易知CDO即為異面直線BC1與DC所成角，因為ABBCBB12，ABBC，D為AB的中點，CD，ODBC1，又因為該三棱柱是直三棱柱，A1C2，OCA1C，在ODC中，cosCDO，CDOarccos；（2）證明：連結(jié)AC1，交A1C于點O，連結(jié)OD，因為D是AB的中點，所以BC1OD，因為BC1平面A1CD，OD平面A1CD，所以BC1平面

21、A1CD18（14分）在ABC中，內(nèi)角A、B、C所對邊分別為a、b、c，已知csinCbsinBa（sinAsinB）（1）求角C的值；（2）若c3，求ABC周長的最大值【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理的應(yīng)用求出C的值；（2）利用余弦定理和基本不等式的應(yīng)用求出三角形周長的最大值【解答】解：（1）已知csinCbsinBa（sinAsinB），利用正弦定理：c2b2a2ab，整理得，由于C（0，），故C；（2）由于c3，C，利用余弦定理：c2a2+b22abcosC，所以9（a+b）23ab，利用基本不等式的應(yīng)用：，整理得：（a+b）236，（當(dāng)且僅當(dāng)ab3時，等號成立）所以3a+b6，

22、故三角形的周長的最大值為3+6919（14分）以太陽能和風(fēng)能為代表的新能源發(fā)電具有取之不盡、零碳排放等優(yōu)點近年來我國新能源發(fā)電的裝機容量快速增長，學(xué)校新能源發(fā)電研究課題組的同學(xué)通過查閱相關(guān)資料，整理出20152020年全國各類發(fā)電裝機容量統(tǒng)計表（單位：萬萬千瓦）年份傳統(tǒng)能源發(fā)電新能源發(fā)電總裝機容量火力發(fā)電水力發(fā)電核能發(fā)電太陽能發(fā)電風(fēng)能發(fā)電201510.063.200.270.431.3115.27201610.603.320.340.761.4716.49201711.103.440.361.301.6417.84201811.443.530.451.741.8419.00201911.903

23、.560.492.102.0520.10202012.453.700.502.532.8222.00請根據(jù)如表提供的數(shù)據(jù)，解決課題小組的兩個問題：（1）2015年至2020年期間，我國發(fā)電總裝機容量平均每年比上一年增加多少萬萬千瓦（精確到0.01）？同期新能源發(fā)電裝機容量的年平均增長率是多少（精確到0.1%）？（2）假設(shè)從2021年開始，我國發(fā)電總裝機容量平均每年比上一年增加2萬萬千瓦，新能源發(fā)電裝機容量的年平均增長率為20%，問從哪一年起，我國新能源發(fā)電裝機容量首次超過發(fā)電總裝機容量的60%？【分析】（1）由題意直接求20152020年平均每年增加的容量即可，再設(shè)出平均增長率，列出指數(shù)形的方

24、程，再求解即可；（2）設(shè)n年后我國新能源發(fā)電裝機容量首次超過發(fā)電總裝機容量的60%，列出不等式0.6，代入n7與n8時，驗證即可【解答】解：（1）由表可知，我國2015年發(fā)電總裝機容量為15.27萬萬千瓦，2020年發(fā)電總裝機容量為22.00萬萬千瓦，則20152020年平均每年增加1.35萬萬千瓦，且2015年新能源裝機容量為（0.43+1.31）1.74萬萬千瓦，2020年新能源裝機容量為（2.53+2.82）5.35萬萬千瓦，設(shè)年平均增長率為x，1.74（1+x）55.35，（1+x）53.075，解得x0.252，故同期新能源發(fā)電裝機容量年平均增長率為0.252，（2）由（1）可知，我

25、國2021年發(fā)電總裝機容量為：22.00+1.3523.35萬萬千瓦，新能源發(fā)電裝機容量為：5.35+0.76.05萬萬千瓦，設(shè)n年后我國新能源發(fā)電裝機容量首次超過發(fā)電總裝機容量的60%，0.6，其中當(dāng)n7時，0.5800.6，當(dāng)n8時，0.6610.6，n8，2021+82029即2029年我國新能源發(fā)電裝機容量首次超過發(fā)電總裝機容量的60%20（16分）已知雙曲線：1（a0，b0）的焦距為2，漸近線方程為yx（1）求雙曲線的方程；（2）若對任意的mR，直線ykx+m與雙曲線總有公共點，求實數(shù)k的取值范圍；（3）若過點（1，0）的直線l與雙曲線交于M、N兩點，問在x軸上是否存在定點P，使得為

26、常數(shù)？若存在，求出點P的坐標(biāo)及此常數(shù)的值，若不存在，請說明理由【分析】（1）利用焦距以及漸近線方程，結(jié)合c2a2+b2，求出a，b的值，即可得到答案；（2）當(dāng)k時不合題意，當(dāng)k0時，將直線與雙曲線聯(lián)立方程，則16k2m24（12k2）（2m22）0對于任意的m恒成立，求解即可；（3）設(shè)存在點P（a，0），設(shè)直線l的方程與雙曲線方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，利用向量的坐標(biāo)運算表示出，分析求解即可【解答】解：（1）因為2c，所以c，又漸近線方程為yx，則，又c2a2+b2，解得a22，b21，所以雙曲線的方程為；（2）當(dāng)k0時，ym對于任意的實數(shù)m與雙曲線不是總有公共點，不符合題意；當(dāng)k0時，直線ykx

27、+m與雙曲線方程聯(lián)立，可得（12k2）x24kmx2m220，則16k2m24（12k2）（2m22）0對于任意的m恒成立，即2k2（m2+1）min，所以2k21，解得，故實數(shù)k的取值范圍為；（3）設(shè)存在點P（a，0），設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則，所以，設(shè)直線l的方程為yk（x1），將直線l的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，可得（12k2）x2+4k2x2k220，所以，故k2x1x2（x1+x2）+1，故，若為常數(shù)，則，解得，故存在點，使得為常數(shù)21（18分）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù)k和A，對任意的xR，都有|f（x）kx|A成立，則稱函數(shù)f（x）為“擬線性函數(shù)”，其中數(shù)組（k，A）稱為函數(shù)f（x）的擬合系數(shù)（1）數(shù)組（2，1）是否是函數(shù)g（x）的擬合系數(shù)？（2）判斷函數(shù)s（x）xsinx是否是“擬線性函數(shù)”，并說明理由；（3