基于攝動(dòng)法的密頻結(jié)構(gòu)可控性

1、基于攝動(dòng)法的密頻結(jié)構(gòu)可控性謝發(fā)祥收稿日期：2008-08-26基金項(xiàng)目：國(guó)家“八六三”高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目（2006AA11Z120）作者簡(jiǎn)介： 謝發(fā)祥（1977-），男，工程師，博士生，主要研究方向?yàn)闃蛄航Y(jié)構(gòu)振動(dòng)控制，E-mail：xiefaxiang ,孫利民孫利民（1963-），男，內(nèi)蒙包頭人，教授，博士生導(dǎo)師，工學(xué)博士，主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)振動(dòng)控制和健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，E-mail:lmsun（同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092）摘要：為研究密頻結(jié)構(gòu)頻率密集度對(duì)結(jié)構(gòu)可控性的影響，針對(duì)3自由度的密頻結(jié)構(gòu)，從結(jié)構(gòu)基本振動(dòng)方程入手，采用攝動(dòng)分析方法推導(dǎo)了閉環(huán)系統(tǒng)頻率、阻尼

2、比和攝動(dòng)量的相關(guān)方程。在速度反饋和狀態(tài)反饋情況下，討論了結(jié)構(gòu)頻率密集度對(duì)結(jié)構(gòu)可控性的影響，并對(duì)不確定參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比的影響進(jìn)行了分析。分析結(jié)果表明，對(duì)于采用速度反饋、位移反饋的閉環(huán)系統(tǒng)，隨著結(jié)構(gòu)頻率密集度參數(shù)的減小，結(jié)構(gòu)的部分模態(tài)阻尼比逐漸趨向于零，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)模態(tài)趨于不可控?？紤]了結(jié)構(gòu)剛度和質(zhì)量參數(shù)不確定性對(duì)密頻結(jié)構(gòu)可控性的影響，結(jié)果表明參數(shù)不確定性會(huì)影響密頻結(jié)構(gòu)不同模態(tài)之間的耦合程度，進(jìn)而改變結(jié)構(gòu)的可控度。關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制；密頻結(jié)構(gòu)；可控性；攝動(dòng)法中圖分類(lèi)號(hào)： TB123, TB53 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：On Controllability of Structures with

3、 Closely Spaced Natural Frequencies Based on Perturbation AnalysisXIE Faxiang 1 , SUN Limin 2(State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)Abstract: This paper investigated the influence of frequency intensity on the controllability of s

4、tructures with closely-spaced natural frequencies. The perturbation equations were established for a closed-loop system to study the relationship between frequencies, modal damping ratios and perturbation parameters. The analysis focused on a three-degree-of-freedom structure with closely spaced nat

5、ural frequencies. The velocity and displacement feedbacks were considered in the calculation. Several cases with velocity feedback and state feedback were considered. And the preciseness of perturbation methods was checked. The calculation results showed that the damping ratios of two modes were dec

6、reasing as the decreasing of intensity parameter values of the structure with closely spaced natural frequencies, indicating that the controllability of corresponding modes was losing. The uncertainties in mass and stiffness matrices were also discussed in this paper. The calculation results implied

7、 that the degrees of mode coupling would be changed due to the structural uncertainties and then the controllability would be influenced. Keywords: structure control; structure with closely-spaced natural frequencies; controllability; perturbation method;密頻結(jié)構(gòu)是指在很窄的一段頻率區(qū)間內(nèi)有很多固有頻率的結(jié)構(gòu)。密頻結(jié)構(gòu)在工程結(jié)構(gòu)中廣泛存在。對(duì)于

8、準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)、局部準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)及其相應(yīng)的振動(dòng)控制系統(tǒng)，它們的振動(dòng)固有頻率和閉環(huán)特征值也很可能是密集的。對(duì)于具有個(gè)重頻(頻率相同)模態(tài)的結(jié)構(gòu)，滿足可控性要求至少需采用個(gè)作動(dòng)器 ADDIN EN.CITE ADDIN EN.CITE.DATA 1-2 ADDIN EN.CITE ADDIN EN.CITE.DATA 。而對(duì)于具有個(gè)密集頻率(頻率接近但不同)模態(tài)的結(jié)構(gòu)，根據(jù)可控性條件，理論上僅需一個(gè)作動(dòng)器便能控制這些模態(tài)。但是，F(xiàn)orward和Swigert ADDIN EN.CITE Forward198111645116451164517R.L. ForwardElectronic damping

9、of orthogonal bending modes in a cylindrical mast experimentJournal of SpacecraftJournal of Spacecraft11-1718119813通過(guò)研究具有2個(gè)密集頻率的圓柱天線結(jié)構(gòu)時(shí)發(fā)現(xiàn)，采用單輸入反饋控制時(shí)，一個(gè)模態(tài)阻尼較高，另一個(gè)模態(tài)幾乎是無(wú)阻尼，即該模態(tài)可控性很低。劉中生等 ADDIN EN.CITE ADDIN EN.CITE.DATA 4 討論了密頻結(jié)構(gòu)可控可觀性的度量以及主模態(tài)的概念，提出了采用奇異值分解（SVD）方法來(lái)衡量密頻結(jié)構(gòu)的可控可觀性。K.Xu ADDIN EN.CITE Xu1992

10、11646116461164617K. XuP. WarnitchaiT. IgusaControl of a structure with two closely spaced natural frequenciesJournal of Guidance, Control, and DynamicsJournal of Guidance, Control, and Dynamics1177-117816619925采用攝動(dòng)法研究了不同控制策略對(duì)于具有2個(gè)密集頻率結(jié)構(gòu)的控制效果以及穩(wěn)定性條件，結(jié)果表明，隨著頻率間隔的減小，閉環(huán)系統(tǒng)的振型對(duì)攝動(dòng)參數(shù)敏感，系統(tǒng)的魯棒性變差。Sun.H.L等 ADD

11、IN EN.CITE Sun200611428114281142817Sun, H. L.Zhang, P. Q.Chen, H. B. Zhang, K.Active control of a structure with continuously closely spaced natural frequenciesJournal of Sound and VibrationJournal of Sound and Vibration15-222941-22006/science/article/B6WM3-4HTCTRJ-5/2/1a31256134aeb0181fd9e9b6c8cd23

12、42 6分析了單獨(dú)采用速度反饋時(shí)，反饋增益對(duì)3自由度密頻結(jié)構(gòu)阻尼比的影響，但是沒(méi)有考慮狀態(tài)反饋。孫濤等 ADDIN EN.CITE ADDIN EN.CITE.DATA 刁7采用極點(diǎn)配置方法將重頻結(jié)構(gòu)的反饋控制應(yīng)用到密頻結(jié)構(gòu)，討論了其穩(wěn)定預(yù)度。陳德成等 ADDIN EN.CITE ADDIN EN.CITE.DATA 封8提出了密頻結(jié)構(gòu)分散度和密集度的概念，采用一階系統(tǒng)模擬二階系統(tǒng)，通過(guò)求解可控性矩陣的特征值說(shuō)明了控制力個(gè)數(shù)小于密頻子空間維數(shù)的時(shí)候，該密頻空間不可控，然而并沒(méi)有討論在不同反饋情況下密頻結(jié)構(gòu)的可控性情況。筆者從密集頻率結(jié)構(gòu)的基本振動(dòng)方程出發(fā)，采用攝動(dòng)分析方法，通過(guò)直接求解一個(gè)3次

13、方程，直觀地討論了在速度反饋和狀態(tài)反饋情況下結(jié)構(gòu)頻率密集度對(duì)結(jié)構(gòu)可控性的影響。不需要求解結(jié)構(gòu)的可控性矩陣的特征值，就可以直觀地判斷密頻結(jié)構(gòu)的可控性。對(duì)結(jié)構(gòu)的參數(shù)不確定性對(duì)模態(tài)阻尼比的影響進(jìn)行了分析討論。通過(guò)求解推導(dǎo)的攝動(dòng)方程，對(duì)3自由度密頻結(jié)構(gòu)采用速度和狀態(tài)反饋的計(jì)算結(jié)果表明，隨著結(jié)構(gòu)頻率密集度參數(shù)的減小，結(jié)構(gòu)的模態(tài)阻尼比逐漸趨向于零，相應(yīng)的模態(tài)趨于不可控。而系統(tǒng)參數(shù)不確定性的影響的計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)于質(zhì)量和剛度的不確定因素，質(zhì)量和剛度矩陣的主對(duì)角線元素的改變影響結(jié)構(gòu)的頻率密集度，而非對(duì)角線元素影響結(jié)構(gòu)的耦合程度，進(jìn)而影響結(jié)構(gòu)的可控度。1 頻率間隔對(duì)結(jié)構(gòu)阻尼的影響1.1 運(yùn)動(dòng)方程對(duì)于一個(gè)具有自由

14、度的受控結(jié)構(gòu)，其運(yùn)動(dòng)方程為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 1)式中：是質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣，是結(jié)構(gòu)的位移向量，是結(jié)構(gòu)受到的外部激勵(lì)，是維控制輸入的位置向量。是控制力向量，分別是位移和速度反饋增益。通過(guò)引入結(jié)構(gòu)的自然頻率和模態(tài)，可以將方程 GOTOBUTTON ZEqnNum919480 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum919480 * Charformat ! * MERGEFORMAT (1)簡(jiǎn)化為個(gè)模態(tài)的

15、模態(tài)方程 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 2)等式 GOTOBUTTON ZEqnNum393918 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum393918 * Charformat ! * MERGEFORMAT (2)中為單位矩陣；為模態(tài)向量矩陣，；為模態(tài)剛度矩陣，；為模態(tài)阻尼矩陣，；為模態(tài)力向量，；為位移模態(tài)控制輸入向量，；為速度模態(tài)控制向量，；是模態(tài)響應(yīng)向量，是對(duì)角化方程： MACROBUTTON MTPlace

16、Ref * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 3)式中是結(jié)構(gòu)各階自然頻率。阻尼結(jié)構(gòu)的模態(tài)性質(zhì)可以由以下的階的特征值方程來(lái)確定 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 4)式中為系統(tǒng)的各階特征值；是對(duì)應(yīng)的特征向量。方程 GOTOBUTTON ZEqnNum901800 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum901

17、800 * Charformat ! * MERGEFORMAT (4)的特征值是與結(jié)構(gòu)的自然頻率及阻尼比直接相關(guān)的復(fù)數(shù) MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 5)式中。攝動(dòng)法是研究系統(tǒng)或其參數(shù)在微小擾動(dòng)下運(yùn)動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)方法 ADDIN EN.CITE 胡海昌198711649116491164941胡海昌多自由度結(jié)構(gòu)固有振動(dòng)理5北京科學(xué)出版社13031.3593HU Haichang. The vibrat

18、ion theory of multi-DOFs system, 1987, Beijing, Science Press9。密頻結(jié)構(gòu)可以看成相應(yīng)的重頻結(jié)構(gòu)受到微小擾動(dòng)后的情況，可以用攝動(dòng)原理求解。對(duì)于方程 GOTOBUTTON ZEqnNum901800 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum901800 * Charformat ! * MERGEFORMAT (4)的解可以通過(guò)下述的攝動(dòng)法來(lái)確定。對(duì)于3自由度的密頻系統(tǒng)，設(shè)3個(gè)密集頻率度量值，表示3個(gè)密集頻率與平均頻率的接近程度，實(shí)際上表示的是密頻結(jié)構(gòu)原頻率與平均頻率之間的距離。令為3個(gè)密集頻率的平均值，分別為系統(tǒng)的3階自然頻

19、率。那么有 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 6)這里，表示的同階無(wú)窮小量，即結(jié)構(gòu)的3個(gè)頻率與平均頻率的距離都是小值?？梢圆捎脭z動(dòng)法對(duì)方程 GOTOBUTTON ZEqnNum901800 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum901800 * Charformat ! * MERGEFORMAT (4)進(jìn)行分析，假定結(jié)構(gòu)可解耦并可忽略結(jié)構(gòu)固有阻尼，即結(jié)構(gòu)的阻尼全部由外部反饋產(chǎn)生。設(shè)該方程的特征值為，采用式 GOTOB

20、UTTON ZEqnNum721932 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum721932 * Charformat ! * MERGEFORMAT (7)來(lái)估計(jì)這些特征值 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 7)式中為小的攝動(dòng)量。對(duì)于單個(gè)輸入的3自由度系統(tǒng)，令，其中為向量的三個(gè)分量。帶入攝動(dòng)參數(shù)到特征根問(wèn)題 GOTOBUTTON ZEqnNum901800 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum901800

21、 * Charformat ! * MERGEFORMAT (4)中，保留一階項(xiàng)，忽略二階小量，可以得到方程 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 8)式中為小的攝動(dòng)量閉環(huán)系統(tǒng)的頻率、模態(tài)阻尼與攝動(dòng)量的近似關(guān)系如下 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 9)式中表示閉環(huán)。由于

22、速度反饋會(huì)給系統(tǒng)帶來(lái)附加阻尼，而位移的反饋會(huì)改變結(jié)構(gòu)的頻率，對(duì)于密頻系統(tǒng)而言，希望結(jié)構(gòu)的模態(tài)阻尼能夠增大，同時(shí)使密集頻率之間的間隔變得更大。因此，這里假定引入的反饋具有如下特點(diǎn)?？紤]到，帶入式 GOTOBUTTON ZEqnNum153953 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum153953 * Charformat ! * MERGEFORMAT (8)，可以得到 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 10)1.2、計(jì)

23、算結(jié)果及分析1.2.1 情形1 首先考慮，也就是左右2個(gè)頻率間隔相等，并且假定位移反饋增益為零。固定控制增益，求解方程 GOTOBUTTON ZEqnNum284924 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum284924 * Charformat ! * MERGEFORMAT (10)，可以得到結(jié)構(gòu)的阻尼比和頻率與結(jié)構(gòu)密頻系數(shù)之間的關(guān)系。不同頻率間隔下的結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比變化（）The change of mode damping ratios with different frequency intensity ()從 REF _Ref200353136 r h * MERGEFO

24、RMAT 圖 1可以看出，隨著結(jié)構(gòu)頻率間隔的減小，結(jié)構(gòu)有2階阻尼比以幾乎完全相同的趨勢(shì)逐漸趨向于零，也就是逐漸變得不可控。當(dāng)結(jié)構(gòu)3個(gè)頻率相等，即的時(shí)候，結(jié)構(gòu)成了為重頻結(jié)構(gòu)，有2階阻尼比為零，結(jié)構(gòu)不可控。這和重頻結(jié)構(gòu)的可控性判斷是一致的 ADDIN EN.CITE Hughes198011644116441164417P.C. HughesR.E. SkeltonControllability and observability of linear matrix second-order systemJournal of Applied MechanicsJournal of Applied M

25、echanics415-41947219801。但是 REF _Ref200353136 r h * MERGEFORMAT 圖 1顯示，在處頻率和阻尼比有“突變”，在物理上無(wú)法解釋。為了驗(yàn)證攝動(dòng)分析的正確性，計(jì)算了式 GOTOBUTTON ZEqnNum901800 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum901800 * Charformat ! * MERGEFORMAT (4)的精確解和 GOTOBUTTON ZEqnNum284924 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum284924 * Charformat ! * MERGEFORMAT (10)的攝動(dòng)解，

26、比較結(jié)果如 REF _Ref214972814 r h * MERGEFORMAT 圖 2、 REF _Ref214972819 r h * MERGEFORMAT 圖 3所示。用Numerical和Perturbation分別表示公式的數(shù)值解和攝動(dòng)解，定義為量綱歸一化頻率。從 REF _Ref214972814 r h 圖 2和 REF _Ref214972819 r h 圖 3的比較可以看出，在數(shù)值精確解中并不存在突變的情況，而且數(shù)值精確解和攝動(dòng)分析的解的吻合程度很好，進(jìn)一步分析表明，攝動(dòng)分析中的“偽突變”是計(jì)算中的0/0分式導(dǎo)致的，并不是結(jié)構(gòu)真正的阻尼比有突變。其實(shí)質(zhì)是中間模態(tài)的阻尼一直

27、最大，這與數(shù)值解的結(jié)果是一致的。因此，攝動(dòng)法分析的結(jié)果是有效的。結(jié)構(gòu)阻尼比數(shù)值精確解和攝動(dòng)解的比較Comparison of damping ratios between numerical and perturbation results結(jié)構(gòu)廣義頻率數(shù)值精確解和攝動(dòng)解的比較 Comparison of frequencies between numerical and perturbation results1.2.2情形2考慮一定的位移反饋增益，令，為位移增益，其余情況與情形1相同。不同頻率間隔下的結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比變化（） Change of damping ratios with diff

28、erent frequency intensity（）從 REF _Ref200354859 r h * MERGEFORMAT 圖 4可以看出，結(jié)構(gòu)的兩階阻尼比逐漸趨向于零，同時(shí)由于位移反饋的引入，成為狀態(tài)反饋，在的時(shí)候結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了“負(fù)阻尼”，這表明此時(shí)結(jié)構(gòu)已經(jīng)不可控了。1.2.3 情形3考慮頻率間隔不相等，假定。仍然首先令位移增益，速度反饋增益。不同頻率間隔下的結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比變化（） Change of damping ratios with different frequency intensity(）與情形1類(lèi)似，隨著頻率間隔的減小，結(jié)構(gòu)的有兩階阻尼比趨向于零，趨于不可控，而由于頻率間隔

29、，對(duì)應(yīng)的兩階結(jié)構(gòu)頻率的變化速度不同。1.2.4 情形4考慮頻率間隔不相等，令的情況。假定位移增益，速度反饋增益。不同頻率間隔下的結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比變化（） Change of damping ratios with different frequency intensity()同情形2類(lèi)似， REF _Ref200444001 r h * MERGEFORMAT 圖 6顯示隨著頻率密集度的減小，結(jié)構(gòu)趨于3階重頻，結(jié)構(gòu)的2個(gè)阻尼比迅速趨于零，結(jié)構(gòu)趨于不可控。在時(shí)，與情形2類(lèi)似，結(jié)構(gòu)也出現(xiàn)了“負(fù)阻尼”的情況，表示該模態(tài)已經(jīng)不可控。2 參數(shù)不確定性對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比的影響一般說(shuō)來(lái)，真實(shí)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛

30、度只能夠近似地獲得，而模型結(jié)構(gòu)參數(shù)和真實(shí)結(jié)構(gòu)之間必定存在一定的差異。本文僅考慮真實(shí)結(jié)構(gòu)的剛度、質(zhì)量和計(jì)算模型之間的差異。對(duì)于一個(gè)自由度的無(wú)阻尼系統(tǒng)，考慮兩組動(dòng)力學(xué)方程，假定的結(jié)構(gòu)方程，也就是模型方程，包含建模的誤差，用于實(shí)際結(jié)構(gòu)的控制。真實(shí)結(jié)構(gòu)的方程，不存在誤差，但是難以獲得。首先，具有單個(gè)控制力輸入的假定結(jié)構(gòu)方程為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 11) MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT

31、 SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 12)令為系統(tǒng)的正則化模態(tài)矩陣，滿足。利用模態(tài)變換，則方程 GOTOBUTTON ZEqnNum483474 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum483474 * Charformat ! * MERGEFORMAT (11) GOTOBUTTON ZEqnNum827370 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum827370 * Charformat ! * MERGEFORMAT (12)可以轉(zhuǎn)換為個(gè)模態(tài)方程： MACROBUTTON M

32、TPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 13)式中，為系統(tǒng)的第i階固有頻率；，。在實(shí)際的情況中，結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣都只是可以近似地獲得。假定實(shí)際系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣為，利用模態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣，可以得到具有個(gè)自由度的模態(tài)方程： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 14)式中，。一般來(lái)說(shuō)，是非對(duì)角

33、矩陣，但是是對(duì)稱(chēng)正定矩陣，是對(duì)稱(chēng)半正定矩陣。同樣假定頻率采用式 GOTOBUTTON ZEqnNum893974 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum893974 * Charformat ! * MERGEFORMAT (6)的形式，即，那么具有擾動(dòng)的系統(tǒng)參數(shù)可以定義為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 15) MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * M

34、ERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 16)式中分別為假定模型質(zhì)量和剛度矩陣的擾動(dòng)。這里假設(shè)擾動(dòng)為小量，同時(shí)假定結(jié)構(gòu)的控制輸入增益和頻率間隔參數(shù)也是小量，即 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 17)在式 GOTOBUTTON ZEqnNum520355 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum520355 * Charformat ! * MERGEFORMAT

35、(14)左乘，同時(shí)僅保留一階小量，可以得到 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 18) MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 19)其中各參數(shù)的表達(dá)形式為， MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFO

36、RMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 20)式中：是模態(tài)剛度矩陣對(duì)角上的包含不確定因素的等效頻率間隔，僅僅與系統(tǒng)的不確定參數(shù)和頻率間隔有關(guān)；為非對(duì)角上的不確定參數(shù)，僅僅與系統(tǒng)的不確定參數(shù)有關(guān)。通過(guò)求解方程 GOTOBUTTON ZEqnNum679072 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum679072 * Charformat ! * MERGEFORMAT (18)的特征方程，可以得到模態(tài)阻尼比和不確定參數(shù)之間的關(guān)系。（1）對(duì)角元素的影響。在的情況下，方程 GOTOBUTTON ZEqnNum679072 * MERGEFORMA

37、T REF ZEqnNum679072 * Charformat ! * MERGEFORMAT (18)的特征方程可以寫(xiě)為： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 21)式中為特征頻率，為對(duì)角矩陣，且，為特征向量。直接求解式 GOTOBUTTON ZEqnNum322181 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum322181 * Charformat ! * MERGEFORMAT (21)的特征方程，按照式 GOTOB

38、UTTON ZEqnNum469260 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum469260 * Charformat ! * MERGEFORMAT (5)可以求得結(jié)構(gòu)頻率和阻尼比的解。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，這里假定。計(jì)算得到的結(jié)果如圖7所示：阻尼比隨等效頻率間隔的影響The change of mode damping ratios with equivalent frequency intensity 由 REF _Ref202513243 r h * MERGEFORMAT 圖 7可見(jiàn)，在包含不確定參數(shù)的等效頻率間隔為零的時(shí)候，有2階模態(tài)的阻尼比為零，這與前述的情況是一致的。同時(shí)，因?yàn)?/p>

39、頻率間隔本身是小量，如果受到擾動(dòng)使得頻率間隔變得更小，將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的可控性變差。但是，不管擾動(dòng)的情況如何，只要結(jié)構(gòu)的等效頻率間隔減小了，結(jié)構(gòu)的模態(tài)阻尼比將會(huì)降低，結(jié)構(gòu)的可控性必然變差。（2）非對(duì)角元素的影響?，F(xiàn)在考慮非對(duì)角元素的影響，這里假定，僅僅考慮。模態(tài)阻尼隨著的變化曲線如 REF _Ref202515083 r h * MERGEFORMAT 圖 8所示。模態(tài)阻尼隨不確定參數(shù)的變化The change of mode damping ratios with uncertainties parameter 由 REF _Ref202515083 r h * MERGEFORMAT 圖 8可見(jiàn)

40、，隨著的增加，結(jié)構(gòu)的低頻的模態(tài)阻尼比總會(huì)減小，而在時(shí)會(huì)減小，而在的時(shí)候會(huì)增加，這表明時(shí)會(huì)增加結(jié)構(gòu)的耦合程度，結(jié)構(gòu)可控度降低，出現(xiàn)2階模態(tài)的阻尼比趨于零；而則會(huì)降低耦合程度，表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)的可控性增強(qiáng)，只有1階模態(tài)的阻尼比趨于零。3 結(jié)論本文推導(dǎo)了3自由度系統(tǒng)頻率密集度和結(jié)構(gòu)可控度之間的攝動(dòng)方程，討論了密頻結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比和攝動(dòng)參數(shù)之間的關(guān)系，以及在不同反饋情況下閉環(huán)系統(tǒng)的可控性和頻率密集度的關(guān)系，并且進(jìn)一步探討了結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性和對(duì)結(jié)構(gòu)可控性的影響，得到了以下結(jié)論：（1）利用攝動(dòng)法和數(shù)值方法，對(duì)密頻結(jié)構(gòu)在位移和速度反饋下的結(jié)構(gòu)阻尼比進(jìn)行了計(jì)算，驗(yàn)證了攝動(dòng)分析的有效性。（2）對(duì)3自由度密頻系統(tǒng)，在不同

41、反饋和不同頻率密集度下的計(jì)算結(jié)果表明，隨著結(jié)構(gòu)頻率密集度參數(shù)的逐漸減小，采用單個(gè)作用力控制的3階密集頻率結(jié)構(gòu)有兩階模態(tài)的阻尼比趨于零，結(jié)構(gòu)的可控度逐漸降低；當(dāng)密頻結(jié)構(gòu)變?yōu)橹仡l結(jié)構(gòu)時(shí)，結(jié)構(gòu)兩階模態(tài)不可控，而只有一階模態(tài)可控。（3）分析了結(jié)構(gòu)質(zhì)量和剛度的參數(shù)不確定性對(duì)密集頻率結(jié)構(gòu)阻尼比的影響，結(jié)果表明等效的頻率密集度為零時(shí)，3階密頻結(jié)構(gòu)有兩階模態(tài)不可控，而模態(tài)剛度矩陣的非對(duì)角的不確定元素將影響結(jié)構(gòu)的耦合程度，進(jìn)而影響結(jié)構(gòu)的可控度。參考文獻(xiàn): ADDIN EN.REFLIST 1HUGHES P C，SKELTON R EControllability and observability of linear matrix second-order systemJournal of Applie