D11k-相似理論及量綱分析

1、第五章 相似原理與量綱分析（2學(xué)時(shí)）學(xué)習(xí)要點(diǎn)：量綱分析的意義和量綱和諧原理。 量綱分析方法：瑞利法和定理。 相似概念。相似準(zhǔn)則：雷諾準(zhǔn)則、弗勞德準(zhǔn)則、歐拉準(zhǔn)則、柯西準(zhǔn)則。 1第五章 相似原理與量綱分析第一節(jié) 流動(dòng)相似第二節(jié) 動(dòng)力相似準(zhǔn)則第三節(jié) 量綱分析 一、量綱和單位 二、量綱和諧原理 三、量綱分析法 本章小結(jié)2 幾何相似 運(yùn)動(dòng)相似 動(dòng)力相似 初始條件和邊界條件一致第一節(jié) 流動(dòng)相似3原型：天然水流和實(shí)際建筑物稱為原型。模型：通常把原型（實(shí)物）按一定比例關(guān)系縮?。ɑ蚍糯螅┑拇砦?，稱 為模型。水力學(xué)模型試驗(yàn)：是依據(jù)相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按 一定比例縮小制成模型，模擬與天然情況相似

2、的水流進(jìn)行觀測(cè)和分析 研究，然后將模型試驗(yàn)的成果換算和應(yīng)用到原型中，分析判斷原型的 情況。水力學(xué)模型試驗(yàn)的目的：利用模型水流來(lái)模擬和研究原型水流問(wèn)題。關(guān)鍵問(wèn)題：模型水流和原型水流保持流動(dòng)相似。流動(dòng)相似：兩個(gè)流動(dòng)的相應(yīng)點(diǎn)上的同名物理量（如速度、壓強(qiáng)各種作用 力等）具有各自的固定比例關(guān)系，則這兩個(gè)流動(dòng)就是相似的。第一節(jié) 流動(dòng)相似第一節(jié) 流動(dòng)相似4 模型和原型保證流動(dòng)相似，應(yīng)滿足： 幾何相似 運(yùn)動(dòng)相似 動(dòng)力相似 初始條件和邊界條件相似 幾何相似幾何相似：指原型和模型兩個(gè)流場(chǎng)的幾何形狀相似，即原型和模型及其 流動(dòng)所有相應(yīng)的線性變量的比值均相等，相應(yīng)夾角相等。第一節(jié) 流動(dòng)相似長(zhǎng)度比尺：面積比尺：體積比尺

3、：52. 運(yùn)動(dòng)相似 運(yùn)動(dòng)相似：是指流體運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)相似，也即兩流場(chǎng)各相應(yīng)點(diǎn)（包括 邊界上各點(diǎn)）的速度u及加速度a方向相同，且大小成比例。3. 動(dòng)力相似 動(dòng)力相似：是指兩流動(dòng)各相應(yīng)點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)所受的同名力方向相同，其 大小比 值相等。第一節(jié) 流動(dòng)相似速度比尺：加速度比尺：力的比尺：6 流動(dòng)相似的含義： 幾何相似是運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的前提與依據(jù)； 動(dòng)力相似是決定二個(gè)液流運(yùn)動(dòng)相似的主導(dǎo)因素； 運(yùn)動(dòng)相似是幾何相似和動(dòng)力相似的表現(xiàn)； 凡流動(dòng)相似的流動(dòng)，必是幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的流動(dòng)。 4. 初始條件和邊界條件的相似 初始條件：適用于非恒定流。 邊界條件：有幾何的，運(yùn)動(dòng)的和動(dòng)力幾方面。如固體邊界上

4、的法線流速為 零，自由液面上的壓強(qiáng)為大氣壓強(qiáng)等。 第一節(jié) 流動(dòng)相似7第二節(jié) 動(dòng)力相似準(zhǔn)則動(dòng)力相似準(zhǔn)則：在兩相似的流動(dòng)中，各種力之間保持固定不變的比例關(guān)系。流體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變是慣性力和其他各種作用力相互作用的結(jié)果。因此，各種作用力之間的比例關(guān)系應(yīng)以慣性力為一方來(lái)相互比較。慣性力則根據(jù)動(dòng)力相似有 F= I即若稱 牛頓數(shù)，即81、雷諾（粘滯力）準(zhǔn)則適用范圍：主要受水流阻力即粘滯力作用的流體流動(dòng)，凡是有壓流動(dòng)，重力不影響流速分布，主要受粘滯力的作用，這類液流相似要求雷諾數(shù)相似。另外，處于水下較深的運(yùn)動(dòng)潛體，在不至于使水面產(chǎn)生波浪的情況下，也是以雷諾數(shù)相等保證液流動(dòng)力相似。如層流狀態(tài)下的管道、隧洞中的有

5、壓流動(dòng)和潛體繞流問(wèn)題等。L為流場(chǎng)中的特征線性長(zhǎng)度。Re雷諾數(shù)。式中：第二節(jié) 相似準(zhǔn)則當(dāng)粘滯力起主要作用時(shí)，動(dòng)力相似有：兩個(gè)相似流動(dòng)的牛頓數(shù)應(yīng)相等，這是流動(dòng)相似的重要標(biāo)志和準(zhǔn)則，稱為牛頓數(shù)相似準(zhǔn)則。 完全的動(dòng)力相似，要求慣性力與其他力比值都相等，但實(shí)際上不可能達(dá)到，所以常選一個(gè)對(duì)流動(dòng)起決定作用的力給予滿足。9 適用范圍：凡有自由水面并且允許水面上下自由變動(dòng)的各種流動(dòng)（重力 起主要作用的流動(dòng)），如堰壩溢流、孔口出流、明槽流動(dòng)、紊流阻力平 方區(qū)的有壓管流與隧洞流動(dòng)等。2、佛汝德（重力）準(zhǔn)則第二節(jié) 相似準(zhǔn)則當(dāng)重力起主要作用時(shí)，動(dòng)力相似有：一般取10佛汝德（重力）準(zhǔn)則雷諾（粘滯力）準(zhǔn)則重力相似與粘滯力相

6、似比較第二節(jié) 相似準(zhǔn)則則則則則113、歐拉準(zhǔn)則 流體流動(dòng)以動(dòng)水總壓力為主要作用力的情況：4、韋伯準(zhǔn)則 表面張力為主導(dǎo)作用力時(shí)的相似準(zhǔn)則：第二節(jié) 相似準(zhǔn)則當(dāng)壓力起主要作用時(shí)，動(dòng)力相似有：當(dāng)表面張力起主要作用時(shí)，動(dòng)力相似有： 一般，兩液流的雷諾數(shù)相等，歐拉數(shù)也相等；兩液流的佛汝德數(shù)相等，歐拉數(shù)也相等。只有出現(xiàn)負(fù)壓或存在氣蝕情況的液體，才需考慮歐拉數(shù)相等來(lái)保證液流相似。125、馬赫數(shù) 彈性力為主導(dǎo)作用力時(shí)的相似準(zhǔn)則（例水擊現(xiàn)象）：第二節(jié) 相似準(zhǔn)則令運(yùn)動(dòng)速度為音速運(yùn)動(dòng)速度為亞音速運(yùn)動(dòng)速度為超音速 當(dāng)彈性力起主要作用時(shí)，如水擊，空氣動(dòng)力學(xué)中的亞音速或超音速運(yùn)動(dòng)等，動(dòng)力相似有：柯西數(shù)流體音速?gòu)椥阅Ａ渴街校?/p>

7、136、斯特哈羅數(shù)（時(shí)間準(zhǔn)則） 斯特哈羅數(shù)：非恒定流體流動(dòng)中，當(dāng)?shù)丶铀俣?，這個(gè)加速度 所產(chǎn)生的慣性作用與遷移加速度的慣性作用之比。第二節(jié) 相似準(zhǔn)則 對(duì)非恒定流，表明有變力作用，動(dòng)力相似有：f振動(dòng)頻率14例1 有一直徑為15cm的輸油管，管長(zhǎng)5m，管中要通過(guò)的流量為0.18m3/s ,現(xiàn)用水來(lái)作模型試驗(yàn)，當(dāng)模型管徑和原型一樣，水溫為10（原型中油的運(yùn)動(dòng)粘滯系數(shù)vp= 0.13cm2/s ），問(wèn)水的模型流量應(yīng)為多少時(shí)才能達(dá)到相似？若測(cè)得5m長(zhǎng)模型輸水管兩端的壓差為3cm，試求在5m長(zhǎng)輸油管兩端的壓差應(yīng)為多少（用油柱高表示）？ 解（1）因?yàn)閳A管中流動(dòng)主要受粘滯力作用，所以應(yīng)滿足雷諾準(zhǔn)則，即兩者的雷

8、諾數(shù)相等由于dp= dm ，故上式可寫成或?qū)⒁阎獥l件vp= 0.13cm2/s ， vm= 0.0131cm2/s代入上式，得第二節(jié) 相似準(zhǔn)則15即當(dāng)模型中流量Qm為0.0181m3/s時(shí)，原型與模型相似。（2）由于已經(jīng)滿足雷諾準(zhǔn)則，故兩者的歐拉數(shù)也會(huì)自動(dòng)滿足也可以寫成這里，引入了Ap= Am (dp= dm )及gp= gm 。所以，5m長(zhǎng)輸油管的壓差油柱為已知 ，則原型輸油管的壓強(qiáng)差為第二節(jié) 相似準(zhǔn)則16例2 長(zhǎng)度比l=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牽引前進(jìn)時(shí)，則得波浪阻力為0.02N。求（1）原型中的波浪阻力；（2）原型中船舶航行速度；（3）原型中需要的功率？ 解 由于重力在起

9、主要作用，所以原型和模型的佛汝德數(shù)應(yīng)相等。即由于gp= gm ，故上式可寫成或由于第二節(jié) 相似準(zhǔn)則17所以 第二節(jié) 相似準(zhǔn)則18例3 設(shè)有油罐，直徑d為4m，油溫t為 20，已知油的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)p= 0.74 cm2/s ，長(zhǎng)度比l采用4左右，試進(jìn)行下面各項(xiàng)研究：（1）選定何種相似準(zhǔn)則？（2）模型流體的選定？（3）各項(xiàng)比例的計(jì)算。 解 （1）油自油管流出，自由表面受重力作用，由于油的粘度較大，故又受粘性力的作用。因此，重力和粘性力都是重要作用力，所以，這里的相似準(zhǔn)則應(yīng)該選定同時(shí)滿足雷諾數(shù)和佛汝德數(shù)。 （2） 由于正好等于0.0925 cm2/s的流體極難找到，所以只好挑選一些近似的流體?，F(xiàn)在選

10、用20的59%的甘油溶液，其運(yùn)動(dòng)粘度0.0892 cm2/s，與計(jì)算值很接近，但在試驗(yàn)過(guò)程中要保持20的溫度。于是模型液體的運(yùn)動(dòng)粘度應(yīng)為m= 0. 0892cm2/s，而不再是0.0925 cm2/s了。第二節(jié) 相似準(zhǔn)則19（3）模型流體選好后，由于所選擇的m 不再等于0.0925cm2/s ，所以對(duì)長(zhǎng)度比l應(yīng)進(jìn)行修正即長(zhǎng)度比l應(yīng)為4.1，而不是4。因此模型油罐的直徑為流速比按佛汝德準(zhǔn)則求得（按雷諾準(zhǔn)則也能得到同樣結(jié)果）；從而知道模型油管內(nèi)的流速大致為原型中的一半。時(shí)間比t按雷諾準(zhǔn)則求得加速度比a第二節(jié) 相似準(zhǔn)則202、分別舉例說(shuō)明由重力、粘滯力起主要作用的水流。粘滯力：層流狀態(tài)下的明渠、管道

11、、隧洞中的有壓流動(dòng)和潛體繞流問(wèn)題等。重力：堰壩溢流、孔口出流及明槽流動(dòng)及處于阻力平方區(qū)的有壓隧洞 與管流等。 作用在流體上的力除慣性力是企圖維持流體原來(lái)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的力外，其他力都是企圖改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的力。如果把作用在流體上的各力組成一個(gè)力多邊形的話，那么慣性力則是這個(gè)力多邊形的合力，即牛頓定律 流動(dòng)的變化就是慣性力與其他上述各種力相互作用的結(jié)果。因此各種力之間的比例關(guān)系應(yīng)以慣性力為一方來(lái)相互比較。1、為什么每個(gè)相似準(zhǔn)則都要表征慣性力？213、原型和模型能否同時(shí)滿足重力相似準(zhǔn)則和粘滯力相似準(zhǔn)則？ 為什么？若采用同一種流體，不能。因?yàn)椋褐亓ο嗨?；粘滯力相似不采用同一種流體，理論上能。重力相似 又粘滯

12、力相似但 實(shí)際上做不到。22一、量綱和單位二、量綱和諧原理三、量綱分析法第三節(jié) 量 綱 分 析23第三節(jié) 量綱分析單位（Unit） ：量度各種物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)量，稱單位。如長(zhǎng)度 單位為m或cm等。“量”的表征。 量綱（Dimension）：是指撇開單位的大小后，表征物理量的性質(zhì)和 類別。 如長(zhǎng)度量綱為L(zhǎng)。 “質(zhì)”的表征。一、量綱和單位基本量綱（Fundamental Dimension）：具有獨(dú)立性的，不能由其他 量綱推導(dǎo)出來(lái)的量綱叫做基本量綱。一般取長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì) 量，即L-M-T誘導(dǎo)量綱（Derived Dimension）:是指由基本量綱導(dǎo)出的量綱。 量綱第三節(jié) 量綱分析如：速度：d

13、im V=LT-1；加速度dim a=LT-2；力dim F=MLT-2； 動(dòng)力粘度dim =ML -1 T-124 量綱公式: 無(wú)量綱數(shù)（純數(shù)，如相似準(zhǔn)數(shù)）：=0，=0，=0，即x=1。第三節(jié) 量綱分析特點(diǎn)： （1）無(wú)量綱單位，它的大小與所選單位無(wú)關(guān)； （2）具有客觀性（相對(duì)量的絕對(duì)意義）； （3）在超越函數(shù)（對(duì)數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)）運(yùn)算中，均應(yīng) 用無(wú)量綱數(shù)。幾何學(xué)量綱：0，=0，=0運(yùn)動(dòng)學(xué)量綱：0，0，=0動(dòng)力學(xué)量綱：0，0，0分 類25二、量綱和諧原理 量綱和諧原理（Theory of Dimensional Homogeneity） ： 凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項(xiàng)的量綱都必須

14、是一致的，即只有方程兩邊量綱相同，方程才能成立。這稱為量綱和諧原理。量綱和諧原理的重要性： b、量綱和諧原理可用來(lái)確定公式中物理量的指數(shù)。 c、可用來(lái)建立物理方程式的結(jié)構(gòu)形式。 a、一個(gè)方程在量綱上應(yīng)是和諧的，所以可用來(lái)檢驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)公式的正確性和 完整性。第三節(jié) 量綱分析26三、量綱分析法1、雷利法 雷利法是量綱和諧原理的直接應(yīng)用，應(yīng)用范圍：一般情況下，要求相關(guān)變量未知數(shù)n小于等于45個(gè)。第三節(jié) 量綱分析1、 確定與所研究的物理現(xiàn)象有關(guān)的n 個(gè)物理量；2、 寫出各物理量之間的指數(shù)乘積的形式，如： 雷利法的計(jì)算步驟： FD=kDx Uyz a3、 根據(jù)量綱和諧原理，即等式兩端的量綱應(yīng)該相同，確定物理

15、量的指數(shù)x、y、z、a ，代入指數(shù)方程式即得各物理量之間的關(guān)系式。27例1：確定粘性流體流經(jīng)豎置的單位長(zhǎng)度長(zhǎng)直圓柱體時(shí)的繞流 阻力表達(dá)式。解：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度所受的阻力FD=F/L（F為柱的整體阻力，L為柱長(zhǎng)），影響阻 力的因素包括柱的直徑D、流體密度、粘度、以及行近流速U： FD=f（D、U、 、 ）依據(jù)量綱和諧原理，上式可寫成量綱方程為 FD=kDx Uyz a應(yīng)用M-L-T制，并代入相應(yīng)的量綱ML0T-2=L x LT-1 y ML-3 z ML-1 T -1 a為滿足量綱的和諧，相應(yīng)的量綱指數(shù)必須相同。因此M：1=z+aL: 0=x+y-3z-aT: -2=-y-a得 x=1-a，y=2-a，

16、z=1-a 故 FD=kD1-a U2-a1-a a第三節(jié) 量綱分析或28例2 確定圓管流動(dòng)中邊壁切應(yīng)力的表達(dá)式0。 解 影響0的獨(dú)立影響因素有液體的密度 ，液體的動(dòng)力沾滯系數(shù) ，圓管直徑D，管壁材料的粗糙度以及管中斷面平均流速。擬定函數(shù)關(guān)系式為寫出量綱關(guān)系式為排列量綱和諧方程求各指數(shù)。聯(lián)立以上三式解得b=1-a,c=a-d-1,e=a+1。將各指數(shù)值代入函數(shù)關(guān)系式中得第三節(jié) 量綱分析29整理得令式中系數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定。所以 第三節(jié) 量綱分析302、布金漢（Buckingham）定理定理：對(duì)于某個(gè)物理現(xiàn)象，如果存在n個(gè)變量互為函數(shù)，即F(x1,x2,xn)=0。 而這些變量中含有m個(gè)基本量，則可

17、排列這些變量成（n-m）個(gè)無(wú)量綱 數(shù)的函數(shù)關(guān)系 (1, 2, n-m)=0，即可合并n個(gè)物理量為（n-m）個(gè)無(wú) 量綱數(shù)。 定理的解題步驟：（1）確定關(guān)系式：根據(jù)對(duì)所研究的現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)，確定影響這個(gè)現(xiàn)象的各 個(gè)物理量及其關(guān)系式： （2）確定基本量：從n個(gè)物理量中選取所包含的m個(gè)基本物理量作為基 本量綱的代表，一般取m=3。在管流中，一般選d，v， 三個(gè)作基本 變量，而在明渠流中，則常選用H， v， 。第三節(jié) 量綱分析31 （3）確定 數(shù)的個(gè)數(shù)N（ ）=（n-m），并寫出其余物理量與基本物理量 組成的 表達(dá)式： （4）確定無(wú)量綱參數(shù)：由量綱和諧原理解聯(lián)立指數(shù)方程，求出各項(xiàng)的 指數(shù)x，y，z，從而定

18、出各無(wú)量綱參數(shù)。參數(shù)分子分母可以相互交換， 也可以開方或乘方，而不改變其無(wú)因次的性質(zhì)。第三節(jié) 量綱分析 定理的解題步驟： （5）寫出描述現(xiàn)象的關(guān)系式或顯解一個(gè)參數(shù)，如：或求得一個(gè)因變量的表達(dá)式。32選擇基本量時(shí)的注意原則：1）基本變量與基本量綱相對(duì)應(yīng)。即若基本量綱（M，L，T）為三個(gè)，那么基本變量也選擇三個(gè)；倘若基本量綱只出現(xiàn)兩個(gè)，則基本變量同樣只須選擇兩個(gè)。2）選擇基本變量時(shí)，應(yīng)選擇重要的變量。換句話說(shuō)，不要選擇次要的變量作為基本變量，否則次要的變量在大多數(shù)項(xiàng)中出現(xiàn)，往往使問(wèn)題復(fù)雜化，甚至要重新求解。3）不能有任何兩個(gè)基本變量的因次是完全一樣的，換言之，基本變量應(yīng)在每組量綱中只能選擇一個(gè)。第

19、三節(jié) 量綱分析33取v， D， 為基本變量，則的個(gè)數(shù)N()=n-m=7-3=4，顯然hf/L是一個(gè) ，因hf和L量綱都是長(zhǎng)度。由此x1 = -1， y1 = -1， z1 = -1。類似有：2= v x2Dy2 z23= v x3Dy3 z3g則L: x1 +y1 -3z1 -1 =0T: - x1 -1 =0M：z1 +1 =01= v x1Dy1 z1 =L T-1 x1 L y1 ML-3 z1 ML-1 T -1 解：第三節(jié) 量綱分析例1：管中紊流，單位管長(zhǎng)沿程水頭損失hf/L，取決于下列因素： 流速v，管徑D，重力g，粘度，管壁粗糙高度和密度， 試用定理分析確定方程的一般形式。34可

20、得：x2 = 0， y2 = -1， z2 = 0 x3 = -2， y3 = 1， z3 = 0及即解得：常用沿程損失公式形式為：稱沿程阻力系數(shù)，具體由實(shí)驗(yàn)決定。第三節(jié) 量綱分析35例2：液體在水平等直徑的管內(nèi)流動(dòng)，設(shè)兩點(diǎn)壓強(qiáng)差p與下列 變量有關(guān)：管徑d ， 、v、l、管壁粗糙度 ，試 求p的表達(dá)式。解：f（d、v、l、u、p）=0 基本量d、v n=7 m=3 數(shù)n-m=4個(gè)對(duì)1 ：第三節(jié) 量綱分析36對(duì)2 ：同理得 ：第三節(jié) 量綱分析37例3： 已知文丘里流量計(jì)是用以測(cè)量有壓管路的流量，已知壓強(qiáng)降落 p隨流量Q，流體密度，液體粘性系數(shù) ，管壁粗糙高度 ，流量計(jì)長(zhǎng)度L以及大小直徑D1、D2

21、變化。試用 定律求出的壓強(qiáng)降落p表示的流量公式。解：函數(shù)式為：D1D2LP1P2=P1 - PQ選取 、Q、D1為基本變量，則存在6-3=3個(gè) 數(shù) 第三節(jié) 量綱分析38類似地： 并解一個(gè)參數(shù)：即：將 數(shù)用量綱表示：第三節(jié) 量綱分析39例4 用布金漢定理確定圓管流動(dòng)中邊壁切應(yīng)力的表達(dá)式0。已知0與液體的密度 ，液體的動(dòng)力沾滯系數(shù) ，圓管直徑D，管壁材料的粗糙度以及管中斷面平均流速有關(guān)。解 擬定函數(shù)關(guān)系式為 f（D、 、 、 0 、 、）=0從各獨(dú)立影響因素中選取D（幾何量）、 （運(yùn)動(dòng)量）、（動(dòng)力量）為基本量建立（6-3 ） 項(xiàng)：對(duì)每一項(xiàng)建立量綱關(guān)系式，排列量綱和諧方程求解a i、b i 、c i 。對(duì) 1 ：第三節(jié) 量綱分析40同理求得將各代入得整理得令 ，則第三節(jié) 量綱分析412、經(jīng)驗(yàn)公式是否滿足量綱和諧原理？ 一般不滿足。 通常根據(jù)一系列的試驗(yàn)資料統(tǒng)計(jì)而得，不考慮量綱之間的和諧。3、雷利法和布金漢定理