量子力學(xué)+周世勛(全套通用通用課件)

1、量子力學(xué)目 錄第一章 量子力學(xué)的誕生 第二章 波函數(shù)和 Schrodinger 方程 第三章 一維定態(tài)問題 第四章 量子力學(xué)中的力學(xué)量 第五章 態(tài)和力學(xué)量表象 第六章 近似方法 第七章 量子躍遷 第八章 自旋與全同粒子 附錄 科學(xué)家傳略 第一章 量子力學(xué)的誕生1 經(jīng)典物理學(xué)的困難 2 量子論的誕生 3 實(shí)物粒子的波粒二象性1 經(jīng)典物理學(xué)的困難(一）經(jīng)典物理學(xué)的成功 19世紀(jì)末，物理學(xué)理論在當(dāng)時(shí)看來已經(jīng)發(fā)展到相當(dāng)完善的階段。主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面： (1)應(yīng)用牛頓方程成功的討論了從天體到地上各種尺度的力學(xué)客體體的運(yùn)動(dòng)，將其用于分子運(yùn)動(dòng)上，氣體分子運(yùn)動(dòng)論，取得有益的結(jié)果。1897年湯姆森發(fā)現(xiàn)了電子

2、，這個(gè)發(fā)現(xiàn)表明電子的行為類似于一個(gè)牛頓粒子。 (2)光的波動(dòng)性在1803年由楊的衍射實(shí)驗(yàn)有力揭示出來，麥克斯韋在1864年發(fā)現(xiàn)的光和電磁現(xiàn)象之間的聯(lián)系把光的波動(dòng)性置于更加堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)之上。（二）經(jīng)典物理學(xué)的困難但是這些信念，在進(jìn)入20世紀(jì)以后，受到了沖擊。經(jīng)典理論在解釋一些新的試驗(yàn)結(jié)果上遇到了嚴(yán)重的困難。 （1）黑體輻射問題 （2）光電效應(yīng) （3）氫原子光譜黑體：能吸收射到其上的全部輻射的物體，這種物體就稱為絕對黑體，簡稱黑體。黑體輻射：由這樣的空腔小孔發(fā)出的輻射就稱為黑體輻射。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)： 輻射熱平衡狀態(tài): 處于某一溫度 T 下的腔壁，單位面積所發(fā)射出的輻射能量和它所吸收的輻射能量相等時(shí)，輻射達(dá)

3、到熱平衡狀態(tài)。熱平衡時(shí)，空腔輻射的能量密度，與輻射的波長的分布曲線，其形狀和位置只與黑體的絕對溫度 T 有關(guān)而與黑體的形狀和材料無關(guān)。能量密度 (104 cm)0510Wien 線能量密度 (104 cm)0510Wien 公式在短波部分與實(shí)驗(yàn)還相符合，長波部分則明顯不一致。1. Wien 公式 從熱力學(xué)出發(fā)加上一些特殊的假設(shè)，得到一個(gè)分布公式： 1. Wien 公式 Wien 線能量密度 (104 cm)0510Wien 公式在短波部分與實(shí)驗(yàn)還相符合，長波部分則明顯不一致。 （2）光電效應(yīng)光照射到金屬上，有電子從金屬上逸出的現(xiàn)象。這種電子稱之為光電子。試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)光電效應(yīng)有兩個(gè)突出的特點(diǎn)：1.臨

4、界頻率v0 只有當(dāng)光的頻率大于某一定值v0 時(shí)，才有光電子發(fā)射出來。若光頻率小于該值時(shí)，則不論光強(qiáng)度多大，照射時(shí)間多長，都沒有電子產(chǎn)生。光的這一頻率v0稱為臨界頻率。2.電子的能量只是與光的頻率有關(guān)，與光強(qiáng)無關(guān)，光強(qiáng)只決定電子數(shù)目的多少。光電效應(yīng)的這些規(guī)律是經(jīng)典理論無法解釋的。按照光的電磁理論，光的能量只決定于光的強(qiáng)度而與頻率無關(guān)。（3）原子光譜，原子結(jié)構(gòu) 氫原子光譜有許多分立譜線組成，這是很早就發(fā)現(xiàn)了的。1885年瑞士巴爾末發(fā)現(xiàn)紫外光附近的一個(gè)線系，并得出氫原子譜線的經(jīng)驗(yàn)公式是：這就是著名的巴爾末公式（Balmer）。以后又發(fā)現(xiàn)了一系列線系，它們都可以用下面公式表示： 人們自然會(huì)提出如下三個(gè)

5、問題：1.原子線狀光譜產(chǎn)生的機(jī)制是什么？ 2.光譜線的頻率為什么有這樣簡單的規(guī)律？ 3.光譜線公式中能用整數(shù)作參數(shù)來表示這一事實(shí)啟發(fā)我們思考： 怎樣的發(fā)光機(jī)制才能認(rèn)為原子的狀態(tài)可以用包含整數(shù)值的量來描寫。從前，希臘人有一種思想認(rèn)為： 自然之美要由整數(shù)來表示。例如： 奏出動(dòng)聽音樂的弦的長度應(yīng)具有波長的整數(shù)倍。這些問題，經(jīng)典物理學(xué)不能給于解釋。首先，經(jīng)典物理學(xué)不能建立一個(gè)穩(wěn)定的原子模型。根據(jù)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)，電子環(huán)繞原子核運(yùn)動(dòng)是加速運(yùn)動(dòng)，因而不斷以輻射方式發(fā)射出能量，電子的能量變得越來越小，因此繞原子核運(yùn)動(dòng)的電子，終究會(huì)因大量損失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩潰”了，但是，現(xiàn)實(shí)世界表明，原子穩(wěn)定

6、的存在著。除此之外，還有一些其它實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象在經(jīng)典理論看來是難以解釋的，這里不再累述。 總之，新的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，暴露了經(jīng)典理論的局限性，迫使人們?nèi)ふ倚碌奈锢砀拍?，建立新的理論，于是量子力學(xué)就在這場物理學(xué)的危機(jī)中誕生。2 量子論的誕生 （一）Planck 黑體輻射定律 （二）光量子的概念和光電效應(yīng)理論 （四）波爾（Bohr）的量子論 （三）Compton 散射 光的粒子性的進(jìn)一步證實(shí) 2 量子論的誕生 （一）Planck 黑體輻射定律 （二）光量子的概念和光電效應(yīng)理論 （四）波爾（Bohr）的量子論 （三）Compton 散射 光的粒子性的進(jìn)一步證實(shí) （一）Planck 黑體輻射定律究竟是什么機(jī)

7、制使空腔的原子產(chǎn)生出所觀察到的黑體輻射能量分布，對此問題的研究導(dǎo)致了量子物理學(xué)的誕生。 1900年月日Planck 提出： 如果空腔內(nèi)的黑體輻射和腔壁原子處于平衡，那么輻射的能量分布與腔壁原子的能量分布就應(yīng)有一種對應(yīng)。作為輻射原子的模型，Planck 假定：該式稱為 Planck 輻射定律Planck 線能量密度 (104 cm)0510（1）原子的性能和諧振子一樣，以給定的頻率 v 振蕩；（2）黑體只能以 E = hv 為能量單位不連續(xù)的發(fā)射和吸收輻射能量， 而不是象經(jīng)典理論所要求的那樣可以連續(xù)的發(fā)射和吸收輻射能量。對 Planck 輻射定律的三點(diǎn)討論：（1）當(dāng) v 很大（短波）時(shí)，因?yàn)?e

8、xp(hv /kT)-1 exp(hv /kT)，于是Planck 定律 化為 Wien 公式。（2）當(dāng) v 很?。ㄩL波）時(shí)，因?yàn)?exp(hv /kT)-1 1+(h v /kT)-1=(h v /kT)， 則 Planck 定律變?yōu)?Rayleigh-Jeans 公式。對 Planck 輻射定律的三點(diǎn)討論：（1）當(dāng) v 很大（短波）時(shí)，因?yàn)?exp(hv /kT)-1 exp(hv /kT)，于是Planck 定律 化為 Wien 公式。（2）當(dāng) v 很?。ㄩL波）時(shí)，因?yàn)?exp(hv /kT)-1 1+(h v /kT)-1=(h v /kT)， 則 Planck 定律變?yōu)?Raylei

9、gh-Jeans 公式。（二）光量子的概念和光電效應(yīng)理論（1）光子概念 （2）光電效應(yīng)理論 （3）光子的動(dòng)量(1) 光子概念第一個(gè)肯定光具有微粒性的是 Einstein，他認(rèn)為，光不僅是電磁波，而且還是一個(gè)粒子。 根據(jù)他的理論，電磁輻射不僅在發(fā)射和吸收時(shí)以能量 h的微粒形式出現(xiàn)，而且以這種形式在空間以光速 C 傳播，這種粒子叫做光量子，或光子。 由相對論光的動(dòng)量和能量關(guān)系 p = E/C = hv/C = h/提出了光子動(dòng)量 p 與輻射波長（=C/v）的關(guān)系。（2）光電效應(yīng)理論用光子的概念，Einstein 成功地解釋了光電效應(yīng)的規(guī)律。當(dāng)光照射到金屬表面時(shí)，能量為 h的光子被電子所吸收，電子把

10、這份能量的一部分用來克服金屬表面對它的吸引，另一部分用來提供電子離開金屬表面時(shí)的動(dòng)能。其能量關(guān)系可寫為：從上式不難解釋光電效應(yīng)的兩個(gè)典型特點(diǎn)：光電效應(yīng)的兩個(gè)典型特點(diǎn)的解釋1. 臨界頻率v02. 光電子動(dòng)能只決定于光子的頻率 由上式明顯看出，能打出電子的光子的最小能量是光電子 V = 0 時(shí)由該式所決定，即 hv -A = 0， v0 = A / h ， 可見，當(dāng) v ；2 波長增量 = 隨散射角增大而增大。這一現(xiàn)象稱為 Compton 效應(yīng)。X-射線被輕元素如白蠟、石墨中的電子散射后出現(xiàn)的效應(yīng)。該效應(yīng)有如下 2 個(gè)特點(diǎn)：（2）定性解釋根據(jù)光量子理論，具有能量 E = h 的光子與電子碰撞后，光

11、子把部分能量傳遞給電子，光子的能量變?yōu)?E= h 顯然有 E E, 從而有 ）且隨散射角增大而增大。（3）證 明根據(jù)能量和動(dòng)量守恒定律：代入得：兩邊平方：兩邊平方（2）式（1）式得：kkmv所以最后得：（四）波爾（Bohr）的量子論P(yáng)lanck-Einstein 光量子概念必然會(huì)促進(jìn)物理學(xué)其他重大疑難問題的解決。1913年 Bohr 把這種概念運(yùn)用到原子結(jié)構(gòu)問題上，提出了他的原子的量子論。該理論今天已為量子力學(xué)所代替，但是它在歷史上對量子理論的發(fā)展曾起過重大的推動(dòng)作用，而且該理論的某些核心思想至今仍然是正確的，在量子力學(xué)中保留了下來 （1）波爾假定 （2）氫原子線光譜的解釋 （3）量子化條件的

12、推廣 （4）波爾量子論的局限性（1）波爾假定Bohr 在他的量子論中提出了兩個(gè)極為重要的概念，可以認(rèn)為是對大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)的概括。1.原子具有能量不連續(xù)的定態(tài)的概念。 2.量子躍遷的概念. 原子的穩(wěn)定狀態(tài)只可能是某些具有一定分立值能量 E1,E2,., En 的狀態(tài)。為了具體確定這些能量數(shù)值，Bohr提出了量子化條件：原子處于定態(tài)時(shí)不輻射，但是因某種原因，電子可以從一個(gè)能級(jí) En 躍遷到另一個(gè)較低（高）的能級(jí) Em ，同時(shí)將發(fā)射（吸收）一個(gè)光子。光子的頻率為： 而處于基態(tài)（能量最低態(tài)）的原子，則不放出光子而穩(wěn)定的存在著（2）氫原子線光譜的解釋根據(jù)這兩個(gè)概念，可以圓滿地解釋氫原子的線光譜。假設(shè)氫原子

13、中的電子繞核作圓周運(yùn)動(dòng) +Fcvre由量子化條件電子的能量與氫原子線光譜的經(jīng)驗(yàn)公式比較根據(jù) Bohr 量子躍遷的概念得 Rydberg 常數(shù)與實(shí)驗(yàn)完全一致（3）量子化條件的推廣由理論力學(xué)知，若將角動(dòng)量 L 選為廣義動(dòng)量，則為廣義坐標(biāo)。考慮積分并利用 Bohr 提出的量子化條件，有索末菲將 Bohr 量子化條件推廣為推廣后的量子化條件可用于多自由度情況，這樣索末菲量子化條件不僅能解釋氫原子光譜，而且對于只有一個(gè)電子（Li，Na，K 等）的一些原子光譜也能很好的解釋。（4）波爾量子論的局限性1. 不能證明較復(fù)雜的原子甚至比氫稍微復(fù)雜的氦原子的光譜； 2. 不能給出光譜的譜線強(qiáng)度（相對強(qiáng)度）； 3.

14、 Bohr 只能處理周期運(yùn)動(dòng)，不能處理非束縛態(tài)問題，如散射問題； 4. 從理論上講，能量量子化概念與經(jīng)典力學(xué)不相容。多少帶有人為的性質(zhì)，其物理本質(zhì)還不清楚。 波爾量子論首次打開了認(rèn)識(shí)原子結(jié)構(gòu)的大門，取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的問題也逐漸為人們所認(rèn)識(shí) 3 實(shí)物粒子的波粒二象性（一）LDe Broglie 關(guān)系 （二）de Broglie 波 （三）駐波條件 （四）de Broglie 波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證（一）LDe Broglie 關(guān)系假定：與一定能量 E 和動(dòng)量 p 的實(shí)物粒子相聯(lián)系的波（他稱之為“物質(zhì)波”）的頻率和波長分別為： E = h = E/h P = h/ = h/p 該關(guān)系稱

15、為de. Broglie關(guān)系。根據(jù)Planck-Einstein 光量子論，光具有波動(dòng)粒子二重性， 以及Bohr量子論，啟發(fā)了de. Broglie，他 （1）仔細(xì)分析了光的微粒說與波動(dòng)說的發(fā)展史； （2）注意到了幾何光學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的相似性，提出了實(shí)物粒子（靜質(zhì)量 m 不等于 0 的粒子）也具有波動(dòng)性。也就是說，粒子和光一樣也具有波動(dòng)-粒子二重性，二方面必有類似的關(guān)系相聯(lián)系。（一）LDe Broglie 關(guān)系假定：與一定能量 E 和動(dòng)量 p 的實(shí)物粒子相聯(lián)系的波（他稱之為“物質(zhì)波”）的頻率和波長分別為： E = h = E/h P = h/ = h/p 該關(guān)系稱為de. Broglie關(guān)系。根

16、據(jù)Planck-Einstein 光量子論，光具有波動(dòng)粒子二重性， 以及Bohr量子論，啟發(fā)了de. Broglie，他 （1）仔細(xì)分析了光的微粒說與波動(dòng)說的發(fā)展史； （2）注意到了幾何光學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的相似性，提出了實(shí)物粒子（靜質(zhì)量 m 不等于 0 的粒子）也具有波動(dòng)性。也就是說，粒子和光一樣也具有波動(dòng)-粒子二重性，二方面必有類似的關(guān)系相聯(lián)系。（二）de Broglie 波因?yàn)樽杂闪Ｗ拥哪芰?E 和動(dòng)量 p 都是常量，所以由de Broglie 關(guān)系可知，與自由粒子聯(lián)系的波的頻率和波矢k（或波長）都不變，即是一個(gè)單色平面波。由力學(xué)可知，頻率為，波長為，沿單位矢量 n 方向傳播的平面波可表為：寫

17、成復(fù)數(shù)形式這種波就是與自由粒子相聯(lián)系的單色平面波，或稱為描寫自由粒子的平面波，這種寫成復(fù)數(shù)形式的波稱為 de Broglie 波de Broglie 關(guān)系： = E/h = 2 = 2E/h = E/ = h/p k = 1/ = 2 / = p/ （三）駐波條件為了克服 Bohr 理論帶有人為性質(zhì)的缺陷， de Broglie 把原子定態(tài)與駐波聯(lián)系起來，即把粒子能量量子化問題和有限空間中駐波的波長（或頻率）的分立性聯(lián)系起來。例如：氫原子中作穩(wěn)定圓周運(yùn)動(dòng)的電子相應(yīng)的駐波示意圖要求圓周長是波長的整數(shù)倍于是角動(dòng)量：de Broglie 關(guān)系r代入de Broglie 波在1924年提出后，在192

18、7-1928年由 Davisson 和Germer 以及 G.P.Thomson 的電子衍射實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。法拉第園 筒入射電子注鎳單晶d衍射最大值公式作 業(yè) 周世勛量子力學(xué)教程： 1.2 、 1.4 曾謹(jǐn)言量子力學(xué)導(dǎo)論： 1.1、1.3第二章 波函數(shù)和 Schrodinger 方程1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 2 態(tài)疊加原理 3 力學(xué)量的平均值和算符的引進(jìn) 4 Schrodinger 方程 5 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律 6 定態(tài)Schrodinger方程 1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（一）波函數(shù) （二）波函數(shù)的解釋 （三）波函數(shù)的性質(zhì) 3個(gè)問題？ 描寫自由粒子的平 面 波如果粒子處于隨時(shí)間和位置變化的力場中運(yùn)

19、動(dòng)，他的動(dòng)量和能量不再是常量（或不同時(shí)為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復(fù)雜的波描寫，一般記為：描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常是一個(gè)復(fù)函數(shù)。稱為 deBroglie 波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。(1) 是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？(2) 如何體現(xiàn)波粒二象性的？(3) 描寫的是什么樣的波呢？（一）波函數(shù)返 回1 電子源感光屏（1）兩種錯(cuò)誤的看法1. 波由粒子組成如水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布。這種看法是與實(shí)驗(yàn)矛盾的，它不能解釋長時(shí)間單個(gè)電子衍射實(shí)驗(yàn)。電子一個(gè)一個(gè)的通過小孔，但只要時(shí)間足夠長，底片上增加呈現(xiàn)出衍射花紋。這說明電子的波動(dòng)性并不是許多電子在空間聚集在一起時(shí)才

20、有的現(xiàn)象，單個(gè)電子就具有波動(dòng)性。 波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動(dòng)性的一面，具有片面性。PPOQQO事實(shí)上，正是由于單個(gè)電子具有波動(dòng)性，才能理解氫原子（只含一個(gè)電子?。┲须娮舆\(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。2. 粒子由波組成電子是波包。把電子波看成是電子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動(dòng)現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運(yùn)動(dòng)速度。 什么是波包？波包是各種波數(shù)（長）平面波的迭加。 平面波描寫自由粒子，其特點(diǎn)是充滿整個(gè)空間，這是因?yàn)槠矫娌ㄕ穹c位置無關(guān)。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個(gè)空間，這是

21、沒有意義的，與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾。 實(shí)驗(yàn)上觀測到的電子，總是處于一個(gè)小區(qū)域內(nèi)。例如在一個(gè)原子內(nèi)，其廣延不會(huì)超過原子大小1 。 電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？ “ 電子既不是粒子也不是波 ”，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波，但是我們也可以說，“ 電子既是粒子也是波，它是粒子和波動(dòng)二重性矛盾的統(tǒng)一?！?這個(gè)波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。經(jīng)典概念中 1.有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”的屬性; 粒子意味著 2有確定的運(yùn)動(dòng)軌道，每一時(shí)刻有一定 位置和速度。經(jīng)典概念中 1.實(shí)在的物理量的空間分布作周期性的變化; 波意味著 2干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。1.入射電子流強(qiáng)度小，開始顯示

22、電子的微粒性，長時(shí)間亦顯示衍射圖樣;電子源感光屏QQOPP我們再看一下電子的衍射實(shí)驗(yàn)2. 入射電子流強(qiáng)度大，很快顯示衍射圖樣.結(jié)論：衍射實(shí)驗(yàn)所揭示的電子的波動(dòng)性是： 許多電子在同一個(gè)實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，或者是一個(gè)電子在許多次相同實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。 波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進(jìn)的，在此基礎(chǔ)上，Born 提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計(jì)解釋。 r 點(diǎn)附近衍射花樣的強(qiáng)度 正比于該點(diǎn)附近感光點(diǎn)的數(shù)目， 正比于該點(diǎn)附近出現(xiàn)的電子數(shù)目， 正比于電子出現(xiàn)在 r 點(diǎn)附近的幾率。在電子衍射實(shí)驗(yàn)中，照相底片上 據(jù)此，描寫粒子的波可以認(rèn)為是幾率波，反映微觀客體運(yùn)動(dòng)的一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，波函數(shù) (r)有時(shí)也稱為幾率幅。 這

23、就是首先由 Born 提出的波函數(shù)的幾率解釋，它是量子力學(xué)的基本原理。假設(shè)衍射波波幅用 (r) 描述，與光學(xué)相似， 衍射花紋的強(qiáng)度則用 | (r)|2 描述，但意義與經(jīng)典波不同。| (r)|2 的意義是代表電子出現(xiàn)在 r 點(diǎn)附近幾率的大小， 確切的說， | (r)|2 x y z 表示在 r 點(diǎn)處，體積元x y z中找到粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅絕對值的平方）和在這點(diǎn)找到粒子的幾率成比例，（三）波函數(shù)的性質(zhì)在 t 時(shí)刻， r 點(diǎn)，d = dx dy dz 體積內(nèi)，找到由波函數(shù) (r,t)描寫的粒子的幾率是： d W( r, t) = C| (r,t)|2 d， 其中，C是比例系數(shù)

24、。根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)：（1）幾率和幾率密度在 t 時(shí)刻 r 點(diǎn)，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是： ( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|2 稱為幾率密度。在體積 V 內(nèi)，t 時(shí)刻找到粒子的幾率為： W(t) = V dW = V( r, t ) d= CV | (r,t)|2 d（2）平方可積由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一，即： C | (r , t)|2 d= 1, 從而得常數(shù) C 之值為： C = 1/ | (r , t)|2 d這即是要求描寫粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)必須是絕對值平方可積

25、的函數(shù)。若 | (r , t)|2 d , 則 C 0, 這是沒有意義的。注意：自由粒子波函數(shù) 不滿足這一要求。關(guān)于自由粒子波函數(shù)如何歸一化問題，以后再予以討論。 （3）歸一化波函數(shù)這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來的 2 倍），則相應(yīng)的波動(dòng)能量將為原來的 4 倍，因而代表完全不同的波動(dòng)狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。 (r , t ) 和 C (r , t ) 所描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的，這里的 C 是常數(shù)。 因?yàn)樵?t 時(shí)刻，空間任意兩點(diǎn) r1 和 r2 處找到粒子的相對幾率之比是： 由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點(diǎn)強(qiáng)度的相對比例，而

26、不取決于強(qiáng)度的絕對大小，因而，將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即 (r, t) 和 C (r, t) 描述同一狀態(tài)可見， (r , t ) 和 C (r , t ) 描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。歸一化常數(shù)若 (r , t ) 沒有歸一化， | (r , t )|2 d= A （A 是大于零的常數(shù)），則有 |(A)-1/2 (r , t )|2 d= 1 也就是說，(A)-1/2 (r , t )是歸一化的波函數(shù)， 與 (r , t )描寫同一幾率波， (A)-1/2 稱為歸一化因子。 注意：對歸一化波函數(shù)仍有一個(gè)模為一的因子不定性。 若 (r , t )是歸

27、一化波函數(shù)，那末， expi (r , t ) 也是歸一化波函數(shù)（其中是實(shí)數(shù)），與前者描述同一幾率波。（4）平面波歸一化I Dirac 函數(shù) 定義：或等價(jià)的表示為：對在x=x0 鄰域連續(xù)的任何函數(shù) f（x）有：函數(shù) 亦可寫成 Fourier 積分形式：令 k=px/, dk= dpx/, 則 性質(zhì)：0 x0 x（4）平面波歸一化I Dirac 函數(shù) 定義：或等價(jià)的表示為：對在x=x0 鄰域連續(xù)的任何函數(shù) f（x）有：函數(shù) 亦可寫成 Fourier 積分形式：令 k=px/, dk= dpx/, 則 性質(zhì)：0 x0 xII 平面波 歸一化寫成分量形式t=0 時(shí)的平面波考慮一維積分若取 A12 2

28、 = 1，則 A1= 2-1/2, 于是平面波可歸一化為函數(shù)三維情況：其中注意：這樣歸一化后的平面波其模的平方仍不表示幾率密度，依然只是表示平面波所描寫的狀態(tài)在空間各點(diǎn)找到粒子的幾率相同。作 業(yè) 補(bǔ) 充 題2 態(tài)疊加原理（一）態(tài)疊加原理 （二）動(dòng)量空間（表象）的波函數(shù)（一）態(tài)疊加原理微觀粒子具有波動(dòng)性，會(huì)產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質(zhì)在于波的疊加性，即可相加性，兩個(gè)相加波的干涉的結(jié)果產(chǎn)生衍射。因此，同光學(xué)中波的疊加原理一樣，量子力學(xué)中也存在波疊加原理。因?yàn)榱孔恿W(xué)中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所以量子力學(xué)的波疊加原理稱為態(tài)疊加原理?？紤]電子雙縫衍射 = C11 + C

29、22 也是電子的可能狀態(tài)。 空間找到電子的幾率則是： |2 = |C11+ C22|2 = (C1*1*+ C2*2*) (C11+ C22) = |C1 1|2+ |C22|2 + C1*C21*2 + C1C2*12*P12S1S2電子源感光屏電子穿過狹縫出現(xiàn)在點(diǎn)的幾率密度電子穿過狹縫出現(xiàn)在點(diǎn)的幾率密度相干項(xiàng) 正是由于相干項(xiàng)的出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍射花紋。一個(gè)電子有 1 和 2 兩種可能的狀態(tài)， 是這兩種狀態(tài)的疊加。其中C1 和 C2 是復(fù)常數(shù)，這就是量子力學(xué)的態(tài)疊加原理。態(tài)疊加原理一般表述： 若1 ，2 ,., n ,.是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加 = C11 + C22 +

30、.+ Cnn + . (其中 C1 , C2 ,.,Cn ,.為復(fù)常數(shù))。 也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。 處于態(tài)的體系，部分的處于 1態(tài)，部分的處于2態(tài).，部分的處于n，.一般情況下，如果1和2 是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加= C11 + C22 也是該體系的一個(gè)可能狀態(tài).例：電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的動(dòng)量 p 運(yùn)動(dòng)。具有確定動(dòng)量的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用deBroglie 平面波表示根據(jù)疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)可表示成 p 取各種可能值的平面波的線性疊加，即而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果。dp（二）動(dòng)量空間（表象）的波函數(shù) (r,t)是以坐標(biāo) r 為自變量的波函數(shù)

31、， 坐標(biāo)空間波函數(shù)，坐標(biāo)表象波函數(shù)； C(p, t) 是以動(dòng)量 p 為自變量的波函數(shù)， 動(dòng)量空間波函數(shù)，動(dòng)量表象波函數(shù)； 二者描寫同一量子狀態(tài)。波函數(shù) (r,t) 可用各種不同動(dòng)量的平面波表示， 下面我們給出簡單證明。展開系數(shù)令則 可按p 展開若 (r,t)已歸一化，則 C(p, t)也是歸一化的3 力學(xué)量的平均值和算符的引進(jìn)（一）力學(xué)量平均值 （1）坐標(biāo)平均值 （2）動(dòng)量平均值 （二）力學(xué)量算符 （1）動(dòng)量算符 （2）動(dòng)能算符 （3）角動(dòng)量算符 （4）Hamilton 算符（一）力學(xué)量平均值在統(tǒng)計(jì)物理中知道， 當(dāng)可能值為離散值時(shí): 一個(gè)物理量的平均值等于物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的幾率求

32、和； 當(dāng)可能值為連續(xù)取值時(shí)：一個(gè)物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的幾率密度求積分。 基于波函數(shù)的幾率含義，我們馬上可以得到粒子坐標(biāo)和動(dòng)量的平均值。先考慮一維情況，然后再推廣至三維。（1）坐標(biāo)平均值為簡單計(jì)，剩去時(shí)間變量（或者說，先不考慮隨時(shí)間的變化） 設(shè)(x) 是歸一化波函數(shù)，| (x)|2 是粒子出現(xiàn)在x點(diǎn)的幾率密度，則對三維情況，設(shè)(r) 是歸一化波函數(shù)，|(r)|2是粒子出現(xiàn)在 r 點(diǎn)的幾率密度，則x的平均值為（2）動(dòng)量平均值一維情況：令(x)是歸一化波函數(shù)，相應(yīng)動(dòng)量表象波函數(shù)為（二）力學(xué)量算符簡言之，由于量子力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)完全不同，它是用波函數(shù)描寫狀態(tài)，所以力學(xué)量也必須改造成與經(jīng)典力學(xué)不

33、同的算符形式（稱為第一次量子化）。（1）動(dòng)量算符既然(x) 是歸一化波函數(shù)，相應(yīng)動(dòng)量表象波函數(shù)為c(px) 一 一 對應(yīng)，相互等價(jià)的描述粒子的同一狀態(tài)，那末動(dòng)量的平均值也應(yīng)可以在坐標(biāo)表象用(x)表示出來。但是(x)不含px變量，為了能由(x)來確定動(dòng)量平均值，動(dòng)量 px必須改造成只含自變量 x 的形式，這種形式稱為動(dòng)量 px的算符形式，記為一維情況：比較上面二式得兩點(diǎn)結(jié)論：體系狀態(tài)用坐標(biāo)表象中的波函數(shù) (r) 描寫時(shí)，坐標(biāo) x 的算符就是其自身，即說明力學(xué)量在自身表象中的算符形式最簡單。而動(dòng)量 px 在坐標(biāo)表象（非自身表象）中的形式必須改造成動(dòng)量算符形式：三維情況：由歸一化波函數(shù)(r)求 力學(xué)

34、量平均值時(shí)，必須把該力學(xué)量的算符夾在*(r)和(r)之間,對全空間積分，即F 是任一 力學(xué)量算符（2）動(dòng)能算符（3）角動(dòng)量算符（4）Hamilton 算符作 業(yè) 補(bǔ)充題4 Schrodinger 方程（一）引 （二）引進(jìn)方程的基本考慮 （三）自由粒子滿足的方程 （四）勢場 V (r) 中運(yùn)動(dòng)的粒子 （五）多粒子體系的Schrodinger方程這些問題在1926年Schrodinger 提出了波動(dòng)方程之后得到了圓滿解決。微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定之后，粒子的任何一個(gè)力學(xué)量的平均值及其測量的可能值和相應(yīng)的幾率分布也都被完全確定，波函數(shù)完全描寫微觀粒子的狀態(tài)。因此量子力學(xué)最核心的問

35、題就是要解決以下兩個(gè)問題：(1)在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)； (2)波函數(shù)如何隨時(shí)間演化。（一）引（二）引進(jìn)方程的基本考慮從牛頓方程，人們可以確定以后任何時(shí)刻 t 粒子的狀態(tài) r 和 p 。因?yàn)槌鯒l件知道的是坐標(biāo)及其對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，所以方程是時(shí)間的二階常微分方程。讓我們先回顧一下經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)方程，看是否能給我們以啟發(fā)。（1）經(jīng)典情況（2）量子情況3第三方面，方程不能包含狀態(tài)參量，如 p, E等，否則方程只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種可能的狀態(tài)所滿足。1因?yàn)椋瑃 = t0 時(shí)刻，已知的初態(tài)是( r, t0) 且只知道這樣一個(gè)初條件，所以，描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)所滿足的

36、方程只能含對時(shí)間 的一階導(dǎo)數(shù)。2另一方面，要滿足態(tài)疊加原理，即，若1( r, t ) 和2( r, t )是方程的解，那末。 ( r, t)= C11( r, t ) + C22( r, t ) 也應(yīng)是該方程的解。這就要求方程應(yīng)是線性的，也就是說方程中只能包含, 對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)和對坐標(biāo)各階導(dǎo)數(shù)的一次項(xiàng)，不能含它們的平方或開方項(xiàng)。（三）自由粒子滿足的方程這不是所要尋找的方程，因?yàn)樗瑺顟B(tài)參量 E 。將對坐標(biāo)二次微商，得：描寫自由粒子波函數(shù):應(yīng)是所要建立的方程的解。將上式對 t 微商，得：(1)(2)式滿足上述構(gòu)造方程的三個(gè)條件討論：通過引出自由粒子波動(dòng)方程的過程可以看出，如果能量關(guān)系式 E

37、= p2/2 寫成如下方程形式：做算符替換（4）即得自由粒子滿足的方程（3）。(1)(2)式返回（四）勢場 V(r) 中運(yùn)動(dòng)的粒子該方程稱為 Schrodinger 方程，也常稱為波動(dòng)方程。若粒子處于勢場 V(r) 中運(yùn)動(dòng)，則能動(dòng)量關(guān)系變?yōu)椋簩⑵渥饔糜诓ê瘮?shù)得：做（4）式的算符替換得：（五）多粒子體系的 Schrodinger 方程設(shè)體系由 N 個(gè)粒子組成， 質(zhì)量分別為 i (i = 1, 2,., N) 體系波函數(shù)記為 ( r1, r2, ., rN ; t) 第i個(gè)粒子所受到的外場 Ui(ri) 粒子間的相互作用 V(r1, r2, ., rN) 則多粒子體系的 Schrodinger 方

38、程可表示為：多粒子體系 Hamilton 量對有 Z 個(gè)電子的原子，電子間相互作用為 Coulomb 排斥作用：而原子核對第 i 個(gè)電子的 Coulomb 吸引能為：假定原子核位于坐標(biāo)原點(diǎn)，無窮遠(yuǎn)為勢能零點(diǎn)。例如：5 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律（一）定域幾率守恒 （二）再論波函數(shù)的性質(zhì)（一） 定域幾率守恒考慮低能非相對論實(shí)物粒子情況，因沒有粒子的產(chǎn)生和湮滅問題，粒子數(shù)保持不變。對一個(gè)粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應(yīng)不隨時(shí)間改變，即在討論了狀態(tài)或波函數(shù)隨時(shí)間變化的規(guī)律后，我們進(jìn)一步討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時(shí)間變化。粒子在 t 時(shí)刻 r 點(diǎn)周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密

39、度是：證：考慮 Schrodinger 方程及其共軛式：取共軛在空間閉區(qū)域中將上式積分，則有：閉區(qū)域上找到粒子的總幾率在單位時(shí)間內(nèi)的增量J是幾率流密度，是一矢量。所以(7)式是幾率（粒子數(shù)）守恒的積分表示式。令 Eq.（7）趨于 ，即讓積分對全空間進(jìn)行，考慮到任何真實(shí)的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處為零，則式右面積分趨于零，于是 Eq.（7）變?yōu)椋浩湮⒎中问脚c流體力學(xué)中連續(xù)性方程的形式相同使用 Gauss 定理單位時(shí)間內(nèi)通過的封閉表面 S 流入（面積分前面的負(fù)號(hào)）內(nèi)的幾率S討論：表明，波函數(shù)歸一化不隨時(shí)間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。（1） 這里的幾率守恒具有定域性質(zhì)，當(dāng)空

40、間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來實(shí)現(xiàn)這種變化。（2） 以乘連續(xù)性方程等號(hào)兩邊，得到：量子力學(xué)的質(zhì)量守恒定律同理可得量子力學(xué)的電荷守恒定律：表明電荷總量不隨時(shí)間改變質(zhì)量密度 和 質(zhì)量流密度矢量電荷密度 和 電流密度矢量（二）再論波函數(shù)的性質(zhì)1. 由 Born 的統(tǒng)計(jì)解釋可知，描寫粒子的波函數(shù)已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即 d (r, t) = |(r, t)|2 d 2. 已知 (r, t)， 則任意力學(xué)量的平均值、可能值及相應(yīng)的幾率就都知道了，也就是說，描寫粒子狀態(tài)的一切力學(xué)量就都知道了。所以波函數(shù)又稱為狀態(tài)波函數(shù)或態(tài)函數(shù)。 3.知道體系所受

41、力場和相互作用及初始時(shí)刻體系的狀態(tài)后，由Schrodinger方程即可確定以后時(shí)刻的狀態(tài)。（1）波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)（2）波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件1. 根據(jù)Born統(tǒng)計(jì)解釋 (r, t) = *(r, t) (r, t)是粒子在t時(shí)刻出現(xiàn)在 r點(diǎn)的幾率，這是一個(gè)確定的數(shù)，所以要求(r, t)應(yīng)是 r, t的單值函數(shù)且有限。式右含有及其對坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)的積分，由于積分區(qū)域是任意選取的，所以S是任意閉合面。要是積分有意義，必須在變數(shù)的全部范圍，即空間任何一點(diǎn)都應(yīng)是有限、連續(xù)且其一階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。 概括之，波函數(shù)在全空間每一點(diǎn)通常應(yīng)滿足單值、有限、連續(xù)三個(gè)條件，該條件稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。2.根據(jù)粒子數(shù)守恒定

42、律 :（3）量子力學(xué)基本假定 I、 II量子力學(xué)基本假定 I 波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)量子力學(xué)基本假定 II 波函數(shù)隨時(shí)間的演化遵從 Schrodinger 方程6 定態(tài)Schrodinger方程（一）定態(tài)Schrodinger方程 （二）Hamilton算符和能量本征值方程 （三）求解定態(tài)問題的步驟 （四）定態(tài)的性質(zhì) （一）定態(tài)Schrodinger方程現(xiàn)在讓我們討論 有外場情況下的定態(tài) Schrodinger 方程：令：于是：V(r)與t無關(guān)時(shí)，可以分離變量代入等式兩邊是相互無關(guān)的物理量，故應(yīng)等于與 t, r 無關(guān)的常數(shù)該方程稱為定態(tài) Schrodinger 方程，(r)也可稱為定態(tài)波函數(shù)

43、，或可看作是t=0時(shí)刻(r,0)的定態(tài)波函數(shù)。此波函數(shù)與時(shí)間t的關(guān)系是正弦型的，其角頻率=2E/h。 由de Broglie關(guān)系可知： E 就是體系處于波函數(shù)(r,t)所描寫的狀態(tài)時(shí)的能量。也就是說，此時(shí)體系能量有確定的值，所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)，波函數(shù)(r,t)稱為定態(tài)波函數(shù)?？臻g波函數(shù)(r)可由方程和具體問題(r)應(yīng)滿足的邊界條件得出。（二）Hamilton算符和能量本征值方程（1）Hamilton 算符二方程的特點(diǎn)：都是以一個(gè)算符作用于(r, t)等于E(r, t)。所以這兩個(gè)算符是完全相當(dāng)?shù)模ㄗ饔糜诓ê瘮?shù)上的效果一樣）。是相當(dāng)?shù)?。這兩個(gè)算符都稱為能量算符。也可看出，作用于任一波函數(shù)上的二

44、算符再由 Schrodinger 方程：（2）能量本征值方程（1）一個(gè)算符作用于一個(gè)函數(shù)上得到一個(gè)常數(shù)乘以該函數(shù)這與數(shù)學(xué)物理方法中的本征值方程相似。 數(shù)學(xué)物理方法中：微分方程 + 邊界條件構(gòu)成本征值問題； 將改寫成 （2）量子力學(xué)中：波函數(shù)要滿足三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件，對應(yīng)數(shù)學(xué)物理方法中的邊界條件，稱為波函數(shù)的自然邊界條件。 因此在量子力學(xué)中稱與上類似的方程為束縛的本征值方程。常量 E 稱為算符 H 的本征值；稱為算符 H 的本征函數(shù)。 （3）由上面討論可知，當(dāng)體系處于能量算符本征函數(shù)所描寫的狀態(tài)（簡稱能量本征態(tài)）時(shí)，粒子能量有確定的數(shù)值，這個(gè)數(shù)值就是與這個(gè)本征函數(shù)相應(yīng)的能量算符的本征值。（三）求解定態(tài)

45、問題的步驟討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)( r, t) 和在這些態(tài)中的能量 E。其具體步驟如下：（1）列出定態(tài) Schrodinger方程（2）根據(jù)波函數(shù)三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件求解能量 E 的本征值問題，得：（3）寫出定態(tài)波函數(shù)即得到對應(yīng)第 n 個(gè)本征值 En 的定態(tài)波函數(shù)（4）通過歸一化確定歸一化系數(shù) Cn（四）定態(tài)的性質(zhì)（2）幾率密度與時(shí)間無關(guān)（1）粒子在空間幾率密度與時(shí)間無關(guān)綜上所述，當(dāng)滿足下列三個(gè)等價(jià)條件中的任何一個(gè)時(shí)，就是定態(tài)波函數(shù)： 1. 描述的狀態(tài)其能量有確定的值； 2. 滿足定態(tài)Schrodinger方程； 3. |2 與 t無關(guān)。（3）任何不顯含t得力學(xué)量平均值與t 無關(guān)

46、作 業(yè)周世勛 量子力學(xué)教程 2.2 題 曾謹(jǐn)言 量子力學(xué)導(dǎo)論 2.1、2.3 題第三章 一維定態(tài)問題在繼續(xù)闡述量子力學(xué)基本原理之前，先用 Schrodinger 方程來處理一類簡單的問題一維定態(tài)問題。其好處有四： （1）有助于具體理解已學(xué)過的基本原理； （2）有助于進(jìn)一步闡明其他基本原理； （4）一維問題還是處理各種復(fù)雜問題的基礎(chǔ)。1 一維無限深勢阱 2 線性諧振子 3 一維勢散射問題（3）處理一維問題，數(shù)學(xué)簡單，從而能對結(jié)果進(jìn)行細(xì)致討論，量子體系的許多特征都可以在這些一維問題中展現(xiàn)出來； 1 一維無限深勢阱（一）一維運(yùn)動(dòng) （二）一維無限深勢阱 （三）宇稱 （四）討論（一） 一維運(yùn)動(dòng)所謂一維運(yùn)

47、動(dòng)就是指在某一方向上的運(yùn)動(dòng)。此方程是一個(gè)二階偏微分方程。若勢可寫成： V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z) 形式，則 S-方程可在直角坐標(biāo)系中分離變量。令 (x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = Ex + Ey + Ez于是S-方程化為三個(gè)常微分方程：當(dāng)粒子在勢場 V(x,y,z) 中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其 Schrodinger 方程為：其中（二）一維無限深勢阱求解 S 方程 分四步： （1）列出各勢域的一維S方程 （2）解方程 （3）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解 （4）定歸一化系數(shù)-a 0 aV(x)IIIIII（1）列出各勢域的 S 方程方程可 簡化為：-a

48、0 aV(x)IIIIII勢V(x)分為三個(gè)區(qū)域， 用 I 、II 和 III 表示， 其上的波函數(shù)分別為 I(x),II(x) 和 III (x)。則方程為：22（3）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件從物理考慮，粒子不能透過無窮高的勢壁。 根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，要求在阱壁上和阱壁 外波函數(shù)為零，特別是 (-a) = (a) = 0。-a 0 aV(x)IIIIII1。單值，成立； 2。有限：當(dāng)x - ， 有限條件要求 C2=0。使用標(biāo)準(zhǔn)條件 3。連續(xù)： 2）波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)： 在邊界 x = -a，勢有無窮跳躍，波函數(shù)微商不連續(xù)。這是因?yàn)椋?若I(-a) = II(-a)， 則有，0 = A cos(-a

49、+ ) 與上面波函數(shù)連續(xù)條件導(dǎo)出的結(jié)果 A sin(-a + )= 0 矛盾，二者不能同時(shí)成立。所以波函數(shù)導(dǎo)數(shù)在有無窮跳躍處不連續(xù)。1）波函數(shù)連續(xù)：-a 0 aV(x)IIIIII(1)+(2)(2)-(1)兩種情況：由（4）式討論狀態(tài)不存在描寫同一狀態(tài)所以 n 只取正整數(shù)，即于是：或于是波函數(shù)：由（3）式類似 I 中關(guān)于 n = m 的討論可知：綜合 I 、II 結(jié)果，最后得：對應(yīng) m = 2 n對應(yīng) m = 2n+1能量最低的態(tài)稱為基態(tài)，其上為第一激發(fā)態(tài)、第二激發(fā)態(tài)依次類推。由此可見，對于一維無限深方勢阱，粒子束縛于有限空間范圍，在無限遠(yuǎn)處， = 0 。這樣的狀態(tài)，稱為束縛態(tài)。一維有限運(yùn)動(dòng)

50、能量本征值是分立能級(jí)，組成分立譜。（4）由歸一化條件定系數(shù) A小結(jié) 由無窮深方勢阱問題的求解可以看 出，解S方程的一般步驟如下：一、列出各勢域上的S方程； 二、求解S方程； 三、利用波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件（單值、有限、連續(xù)）定未知數(shù)和能量本征值； 四、由歸一化條件定出最后一個(gè)待定系數(shù)（歸一化系數(shù)）。（三）宇稱（1）空間反射：空間矢量反向的操作。（2）此時(shí)如果有： 稱波函數(shù)具有正宇稱（或偶宇稱）；稱波函數(shù)具有負(fù)宇稱（或奇宇稱）；（3）如果在空間反射下，則波函數(shù)沒有確定的宇稱。（四）討論一維無限深 勢阱中粒子 的狀態(tài)（2）n = 0 , E = 0, = 0，態(tài)不存在，無意義。 而n = k, k=1,

51、2,.可見，n取負(fù)整數(shù)與正整數(shù)描寫同一狀態(tài)。（1）n = 1, 基態(tài)， 與經(jīng)典最低能量為零不同， 這是微觀粒子波動(dòng)性的表 現(xiàn)，因?yàn)椤办o止的波”是沒 有意義的。（4）n*(x) = n(x) 即波函數(shù)是實(shí)函數(shù)。（5）定 態(tài) 波 函 數(shù)（3）波函數(shù)宇稱作 業(yè)周世勛：量子力學(xué)教程第二章 2.3、 2.4、 2.82 線性諧振子（一）引言 （1）何謂諧振子 （2）為什么研究線性諧振子 （二）線性諧振子 （1）方程的建立 （2）求解 （3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件 （4）厄密多項(xiàng)式 （5）求歸一化系數(shù) （6）討論（三）實(shí)例（一）引言（1）何謂諧振子量子力學(xué)中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢場中運(yùn)動(dòng)的粒子。在經(jīng)典力

52、學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為 的粒子，受彈性力F = - kx作用，由牛頓第二定律可以寫出運(yùn)動(dòng)方程為：其解為 x = Asin( t + )。這種運(yùn)動(dòng)稱為簡諧振動(dòng)， 作這種運(yùn)動(dòng)的粒子叫諧振子。若取V0 = 0，即平衡位置處于勢 V = 0 點(diǎn)，則（2）為什么研究線性諧振子自然界廣泛碰到簡諧振動(dòng)，任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，例如分子振動(dòng)、晶格振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及輻射場的振動(dòng)等往往都可以分解成若干彼此獨(dú)立的一維簡諧振動(dòng)。簡諧振動(dòng)往往還作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，所以簡諧振動(dòng)的研究，無論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。 例如雙原子分子，兩原子間的勢V是二者相對距離x的函數(shù)，如圖所示。在 x = a 處，V

53、有一極小值V0 。在 x = a 附近勢可以展開成泰勒級(jí)數(shù)：axV(x)0V0取新坐標(biāo)原點(diǎn)為(a, V0)，則勢可表示為標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢的形式：可見，一些復(fù)雜的勢場下粒子的運(yùn)動(dòng)往往可以用線性諧振動(dòng)來近似描述。（二）線性諧振子（1）方程的建立 （2）求解 （3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件 （4）厄密多項(xiàng)式 （5）求歸一化系數(shù) （6）討論（1）方程的建立線性諧振子的 Hamilton量：則 Schrodinger 方程可寫為 ：為簡單計(jì)， 引入無量綱變量代替x，此式是一變系數(shù) 二階常微分方程（2）求解為求解方程，我們先看一下它的漸 近解，即當(dāng) 時(shí)波函數(shù) 的行為。在此情況下， 1其中 H() 必須滿足波函數(shù)的單值、有

54、限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。即： 當(dāng)有限時(shí)，H()有限； 當(dāng)時(shí)，H()的行為要保證() 0。將()表達(dá)式代入方程得 關(guān)于 待求函數(shù) H() 所滿足的方程：2. H()滿足的方程3.級(jí)數(shù)解我們以級(jí)數(shù)形式來求解。 為此令：用 k 代替 k由上式可以看出： b0 決定所有角標(biāo)k為偶數(shù)的系數(shù)； b1 決定所有角標(biāo)k為奇數(shù)的系數(shù)。 因?yàn)榉匠淌嵌A微分方程，應(yīng)有兩個(gè) 線性獨(dú)立解?？煞謩e令：b0 0, b1=0. Heven(); b1 0, b0=0. Hodd().即： bk+2(k+2)(k+1)- bk 2k + bk(-1) = 0 從而導(dǎo)出系數(shù) bk 的遞推公式：該式對任意都成立， 故同次冪前的系數(shù)均應(yīng)

55、為零，只含偶次冪項(xiàng)只含奇次冪項(xiàng)則通解可記為： H = co Hodd + ce Heven = (co Hodd + ce Heven e) exp-2/2（3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件(I)=0 exp-2/2|=0 = 1 Heven()|=0 = b0 Hodd()|=0 = 0 皆有限(II) 需要考慮無窮級(jí)數(shù)H()的收斂性為此考察相鄰 兩項(xiàng)之比：考察冪級(jí)數(shù)exp2的 展開式的收斂性比較二級(jí)數(shù)可知： 當(dāng)時(shí)， H()的漸近 行為與exp2相同。單值性和連續(xù)性二條件自然滿足， 只剩下第三個(gè)有限性條件需要進(jìn)行討論。因?yàn)镠()是一個(gè)冪級(jí)數(shù)，故應(yīng)考慮他的收斂性?？紤]一些特殊點(diǎn)， 即勢場有跳躍的地方以及x=0

56、, x 或=0, 。所以總波函數(shù)有如下發(fā)散行為：為了滿足波函數(shù)有限性要求，冪級(jí)數(shù) H() 必須從某一項(xiàng)截?cái)嘧兂梢粋€(gè)多項(xiàng)式。換言之，要求 H() 從某一項(xiàng)（比如第 n 項(xiàng)）起 以后各項(xiàng)的系數(shù)均為零，即 bn 0, bn+2 = 0. 代入遞推關(guān)系)得：結(jié)論 基于波函數(shù) 在無窮遠(yuǎn)處的 有限性條件導(dǎo)致了 能量必須取 分立值。（4）厄密多項(xiàng)式附加有限性條件得到了 H()的 一個(gè)多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式稱為厄密 多項(xiàng)式，記為 Hn()，于是總波 函數(shù)可表示為：由上式可以看出，Hn() 的最高次冪是 n 其系數(shù)是 2n。歸一化系數(shù)Hn() 也可寫成封閉形式： = 2n+1厄密多項(xiàng)式和諧振子波函數(shù)的遞推關(guān)系：從上式

57、出發(fā)，可導(dǎo)出 厄密多項(xiàng)式的遞推關(guān)系： 應(yīng) 用 實(shí) 例例：已知 H0 = 1, H1=2，則 根據(jù)上述遞推關(guān)系得出： H2 = 2H1-2nH0 = 42-2下面給出前幾個(gè)厄密 多項(xiàng)式具體表達(dá)式： H0=1 H2=42-2 H4 = 164-482+12 H1=2 H3=83-12 H5=325-1603+120基于厄密多項(xiàng)式的遞推關(guān)系可以導(dǎo)出諧振子波函數(shù)(x)的遞推關(guān)系：（5）求歸一化系數(shù) ( 分 步 積 分 )該式第一項(xiàng)是一個(gè)多項(xiàng)式與 exp-2 的 乘積，當(dāng)代入上下限=后，該項(xiàng)為零。繼續(xù)分步積分到底因?yàn)镠n的最高次項(xiàng) n的系數(shù)是2n，所以 dnHn /dn = 2n n!。于是歸一化系數(shù)則

58、諧振子 波函數(shù)為：(I)作變量代換，因?yàn)?x， 所以d= dx； (II)應(yīng)用Hn()的封閉形式。（6）討論3. 對應(yīng)一個(gè)諧振子能級(jí)只有一個(gè)本征函數(shù)，即一個(gè)狀態(tài)，所以能級(jí)是非簡并的。值得注意的是，基態(tài)能量 E0=1/2 0，稱為零點(diǎn)能。這與無窮深勢阱中的粒子的基態(tài)能量不為零是相似的，是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn)，能量為零的“靜止的”波是沒有意義的，零點(diǎn)能是量子效應(yīng)。1。上式表明，Hn()的最高次項(xiàng)是(2)n。所以： 當(dāng) n=偶，則厄密多項(xiàng)式只含的偶次項(xiàng)； 當(dāng) n=奇，則厄密多項(xiàng)式只含的奇次項(xiàng)。2. n具有n宇稱上式描寫的諧振子波函數(shù)所包含的 exp-2/2是的偶函數(shù)，所以n的宇稱由厄密多項(xiàng)式 H

59、n() 決定為 n 宇稱。n = 0n = 1n = 24. 波函數(shù)然而，量子情況與此不同 對于基態(tài)，其幾率密度是： 0() = |0()|2 = = N02 exp-2 分析上式可知：一方面表明在= 0處找到粒子的幾率最大； 另一方面，在|1處，即在阱外找到粒子的幾率不為零， 與經(jīng)典情況完全不同。以基態(tài)為例，在經(jīng)典情形下，粒子將被限制在| x| V0 情況因?yàn)?E 0, E V0, 所以 k1 0, k2 0. 上面的方程可改寫為：上述三個(gè)區(qū)域的 Schrodinger 方程可寫為：定態(tài)波函數(shù)1,2,3 分別乘以含時(shí)因子 exp-iEt/ 即可看出： 式中第一項(xiàng)是沿x正向傳播的平面波，第二項(xiàng)

60、是沿x負(fù)向傳播的平面波。由于在 x a 的III 區(qū)沒有反射波，所以 C=0，于是解為：利用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件來定系數(shù)。 首先， 解單值、有限條件滿足。1. 波函數(shù)連續(xù)綜合 整理 記之2. 波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)波函數(shù)意義3. 求解線性方程組4. 透射系數(shù)和反射系數(shù)求解方程組得:為了定量描述入射粒子透射勢壘的幾率和被 勢壘反射的幾率，定義透射系數(shù)和反射系數(shù)。I 透射系數(shù)： 透射波幾率流密度與入射波 幾率流密度之比稱為透射系數(shù) D = JD/JIII 反射系數(shù)： 反射波幾率流密度與入射波 幾率流密度之比稱為反射系數(shù) R = JR/JI其物理意義是：描述貫穿到 x a 的 III區(qū)中的粒子在單位時(shí)間內(nèi)流過垂直