初升高數(shù)學(xué)銜接班第4講——一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

1、PAGE 初升高數(shù)學(xué)銜接班第4講一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、掌握一元二次方程的根的判別式，并能運(yùn)用根的判別式判斷方程解的個(gè)數(shù)。2、掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，即韋達(dá)定理，并能運(yùn)用韋達(dá)定理處理一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系三、課程精講：1、舊知回顧：一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的兩個(gè)根為：x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a2、新知探秘：對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)，有沒(méi)有實(shí)數(shù)根的關(guān)鍵因素是什么？知識(shí)點(diǎn)一：一元二次方程的根的判別式一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)，用配方法將其變形為：

2、(x+b2a)2=b2-4ac4a2（1）當(dāng)b2-4ac0時(shí)，右端是正數(shù)因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：x1,2=-bb2-4ac2a（2）當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，右端是零因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：x1,2=-b2a（3）當(dāng)b2-4ac0， 原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（2）原方程可化為：4y2-12y+9=0 =(-12)2-449=0， 原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（3）原方程可化為：5x2-6x+15=0 =(-6)2-4515=-2640k13；（2）4-12k=0k=13；仿練：（3）方程有實(shí)數(shù)根；（4）方程無(wú)實(shí)數(shù)根解：（3）4-12k0k13；（4）4-12k13點(diǎn)津：求待定字母的取值

3、范圍，有時(shí)應(yīng)考慮“一元二次方程”這個(gè)隱含條件，即方程中的二次項(xiàng)不能為0。若本題的一元二次方程改為：kx2-2x+3=0，k的取值范圍將分別是什么呢？知識(shí)點(diǎn)二：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的兩個(gè)根為：x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a所以：x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=-ba，x1x2=-b+b2-4ac2a-b-b2-4ac2a=(-b)2-(b2-4ac)2(2a)2=4ac4a2=ca定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的兩個(gè)根為x1,x2，那么：x1+x2=-ba,x1x2=c

4、a說(shuō)明：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱(chēng)為“韋達(dá)定理”。上述定理成立的前提是0?！纠?】若x1,x2是方程x2+2x-2007=0的兩個(gè)根，試求下列各式的值：（1）x12+x22；（2）1x1+1x2；（3）(x1-5)(x2-5)；（4）|x1-x2|思路導(dǎo)航：本例若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算本例可利用韋達(dá)定理來(lái)解答解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2=-2,x1x2=-2007（1）x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-2)2-2(-2007)=4018（2）1x1+1x2=x1+x2x1x

5、2=-2-2007=22007（3）(x1-5)(x2-5)=x1x2-5(x1+x2)+25=-2007-5(-2)+25=-1972（4）|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=(-2)2-4(-2007)=22008點(diǎn)津：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2，1x1+1x2=x1+x2x1x2，(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2，|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2，x1x22+x12x2=x1x2(x1+x2)，x13+x23=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)等等韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想【例4】已

6、知關(guān)于x的方程x2-(k+1)x+14k2+1=0，根據(jù)下列條件，分別求出k的值（1）方程兩實(shí)根的積為5；（2）方程的兩實(shí)根x1,x2滿足|x1|=x2思路導(dǎo)航：（1）由方程兩實(shí)根的積為5，用韋達(dá)定理即可求解；（2）有兩種可能，一是x1=x20，二是-x1=x2，所以要分類(lèi)討論解：（1）方程兩實(shí)根的積為5 &=-(k+1)2-4(14k2+1)0&x1x2=14k2+1=5k32,k=4k32,且k=4所以，當(dāng)k=4時(shí)，方程兩實(shí)根的積為5（2）由|x1|=x2得知：當(dāng)x10時(shí)，x1=x2，所以方程有兩相等實(shí)數(shù)根，故=0k=32；當(dāng)x10k32，故k=-1不合題意，舍去綜上可得，k=32時(shí)，方程

7、的兩實(shí)根x1,x2滿足|x1|=x2點(diǎn)津：根據(jù)一元二次方程兩實(shí)根滿足的條件，求待定字母的值，務(wù)必要注意方程有兩實(shí)根的條件，即所求的字母應(yīng)滿足0【直擊高中】一元二次方程的根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，它在二次函數(shù)、不等式、解析幾何等方面都有非常廣泛的應(yīng)用，下面讓我們一起來(lái)感受一下它的作用?！纠?】已知實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2-xy+2x-y+1=0，試求x、y的值思路導(dǎo)航：已知條件中由于只給出了關(guān)于x，y的一個(gè)關(guān)系式，所以并不能用普通的解方程組的方法求x，y，應(yīng)考慮關(guān)系式的特殊性。解：可以把所給方程看作關(guān)于x的方程，整理得：x2-(y-2)x+y2-y+1=0由于x是實(shí)數(shù)，

8、所以上述方程有實(shí)數(shù)根，因此：=-(y-2)2-4(y2-y+1)=-3y20y=0，代入原方程得：x2+2x+1=0 x=-1綜上知：x=-1,y=0點(diǎn)津：轉(zhuǎn)化的思想是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)基本思想，可以把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，也可以把不常見(jiàn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的問(wèn)題，解題時(shí)要注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用?！纠?】（1）判斷直線y=2x+1與拋物線y=x2-3x+1 的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若直線y=2x+b與拋物線y=x2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求b的取值范圍思路導(dǎo)航：求直線與拋物線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，第（1）小題可以轉(zhuǎn)化為方程組&y=2x+1&y=x2-3x+1的解的個(gè)數(shù)；第（2）小題可以轉(zhuǎn)化成方程組&y=2x+b&y=x2有兩個(gè)不同

9、的解時(shí)，求b的取值范圍。解：（1）依題意，聯(lián)立方程組&y=2x+1&y=x2-3x+1，消元得，x2-5x=0，此時(shí)=(-5)2-410=250，故方程組有兩個(gè)不同的解，即有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。（2）由&y=2x+b&y=x2得x2=2x+b，即x2-2x-b=0依題意知，=(-2)2-41(-b)0，b-1點(diǎn)津：判斷兩曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法有直接求解法、判別式法及圖像法。其中判別式法是把圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷轉(zhuǎn)化為判斷方程組的解的個(gè)數(shù)，體現(xiàn)出解析幾何的思想用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題?！纠?】已知x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（1）是否存在實(shí)數(shù)k，使(2x1-x2)(x

10、1-2x2)=-32成立？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)您說(shuō)明理由（2）求使x1x2+x2x1-2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值思路導(dǎo)航：對(duì)于存在性問(wèn)題的題型，通常是先假設(shè)存在，然后推導(dǎo)其值，若能求出，則說(shuō)明存在，否則即不存在解：（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使(2x1-x2)(x1-2x2)=-32成立 一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 &4k0&=(-4k)2-44k(k+1)=-16k0k0，又x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 &x1+x2=1&x1x2=k+14k (2x1-x2)(x1-2x2)=2(x12+x22)-5x1x2=2(x1+x

11、2)2-9x1x2=-k+94k=-32k=95，但k0不存在實(shí)數(shù)k，使(2x1-x2)(x1-2x2)=-32成立（2） x1x2+x2x1-2=x12+x22x1x2-2=(x1+x2)2x1x2-4=4kk+1-4=-4k+1 要使其值是整數(shù)，只需k+1能被4整除，故k+1=1,2,4，注意到k2B. k2,且k1C. k2,且k12. 若x1,x2是方程2x2-6x+3=0的兩個(gè)根，則1x1+1x2的值為（ ）A. 2B. -2C. 12D. 923. 已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為5，兩條對(duì)角線交于O點(diǎn)，且OA、OB的長(zhǎng)分別是關(guān)于x的方程x2+(2m-1)x+m2+3=0的根，則m等于（

12、）A. -3B. 5C. 5或-3D. -5或34. 若t是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的根，則判別式=b2-4ac和完全平方式M=(2at+b)2的關(guān)系是（ ）A. =MB. MC. MD. 大小關(guān)系不能確定5. 若實(shí)數(shù)ab，且a,b滿足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0，則代數(shù)式b-1a-1+a-1b-1的值為（ ）A. -20B. 2C. 2或-20D. 2或20（二）填空題6. 如果方程(b-c)x2+(c-a)x+(a-b)=0的兩根相等，則a,b,c之間的關(guān)系是 _。7. 已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)恰是方程2x2-8x+7=0的兩個(gè)根，則這個(gè)直角三角形的斜

13、邊長(zhǎng)是 _。8. 若方程2x2-(k+1)x+k+3=0的兩根之差為1，則k的值是 _。9. 設(shè)x1,x2是方程x2+px+q=0的兩實(shí)根，x1+1,x2+1是關(guān)于x的方程x2+qx+p=0的兩實(shí)根，則p = _ ，q = _。10. 已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a=6-b,c2=ab-9，則a = _ ，b = _ ，c = _。（三）解答題11. 判定下列關(guān)于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實(shí)數(shù)根，寫(xiě)出方程的實(shí)數(shù)根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3）x2ax（a1）0； （4）x22xa012. 關(guān)于x的方程x24xm0的兩根為x1，x2，滿足| x1x2|2，求實(shí)數(shù)

14、m的值13. 已知關(guān)于x的方程x22（m2）xm240有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21，求m的值【試題答案】1. B 2. A 3. A 4. A 5. A6. a+c=2b,且bc7. 3 8. 9或-3 9. 1,-310. 3，3，011. 解：（1）3241330，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根（2）該方程的根的判別式a241（1）a240，所以原方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根：x1=a+a2+42，x2=a-a2+42（3）由于該方程的根的判別式為a241（a1）a24a4（a2）2，所以，當(dāng)a2時(shí)，0，所以原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1x21；當(dāng)a2時(shí)，0，所以原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x11，x2a1（4）由于該方程的根的判別式為2241a44a4（1a），所以當(dāng)0，即4（1a） 0，即a1時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1=1+1-a， x2=1-1-a；當(dāng)0，即a1時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1x21；當(dāng)0，即a1時(shí)，原方程沒(méi)有