（文章）評點二次函數(shù)重點、考點、熱點

1、評點二次函數(shù)重點、考點、熱點一考題巡禮例1（天津）拋物線與x軸的交點（-1，0）（3，0）且過點（1，4），求此二次函數(shù)的解析式考查重點求二次函數(shù)解析式解根據(jù)已知條件，可選取多種解法方法1：設(shè)所求的解析式為y=ax2bxc（a0），由題意得a-b+c=0a=-19a+3b+c=0解之得b=2a+b+c=4c=3解析式為y=-x22x3方法2：拋物線與x軸交點的橫坐標為-1和3，即-1和3是多項式ax2bxc的兩根，設(shè)所求解析式為ya（x1）（x3）把x1，y=4代入解得a=-1y=-（x+1）（x-3）y=-x2+2x+3方法3：拋物線與x軸交于（-1，0）和（3，0），它的對稱軸為直線x=1

2、又拋物線過點（1，4），恰是拋物線的頂點，設(shè)所求的解析式為y=a（x1）24，把x=-1，y=0代入求出a=-1，y=-（x-1）24yx22x3方法4：由題意-1，3是一元二次方程，ax2bxc=0的兩根，又過（1，4）得方程b/a=-1+3a=-1c/a=(-1)3解得b=2a+b+c=4 c=3點評求二次函數(shù)解析式一般有三種方法：已知三點，用一般式y(tǒng)=ax2bxc（a0）已知頂點坐標，對稱軸或最值，可用頂點式y(tǒng)a（xh）2k（a0），其中（h，k）是頂點坐標已知圖象與x軸的兩個交點，可用兩根式，設(shè)y=a（xx1）（xx2），（a0），其中x1和x2是圖象與x軸交點的橫坐標例2(南京)如圖

3、，E、F分別是邊長為4的正方形ABCD的邊BC、CD上的點，CE=1，CF=4/3，直線FE交AB的延長線于G過線段FG上的一個動點H作HMAG，HNAD，垂足分別為M、N設(shè)HM=x，矩形AMHN的面積為y（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求x為何值時，矩形AMHN的面積最大，最大面積是多少？考查重點求函數(shù)的解析式及其函數(shù)的最值解（1）正方形ABCD的邊長為4，CE=1，CF=4/3，CF/AG，BE=3，CF:BG=CE:BE，BG=4，HMAG，CBAG，HM/BE，MG:BG=HM:BE，MG=4/3xy=x(4+4-4/3x)=-4/3x2+8x(2)y=-4/3x2+8x=-4/

4、3(x-3)2+12當(dāng)x=3時，y最大，最大面積是12點評（1）要寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，就要在圖形中尋找對應(yīng)關(guān)系，把對應(yīng)關(guān)系中的量分別用y、x或已知量來替換，就可以找到y(tǒng)與x的關(guān)系式（2）這類題目，注意自變量x的取值范圍例3（北京西城區(qū)）已知：拋物線y=ax2+bx+c過點A（-1，4），其頂點的橫坐標是1/2，與x軸分別交于B（x1，0），C（x2，0）兩點(其中x1x2，且x12+x22=13（1）求此拋物線的解析式及其頂點E的坐標；（2）設(shè)此拋物線與y軸交于點D，點M是拋物線上的點，若MBO的面積為DOC面積的2/3倍，求點M的坐標考查重點二次函數(shù)的綜合性問題解（）拋物線y=ax2+

5、bx+c過點A（-1，4），a-b+c=4，即c=4-a+b拋物線頂點的橫坐標是1/2-b/2a=1/2即b=-a拋物線y=ax2+bx+c與x軸分別交于B（x1，0），C(x2，0)兩點（其中x1x2），x1，x2是方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個實根x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，由已知x12+x22=13，（x1+x2）2-2x1x2=x12+x22(-b/a)2-2c/a=13 由解得a=-1，b=1，c=6經(jīng)檢驗，a、b、c的值使0，符合題意拋物線的解析式為y=-x2+x+6當(dāng)x=1/2時，y=25/4，拋物線y=-x2+x+6的頂點E的坐標為（1/2，25/4）(2)

6、由(1)得y=-x2+x+6，（如圖，畫草圖幫自己分析）令x=0，y=6，得D（0，6）令y=0，-x2+x+6=0，解得：x1=-2，x2=3B(-2，0)，C(3，0)設(shè)點M的坐標為（x，y），則點M到x軸的距離為yMSMBO=2/3SDOC，1/2BOyM=2/31/2OCOD得yM=6，yM=6因為拋物線y=-x2+x+6開口向下，頂點的坐標為（1/2，25/4），對稱軸是直線x=1/2若yM=6，因為625/4，有-x2+x+6=6，解得x1=0，x2=1點M的坐標是（0，6）或（1，6）若yM=-6，則-x2+x+6=-6，解得x3=-3，x4=4點M的坐標是（3，6）或（4，6）

7、答：所求點M的坐標分別是（0，6），（1，6）（-3，-6），（4，-6）點評本題具有一定的綜合性和探索性，在問題（2）中要注意多解性，不要漏解例4（廣東中考題）已知拋物線y=ax2bxc，其頂點在x軸的上方，它與y軸交于點C(0，3)，與x軸交于點A及點B(6，0)又知方程：ax2bxc0(a0)兩根平方和等于40(1)求拋物線的解析式；(2)試問：在此拋物線上是否存在一點P，在x軸上方且使SPAB=2SCAB如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，說明理由考查重點求二次函數(shù)解析式及其綜合問題分析求解析式的三個條件中有一個是由方程的根來得到系數(shù)的關(guān)系式，通過解方程組求出系數(shù)也就得到解析式第(2

8、)問中問是否存在那么假設(shè)存在進行推理，從而判斷存在或不存在解(1)由題設(shè)條件得拋物線頂點為(2，4)又A點坐標為(-2，0)，而ABC與PAB同底，且當(dāng)P點位于拋物線頂點時，PAB面積最大顯然，SPAB=162SABC=212=24故在x軸上方的拋物線上不存在點P使SPAB=2SCAB點評以二次函數(shù)為載體，結(jié)合二次方程、三角形等構(gòu)造考題，知識覆蓋面廣，綜合性強，是著力考查學(xué)生的綜合思維能力它任是構(gòu)成今年中考的壓軸性題型二、熱點題型設(shè)計1存在性問題例1已知拋物線y=x2-6xM與x軸有兩個不同的交點A和B，以AB為直徑作C，(1)求圓心C的坐標(2)是否存在實數(shù)M，使拋物線的頂點在C上，若存在，

9、求出M的值；若不存在，請說明理由解(1)根據(jù)拋物線的對稱性，由已知條件AB是直徑圓心應(yīng)是拋物線的對稱軸與x軸的交點(2)依據(jù)圓與拋物線的對稱性知，拋物線的頂點是否在C上，需要看頂點的縱坐標的絕對值是否等于C的半徑長，依據(jù)這個條件，列出關(guān)于M的方程，求出M值后再由已知條件做出判斷（1)y=x2-6xM=(x-3)2+M-9，拋物線的對稱軸為直線x=3拋物線與x軸交于A和B兩點，且AB是C的直徑，由拋物線的對稱性圓心C的坐標為(3，0)(2)拋物線與x軸有兩個不同交點，=(-b)2-4M0，M9設(shè)A(x1，0)，B(x2，0) 拋物線的頂點為P(3，M-9) 解得：M=8或M=9M9，M=9舍去M

10、8當(dāng)M=8時，拋物線的頂點在C上點評“存在性”問題是探索性問題的主要形式解答這類問題的基本思路是：假設(shè)“存在”演繹推理得出結(jié)論(合理或矛盾)在結(jié)論探索題中，常見的一類就是探索存在性的問題，這類問題的特點是探求命題的結(jié)論是否存在一般的求解方法是：假設(shè)結(jié)論存在，如果求出的結(jié)論符合已知條件則結(jié)論存在；如果求出結(jié)論不符合已知條件或與定理、公理等相矛盾，則結(jié)論不存在探求存在型試題可以考查學(xué)生的判斷能力和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力例2如圖，在直角坐標系xOy中，A、B是x軸上兩點，以AB為直徑的圓交y軸于C，設(shè)過點A、B、C三點的拋物線解析式為y=x2-Mx+N，若方程x2-Mx+N=0兩根倒數(shù)和為-2(1

11、)求N的值；(2)求此拋物線的解析式；(3)設(shè)平行于x軸的直線交該拋物線于E、F兩點，問是否存在以線段EF為直徑的圓恰好與x軸相切，若存在求出此圓半徑；若不存在，說明理由(淮陰中考)分析此類試題是探求符合題設(shè)條件的數(shù)學(xué)對象是否存在其解法是：先假設(shè)所需探求的對象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提運用二次函數(shù)等知識進行運算或推理，找出數(shù)學(xué)對象存在的條件，從而確定數(shù)學(xué)對象的存在，否則不存在解(1)設(shè)A(x1，0)、B(x2，0)，則方程x2-Mx+N=0的兩根為x1，x2，可求得(2)拋物線的解析式為y=x2-2x-1，對稱軸為x1(3)假設(shè)存在符合題設(shè)條件的圓P恰好與x軸相切，其半徑為r，又拋物線是以

12、x=1為對稱軸的軸對稱圖形，圓心P在對稱軸x=1上，E、F、P三點的縱坐標都是r，把點 F(1r，r)坐標代入拋物線解析式求出r =2滿足條件的圓存在，其半徑為2圓心(1，2)點評隨著數(shù)學(xué)中考對考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法及分析問題解決問題的能力的要求逐年提高，中考試題中出現(xiàn)了一類新穎的題型探索性試題，二次函數(shù)有關(guān)的探索性試題又是中考熱點之一其特點是：1難度大此類試題涉及的知識點多將知識、技巧、思想方法綜合在一起，對學(xué)生思維和能力有較高的要求2選拔功能強2應(yīng)用性問題例33名教師帶領(lǐng)若干名學(xué)生去旅游(旅費統(tǒng)一支付)，聯(lián)系了標價相同的兩家旅游公司經(jīng)洽談，甲公司給的優(yōu)惠條件是：教師全額付費，學(xué)生按7折付費；乙公司給的優(yōu)惠條件是：全部師生按8折付費問選擇哪家公司較省錢？分析一看到此題，許多學(xué)生覺得無從下手，似乎題目所給條件不足因為無法計算出甲公司或乙公司的總旅費而不能比較優(yōu)劣其實，我們只要分析題中涉及的一些量，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的人數(shù)和總旅費都是變量，并且總旅費隨著人數(shù)的變化348而變化這就說明了總旅費是學(xué)生人數(shù)的函數(shù)由于兩家公司給出的優(yōu)惠條件不同，則有兩個不同的函數(shù)解析式選擇哪家公司省錢，就轉(zhuǎn)化為比較兩個函數(shù)值大小的問題解設(shè)參加旅游的學(xué)生人數(shù)為x人，則甲公司優(yōu)惠后需付費總額y=370 x；乙公司優(yōu)惠后需付費總額y=80(x+3)令3+70 x80(x+3)，解之得x6，