2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義立體幾何之翻折中的最值和軌跡問題翻折中的最值問題（解析版）

1、翻折過程中的軌跡和最值問題【例題精講】【例題1】已知矩形ABCD中，AB2AD4，E為CD的中點(diǎn)，AC，BE交于點(diǎn)F，ADE沿著AE向上翻折，使點(diǎn)D到D的位置，若D在平面ABCD上的投影H落在梯形ABCE內(nèi)部及邊界上，則FH的取值范圍為 【分析】取AB中點(diǎn)M，AE中點(diǎn)N，易證H在MN上，問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)F到線段MN 的距離最值問題，最小值易得，最大值為NF的長，可在直角三角形NEF中去求，也可通過建坐標(biāo)系，利用兩點(diǎn)間距離公式去求【解答】解：如圖，M為AB中點(diǎn)，矩形ABCD中，AB2AD4，E為CD的中點(diǎn)，AMED，MBCE均為正方形，可知在旋轉(zhuǎn)過程中，AE平面DNM，D在平面ABCD上的投影H落在

2、線段MN上，故FH的最小值為FG，最大值為FN的長，F(xiàn)N的長可由下列方法求得：法1：在RtNEF中，NE，EF：BF1：2，由勾股定理求得FN；法2：以M為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，可知N（1，1），直線AC的方程為：y，直線BE的方程為：yx+2，聯(lián)立可得F（），F(xiàn)N，故答案為【點(diǎn)評】此題考查了線面垂直，點(diǎn)到直線的距離等，綜合性較強(qiáng)，難度適中【變式1-1】如圖，在矩形ABCD中，AB1，BC，E為線段BC上一動點(diǎn)，現(xiàn)將ABE沿AE折起得到ABE，當(dāng)二面角BAED的平面角為120，點(diǎn)B在平面ABC上的投影為K，當(dāng)E從B運(yùn)動到C，則點(diǎn)K所形成軌跡的長度為 【分析】過K作KOAE，連接DO，二面角DAEB的

3、平面角為120，BOK60，則KOBO，原問題可以轉(zhuǎn)化為BOAE，K為BO中點(diǎn)（如圖2），進(jìn)而可得到K點(diǎn)的軌跡是以MD為直徑的圓上一弧【解答】解：過K作KOAE，連接OB，二面角BAED的平面角為120，BOK60，KOBO，從而原問題就轉(zhuǎn)化為BOAE，K為BO中點(diǎn)，求K的軌跡長度，如下圖：BOAE，O在以AB為直徑的圓上，取AB中點(diǎn)J，則JKBK，所以K點(diǎn)的軌跡是以BJ為直徑的圓上的一段弧，設(shè)此圓圓心為O，得其半徑為AB又E與C重合時，BK，得等邊BOK，KOB60，KOJ120，所對的弧長為故答案為：【點(diǎn)評】本題以平面圖形的翻折為載體，考查立體幾何中的軌跡問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題【

4、變式1-2】已知矩形ABCD，AB4，BC2，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)沿直線DE將ADE翻折成PDE，在點(diǎn)P從A至F的運(yùn)動過程中，CP的中點(diǎn)G的軌跡長度為 【分析】如圖所示，連接AF，DE，AFDEO，連接PO，AP可得APF90連接AC，BD，ACDBM，取CF中點(diǎn)N，連接MG，GN由三角形中位線定理可得：MGN90沿直線DE將ADE翻折成PDE，在點(diǎn)P從A至F的運(yùn)動過程中，CP的中點(diǎn)G的軌跡是以MN為直徑的半圓即可得出【解答】解：如圖所示，連接AF，DE，AFDEO，連接PO，AP則OPOAOF，APF90連接AC，BD，ACDBM，取CF中點(diǎn)N，連接MG，GN由三角形中位線定理可得

5、：MGAP，NGPFMGN90沿直線DE將ADE翻折成PDE，在點(diǎn)P從A至F的運(yùn)動過程中，CP的中點(diǎn)G的軌跡是以MN為直徑的半圓AF2MN以MN為直徑的半圓的長度2【例題2】在矩形ABCD中，AD1，點(diǎn)E為線段CD中點(diǎn)，如圖所示，將AED沿著AE翻折至AED（點(diǎn)D不在平面ABCD內(nèi)），記線段CD中點(diǎn)為F，若三棱錐FAED體積的最大值為，則線段AB長度的最大值為 【分析】由VFAED，得三棱錐DAEC的體積的最大值為，當(dāng)平面AED平面ABCE時，三棱錐FAED體積取最大值，由此能求出結(jié)果【解答】解：VFAED，三棱錐FAED體積的最大值為，三棱錐DAEC的體積的最大值為，設(shè)AB2a，則EDa，當(dāng)

6、平面AED平面ABCE時，三棱錐FAED體積取最大值，此時D到平面ABCE的距離d，F(xiàn)到平面的距離h，VDAEC，解得a2，AB2a4三棱錐FAED體積的最大值為，則線段AB長度的最大值為4故答案為：4【變式2-1】如圖，在ABC中，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，將ABM沿著AM翻折成ABM，且點(diǎn)B不在平面AMC內(nèi)，點(diǎn)P是線段BC上的一點(diǎn)若二面角PAMB與二面角PAMC的平面角相等，則直線AP經(jīng)過ABC的（）A重心 B垂心 C內(nèi)心 D外心【分析】設(shè)點(diǎn)B，C到平面PAM的距離分別為h1，h2，點(diǎn)B，C到直線AM的距離分別為d1，d2，設(shè)二面角PAMB與二面角PAMC的平面角分別為1，2，則sin1，sin

7、2，由12推導(dǎo)出點(diǎn)B，C到平面PAM的距離相等，從而P是線段BC上的中點(diǎn)，進(jìn)而直線AP經(jīng)過ABC的重心【解答】解：設(shè)點(diǎn)B，C到平面PAM的距離分別為h1，h2，點(diǎn)B，C到直線AM的距離分別為d1，d2，設(shè)二面角PAMB與二面角PAMC的平面角分別為1，2，則sin1，sin2，12，M是邊BC的中點(diǎn)，B，C到直線AM的距離相等，B，C到直線AM的距離相等，h1h2，點(diǎn)B，C到平面PAM的距離相等，P是線段BC的中點(diǎn)，直線AP經(jīng)過ABC的重心故選：A【點(diǎn)評】本題考查二面角的求法及應(yīng)用，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題【變式2-2】如圖，等腰梯形ABCD

8、中，ADBC，ABADDC2，BC4，E為BC上一點(diǎn)，且BE1，P為DC的中點(diǎn)沿AE將梯形折成大小為的二面角BAEC，若ABE內(nèi)（含邊界）存在一點(diǎn)Q，使得PQ平面ABE，則cos的取值范圍是 【分析】作出圖形，分析兩個極端位置即可得出答案【解答】解：如圖，過點(diǎn)P作AE的垂線，垂足為O，并延長交AB于點(diǎn)M，由翻折性質(zhì)可知，AE平面OMP，故平面OMP平面ABE，因此點(diǎn)P在平面ABE內(nèi)的射影點(diǎn)Q必在OM上：由于點(diǎn)Q在ABE內(nèi)（含邊界），則點(diǎn)Q在線段OM上；當(dāng)取最小值時，有PMOM，此時cos有最大值，又，故，顯然的最大值為，故（cos）min0，綜上，cos的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)評】本題考查立

9、體幾何中的動態(tài)問題，考查二面角的定義及其求解，考查運(yùn)算求解能力及數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題【例題3】如圖，在長方形ABCD中，AB2，BC1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC（端點(diǎn)除外）上一動點(diǎn)，現(xiàn)將AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC，在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DKAB，K為垂足，設(shè)AKt，則t的取值范圍是 【分析】此題的破解可采用二個極端位置法，即對于F位于DC的中點(diǎn)時與隨著F點(diǎn)到C點(diǎn)時，分別求出此兩個位置的t值即可得到所求的答案【解答】解：此題的破解可采用二個極端位置法，即對于F位于DC的中點(diǎn)時，可得t1，隨著F點(diǎn)到C點(diǎn)時，當(dāng)C與F無限接近，不妨令二者重合，此時有CD2因CBAB，CBDK，CB

10、平面ADB，即有CBBD，對于CD2，BC1，在直角三角形CBD中，得BD，又AD1，AB2，再由勾股定理可得BDA是直角，因此有ADBD 再由DKAB，可得三角形ADB和三角形AKD相似，可得t，因此t的取值的范圍是（，1）故答案為（，1）【點(diǎn)評】考查空間圖形的想象能力，及根據(jù)相關(guān)的定理對圖形中的位置關(guān)系進(jìn)行精準(zhǔn)判斷的能力【變式3-1】如圖所示，在矩形ABCD中，AB2，AD1，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段CE（端點(diǎn)除外）上一動點(diǎn)現(xiàn)將DAF沿AF折起，使得平面ABD平面ABC設(shè)直線FD與平面ABCF所成角為，則tan的最大值為【分析】在矩形ABCD中，過點(diǎn)D作AF的垂線交AF于點(diǎn)O，交ABy于

11、點(diǎn)M，設(shè)CFx，（0 x1），AMy，由DAMADF，推導(dǎo)出y，由0 x1，得y1，在翻折后的幾何體中，推導(dǎo)出DM平面ABC，連結(jié)MF，則MFD是直線FD與平面ABCF所成角，即MFD，由此能求出tan的最大值【解答】解：如圖，在矩形ABCD中，過點(diǎn)D作AF的垂線交AF于點(diǎn)O，交AB于點(diǎn)M，設(shè)CFx，（0 x1），AMy，DFAM，ABCD是矩形，AFDM，DAMADF，yAM，0 x1，y1，在翻折后的幾何體中，AFOD，AFOM，AF平面ODM，平面ODM平面ABC，又平面ADB平面ABC，DM平面ABC，連結(jié)MF，則MFD是直線FD與平面ABCF所成角，MFD，DM，DF2x，sin，1，當(dāng)y2時，sin取到最大值，最大值為tan的最大值為，故答案為：【點(diǎn)評】本題考查線面角的最大值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題【變式3-2】如圖，在長方形ABCD中，AB2，BC1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC（端點(diǎn)除外）上一動點(diǎn)，現(xiàn)將AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC，則二面角DAFB的平面角余弦值的取值范圍