八年級(jí)數(shù)學(xué)（下冊(cè)）二次根式和性質(zhì)

1、9/9二次根式與其性質(zhì)一、一周知識(shí)概述1、二次根式一般地，我們把形如(0)的式子叫做二次根式，其中為整式或分式，叫做被開(kāi)方式2、二次根式有意義的條件二次根式有意義的條件是0，即被開(kāi)方式是非負(fù)數(shù)3、二次根式的性質(zhì)(3)4、積的算術(shù)平方根的性質(zhì)(a0，b0)即兩個(gè)非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積5、商的算術(shù)平方根的性質(zhì)(a0，b0)商的算術(shù)平方根，等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根6、最簡(jiǎn)二次根式如果二次根式的被開(kāi)方式中都不含分母，并且被開(kāi)方式中不含有能開(kāi)得盡方的因式，這樣的二次根式稱為最簡(jiǎn)二次根式二、重難點(diǎn)知識(shí)歸納1、從二次根式的定義看出，二次根式的被開(kāi)方數(shù)可以是一

2、個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)式子，且被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)2、二次根式的性質(zhì)具有雙重非負(fù)性，即二次根式中被開(kāi)方數(shù)非負(fù)（a0）,算術(shù)平方根非負(fù) (0).3、利用得到成立，可以把任意一個(gè)非負(fù)數(shù)或式寫(xiě)成一個(gè)數(shù)或式的平方的形式如4、注意逆用二次根式的性質(zhì)，即，利用這兩個(gè)性質(zhì)可以對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)5、運(yùn)用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)時(shí)，最后結(jié)果中的二次根式要化為最簡(jiǎn)二次根式或整式最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：(1)被開(kāi)方式中不含分母；(2)被開(kāi)方式中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式三、典型例題講解例1、已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖化簡(jiǎn)：分析：待求式中的五個(gè)二次根式的被開(kāi)方數(shù)都是完全平方式，且結(jié)構(gòu)特征符合性質(zhì)3的，但由題設(shè)中的a

3、、b在數(shù)軸上的位置可知a、b有正有負(fù)，因此本題的關(guān)鍵是確定各個(gè)數(shù)的正負(fù)性解：由數(shù)軸上點(diǎn)的位置可知ab，0a1，b0，b0，b10，a10總結(jié)：（1）由數(shù)軸上點(diǎn)的位置應(yīng)確定兩個(gè)要素：一是各數(shù)的正負(fù)性，二是比較各數(shù)的大??；（2）在運(yùn)用性質(zhì)計(jì)算時(shí)一定要明確底數(shù)的正負(fù)性例2、化簡(jiǎn)下列二次根式：分析：（1）（4）題均不含分母，因此要將其化為最簡(jiǎn)二次根式，即是將被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式運(yùn)用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，將其移至根號(hào)外，（5）（8）題都含有分母，應(yīng)首先根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分母化為能開(kāi)得盡方的，然后再運(yùn)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)將其化簡(jiǎn)，但不要忽視分子中含有能開(kāi)得盡方的因式或因數(shù)也要化簡(jiǎn)總結(jié)：（

4、1）當(dāng)被開(kāi)方數(shù)中不含有分母，則用積的算術(shù)平方根性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)；（2）當(dāng)被開(kāi)方數(shù)中含有分母，化簡(jiǎn)時(shí)既要用到商的算術(shù)平方根，也要用到積的算術(shù)平方根例3、若x為實(shí)數(shù)，化簡(jiǎn)下列各式（1）（2）分析：由于x為實(shí)數(shù)，要確定中的x1和中的x2的正負(fù)號(hào)，必須將實(shí)數(shù)劃分為幾個(gè)區(qū)域來(lái)討論解：（1）=|x1|當(dāng)x10，即x1時(shí)，|x1|=x1當(dāng)x10，即x1時(shí)，|x1|=(x1)=x1（2）=2=|x2|2|1x|令x2=0，則x=2，令x1=0，則x=1，x=2,x=1稱為零點(diǎn)值把x=2，x=1這兩點(diǎn)標(biāo)在數(shù)軸上(如上圖)這時(shí)數(shù)軸被分成三段：x2，1x2，x1,就按這三種情況去討論脫絕對(duì)值符號(hào)1）當(dāng)x2時(shí)|x2|2|

5、1x|=(x2)2(1x)=3x；2）當(dāng)1x2時(shí)，|x2|2|1x|=(x2)2(1x)=x4；3）當(dāng)x1時(shí)|x2|2|1x|=(x2)2(1x)=3x說(shuō)明：解這類(lèi)題的大致步驟：找出零點(diǎn)值(使絕對(duì)值等于零的x的值)；在數(shù)軸上標(biāo)出這些點(diǎn)，將整個(gè)數(shù)軸分成若干區(qū)間；按區(qū)間范圍逐個(gè)討論如何脫絕對(duì)值符號(hào)；從而達(dá)到化簡(jiǎn)目的例4、已知x、y為實(shí)數(shù)，且實(shí)數(shù)m適合關(guān)系式，試確定m的值分析：x199y與199xy互為相反數(shù)，且x199y0，199xy0同時(shí)成立，x199y=0，即xy=199，又由算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，可得到關(guān)于x、y、m的方程組，從而求出m的值解：由二次根式有意義的條件知，xy=199將其代入已知等式得又根據(jù)算術(shù)平方根為非負(fù)實(shí)數(shù)有2得xym2=0，結(jié)合得m=xy2=1992=201總結(jié)：當(dāng)兩個(gè)二次根式的被開(kāi)方數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，可用“夾逼”的方法推出，兩個(gè)被開(kāi)方數(shù)同時(shí)為零中考解析例1、（河南）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：解析：由數(shù)軸上實(shí)數(shù)a、b的位置可知，ab0，例2、（綿陽(yáng)市）已知是正整數(shù)，則實(shí)數(shù)n的最大值為（）A12B11C8D3解析：是正整數(shù)，12n是一個(gè)整數(shù)的平方數(shù)，當(dāng)n增大時(shí)，12n減小，所以當(dāng)n=11