自動控制理論：4第四章 根軌跡法-3

1、2022/7/13第三節(jié) 參量根軌跡和多回路系統(tǒng)根軌跡一、參量根軌跡 前述以根軌跡增益K1為可變參量的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。實際上任何參數(shù)均可選擇為系統(tǒng)的可變參量，如開環(huán)零、極點、時間常數(shù)和反饋系數(shù)等。這種以非K1為參變量的根軌跡稱為參量根軌跡。 第二節(jié)所講根軌跡的繪制方法和規(guī)則依然適用于繪制參量根軌跡，但需要預先將可變參量演化到相當于常規(guī)根軌跡增益K1的位置上。下面舉例說明參數(shù)演化和參量根軌跡的繪制方法。 2022/7/13【例4-10】設(shè)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)以a為參變量的根軌跡。 解：對給定系統(tǒng)特征方程進行以下變換：右式的特點：左邊寫成兩部分之和，參變量a只包含在第二部分中，

2、且是第二部分的一個單獨因子。現(xiàn)用第一部分除以方程兩邊，則得：第一部分 第二部分2022/7/13這是原系統(tǒng)特征方程的等效特征方程，由此可得到一個等效的開環(huán)傳遞函數(shù)，用G*(S)H*(S)表示：根據(jù)前述根軌跡繪制規(guī)則，由上式的極點和零點分布情況繪制a從零變化到無窮大時的根軌跡，如圖4-16所示。等效的含義僅在于其閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點與系統(tǒng)的原閉環(huán)極點相同，而閉環(huán)零點通常不同。2022/7/13圖4-16 例4-10的參量根軌跡2022/7/13用Matlab繪制根軌跡：g=tf(1,0,1,0,4) rlocus(g)圖4-17 例4-10的參量根軌跡，matlab繪制2022/7/132022/

3、7/132022/7/13 這種獲得等效特征方程及等效開環(huán)傳遞函數(shù)G*(S)H*(S)的方法，稱為黃金法則（Golden rule）。有時在同一個問題中，這個法則可適用多次。 對于具有兩個可變參數(shù)的情況，這一法則同樣適用，此時所得到的是根軌跡族。 例4-11說明了根軌跡族的繪制方法。2022/7/13【例4-11，課本P135】已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，要求以開環(huán)極點a為連續(xù)可變參數(shù)，以K1為參變量繪制該系統(tǒng)的根軌跡族。解：系統(tǒng)特征方程為： 或：應用黃金法則，得：其等效開環(huán)傳遞函數(shù)為：求出G*（s）H*（s）的極點，即方程 的根，2022/7/13（確切地說是根軌跡，因為K1為變量）。為了作出

4、 的根軌跡，再一次應用黃金法則， 即有：從而得到另一個等效開環(huán)傳遞函數(shù)： 根據(jù)G1*(s)H1*(s),繪出不同K1值時的根軌跡，如圖4-18。在圖4-19中用虛線表示這個根軌跡圖。注意，這些虛線上的點就是G*(s)H*(s)對應于不同K1值的極點，也就是按G*(s) H*(s)作出的根軌跡（當a=0）的起點。 2022/7/13 這樣，給定一個K1值，即可按G*(s)H*(s)描繪出a=0時的一組根軌跡；給定另一個K1值，就得到另一組這樣的根軌跡，這就是要求繪制的根軌跡族，如圖4-19中實線所示。由圖可見，a=0時系統(tǒng)不穩(wěn)定。當a增大至一定數(shù)值時，系統(tǒng)變?yōu)榉€(wěn)定。a的臨界值可用勞斯判據(jù)確定。系

5、統(tǒng)的特征方程：令s1行全為零，則系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界條件為K1=a(a1)。 2022/7/13圖4-18 的根軌跡圖4-19 根軌跡族2022/7/13二、多回路系統(tǒng)的根軌跡 根軌跡分析方法不僅適用于單回路系統(tǒng)，也適用于多回路系統(tǒng)。 繪制多回路系統(tǒng)根軌跡的步驟：（1）首先根據(jù)內(nèi)反饋回路的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制內(nèi)反饋回路的根軌跡，確定內(nèi)反饋回路的極點分布。（2）由內(nèi)反饋回路的零、極點和內(nèi)回路外的零、極點構(gòu)成整個多回路系統(tǒng)的開環(huán)零、極點。再按照單回路根軌跡的基本法則，繪制整個系統(tǒng)的根軌跡。【例4-12】設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖4-20所示，試繪制多回路系統(tǒng)的跟軌跡。 解：（1）首先確定內(nèi)回路的根軌跡2022/

6、7/13圖4-20 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖內(nèi)回路閉環(huán)傳遞函數(shù)為：內(nèi)回路特征方程為：2022/7/13 繪制a變化時內(nèi)環(huán)系統(tǒng)特征方程的根軌跡，需要根據(jù)D1(s)構(gòu)造一個等效系統(tǒng)，新系統(tǒng)的特征方程與D1（s）一樣，而參數(shù)a相當于開環(huán)增益，故等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)應為： 注意： 在繪制根軌跡時，開環(huán)傳遞函數(shù)的分子分母中若有相同因子時，不能相消，相消后將會丟掉閉環(huán)極點。 2022/7/13 當a變化時內(nèi)回路的根軌跡如圖4-21所示。 當a1=2.5，a1.25時，對應的內(nèi)回路閉環(huán)極點分別為 P1=0； P2,3=-l.5j1.5，此時內(nèi)環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 2022/7/13（2）繪制K變化時的多回路系統(tǒng)根軌跡 多

7、回路系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：按照前述繪制常規(guī)根軌跡的方法求出出射角、根軌跡與虛軸交點等，繪制根軌跡如圖4-22所示2022/7/13圖4-21 內(nèi)環(huán)根軌跡圖當a1為約2.5時，內(nèi)環(huán)閉環(huán)極點為P1=0； P2,3=-l.5j1.52022/7/13 當a取l.25，K6.25時，此多回路系統(tǒng)將有兩個閉環(huán)極點分布在右半S平面，系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。 繪制多回路反饋控制系統(tǒng)根軌跡的方法：從內(nèi)環(huán)開始，分層繪制，逐步擴展到整個系統(tǒng)。圖4-22 多回路系統(tǒng)根軌跡2022/7/13三、 正反饋系統(tǒng)和零度根軌跡復雜的控制系統(tǒng)中可能出現(xiàn)局部正反饋的結(jié)構(gòu)，這種局部正反饋的結(jié)構(gòu)可能是控制對象本身的特性，也可能是為滿足系統(tǒng)的

8、某種性能要求在設(shè)計系統(tǒng)時加進的。具有局部正反饋的系統(tǒng)可以由主回路的負反饋使之穩(wěn)定，但在利用根軌跡法對系統(tǒng)進行分析時必須求出正反饋回路的零、極點。下面討論正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制方法。2022/7/13三、正反饋系統(tǒng)和零度根軌跡 圖4-23所示的局部正反饋回路圖4-23 具有局部正反饋的系統(tǒng)特征方程根軌跡方程正反饋部分研究正反饋部分，2022/7/13其幅值條件和相角條件分別為： 與負反饋系統(tǒng)的幅值條件和相角條件相比,可見繪制正反饋系統(tǒng)根軌跡的幅值條件沒有變，相角條件發(fā)生了改變。 相角條件幅值條件2022/7/13 負反饋系統(tǒng)的相角條件是180o等相角條件，正反饋系統(tǒng)則是0o等相角條件。 所以通常

9、稱負反饋系統(tǒng)的根軌跡為180o根軌跡，稱正反饋系統(tǒng)的根軌跡為零度根軌跡。 2022/7/13 根據(jù)正反饋的相角條件，在繪制正反饋回路的根軌跡時需對常規(guī)根軌跡中與相角條件有關(guān)的規(guī)則作如下修改，其余規(guī)則不變。規(guī)則3：實軸上的線段存在根軌跡的條件是其右邊的開環(huán)零、極點數(shù)目之和為偶數(shù)。規(guī)則4：（n-m）條漸近線的傾角為：計算公式不變。規(guī)則6：根軌跡的出射角和入射角為：2022/7/13 出射角計算公式：入射角計算公式：除上述三個法則外，其他法則不變2022/7/13【例4-13】圖 4-24所示正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試繪制其零度根軌跡。 解：（1）開環(huán)極點p1=0，p2=-1，p3=-2，有三

10、條根軌跡起于開環(huán)極點，終點均在無窮遠處。 （2）實軸上區(qū)間-2，-1和0，為根軌跡段。 圖4-24 正反饋系統(tǒng)2022/7/13 （3）漸近線與實軸相交于-1點，傾斜角由傾角公式計算, 取q=0、1、2，得a=0o、120 o、240 o。（4）分離點的求法與負反饋情況完全一樣。在例4-5中已解出兩個分離點：S1=-0.423，S2=-1.577，并且已確定-0.423是負反饋情況下的分離點，這里可以確定-1.577是正反饋情況下的分離點。 最后得系統(tǒng)的根軌跡如圖4-25所示。2022/7/13由圖4-25可以看出：該系統(tǒng)在正反饋情況下總存在一個正實根，因而該系統(tǒng)在正反饋情況下是不可能穩(wěn)定的。

11、圖4-25 正反饋系統(tǒng)的根軌跡2022/7/13【例4-14:課本P143】繪制圖 4-26所示具有正反饋內(nèi)環(huán)回路系統(tǒng)的根軌跡。解：首先繪制內(nèi)環(huán)的根軌跡。內(nèi)環(huán)部分的特征方程為或設(shè)內(nèi)環(huán)的開環(huán)極點為圖4-26 具有正反饋內(nèi)環(huán)的系統(tǒng)2022/7/13根據(jù)規(guī)則6可知，由這一對共軛復數(shù)極點出發(fā)的根軌跡的出射角為對內(nèi)環(huán)的特征方程，求出dK0/ds，得于是得到根軌跡與實軸的交點坐標為： S=-n 2022/7/13 規(guī)則3指出:實軸上存在根軌跡的條件是其線段右邊的開環(huán)零、極點為偶數(shù)?，F(xiàn)在該系統(tǒng)內(nèi)環(huán)在實軸上不存在開環(huán)零、極點,所以根軌跡可以存在于全部實軸上。正反饋內(nèi)環(huán)回路的根軌跡如圖4-27（a）所示。 圖4

12、-27 例4-14系統(tǒng)的根軌跡2022/7/13 由圖可見，隨著回路開環(huán)增益K0的增大，閉環(huán)極點將從一對穩(wěn)定的復數(shù)極點逐漸成為兩個穩(wěn)定的實數(shù)極點。 當K0增到K0=1時，回路將有一個p=0的極點。如果使K01，則回路就有位于S平面右半部的實極點了。 圖4-27 例4-14系統(tǒng)的根軌跡2022/7/13 假定系統(tǒng)內(nèi)環(huán)的開環(huán)增益K0=1，則內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點是p1=0和p2=-2-n，如圖4-27（a）中根軌跡上的小三角所示。這時，系統(tǒng)的內(nèi)環(huán)相當于是一個積分環(huán)節(jié)與一個非周期環(huán)節(jié)串聯(lián)而成。 將內(nèi)環(huán)的兩個閉環(huán)極點與內(nèi)環(huán)外控制器的零、極點標在圖4-27（b）中，然后按負反饋根軌跡的規(guī)則，可以繪出K0變化時整個系統(tǒng)的根軌跡。圖4-27 例4-14系統(tǒng)的根軌跡2022/7/13圖4-27 例4-14系統(tǒng)的根軌跡本章基本要求 1.正確理解開環(huán)零、極點和閉環(huán)零、極點以及主導極點、偶極子等概念。2.正確理解和熟記根軌跡方程(幅值方程及相角方程)。熟練運用幅值方程計算根軌跡上任一點的根軌跡增益和開環(huán)增益。3.正確理解根軌跡法則，法則的證明只需一