2020年山東省專升本真題(數(shù)一)及解析(1)

1、 PAGE 8機密啟用前試卷類型：公共課科目代碼：102ft東省 2020 年普通高等教育專升本統(tǒng)一考試高等數(shù)學 I 試題本試卷分為第卷和第卷兩部分，共 4 頁。滿分 100 分?？荚囉脮r 120 分鐘?？荚嚱Y束后， 將本試卷和答題卡一并交回。注意事項：答題前，考生務必用 0.5 毫米黑色簽字筆將自己的姓名、考生號、座號填寫到試卷規(guī)定的位置上，并將姓名、考生號、座號填（涂）在答題卡規(guī)定的位置。第卷每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動， 用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，答在本試卷上無效。第卷答題必須用 0.5 毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

2、指定區(qū)域內相應的位置；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶。不按以上要求作答的答案無效。第卷一、單項選擇題（本大題共 5 小題，每小題 3 分，共 15 分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其選出并將答題卡的相應代碼涂黑。錯涂、多涂或未涂均無分。當 x 0 時，以下函數(shù)是無窮小量的是()e xln( x 2)sin xD. cos x2. 平面2x 3 y 4z 8 與直線 x 1 y 2 z 的位置關系()234A. 平行B. 垂直C. 相交不垂直D.直線在平面上微分方程 y 7 y 8 y 0 的通解為()y C e x C

3、12e8 xB. y C e x C12e8 xy C ex1C e8 x2y C ex1C e8 x24. 曲線 y 2x3 3x2 1 的拐點()A. 1 , 1 B. 1 , 1 22 22 C. 1,0D.0, 1以下級數(shù)收斂的為()n2 1n3 2n2sin n3n1n1ln 1 1 D.3nn1n2 2n 1n1第卷二、填空題（本大題共 5 小題，每小題 3 分，共 15 分）x 1 3函數(shù) f (x) 的定義域為.函數(shù) y 1 2ln x 在(1,1) 處的切線方程為.x若 baf (x)dx 1， b 2 f (x) 3g(x)dx 8 ，則b g(x)dx .aa已知兩點 A

4、(1,2,0) 和 B(2, 3,2) ，則與向量 AB 同方向的單位向量是 .已知函數(shù) f (x, y) 在 R 2 上連續(xù)，設 I 1 dxx f (x, y)dy 2 dx2 xf (x, y)dy ，則交換0010積分次序后 I .三、解答題（本大題共 8 小題，第 11-17 小題每小題 6 分，第 18 小題 7 分，共 49 分） x3 3x2求極限limx x2x2 x .求極限limx0 x sint 2 dt0.x3求不定積分x ln xdx .x求過點(1,2,2) 且與兩平面 x 2 y z 1 和2x y 3z 2 都垂直的平面方程.已知 z x siny2 zx ，

5、求xy .計算二重積分Dcos( x2 y2 )d ，其中 D 由 y x ， y 3x 與 x2 y2 所332圍成的在第一象限內的閉區(qū)域.求微分方程 y y ex x 的通解。求冪別級數(shù)n0 xn2 n 1的收斂域及和函數(shù).四、應用題（本大題共 7 分）計算由曲線 y x2 4 與直線 y 2x 4 所圍成的平面圖形的面積.五、證明題（本大題共 2 小題，每小題 7 分，共 14 分）x證明當 x 1時， x ln x 4 3 .21.設函數(shù) f (x)在0,1上連續(xù)，且 f (1) 1，證明：對任意的實數(shù) (0,1) ，存在 (0,1) ，使得 f () . 2機密啟用前試卷類型：公共課

6、山東省 2020 年普通高等教育專升本統(tǒng)一考試高等數(shù)學試題參考答案及評分標準一、單項選擇題（本大題共 5 小題，每小題 3 分，共 15 分）題號12345答案CBDAC答案：C.解析：根據(jù)無窮小量定義可知，函數(shù)limsin x 0 ， sin x 是無窮小量。x0答案：B.n ，解析：平面的法向量n = (2, 3,4) ，直線的方向向量s = (2, 3,4) ，顯然 s 故平面和直線垂直。答案： D.解析：特征方程r 2 7r 8 0 ，特征值r1 8, r2 1 ，故通解為 y C ex1C e8 x 。2答案：A.解析： y 6x2 6x ， y 12x 6 ，令 y 0 ，解得 x

7、 1 ，211左右兩側 y 的符號發(fā)生了改變，故 , f( 1 ) 為拐點，即 1 , 122222顯然當 x 。答案：C.解析：利用比較判別法等價無窮小的結論：ln(1 x)x(x 0)ln 1 1 故limnn2 1n2 1 ，而n11 收斂，故n2n1ln 1 1 收斂。n2 二、填空題（本大題共 5 小題，每小題 3 分，共 15 分）6.答案：3, )解析：由原題得 x 1 0 ，解得 x 33答案： y x .解析： y | 1 2 1 ，故切線為 y 1 x 1，即 y x 。8.答案： 2.x1x2x x1解析： 8 2b f (x)dx 3b g(x)dx 2 3b g(x)

8、dx ，故 b g(x)dx 2 .aaaa2 159.答案： 2 , , .66 1 3AB| 9 2526152,解析：AB (3, 5,2) ，則|，故e,( 5, 2), 。10.答案： I 1 dy 2 y0y2f (x, y)dxx 0, x 1x 1, x 2AB6266解析: X 型積分區(qū)域為 y 0, y x y 0, y 2 x所圍封閉區(qū)域，0 y 1轉化為Y 型積分區(qū)域為，故 I 1 dy 2 yf (x, y)dx . y2 x 2 y0y2三、解答題(本大題共 7 小題，每小題 6 分，共 42 分）解：通分利用已知結論，得 x3 3x2x3 3x2 x(x2 x 2

9、)2x2 2xlim x lim lim 2x x2 x 2xx2 x 2xx2 x 2解： limx0 x sint 2 dt0 x3 lim sin x2 1x03x23解： x ln xdx x1 dx ln xdx 2xx1dx ln xd ln x2xx1 2(ln x)2 C2ijk14.解：所求平面的法向量為n 121 (7, 5, 3)213又過點(1,2,2) ，故平面的點法式方程為7( x 1) 5( y 2) 3(z 2) 0 ， 即7 x 5 y 3z 11 0 。z sin yy xxsin siny cosy y sin y y cos y15.解： xxxxxxx

10、;xxx2 z sin y y cos y y cos y xyx x xx x yyy 1 cos y 1 cos y y sin y y sin yxxxxx2xx2x解：利用極坐標，積分區(qū)域D 可表示為D r, 6 3,0 r 23所以 cos(x2 y2 )d d2 cos r 2 rdrD62 1200cos r2 dr2 sin r 2 12 .2012解：令 P(x) 1,Q(x) ex x ，利用常數(shù)變異公式得y e P( x)dx Q(x)e P( x)dxdx C edx (ex x)edxdx C e x (ex x)exdx C e x (ex x)dex C e x

11、exdex xdex C e x 1 e2 x xex ex C 。 2解：級數(shù)n0 xn2 n 11為標準級數(shù)，且lim n 1 1 ，故收斂半徑 R 1 ；x1n當 x 1 時，級數(shù)為n0(1)n2n 1收斂，當 x 1 時，級數(shù)為1n 1n0發(fā)散，故收斂域為1,1)。設 S(x) n0 xn2 , x (1,1)，則 S (x) x n 1n0 xn1n 1 ，記 S (x) 1n0 xn1 n 1, 則 xn1 xn1 1S (x) 1n0 n 1 n0 xnn1n0 1 x故 S (x) S (0) x S(t)dt x1 dt ln(1 x) ，又 S 0()0，從而 S(x) l

12、n(1 x) ，11010 1 t11故 S (x) x ln(1 x) ， x (1,1)； (1)n2 (1)n11當 x 1 時， S(1) (1)n1 ln(11) ln1 (1)n0n 1nnn1n1故 S (x) x ln(1 x) ， x 1,1).四、應用題（本大題共 2 小題，每小題 7 分，共 14 分）解：所圍成圖形的面積為面積為S 2 (x2 4) (2x 4)dy 2 (x2 2x)dy 4 。003五、證明題（本大題共 2 小題，每小題 7 分，共 14 分）x20.證明：令 f (x) x ln x 4 3 ， 且 f (1) 0 xx 1 2x(x 1)2當x 1