材料力學教材(PDF)_cl03

1、第三章材料的力學性質(zhì)拉壓桿的強度計算第一節(jié)應力-應變曲線材料的力學性質(zhì)是指材料在外力的作用下在強度和變形方面表現(xiàn)出的性能， 它是構件設計的重要資料。為研究這些性質(zhì)所進行的材料試驗，是在國標的嚴格 規(guī)定下進行的，具體試驗方法可參閱材料力學試驗書籍。材料試驗有很多種類， 最具有代表性的是拉伸試驗。按國標制作一定形狀、尺寸的試樣，如圖2-la所示 將試樣安裝在材料試驗機上，在緩慢的加載中，測定試樣的變形，得到載荷一 變形曲線，由此繪出反映應力與應變關系的曲線，稱為應力一應變曲線或bs 曲線。這里使用的應力是用載荷除以試樣原橫截面面積得到的名義應力，而不是 用載荷除以伴隨試樣伸長而逐漸縮小的真實橫截面

2、面積得到的真實應力。圖3-la所示的實線是工業(yè)材料中最常用的低碳鋼的拉伸名義應力一應變曲 線?？梢钥闯?，整個拉伸過程大致分成四個階段。拉伸開始的段是第一階段 彈性階段。最初，應力與應變成比例，即呈線性關系，這個比例關系的極限 點d的應力值稱為比例極限，用帀表示。前面講述過的胡克定律適用的最大應力 必須不超過帀。超過比例極限，應力與應變不再是直線關系，但若應力不超過B 點，則試樣仍然僅發(fā)生彈性變形，B點的應力值稱為彈性極限，用be表示。bp 和be雖然意義不同，但數(shù)值接近，在工程上通常不作區(qū)分。應力超過彈性極限，進入第二階段一一屈服階段。應力在較小的范圍內(nèi)波動, 而應變卻顯著增加，應力一應變曲線

3、呈現(xiàn)水平鋸齒狀，這個現(xiàn)象稱為屈服。此時 的應力值稱為屈服應力或屈服點，用bs表示。其中屈服階段內(nèi)的最髙應力值稱為 上屈服點（C點）；最低應力值稱為下屈服點（D點）。屈服是由于材料內(nèi)部晶體滑 移而致，這是低碳鋼（多晶體）和具有與其類似組織的金屬所特有的現(xiàn)象。超過屈服點，進入第三階段一一強化階段。此時應力隨應變的增加再次增加， 但不再是線性關系，這種現(xiàn)象稱為應變硬化。在強化階段的末端F點，應力達到 最大值，稱為抗拉強度，用bb表示。此后，進入第四階段一一頸縮破壞階段。在試樣的局部范圍內(nèi)，橫截面面積 急劇變小，發(fā)生所謂的頸縮現(xiàn)象。變形集中在頸縮處，該處的真實應力大大增加，直至試樣斷裂。在試驗過程中，

4、若在強化階段的某點F停止加載，并將載荷逐漸減少至零（稱 為卸載），可以看到，卸載過程中的應力一應變關系仍保持線性關系，稱為彈性卸 載定律。即而1幾乎與刃平行，如圖3-1所示。如果卸載后立即加載，加載路 徑$可基本上沿而1上升，這時新的b &曲線為01F/G。從圖3-1上可以看 出，預先受到超過屈服點載荷的試樣，其比例極限bp得到提髙，而斷裂時的塑性 變形將減小，這種現(xiàn)象稱為冷作硬化。工藝過程中的輾軋、冷軋、沖剪、噴丸處 理都會對材料造成不同程度的冷作硬化。工程中常借此提髙某些構件在彈性階段 的承載能力。如圖2-1a所示，若試驗前試樣的標距為Z,拉斷后的試樣標距改變?yōu)閺S。則 比值l-lX 100

5、%(3-1)稱為伸長率。若原橫截面面積為4拉斷后的最小橫截面面積為A,則(3-2)稱為斷面收縮率。3和都是表示材料具有塑性程度的標志，它和屈服點、抗拉 強度等都是選材的重要指標。一般認為3 $5%的材料為塑性材料，3 5%的材 料為脆性材料。圖3-2a所示為其它一些塑性金屬材料拉伸時的應力一應變曲線。圖中曲線1、 2、3、4分別對應于猛鋼、硬鋁、退火球墨鑄鐵和低碳鋼，前三種材料沒有明顯的屈服階段。由于工程上一般不允許構件產(chǎn)生較大的塑性變形，常取屈服點作為 塑性材料強度的極限應力指標，對于無明顯屈服階段的塑性材料，將產(chǎn)生不影響 實用的塑性變形量的應力值作為屈服點，稱為條件屈服強度，用C0.2表示

6、，即取塑性應變?yōu)?.2%時所對應的應力值作為6.2,見圖3-2b所示的S點。圖3-2其它塑性金屬材料的拉伸應力一應變曲線低碳鋼材料壓縮試驗的應力一應變曲線見圖3-1所示的虛線，與拉伸（實線） 相比，在屈服階段以前，兩曲線表現(xiàn) 出來的性質(zhì)相同，低碳鋼壓縮時的比 例極限帀、屈服點沢、彈性模量F均 與拉伸時大致相同。屈服階段以后， 試樣越壓越扁，并不斷裂，由于兩端 的摩擦力使其橫向變形受阻，圓柱形 試樣成為腰鼓形。脆性材料的典型代表是灰鑄鐵， 其應力一應變曲線如圖3-3所示，實 線為拉伸曲線，虛線為壓縮曲線。由 于沒有明顯的屈服現(xiàn)象，通常用抗拉（壓）強度作為其強度指標?；诣T鐵拉伸時， 由于其抗拉能力

7、很差，在拉應力作用下沿橫截面斷裂；壓縮時，破壞斷面的法線 大致與軸線成45 -55的傾角，表明試樣是由于切應力引起斜截面相對錯動而破 壞?；诣T鐵的抗壓強度冊。是抗拉強度中的45倍，抗壓能力比抗拉能力強是脆 性材料的特點。表3-1列出了工業(yè)上常用金屬材料在軸向拉壓時的主要力學性能指標。表3-1幾種常用金屬材料的力學性質(zhì)材料名稱牌號屈服點os /MPa抗拉強度ob /MPa抗壓強度obc /MPa伸長率矗5(%f用途普通碳素鋼Q23523537550021 26普通零件Q27527549063015 20優(yōu)質(zhì)碳素鋼3531553020轉軸、螺釘、 連桿等4535560016齒輪、軸等低合金鋼15M

8、nV39053018起重機、吊鉤、 容器、車架16Mn34551021合金鋼40Cr7859809連桿、重要兇輪、軸30CrMnSi885108010球墨鑄鐵QT4503304505曲軸、齒輪、 活塞QT6004206002灰鑄鐵HT150150650軸承蓋、機座、E輪HT250250750壬自PI .tfe.LY1111024021042018航空構件、挪釘LD92804203內(nèi)燃機、活塞銅合金Qal9230045020 40船舶零件QA19420050060040齒輪、軸套S5表示標距l(xiāng)=5d的標準試樣的伸長率。第二節(jié)高溫下材料的性質(zhì)一般金屬材料隨著使用狀態(tài)溫度的升髙，其彈性模量、抗拉強度

9、等指標會降 低，而伸長率、斷面收縮率則變大，最終成為非彈性狀態(tài)。圖3-4所示的是低碳 鋼在短時間髙溫拉伸試驗時的結果，可以看出，有關強度和變形的諸性質(zhì)由于溫 度不同而產(chǎn)生了復雜變化。在某一溫度下，對構件施加一定的應力時，隨著時間的增加應變不斷增長的 現(xiàn)象稱為蠕變，圖3-5所示為一般的蠕變曲線。應力和溫度越髙，蠕變的速度即蠕變速率越髙，蠕變速率為一定值的穩(wěn)定蠕變階段逐漸消失。另一方面，如果應 力變小，蠕變速率降為零，使用壽命幾乎可以看成無窮大，在某應力中最大的蠕 變稱為相應溫度下的蠕變極限。圖3-4高溫下低碳鋼力學性質(zhì)的變化圖3-5蠕變曲線與蠕變有密切關系的現(xiàn)象稱為應力松弛。這是在施加應力后，將

10、應變保持為 一定值時，所加應力隨時間的增加而逐漸減少的現(xiàn)象。蠕變與松弛的計算將在材 料力學(II)中介紹。溫度變化是影響材料性質(zhì)的一種因素，即使外部沒有載荷作用，由于材料自 身的膨脹或收縮也會產(chǎn)生應變，這種應變稱為熱應變。當膨脹或收縮完全自由進 行時，不產(chǎn)生應力。如因某種原因約束了材料的膨脹或收縮，則在內(nèi)部會產(chǎn)生抵 抗熱應變的應力，這種應力稱為熱應力。例如在溫度為時長度為/的直桿，在溫度變化到T時，桿自由伸縮量/可 用下式計算Al = a(T - T0)l(3-3)其中a是線膨脹系數(shù)，對于不同的材料有不同的a值，在彈性范圍內(nèi)，當溫度變 化不大時可認為其為定值。這里，若將圖3-6所示的桿兩端固定

11、，熱應變 Al/l = a(T - T0)完全受到阻礙時，在桿中產(chǎn)生的熱應力b可用下式表示o = -E牛=-Ea(T 一 T0)(3-4)當 CTo時，a是壓應力，當TTI 1+a (TTo)圖3-6直桿的熱變形若試樣缺口處的橫截面面積為d,則沖第三節(jié)加載速率對材料力學性質(zhì)的影響加載速率對材料的力學性質(zhì)會產(chǎn)生較大的影響。變形速率用de/d/表示。如 果變形速率太大，由于材料的塑性變形來不及進行，材料的斷裂過程將要更加復雜。但材料的彈性變形不受變形速率的 影響，這是因為材料內(nèi)彈性波的傳播遠 大于一般受力物體的變形速率。圖3-7 所示的是不同變形速率下低碳鋼的應力 應變曲線。由圖可見，隨著變形速率

12、 的提髙，材料的屈服點、抗拉強度6 也提髙，但材料的塑性變化不大。對于 低塑性材料，隨著加載速率的提髙，其 塑性降低，脆性斷裂的傾向增大。由沖擊試驗可看到加載速率對材料 力學性能的影響。沖擊試驗的目的是測 定在單位面積上材料對沖擊載荷的抵抗 能力，這種能力稱為沖擊韌度。圖3-8 所示為沖擊試驗簡圖，有關試樣和沖擊 試驗機的詳細資料參看材料力學試驗書 籍。由試驗機可測得試樣吸收的能量E, 擊韌度氐為aKE_A(3-5)圖3-8沖擊試驗簡圖OK值越大，表明材料的抗沖擊能力 愈強。由試驗知，脆性材料的沖擊 韌度值遠比塑性材料的低。另外， OK值與試樣的尺寸、缺口的形狀有 關，因此必須統(tǒng)一用標準試樣測

13、定 的值才能相互比較。應該指出，溫度對OK值的影響 最大。圖3-9所示為低碳鋼的aK值 隨溫度的變化規(guī)律。由圖可見，沖 擊韌度aK值隨溫度的降低而減小。 當溫度降至某一數(shù)值時，aK值突然 降低，這種現(xiàn)象稱為材料的冷脆性。 發(fā)生冷脆性現(xiàn)象時的溫度稱為臨界.UOO丿%0 _1_1_L-80 -60 -40 -2002040t/ C圖3-9低碳鋼的沖擊韌度隨溫度變化的曲線溫度。材料的冷脆性反映了沖擊載荷對材料性質(zhì)的影響。在常溫、靜載下具有良 好塑性的材料，在低溫沖擊載荷下卻表現(xiàn)出脆性。第四節(jié)材料的疲勞強度前面介紹的屈服點和抗拉（壓）強度是在靜載荷作用下材料能承受的應力。 但是構件在隨時間變化的載荷即

14、交變動載荷的長期作用下，即使應力低于屈服點 也會發(fā)生破斷現(xiàn)象。長期受到這種交變動載荷作用的材料所能承受的應力比受靜 載時要低的現(xiàn)象稱為疲勞，因疲勞引起的破壞稱為疲勞破壞。疲勞強度是材料的 另一個重要的力學性質(zhì)。為了研究材料的疲勞強度，通常給試樣加一個如圖3-10所示的以時間為變量 的正弦波交變應力，通過疲勞試驗可求出材料到破壞時能經(jīng)受的循環(huán)數(shù)N。設圖 中交變應力的最大值為Omax,最小值為Olrnn,則=(CTmax - CTmln ) / 2稱為應力幅， bm = Omax + 0)/2稱為平均應力。Om = 0這種特殊情況稱為對稱應力循環(huán)。 另外Oax = 0或Omin= 0情況稱為脈沖應

15、力。疲勞試驗雖有許多類型，但最有代表 性的是旋轉彎曲疲勞試驗，將靜彎曲載荷作用于圓截面直桿，同時使其旋轉，這 樣就對試樣表面的點交替地施加最大拉應力和壓應力，而在中心保持為零應力。 詳盡的試驗方法參看材料力學試驗書籍。對同一種材料，用一組光滑小試樣，承受大小不同的應力，進行多次疲勞試 驗，可求得交變應力的Omax與試樣破斷的循環(huán)次數(shù)N之間的關系。若在橫軸表示 N的對數(shù)，縱軸表示omax的方格紙上畫出試驗結果，對于鋼材就有如圖3-11所示 的曲線，稱為應力一壽命曲線或S_N曲線。曲線趨于水平時的最大應力omax 被當作臨界應力，稱為疲勞極限或持久極限。應力在這個極限值以下時可認為試 樣經(jīng)過無限次

16、循環(huán)也不破斷。圖3-10交變應力波形圖3-11應力一壽命曲線常溫下的試驗表明，若鋼試樣經(jīng)歷107次循環(huán)仍未破壞，則再增加循環(huán)次數(shù) 也不會破壞。所以就把107次循環(huán)仍未破壞的最大應力規(guī)定為鋼的疲勞極限。有 色金屬的SN曲線無明顯趨于水平的直線部分，通常規(guī)定108次循環(huán)仍未破壞的 最大應力作為“條件”疲勞極限。疲勞極限和條件疲勞極限統(tǒng)稱為疲勞強度。疲勞強度還受材料的表面狀態(tài)、構件形狀和尺寸、載荷種類、周圍環(huán)境條件 等許多因素的影響。另外，飛機、汽車等所受的往往不是如圖3-10所示的應力幅 為常數(shù)的簡單交變應力，而是應力幅隨時間復雜變化的變應力作用。用應力幅一 定時的試驗結果，去推定這種情況下疲勞強

17、度的方法是邁因納提出的線性累積損 傷定律，稱為邁因納(M. Miner)定律。該定律是在假定疲勞損傷成線性累積的 情況下被導出的。所以可表示為：對不同的應力幅6, 02,，o的疲勞破壞循環(huán)數(shù)分別為Ni, N2,，M時，如果在對應的應力幅下連續(xù)循環(huán)ni 2, %次，這時發(fā)生疲勞損壞的準則是 = t命=弗+養(yǎng)+俞二1(3-6)稱為疲勞損傷。雖然上式并非所有情況下都成立，但在推定實際工作應力下的 疲勞壽命時具有重要意義。對疲勞破壞的詳細論述見材料力學（II）。第五節(jié)許用應力和安全因數(shù)為了使機械和結構物在使用過程中不發(fā)生破壞，也不產(chǎn)生損害其性能的變形, 載荷在各構件上產(chǎn)生的應力必須限制在某個數(shù)值以下，

18、這個被容許的最大應力值 稱為許用應力。確定許用應力時要考慮載荷的種類、溫度等環(huán)境狀況和其它許多 使用條件。在一定的條件下，材料的強度按一定的標準確定。材料的標準強度一般是指屈服點、抗拉（壓）強度、疲勞極限、蠕變極限等。 例如，塑性材料在常溫下受靜載作用時取屈服點作為標準強度，受交變載荷作用 時取疲勞極限作為標準強度等等?？傊?，必須根據(jù)使用情況選擇適當?shù)牟牧蠌姸?作為標準。但是，實際使用中還不能以標準強度作為許用應力。由于無法預料到使用中 可能出現(xiàn)的問題和環(huán)境狀態(tài)的變化，構件可能承受比預期略大的載荷，加上構件 應力計算的不準確性、材料的不均勻性、加工和裝配的缺陷等因素，所以，只有 將許用應力取得

19、比標準強度小才能保證構件安全工作。標準強度與許用應力的比 值稱為安全因數(shù)，其值必須大于1。安全因數(shù)的選取，涉及到安全與經(jīng)濟的關系。 安全因數(shù)過大將造成結構笨重、材料浪費和成本提髙；過小的安全因數(shù)又會使安 全得不到保證，甚至會發(fā)生事故，因此，在結構設計中必須采用適當?shù)陌踩驍?shù)。 確定安全因數(shù)的數(shù)值一般應參照類似結構物以往所取得的經(jīng)驗數(shù)值，按照不同情 況來決定。對于飛機、船舶、建筑物、壓力容器等分別有不同的標準，可供設計 時參考。第六節(jié)軸向拉壓桿的強度及變形計算在求得軸向拉壓桿橫截面上的最大正應力Eax后，令其小于或等于材料的許 用應力b就可以保證軸向拉壓桿安全工作而不破斷，故軸向拉壓桿的強度條件

20、 可用下式表示omaxW b(3-7)使用上式可對構件進行強度校核、設計截面尺寸和確定結構的許用載荷三方面的 強度計算。例3-1圖3-12a所示的托架，為圓截面桿，直徑d=32mm, 桿由兩根 N巧槽鋼組成。材料均為Q235鋼，其許用應力b =120MPa,求該托架的許用載 荷F。若Q235鋼的彈性模量=210GPa,試計算F作用下B點的位移。解：(1)求許用載荷鬥取結點B為研究對象，受力如圖3-12b所示。由平衡條件易得Fni=1.67F, Fn2=1.33F按dB桿計算，根據(jù)強度條件有11n x322F W 丄bd =丄 x 120 xN = 57.8kN1.6711.674按BC桿計算，

21、查型鋼表啞5槽鋼橫截面面積d=6.928cm2,根據(jù)強度條件有F W bd2 =占 x 120 x (2 x 6.928 x 102)N = 125.0kN故該托架的許用載荷FW57.8kN。(2)求許用載荷F作用下B點的位移為了求解B點的位移，將兩桿假想地從B點拆開，各桿沿所受軸力方向分別 自由縮伸至B1和B2點，如圖3-13所示，由于兩桿在B點應該錢接，因此B點的 最終變形位置應該是分別以C、d點為圓心，CB1、亟為半徑作出圓弧的交點 B。為簡化計算，考慮到小變形假設，在實際計算中可以用過B- B2點的兩條切 線亞和B；歹分別代替兩條弧線，交點也就相應地變成B 點。B點的位移就是 |BB在

22、載荷F作用下，dB和BC桿內(nèi)力分別為JFN1 = 1.67F = 96.5kNFN2 = 1.33F = 76.9kN利用胡克定律計算兩桿的變形量F l l1=96.5 x 103 x J1.82 + 2.42 x 103 x 4210 x 103 xnx 322mm = 1.71mm（伸長）AI276.9 x 103 x 2.4 x 103210 x 103 x 2 x 6.928 x 102mm = 0.63mm (壓纟筍maxA得到等直桿的橫截面面積為YlW Qc3 000 x 103AN / y 廠 106 - 25 x 103 x 30m2 = 12 m2利用圖3-13所示的變形圖，

23、可以采用圖解法量出B點的位移3=|BB|,也可用解 析法計算得到3Bx = Al2 = B1 b = 0.63mm3By = |B1 B31 + |B3 B = Al1 sin a + (Al2 + Al1 cos a) cot amm = 3.69mm1.71 x18 + (0.63 +1.71 x 耳)x 24331.8SB =32x + 32y =yj0.632 + 3.692mm = 3.74mm這種在小變形下，用切線代替弧線計算 結構位移的方法在求解超靜定問題，特別是 軸向拉壓超靜定問題中使用較為廣泛。例3-2石橋墩的頂面作用軸向壓力F=3 OOOkN，已知橋墩高度為l =30m,材

24、料 的許用壓應力為oc=1MPa ,彈性模量 E=8GPa,重度Y=25kN/m3,試按照等截面直 桿和各橫截面應力相等的變截面桿，分別設 計所需要的橫截面面積，并分別計算橋墩的 總重和兩者的軸向變形。解：（1）按等直桿設計橋墩（如圖3-14a 圖3-13所示）顯然危險截面為軸力最大的底面，由強度條件橋墩總重為Gi = ViY = AY = 12 x 30 x 25kN = 9 OOOkN軸向變形為A li你i EA(2)按各橫截面應力相等設計橋墩(如圖3-14b所示)從x截面截取dx微段為研究對象，如圖3-14c所示。根據(jù)題意，dx段上下兩 截面上的應力均為oc,由平衡條件有工 Fx = ：

25、oc A(x) + YA(x)dx - ocA(x) + dA(x) = 0對上式兩邊進行積分，得到In A(x) = Y x + Coc積分常數(shù)C可利用桿頂端的邊界條件確定，即F 2 x = ： A() = A =3m2 oc得到積分常數(shù)C = InA,代入式(b),即得橫截面沿桿長的變化規(guī)律為Y25x13(a)(b)(c)(d)A(x) = A=3e 后 =3e o025x橋墩總重為(30G? = V?Y = YI A(x)dx = 3 351 kNJ 0軸向變形為A12 = |ddx = d |dx = dl = 3.75mm2 Ji EA Ji EE Ji E任意橫截面上應力都相等的桿

26、件稱為等強度桿。由上題可以知道，從節(jié)省材 料的角度來看，等強度桿最經(jīng)濟。但由于加工困難，工程上常采用階梯桿或錐形 桿來代替等強度桿。第七節(jié)簡單拉壓超靜定問題由理論力學可知，所有約束反力能通過靜力平衡條件求解的結構稱為靜定結 構，否則稱為超靜定結構(或靜不定結構)，如圖3-15a、圖3-16a所示的結構。超 靜定次數(shù)可通過約束反力的個數(shù)減去獨立平衡方程的個數(shù)得到，圖3-15、圖3-16 所示的結構均為一次超靜定結構。求解超靜定結構約束力問題稱為超靜定問題。 下面通過例題來說明拉壓超靜定問題的解法。例3-3三桿桁架結構如圖3-15a所示，已知1、2桿尺寸及材料相同，抗拉 壓剛度為E1A1, 3桿的

27、抗拉壓剛度為EA 試求在垂直力尸作用下各桿的內(nèi)力。解：由圖3-15b所示的受力圖列靜力平衡方程工 Fx = 0 ： FN2 sin a - f sin a = 0工 F = 0 = FN3 + 2FN1 cos a- F = 0可見，憑兩個靜力平衡方程無法求得三個未知力耳1、Fn2、Fn3,必須尋求補充 方程。由于1、2兩桿材料相同，結構左右對稱，所以桁架變形也對稱，仿照例3-1的“以切代弧”法作出桁架的變形圖，如圖3-15c所示。有如下變形協(xié)調(diào)方程A I、= AI3 cos a（b）All和A/3可以由胡克定律求得A1、=你11, A l3 =厶1Ei Ai cos aE3 A3這兩個表示變形與軸力關系的式子稱為物理方程，將其代入式（b）,得到Ei Acos aFn3_E3 A3cos a(c)(d)這是在靜力平衡方程之外得到的補充方程。將式（a）和式（d）聯(lián)立，可解出FE1A1 cos E1A1 cos3 a + E3 A3 aFE3 A32E1A1 cos3 a + E3A3計算結果表明，各桿的內(nèi)力分配與各桿的剛度有關，這是超靜定結構的特點之