《有限元基本理論》PPT課件

1、ANSYS軟件及其工程應(yīng)用四川大學(xué)水利水電學(xué)院費(fèi)文平主要內(nèi)容第1章 有限元基本理論第2章 ANSYS功能簡(jiǎn)介第3章 ANSYS基本過(guò)程第4章 ANSYS入門與準(zhǔn)備第5章 模型輸入及修復(fù)第6章 坐標(biāo)系第7章 選擇、組件與部件第8章 實(shí)體建模技術(shù)第9章 布爾操作第10章 單元屬性第11章 網(wǎng)格劃分第12章 加載求解技術(shù)第13章 后處理技術(shù)第14章 結(jié)構(gòu)非線性分析第15章 模態(tài)分析第16章 耦合和約束方程第17章 APDL基礎(chǔ)第18章 子模型第19章 熱分析第20章 熱-應(yīng)力耦合分析第一章 有限元基本理論平衡方程幾何方程物理方程邊界條件物理系統(tǒng)有限元離散單元的位移場(chǎng)(假定單元內(nèi)位移函數(shù))單元節(jié)點(diǎn)關(guān)系

2、求解區(qū)域的位移場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)簡(jiǎn)單化1.1 有限元分析 (FEA)有限元分析 是利用數(shù)學(xué)近似的方法對(duì)真實(shí)物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進(jìn)行模擬。它利用簡(jiǎn)單而又相互作用的元素，即單元，用有限數(shù)量的未知量去逼近無(wú)限未知量的真實(shí)系統(tǒng)。定義1.2 有限單元法的基本思想將連續(xù)的結(jié)構(gòu)離散成有限個(gè)單元，并在每一單元中設(shè)定有限個(gè)節(jié)點(diǎn)，將連續(xù)體看作只在節(jié)點(diǎn)處相連接的一組單元的集合體。選定場(chǎng)函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值作為基本未知量，并在每一單元中假設(shè)一近似插值函數(shù)，以表示單元中場(chǎng)函數(shù)的分布規(guī)律。利用力學(xué)中的某種變分原理去建立用以求節(jié)點(diǎn)未知量的有限單元法方程，將一個(gè)連續(xù)域中有限自由度問(wèn)題化為離散域中有限自由度問(wèn)題。1.3 物理系統(tǒng)舉例幾何

3、體 載荷 物理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)熱電磁1.3.1 平衡方程1.3.2 幾何方程1.3.3 物理方程(本構(gòu)方程)拉梅系數(shù)體積應(yīng)變剪切模量1.3.4 邊界條件應(yīng)力邊界條件位移邊界條件1.4 有限元模型真實(shí)系統(tǒng)有限元模型 有限元模型 是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。定義1.5 自由度(DOFs)自由度(DOFs) 用于描述一個(gè)物理場(chǎng)的響應(yīng)特性。結(jié)構(gòu) DOFs 結(jié)構(gòu) 位移 熱 溫度 電 電位 流體 壓力 磁 磁位 問(wèn)題 自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ定義1.6 節(jié)點(diǎn)和單元節(jié)點(diǎn):空間中的坐標(biāo)位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。單元: 一組節(jié)點(diǎn)自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣)。單元

4、有線、面或?qū)嶓w以及二維或三維的單元等種類。有限元模型由一些簡(jiǎn)單形狀的單元組成，單元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定載荷。載荷載荷定義1.6 節(jié)點(diǎn)和單元 (續(xù))信息是通過(guò)單元之間的公共節(jié)點(diǎn)傳遞的。分離但節(jié)點(diǎn)重疊的單元A和B之間沒(méi)有信息傳遞（需進(jìn)行節(jié)點(diǎn)合并處理）具有公共節(jié)點(diǎn)的單元之間存在信息傳遞 .AB.AB.1 node2 nodes1.6 節(jié)點(diǎn)和單元 (續(xù))節(jié)點(diǎn)自由度是隨連接該節(jié)點(diǎn) 單元類型 變化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三維桿單元 (鉸接) UX, UY, UZ三維梁?jiǎn)卧猆X, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ二維或軸對(duì)稱實(shí)體單元UX, UY三維四邊形殼單元UX,

5、 UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ三維實(shí)體熱單元TEMPJPOMNKJIL三維實(shí)體結(jié)構(gòu)單元UX, UY, UZ1.7 單元形函數(shù)FEA僅僅求解節(jié)點(diǎn)處的DOF值。單元形函數(shù)是一種數(shù)學(xué)函數(shù)，規(guī)定了從節(jié)點(diǎn)DOF值到單元內(nèi)所有點(diǎn)處DOF值的計(jì)算方法。因此，單元形函數(shù)提供出一種描述單元內(nèi)部結(jié)果的“形狀”。單元形函數(shù)描述的是給定單元的一種假定的特性。單元形函數(shù)與真實(shí)工作特性吻合好壞程度直接影響求解精度。真實(shí)的二次曲線.節(jié)點(diǎn)單元 二次曲線的線性近似 (不理想結(jié)果).21.7 單元形函數(shù)(續(xù))節(jié)點(diǎn)單元 DOF值二次分布.1節(jié)點(diǎn) 單元 線性近似(更理想的結(jié)果)真實(shí)的二次曲線.3節(jié)點(diǎn)單元二次近似

6、(接近于真實(shí)的二次近似擬合) (最理想結(jié)果).41.7 單元形函數(shù)(續(xù))DOF值可以精確或不太精確地等于在節(jié)點(diǎn)處的真實(shí)解，但單元內(nèi)的平均值與實(shí)際情況吻合得很好。這些平均意義上的典型解是從單元DOFs推導(dǎo)出來(lái)的（如：結(jié)構(gòu)應(yīng)力、熱梯度）。 nodal solutionelement solutionUX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ、E1.7 單元形函數(shù)(續(xù))如果單元形函數(shù)不能精確描述單元內(nèi)部的DOFs，就不能很好地得到導(dǎo)出數(shù)據(jù)，因?yàn)檫@些導(dǎo)出數(shù)據(jù)是通過(guò)單元形函數(shù)推導(dǎo)出來(lái)的。當(dāng)選擇了某種單元類型時(shí)，也就十分確定地選擇并接受該種單元類型所假定的單元形函數(shù)。在選定單元類型并隨之確定

7、了形函數(shù)的情況下，必須確保分析時(shí)有足夠數(shù)量的單元和節(jié)點(diǎn)來(lái)精確描述所要求解的問(wèn)題。1.8 直桿受自重作用的拉伸問(wèn)題1.8 直桿受自重作用的拉伸問(wèn)題(續(xù))就整個(gè)直桿來(lái)說(shuō)，位移函數(shù)U(x)是未知的，但對(duì)每一單元可以近似地假設(shè)一位移函數(shù)，它在結(jié)點(diǎn)上等于結(jié)點(diǎn)位移。此處，假設(shè)單元中的位移按線性分布 ，即：1.8 直桿受自重作用的拉伸問(wèn)題(續(xù))有了位移插值函數(shù)，就可以按材料力學(xué)公式求出應(yīng)變和應(yīng)力用節(jié)點(diǎn)位移表示的公式： 1.8 直桿受自重作用的拉伸問(wèn)題(續(xù))外載荷與結(jié)點(diǎn)的平衡方程為第i個(gè)結(jié)點(diǎn)上承受的外載荷1.8 直桿受自重作用的拉伸問(wèn)題(續(xù))假定將直桿分割成3個(gè)單元，每個(gè)單元長(zhǎng)為a=L/3，則對(duì)結(jié)點(diǎn)2，3，4

8、列出的平衡方程為：1.8 直桿受自重作用的拉伸問(wèn)題(續(xù))1.8 直桿受自重作用的拉伸問(wèn)題(續(xù))聯(lián)立求解線性代數(shù)方程組得：1.9 有限單元法解題的一般步驟結(jié)構(gòu)的離散化選擇位移模式建立平衡方程求解節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算單元中的應(yīng)力和應(yīng)變1.9.1 結(jié)構(gòu)的離散化將分析的結(jié)構(gòu)物分割成有限個(gè)單元體，使相鄰的單元體僅在節(jié)點(diǎn)處相連接，而以如此單元的結(jié)合體去代替原來(lái)的結(jié)構(gòu)。1.9.2 選擇位移模式(形函數(shù))首先對(duì)單元假設(shè)一個(gè)位移差值函數(shù)，或稱之為位移模式，得到用節(jié)點(diǎn)位移表示單元體內(nèi)任一點(diǎn)的唯一的關(guān)系式有了位移模式，就可利用幾何關(guān)系和應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系表出用單元節(jié)點(diǎn)位移表示單元中應(yīng)變和應(yīng)力的表達(dá)式1.9.3 三角形單元的形函

9、數(shù)基本假定：假定單元內(nèi)的位移可以用一個(gè)比較簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)表示，如線性插值函數(shù)。這在單元?jiǎng)澐直容^密的情況下是合理可行的。1.9.3 三角形單元的形函數(shù)(續(xù))將三角形單元的3個(gè)頂點(diǎn)的2個(gè)方向位移代入位移函數(shù)可求出6個(gè)待定系數(shù)。即可用節(jié)點(diǎn)的位移表示內(nèi)部任意一點(diǎn)的位移：1.9.4 建立平衡方程可利用最小勢(shì)能原理建立結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)載荷和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系式，即結(jié)構(gòu)的平衡方程1.9.5 求解結(jié)點(diǎn)位移將邊界條件代入線性代數(shù)方程組 后，經(jīng)解算可求得所有未知的結(jié)點(diǎn)位移。1.9.6 計(jì)算單元中的應(yīng)變和應(yīng)力依據(jù)求得的結(jié)點(diǎn)位移，由可求得單元中任一點(diǎn)的應(yīng)變和應(yīng)力。平面問(wèn)題的有限單元法 結(jié)構(gòu)的離散化 用有限元法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行應(yīng)力分

10、析時(shí)，首先要將結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化。即將一個(gè)連續(xù)體看成由有限個(gè)單元組成的體系。彈性力學(xué)平面問(wèn)題中最常見的單元是三角形單元。所有作用在單元上的載荷都按靜力等效的原則移置到結(jié)點(diǎn)上，并在受幾何約束的結(jié)點(diǎn)處設(shè)置相應(yīng)的鉸支座。這樣就得到了用以代替原來(lái)彈性體的有限單元計(jì)算模型。 位移模式 取一個(gè)典型的三角形單元進(jìn)行力學(xué)分析。在有限單元位移法中，假設(shè)結(jié)點(diǎn)上的位移是基本未知量。為了能用單元的結(jié)點(diǎn)位移表示單元中的應(yīng)變和應(yīng)力分量，必須假定一個(gè)位移模式，也就是說(shuō)根據(jù)單元的結(jié)點(diǎn)位移去構(gòu)造單元上的位移插值函數(shù)。位移模式（續(xù)） 位移插值函數(shù) 采用線性插值，即假定單元上的位移分量是坐標(biāo)的線性函數(shù)： 它們可以由結(jié)點(diǎn)位移確定如下：位

11、移模式(續(xù))聯(lián)立求解上述方程，可得：位移模式(續(xù))其中：而：是三角形ijm的面積。位移模式(續(xù))于是可以得到：其中：同理得：位移模式(續(xù))可以將位移模式改寫為矩陣模式： 單元中的應(yīng)變和應(yīng)力 有了單元的位移模式，就可以借助平面問(wèn)題的幾何和物理方程，導(dǎo)出用單于的結(jié)點(diǎn)位移表示單元中的應(yīng)變和應(yīng)力分量的公式。 由：?jiǎn)卧械膽?yīng)變和應(yīng)力(續(xù))得到：或簡(jiǎn)寫為：?jiǎn)卧械膽?yīng)變和應(yīng)力(續(xù))將應(yīng)變代入物理方程：可得： 即為用單元中的結(jié)點(diǎn)位移表示單元中應(yīng)力的關(guān)系式。單元中的應(yīng)變和應(yīng)力(續(xù)) 式中D為彈性矩陣，對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，矩陣為： 單元的總勢(shì)能我們已經(jīng)知道由各個(gè)單元的位移模式就形成了整個(gè)結(jié)構(gòu)的位移模式。按彈性力學(xué)最

12、小勢(shì)能原理，結(jié)構(gòu)中最接近于真實(shí)解的位移應(yīng)該是使結(jié)構(gòu)總勢(shì)能取得最小值的那組位移函數(shù)。由于在位移函數(shù)公式中，結(jié)點(diǎn)位移為自變量，這樣就使一個(gè)泛函的極值問(wèn)題變?yōu)橐粋€(gè)多元函數(shù)的極值問(wèn)題。為此我們來(lái)討論單元的總勢(shì)能關(guān)于結(jié)點(diǎn)位移的表達(dá)式。每一個(gè)單元的總勢(shì)能由該單元的應(yīng)變能以及此單元上所有外力的勢(shì)能組成。 單元的應(yīng)變能 平面應(yīng)力狀態(tài)下，設(shè)物體厚度為h，則單元中的應(yīng)變能為：?jiǎn)卧膽?yīng)變能（續(xù)）將和Bi代入上式，應(yīng)用矩陣相乘的轉(zhuǎn)置的逆序法則,注意到彈性矩陣D的對(duì)稱性,有：?jiǎn)卧膽?yīng)變能（續(xù)）因?yàn)榫仃嘊及D的元素都是常量，所以可記：?jiǎn)卧膽?yīng)變能（續(xù)）從而單元的應(yīng)變能可寫為：利用=Be，有：?jiǎn)卧膽?yīng)變能（續(xù)）注意到B=B

13、i Bj Bm，記子矩陣 單元上體積力的勢(shì)能物體中常見的體力為旋轉(zhuǎn)離心體力和重力。在平面問(wèn)題中，體積力在z軸方向的分力為零，設(shè)單元體積中的體積力為： 單元上體積力具有的勢(shì)能為： 單元上表面力的勢(shì)能設(shè)物體邊界上一單元某邊上受到表面力的作用，單位長(zhǎng)度上所受到的表面力為：則單元上表面力的勢(shì)能為： 單元節(jié)點(diǎn)上集中力的勢(shì)能如果彈性物體受到集中力Re 的作用，通常劃分單元網(wǎng)格時(shí)都在集中力的作用點(diǎn)設(shè)置結(jié)點(diǎn)。設(shè)某單元3個(gè)結(jié)點(diǎn)上所受到的集中力為：于是該單元上集中力的勢(shì)能是： 單元中的總勢(shì)能綜合前面的幾種情況，可以得到單元中的總勢(shì)能為： 單元中的總勢(shì)能分別引進(jìn)單元體積力，表面力，集中力向量如下： 單元中的總勢(shì)能則

14、單元中的總勢(shì)能可以表示為： 物體中的總勢(shì)能把各單元的總勢(shì)能疊加起來(lái)，就可得到整個(gè)彈性體的總勢(shì)能。為了便于疊加和歸并，需將單元?jiǎng)偠染仃嚤磉_(dá)式(2-18)作適當(dāng)?shù)母膶?。假設(shè)結(jié)構(gòu)離散化后共有n個(gè)結(jié)點(diǎn)，將編號(hào)為 l的結(jié)點(diǎn)位移記為：則結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量： 是一個(gè)2n維的列向量。物體中的總勢(shì)能（續(xù)）可將單元?jiǎng)偠染仃囀接醚a(bǔ)零的辦法由6X6的矩陣擴(kuò)大到2nX2n的矩陣物體中的總勢(shì)能（續(xù)）如果在物體上劃分的單元總數(shù)是e0,再引進(jìn)結(jié)構(gòu)的總剛度陣：物體總勢(shì)能就可寫為：物體中的總勢(shì)能（續(xù)） 代入約束條件后的彈性體總勢(shì)能可以寫為：空間問(wèn)題的有限單元法 空間問(wèn)題的有限單元法用有限單元法求解彈性力學(xué)空間問(wèn)題，首先也要將連續(xù)

15、的空間物體用一系列的單元離散化。空間問(wèn)題中，最簡(jiǎn)單的是四面體單元。離散的空間結(jié)構(gòu)是這些單元只在節(jié)點(diǎn)處以空間鉸相互連接的集合體?？臻g問(wèn)題的有限單元法（續(xù)）位移模式空間問(wèn)題中，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)有3個(gè)位移分量，單元結(jié)點(diǎn)位移向量由12個(gè)分量組成，分別表示為：位移模式（續(xù)）假定單元內(nèi)的位移分量為坐標(biāo)的線性函數(shù):位移模式（續(xù)）將上式中的第一式應(yīng)用于4個(gè)結(jié)點(diǎn)，則有：位移模式（續(xù)） 由上式可解出a1,a2,a3和a4再代回位移分量的表達(dá)式，可得： 式中： 為形函數(shù)，其中：位移模式（續(xù)）位移模式（續(xù)）用同樣的方法，可以得到：合并,的表達(dá)式，可以將單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移寫為：?jiǎn)卧械膽?yīng)變和應(yīng)力在空間問(wèn)題中，每點(diǎn)有6個(gè)應(yīng)變分量，由幾何關(guān)系：將,的表達(dá)式代入上式，得到:式中：?jiǎn)卧械膽?yīng)變和應(yīng)力(續(xù))單元中的應(yīng)變和應(yīng)力(續(xù))可以看出，應(yīng)變矩陣B中的元素都是常量，從而單元中的應(yīng)變都是常量，故線性位移模式的四面體單元是常應(yīng)變單元。由應(yīng)力-應(yīng)變