簡單隨機(jī)抽樣 (2)ppt課件

1、第三章 簡單隨機(jī)抽樣 1.本章要點(diǎn) 簡單隨機(jī)抽樣是抽樣中最根本、最成熟、也是最簡單的抽樣設(shè)計(jì)方式，是一切概率抽樣方法開展、比較的根底。 要求經(jīng)過學(xué)習(xí)熟練掌握簡單隨機(jī)抽樣的抽樣方式和樣本抽選方法； 熟知總體均值、總體總值和總體比例的簡單估計(jì)； 掌握樣本量確實(shí)定；了解子總體的估計(jì)。2.第一節(jié) 抽樣方式3. 簡單隨機(jī)抽樣也稱純隨機(jī)抽樣。對(duì)于大小為的總體，抽取樣本量為的樣本，假設(shè)全部能夠的樣本被抽中的概率都相等，那么稱這樣的抽樣為簡單隨機(jī)抽樣。根據(jù)抽樣單位能否放回可分為放回簡單隨機(jī)抽樣和不放回簡單隨機(jī)抽樣。 一放回簡單隨機(jī)抽樣 二不放回簡單隨機(jī)抽樣 三不放回與放回簡單隨機(jī)抽樣的比較 一、什么是簡單隨機(jī)

2、抽樣4.一放回簡單隨機(jī)抽樣 假設(shè)抽樣是有放回的，那么每次抽取都都是從 個(gè)總體單位中抽取，這時(shí)能夠的樣本為 個(gè)思索樣本單位的順序或 個(gè)不思索樣本單位的順序，每個(gè)樣本被抽中的概率為 或 ，這種抽樣方式就是放回簡單隨機(jī)抽樣，所得的樣本稱為放回的簡單隨機(jī)樣本。思索與不思索樣本單位順序的放回簡單隨機(jī)抽樣，有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即同一個(gè)單位有能夠在同一個(gè)樣本中反復(fù)出現(xiàn)。但是他們也有明顯的區(qū)別：一是能夠的樣本數(shù)不同；二是樣本的概率分布不同，由此會(huì)導(dǎo)致估計(jì)量的概率分布不同。 5. 可以證明，不思索順序的放回簡單隨機(jī)抽樣的估計(jì)量的方差大于等于思索順序的放回簡單隨機(jī)抽樣的估計(jì)量的方差，因此在抽樣實(shí)際中，假設(shè)用到放回簡

3、單隨機(jī)抽樣這種方式，也只討論和運(yùn)用思索順序的情形。 6.二不放回簡單隨機(jī)抽樣 假設(shè)抽樣是無放回的，即同一個(gè)單位不能在樣本中反復(fù)出現(xiàn)，那么，假設(shè)思索樣本單位的順序，那么能夠的樣本為 個(gè)，每個(gè)樣本被抽中的概率為 ；假設(shè)不思索樣本單位的順序，那么能夠的樣本為 個(gè)，每個(gè)樣本被抽中的概率為 。這樣的抽樣方式就是不放回簡單隨機(jī)抽樣，所得的樣本稱為不放回簡單隨機(jī)樣本。 7. 思索樣本單位順序與不思索樣本單位順序的不放回簡單隨機(jī)抽樣，除了單位不能夠在同一個(gè)樣本中反復(fù)出現(xiàn)這一共同特點(diǎn)外，還有一個(gè)共同點(diǎn)，即雖然他們的能夠樣本數(shù)不同，思索順序是不思索順序的 倍，但是它們的樣本卻有一樣的概率分布。由此會(huì)導(dǎo)致依據(jù)樣本構(gòu)

4、造的估計(jì)量的概率分布也是一樣的。 由于這一共同點(diǎn)的存在，加之不思索順序的放回簡單隨機(jī)抽樣的任務(wù)量更小，所以抽樣實(shí)際中對(duì)于不放回簡單隨機(jī)抽樣，只討論和運(yùn)用不思索順序不放回簡單隨機(jī)抽樣這種方式。 8.(三)不放回與放回簡單隨機(jī)抽樣的比較 1、每次抽取樣本單位面對(duì)的總體構(gòu)造不同。這是二者的主要不同之處。這一點(diǎn)使得前者的數(shù)學(xué)處置相對(duì)簡單。 2、樣本提供的信息量不同。顯然，在樣本量一定的條件下，由于后者提供的信息量大于前者，其抽樣效率更高。 在實(shí)際中，普通多采用不思索順序的不放回簡單隨機(jī)抽樣，所以以下討論如無特別闡明，都指這一類簡單隨機(jī)抽樣。 9.二、簡單隨機(jī)樣本的抽選方法 簡單隨機(jī)樣本的抽選，首先要將

5、總體 個(gè)單位從1到 編號(hào)，每個(gè)單位對(duì)應(yīng)一個(gè)號(hào)；然后從所編的號(hào)中抽號(hào)，假設(shè)抽到某個(gè)號(hào)，那么對(duì)應(yīng)的那個(gè)單位入樣，直到抽夠 個(gè)單位為止。 一抽簽法 二隨機(jī)數(shù)法 10.一抽簽法 當(dāng)總體不大時(shí)，可分別采用兩種方法抽取。一種是全樣本抽選法，另一種是逐個(gè)抽選法，按這兩種方法抽到的 個(gè)單位的樣本是等價(jià)的，每個(gè)被抽到的樣本的概率都等于 。11.二隨機(jī)數(shù)法 當(dāng)總體較大時(shí)，抽簽法實(shí)施起來比較困難，這時(shí)可以利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子、搖獎(jiǎng)機(jī)、計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)進(jìn)展抽樣。1、利用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)展抽選。隨機(jī)數(shù)表是一張由0，1，2，9這十個(gè)數(shù)字組成的，普通常用的是五位數(shù)的隨機(jī)數(shù)字表，10個(gè)數(shù)字在表中出現(xiàn)的順序是隨機(jī)的，每個(gè)數(shù)字

6、都有同樣的時(shí)機(jī)被抽中。12. 用隨機(jī)數(shù)表抽選簡單隨機(jī)樣本時(shí)，普通可根據(jù)總體大小 的位數(shù)決議在隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)抽取幾列，比如 =768,要從中抽取 =10的簡單隨機(jī)樣本，那么在隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)抽取相鄰的3列，順序往下或往上，選出前10個(gè)001到768之間的互不一樣的數(shù)，假設(shè)這3列隨機(jī)數(shù)字不夠，可另選其他3列繼續(xù)，直到抽夠個(gè) 單位為止。13. 用此種方法，當(dāng) 的最高位數(shù)較小，比如小于5，且不小 時(shí)，由于讀到的隨機(jī)數(shù)被舍棄不用的比例較大，抽選效率較差。此時(shí)采用下面的方法。在隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)抽取3列，順序往下，假設(shè)得到的隨機(jī)數(shù)大于247，小于989由于247的4倍為988，因此000及989到999的數(shù)字應(yīng)

7、舍棄，那么用這個(gè)數(shù)除以247，得到的余數(shù)入樣，顯然這種方法效率要高得多。隨機(jī)數(shù)表的起始頁和起始點(diǎn)都運(yùn)用隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生。14.3、利用搖獎(jiǎng)機(jī)進(jìn)展抽選。 4、利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)進(jìn)展抽選。通常產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)有循環(huán)周期。因此在有條件的情況下，普通不建議運(yùn)用此種方法。 2、利用隨機(jī)數(shù)骰子進(jìn)展抽選。15.一簡單隨機(jī)抽樣在抽樣實(shí)際中的位置它是抽樣中最容易掌握的技術(shù)、也是開展最成熟的技術(shù)，建立了最完備的實(shí)際。簡單隨機(jī)抽樣也是比較其他抽樣設(shè)計(jì)方法優(yōu)劣的根底。其他抽樣方法技術(shù)都是在它的實(shí)際技術(shù)根底上，針對(duì)它的局限開展起來的。 三、簡單隨機(jī)抽樣在抽樣實(shí)際中的位置 與局限性16. 假設(shè)總體單位數(shù) 很大時(shí)，編制抽樣框

8、困難；抽樣框中即使有輔助信息也不加利用，使得估計(jì)的統(tǒng)計(jì)效率較其他利用輔助信息的抽樣設(shè)計(jì)方法低；由于樣本在總體中的地理分布范圍較廣，假設(shè)采取面訪，那么費(fèi)時(shí)、費(fèi)錢、費(fèi)力，困難較大；能夠得到一個(gè)“差的簡單隨機(jī)樣本；假設(shè)不用計(jì)算機(jī)，而用隨機(jī)數(shù)表或隨機(jī)數(shù)骰子抽取一個(gè)大樣本，比較勞神單調(diào)。 二簡單隨機(jī)抽樣的局限性17.四、有關(guān)目的與符號(hào)指 標(biāo) 總 體 樣 本 總值均值比例比率有限總體方差無限總體方差18.第二節(jié) 總體均值與總體總值的簡單估計(jì)19.一簡單估計(jì)量的定義 三簡單估計(jì)量 的方差四簡單估計(jì)量 的方差的無偏估計(jì) 二簡單估計(jì)量 的無偏性五放回簡單隨機(jī)抽樣的簡單估計(jì) 六設(shè)計(jì)效應(yīng)七影響估計(jì)量精度的要素一、總

9、體均值的簡單估計(jì) 20.一簡單估計(jì)量的定義 對(duì)于簡單隨機(jī)抽樣，最簡單的估計(jì)是利用樣本均值作為總體均值的估計(jì)，即總體均值的簡單估計(jì)量為： 也就是說，樣本均值是總體均值的簡單估計(jì)量。21.二簡單估計(jì)量 的無偏性對(duì)于簡單隨機(jī)抽樣， 是 的無偏估計(jì)，即有 證明： 這就是對(duì)稱性論證法。由于總體中每一個(gè)單位的入樣概率都相等，所以不放回簡單隨機(jī)抽樣是一種等概率抽樣。 22.(三)簡單估計(jì)量 的方差 式中， 抽樣比； 為有限總體校正系數(shù)。 證明： 根據(jù)對(duì)稱性論證法，有 23.因此有24. (四)簡單估計(jì)量 的方差的無偏估計(jì) 的無偏估計(jì)是： 式中 為樣本方差。 證明： 25.根據(jù)對(duì)稱性論證法及 的表達(dá)式，有 由

10、此可得： 26.五放回簡單隨機(jī)抽樣的簡單估計(jì) 現(xiàn)實(shí)中有許多情況下，抽樣必需是放回的，即從總體中抽中的單位每次都要放回總體中去。例如在城市中對(duì)行人、車輛的調(diào)查，對(duì)超市顧客、影劇院觀眾的調(diào)查等抽樣都是有放回的，從而，有能夠反復(fù)抽中某些單位。 對(duì)于每次抽到的結(jié)果(視為隨機(jī)變量) 都有 27.由此可以證明： 留意到 28.因此樣本方差 是無限總體方差 的無偏估計(jì)量。 方差 的一個(gè)無偏估計(jì)是： 思索樣本單位順序的放回簡單隨機(jī)抽樣也是等概率抽樣。 29.這闡明除非 =1，否那么在一樣的樣本量下，放回簡單隨機(jī)抽樣的方差總是大于不放回的方差，即它的抽樣效率普通比不放回簡單隨機(jī)抽樣的低。根據(jù)抽樣設(shè)計(jì)效應(yīng)定義：

11、放回簡單隨機(jī)抽樣的 為：30.【例3-3】為調(diào)查某大學(xué)學(xué)生的電信消費(fèi)程度，在全校=15230名學(xué)生中，用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽得一個(gè)=36的樣本。對(duì)每個(gè)抽中的學(xué)生調(diào)查其上個(gè)月的電信支出金額如表3-6所示。試以95%的置信度估計(jì)該校大學(xué)生該月電信消費(fèi)的平均支出額。 樣本序號(hào)消費(fèi)額元樣本序號(hào)消費(fèi)額元樣本序號(hào)消費(fèi)額元123456789101112453671317089337522567951314151617181920212223244853243941931959111643576252627282930313233343536835133252890175743146194731. ， ， ，

12、 ， ， 。因此，對(duì)該校大學(xué)生某月的電信消費(fèi)的人均支出額的估計(jì)為53.64元，由于置信度95%對(duì)應(yīng)的 =1.96，所以，可以以95%的把握 說該校大學(xué)生該月的電信消費(fèi)的人均支出額大約在53.641.966.5，即41.6165.67元之間。 假設(shè)采取放回簡單隨機(jī)抽樣，那么： ， ， ，以95%的把握估計(jì)該校大學(xué)生該月的電信消費(fèi)的人均支出額大約在53.641.966.1428，即41.6065.68元之間。 計(jì)算結(jié)果闡明，不放回比放回簡單隨機(jī)抽樣估計(jì)的置信區(qū)間略小一些。由于總體較大而抽樣比較小，所以兩者之間相差很小。解：根據(jù)題意和表中數(shù)據(jù)，可計(jì)算得：32. 總體總值為總體均值的 倍，即 一簡單估

13、計(jì)量的定義 N倍的樣本均值是總體總值的簡單估計(jì)量，即 二、總體總值的簡單估計(jì) 只需我們有了總體均值的估計(jì)結(jié)果，就可以很容易地推出總體總值的估計(jì)結(jié)果。33.由于總體總值是總體均值的N倍，其簡單估計(jì)量也是總體均值估計(jì)量的N倍，而N是固定常數(shù)，所以總體總值的簡單估計(jì)量的性質(zhì)由總體均值的簡單估計(jì)量的性質(zhì)來決議。 容易證明的無偏估計(jì)為 二簡單估計(jì)量的性質(zhì)34.【例3.4】試以95%的置信度估計(jì)例3.3中該校大學(xué)生該月電信消費(fèi)的總支出額。解：依題意，N=15230，根據(jù)例3.3計(jì)算的結(jié)果，可估計(jì)該校大學(xué)生該月電信消費(fèi)的總支出額為 元。在不放回簡單隨機(jī)抽樣下， =1523037.6444 =1523037.

14、6444=8731 727 749元， 元， 以95%的把握估計(jì)該校大學(xué)生該月電信消費(fèi)的總支出額為： 816 937.21.9693 443.71元即在633 787.531 000 086.87元之間。 假設(shè)為放回簡單隨機(jī)抽樣，那么可得： 1523037.7336 =8752417947元， 元，以95%的把握估計(jì)該校大學(xué)生該月電信消費(fèi)的總支出額為816 937.21.9693 554.36元，即在633 570.651 000 303.75元之間。35.第三節(jié) 總體比例的簡單估計(jì)36.規(guī)定 設(shè)總體中有 個(gè)單位，具有某種屬性的單位數(shù)為 ；不具有該種屬性的單位數(shù)為 。具有某種屬性的單位比例為：

15、 不具有該種屬性的單位的比例為： 因此對(duì)總體比例的估計(jì)就是對(duì)總體均值的估計(jì)，對(duì)總體中具有某種屬性單位的總個(gè)數(shù) 的估計(jì)是對(duì)總體總值估計(jì)的一個(gè)特例。 一、問題的提法 37.一簡單估計(jì)量的定義 二、總體比例的簡單估計(jì)量及其性質(zhì) 根據(jù)調(diào)查要求，利用簡單隨機(jī)抽樣的方式隨機(jī)抽取個(gè)單位組成樣本，其中 個(gè)具有某種屬性，那么樣本比例樣本均值 就是總體比例 的簡單估計(jì)量； 就是總體中具有某種屬性單位的總個(gè)數(shù) 的簡單估計(jì)量。 38.二估計(jì)量的性質(zhì)1、 是 的無偏估計(jì)。即有：2、 的方差為：3、 的無偏估計(jì)量是 ，即39.當(dāng) 都比較大時(shí)，我們以正態(tài)分布給出 及 的近似置信區(qū)間置信度為 為：修正后的 與 的置信區(qū)間分別

16、為：40. 【例3.5】試以95%的置信度估計(jì)例3.3中該校大學(xué)生該月電信消費(fèi)支出超出80元的人數(shù)及其比例。解：根據(jù)例3.3所給的資料可知， =15230， =36， 7， =1.96。由此可計(jì)算得： 于是 的95%的置信區(qū)間為 的95%的置信區(qū)間為0.0496 ，0.3392 =(755，5166)。 =0.0496，0.339241.第四節(jié) 樣本量確實(shí)定42. 在抽樣調(diào)查的實(shí)際方法研討中，樣本量確實(shí)定既有重要的實(shí)際意義，又有現(xiàn)實(shí)的適用價(jià)值。樣本量過大，不符合抽樣調(diào)查的目的；過小，那么抽樣誤差偏大，無法保證估計(jì)精度的要求。樣本量確實(shí)定主要受兩個(gè)方面要素的影響和制約： 一是對(duì)抽樣估計(jì)量精度的要

17、求。對(duì)于一個(gè)確定的抽樣設(shè)計(jì)，估計(jì)量的精度要求高意味著要求的抽樣誤差小，而要想抽樣誤差小，就必需樣本量大。而總體單位調(diào)查標(biāo)志的變異程度、總體的大小、樣本設(shè)計(jì)和所運(yùn)用的估計(jì)量、回答率等都是影響估計(jì)精度的要素，從而也是影響樣本量的要素。一、確定樣本量主要思索的要素43. 二是實(shí)踐調(diào)查運(yùn)作的限制。調(diào)查的經(jīng)費(fèi)能支持多大的樣本？允許調(diào)查繼續(xù)的時(shí)間有多長？需求多少調(diào)查人員？雖然有些限制要素在樣本量的計(jì)算公式中還無法表達(dá)，但是在確定最終所需的樣本量時(shí)必需加以思索。實(shí)際中樣本量確實(shí)定是在多種約束條件下進(jìn)展的折衷過程。 由于大部分限制約束條件不便于量化，確定樣本量的計(jì)算公式時(shí)往往只在抽樣精度與調(diào)查費(fèi)用兩者之間權(quán)衡

18、。采用兩種不同的方式來確定：一種是在總費(fèi)用一定的條件下使精度最高；另一種是在滿足一定精度要求的條件下使費(fèi)用最小。 44.給定絕對(duì)誤差限 、相對(duì)誤差限 和變異系數(shù) 的允許上限的樣本量確定公式，即分別有： 二、估計(jì)總體均值總值的樣本確定45. 由于總體方差 和總體均值 未知，因此在利用上述公式時(shí)，必需事先對(duì)它們做出估計(jì)。實(shí)踐任務(wù)中，可以經(jīng)過以往對(duì)同類問題調(diào)查積累的閱歷來估計(jì)，也可以經(jīng)過預(yù)調(diào)查來估計(jì)，或經(jīng)過其他調(diào)查方法和定性分析方法獲得。 對(duì)于復(fù)雜抽樣設(shè)計(jì)方法，由于確定樣本量的公式比較復(fù)雜，經(jīng)常難于計(jì)算。在同樣精度要求的條件下，簡單隨機(jī)抽樣的樣本量 相對(duì)容易獲得，這時(shí)可以利用3.21式先計(jì)算復(fù)雜抽樣

19、設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)效應(yīng) ，然后再間接推算復(fù)雜抽樣設(shè)計(jì)方法所需求的樣本量 ，即有： 46.【例3.6】在例3.3中，假設(shè)要求以95%的置信度估計(jì)該校大學(xué)生該月人均電信消費(fèi)支出的絕對(duì)允許誤差不超越5元，樣本量應(yīng)確定為多少？ 解：根據(jù)所給條件： =15230， =5，置信度95%對(duì)應(yīng)的規(guī)范正態(tài)分布表的上側(cè)分位數(shù)為 1.96，且 =8.41，據(jù)此可計(jì)算得： = 也就是說，至少應(yīng)抽取一個(gè)樣本量為206的簡單隨機(jī)樣本，才干滿足95%置信度條件下絕對(duì)誤差不超越5元的精度要求。47.根據(jù)樣本比例 的方差公式 可以推得： 其中 同樣可求得給定絕對(duì)誤差限 、相對(duì)誤差限 和變異系數(shù) 的允許上限的樣本量確定公式，即分別有：

20、在無限總體或放回抽樣情形下， 即為所確定的樣本量。 三、估計(jì)總體比例的樣本量確定48.【例3.7】 在例3.5中，假設(shè)要求以95%的置信度估計(jì)該校大學(xué)生該月電信消費(fèi)支出超出80元的人數(shù)比例的相對(duì)允許誤差不超越10%，樣本量至少應(yīng)為多少？解：根據(jù)例3.5所給的資料和計(jì)算的結(jié)果可知： =15230， =36， 7， =1.96。 ，由此可計(jì)算得： 計(jì)算結(jié)果闡明，至少應(yīng)抽取一個(gè)樣本量為1442的簡單隨機(jī)樣本，才干滿足95%置信度條件下相對(duì)允許誤差不超越10%的精度要求。49.四、逆抽樣法 現(xiàn)實(shí)中有這樣一種情況，即總體中具有所思索屬性的單位數(shù)很少，也就是說 值很小。對(duì)于此類稀有事件的比例估計(jì)問題，利用

21、前面給出的公式確定樣本量有困難。 霍丹Haldane1945年提出一種稱為逆抽樣的方法，專門用于此類小比例的抽樣。50.第五節(jié) 子總體估計(jì)51.一、問題的提出 我們把總體中具有某種共同屬性特征的單位的集合稱為子總體。 對(duì)子總體的處置有多種方法：假設(shè)每個(gè)子總體在編制抽樣框時(shí)就可以區(qū)分開，可以采用分層抽樣方法進(jìn)展估計(jì)；假設(shè)事先不能將各個(gè)子總體區(qū)分開來，但是事先可以知道各個(gè)子總體的單位數(shù) ，那么可采用事后分層的方法進(jìn)展估計(jì)；還有一種情況是，既不能事先將各個(gè)子總體區(qū)分開來，又無法事先知道各個(gè)子總體的單位數(shù) 。本節(jié)的討論僅限于后一類子總體的估計(jì) 。52. 二、子總體均值的估計(jì)樣本均值是子總體均值的無偏估

22、計(jì)量53.式中 為第 個(gè)子總體的抽樣比，子總體的方差未知，可用其樣本方差 其方差為 來估計(jì)。至此我們的問題并沒有處理，由于 未知，所以 也是未知的。 54. 我們可以將單位能否屬于第 個(gè)子總體看作是總體單位的一個(gè)屬性特征，那么 就是總體的比例 ，而 就是其樣本的比例 ， 是 的無偏估計(jì)，因此有由于 和 都是固定的，所以 因此可用 來估計(jì) 據(jù)此我們可得到 的無偏估計(jì)量為55. 上一小節(jié)處理了子總體均值的估計(jì)問題，但是由于 未知，子總體總值的估計(jì)問題依然沒有得到處理。 定義記它們可以分別用 ， 進(jìn)展估計(jì)。三、子總體總值的估計(jì)56.于是有 57. 總體總值 也就是子總體總值 的一個(gè)簡單無偏估計(jì)為 它的方差為 58.而樣本方差 因此 的一個(gè)無偏估計(jì)為 59.編號(hào)為奇數(shù)的習(xí)題答案3.1判別以下抽取方式能否為等概率抽樣:(1)是 (2)否 (3)是 (4)否60.3.3為調(diào)查某中學(xué)學(xué)生的每月購書支出程度，在全校名學(xué)生中，用不放