2022屆重慶市主城四區(qū)高考適應性考試數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1如圖是正方體截去一個四棱錐后的得到的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（ ）ABCD2已知四棱錐，底面ABCD是邊長為1的正方形，平面平面ABCD，當點C到平面ABE的距離最大時，該

2、四棱錐的體積為（ ）ABCD13已知點、若點在函數(shù)的圖象上，則使得的面積為的點的個數(shù)為（ ）ABCD4在正方體中，點，分別為棱，的中點，給出下列命題：；平面；和成角為.正確命題的個數(shù)是（ ）A0B1C2D35已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上,平面,是邊長為的等邊三角形,若球的表面積為,則直線與平面所成角的正切值為()ABCD6若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ）A240B264C274D2827已知非零向量滿足，且與的夾角為，則（ ）A6BCD38設為定義在上的奇函數(shù)，當時，(為常數(shù))，則不等式的解集為（ ）ABCD9已知函數(shù)（其中，）的圖象關于點成中心對稱，且與點相鄰的一

3、個最低點為，則對于下列判斷：直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸；點是函數(shù)的一個對稱中心；函數(shù)與的圖象的所有交點的橫坐標之和為.其中正確的判斷是（ ）ABCD10已知函數(shù)，不等式對恒成立，則的取值范圍為（ ）ABCD11如圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖象，為了得到這個函數(shù)的圖象，只需將的圖象上的所有的點( )A向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變B向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變C向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變D向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變12二項式的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大

4、，則展開式中的常數(shù)項是( )A180B90C45D360二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13某種牛肉干每袋的質量服從正態(tài)分布，質檢部門的檢測數(shù)據(jù)顯示：該正態(tài)分布為，.某旅游團游客共購買這種牛肉干100袋，估計其中質量低于的袋數(shù)大約是_袋.14某學校高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為，現(xiàn)按年級采用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的高三年級為12人，則抽取的樣本容量為_人.15六位同學坐在一排，現(xiàn)讓六位同學重新坐，恰有兩位同學坐自己原來的位置，則不同的坐法有_種（用數(shù)字回答）.16小李參加有關“學習強國”的答題活動，要從4道題中隨機抽取2道作答，小李會其中的三道題，則抽到的2道題

5、小李都會的概率為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）時，若對一切恒成立，求a的取值范圍.18（12分）若函數(shù)在處有極值，且，則稱為函數(shù)的“F點”.（1）設函數(shù)（）.當時，求函數(shù)的極值；若函數(shù)存在“F點”，求k的值；（2）已知函數(shù)（a，b，）存在兩個不相等的“F點”，且，求a的取值范圍.19（12分）某商場為改進服務質量，在進場購物的顧客中隨機抽取了人進行問卷調(diào)查調(diào)查后，就顧客“購物體驗”的滿意度統(tǒng)計如下：滿意不滿意男女是否有的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關？若在購物體驗滿意的問卷顧客中按照性別分層抽

6、取了人發(fā)放價值元的購物券若在獲得了元購物券的人中隨機抽取人贈其紀念品，求獲得紀念品的人中僅有人是女顧客的概率附表及公式：20（12分）如圖1，在等腰梯形中，兩腰，底邊，是的三等分點，是的中點.分別沿，將四邊形和折起，使，重合于點，得到如圖2所示的幾何體.在圖2中，分別為，的中點.（1）證明：平面.（2）求直線與平面所成角的正弦值.21（12分）已知動點到定點的距離比到軸的距離多.（1）求動點的軌跡的方程；（2）設，是軌跡在上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當，變化且時，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.22（10分）已知橢圓的左焦點坐標為，分別是橢圓的左，右頂點，是橢圓上異

7、于，的一點，且，所在直線斜率之積為.（1）求橢圓的方程；（2）過點作兩條直線，分別交橢圓于，兩點（異于點）.當直線，的斜率之和為定值時，直線是否恒過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】根據(jù)三視圖作出幾何體的直觀圖，結合三視圖的數(shù)據(jù)可求得幾何體的體積.【詳解】根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖如下圖所示：由圖可知，該幾何體是在棱長為的正方體中截去四棱錐所形成的幾何體，該幾何體的體積為.故選：C.【點睛】本題考查利用三視圖計算幾何體的體積，考查空間想象能力與計算能力，屬于基礎

8、題.2B【解析】過點E作，垂足為H，過H作，垂足為F，連接EF.因為平面ABE，所以點C到平面ABE的距離等于點H到平面ABE的距離.設，將表示成關于的函數(shù)，再求函數(shù)的最值，即可得答案.【詳解】過點E作，垂足為H，過H作，垂足為F，連接EF.因為平面平面ABCD，所以平面ABCD，所以.因為底面ABCD是邊長為1的正方形，所以.因為平面ABE，所以點C到平面ABE的距離等于點H到平面ABE的距離.易證平面平面ABE，所以點H到平面ABE的距離，即為H到EF的距離.不妨設，則，.因為，所以，所以，當時，等號成立.此時EH與ED重合，所以，.故選：B.【點睛】本題考查空間中點到面的距離的最值，考查

9、函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查空間想象能力和運算求解能力，求解時注意輔助線及面面垂直的應用.3C【解析】設出點的坐標，以為底結合的面積計算出點到直線的距離，利用點到直線的距離公式可得出關于的方程，求出方程的解，即可得出結論.【詳解】設點的坐標為，直線的方程為，即，設點到直線的距離為，則，解得，另一方面，由點到直線的距離公式得，整理得或，解得或或.綜上，滿足條件的點共有三個故選：C.【點睛】本題考查三角形面積的計算，涉及點到直線的距離公式的應用，考查運算求解能力，屬于中等題4C【解析】建立空間直角坐標系，利用向量的方法對四個命題逐一分析，由此得出正確命題的個數(shù).【詳解】設正方體邊長為，建立

10、空間直角坐標系如下圖所示，.，所以，故正確.，不存在實數(shù)使，故不成立，故錯誤.，故平面不成立，故錯誤.，設和成角為，則，由于，所以，故正確.綜上所述，正確的命題有個.故選：C【點睛】本小題主要考查空間線線、線面位置關系的向量判斷方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.5C【解析】設為中點,先證明平面，得出為所求角,利用勾股定理計算,得出結論【詳解】設分別是的中點平面 是等邊三角形 又平面 為與平面所成的角是邊長為的等邊三角形，且為所在截面圓的圓心球的表面積為 球的半徑平面 本題正確選項：【點睛】本題考查了棱錐與外接球的位置關系問題，關鍵是能夠通過垂直關系得到直線與平面所求角，再利用球心位置來求解出

11、線段長，屬于中檔題6B【解析】將三視圖還原成幾何體，然后分別求出各個面的面積，得到答案.【詳解】由三視圖可得，該幾何體的直觀圖如圖所示，延長交于點，其中，所以表面積.故選B項.【點睛】本題考查三視圖還原幾何體，求組合體的表面積，屬于中檔題7D【解析】利用向量的加法的平行四邊形法則，判斷四邊形的形狀，推出結果即可【詳解】解：非零向量，滿足，可知兩個向量垂直，且與的夾角為，說明以向量，為鄰邊，為對角線的平行四邊形是正方形，所以則故選：【點睛】本題考查向量的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則的應用，考查分析問題解決問題的能力，屬于基礎題8D【解析】由可得，所以，由為定義在上的奇函數(shù)結合增函數(shù)+增函數(shù)

12、=增函數(shù)，可知在上單調(diào)遞增，注意到，再利用函數(shù)單調(diào)性即可解決.【詳解】因為在上是奇函數(shù).所以，解得，所以當時，且時，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因為，故有，解得.故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查學生對函數(shù)性質的靈活運用能力，是一道中檔題.9C【解析】分析：根據(jù)最低點，判斷A=3，根據(jù)對稱中心與最低點的橫坐標求得周期T，再代入最低點可求得解析式為，依次判斷各選項的正確與否詳解：因為為對稱中心，且最低點為，所以A=3，且 由 所以，將帶入得 ，所以由此可得錯誤，正確，當時，所以與 有6個交點，設各個交點坐標依次為 ，則，所以正確所以選C點睛：本題考查了根據(jù)條件求三角

13、函數(shù)的解析式，通過求得的解析式進一步研究函數(shù)的性質，屬于中檔題10C【解析】確定函數(shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，不等式轉化為，利用雙勾函數(shù)單調(diào)性求最值得到答案.【詳解】是奇函數(shù)，易知均為減函數(shù)，故且在上單調(diào)遞減，不等式，即，結合函數(shù)的單調(diào)性可得，即，設，故單調(diào)遞減，故，當，即時取最大值，所以.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式，參數(shù)分離求最值是解題的關鍵.11A【解析】由函數(shù)的最大值求出，根據(jù)周期求出，由五點畫法中的點坐標求出，進而求出的解析式，與對比結合坐標變換關系，即可求出結論.【詳解】由圖可知，又，又，為了得到這個函數(shù)的圖象，只需將的圖象上的所有向左平移個長度單位，得到的

14、圖象，再將的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變）即可.故選:A【點睛】本題考查函數(shù)的圖象求解析式，考查函數(shù)圖象間的變換關系，屬于中檔題.12A【解析】試題分析：因為的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，所以，令，則，.考點：1.二項式定理；2.組合數(shù)的計算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。131【解析】根據(jù)正態(tài)分布對稱性，求得質量低于的袋數(shù)的估計值.【詳解】由于，所以，所以袋牛肉干中，質量低于的袋數(shù)大約是袋.故答案為：【點睛】本小題主要考查正態(tài)分布對稱性的應用，屬于基礎題.14【解析】根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關系即可得到結論.【詳解】設抽取的樣本為，則由題意得，解得.故

15、答案為：【點睛】本題考查了分層抽樣的知識，算出抽樣比是解題的關鍵，屬于基礎題.15135【解析】根據(jù)題意先確定2個人位置不變，共有種選擇，再確定4個人坐4個位置，但是不能坐原來的位置，計算得到答案.【詳解】根據(jù)題意先確定2個人位置不變，共有種選擇.再確定4個人坐4個位置，但是不能坐原來的位置，共有種選擇，故不同的坐法有.故答案為：.【點睛】本題考查了分步乘法原理，意在考查學生的計算能力和應用能力.16【解析】從四道題中隨機抽取兩道共6種情況，抽到的兩道全都會的情況有3種，即可得到概率.【詳解】由題：從從4道題中隨機抽取2道作答，共有種，小李會其中的三道題，則抽到的2道題小李都會的情況共有種，所

16、以其概率為.故答案為：【點睛】此題考查根據(jù)古典概型求概率，關鍵在于根據(jù)題意準確求出基本事件的總數(shù)和某一事件包含的基本事件個數(shù).三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為 ；（2） 【解析】（1）求導，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關系即可求出.（2）解法一：分類討論：當時，觀察式子可得恒成立；當時，利用導數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增，可知；當時，令，由，根據(jù)零點存在性定理可得，進而可得在上，單調(diào)遞減，即不滿足題意；解法二：通過分離參數(shù)可知條件等價于恒成立，進而記，問題轉化為求在上的最小值問題，通過二次求導，結合洛比達法則計算可得結論.【詳解】（1）當，

17、令，解得，當時，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）解法一：當時，函數(shù)，若時，此時對任意都有， 所以恒成立；若時，對任意都有，所以，所以在上為增函數(shù)，所以，即時滿足題意；若時，令，則，所以在上單調(diào)遞增，可知，一定存在使得，且當時，所以在上，單調(diào)遞減，從而有時，不滿足題意；綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為. 解法二：當時，函數(shù)，又當時，對一切恒成立等價于恒成立，記，其中，則，令，則，在上單調(diào)遞增，恒成立，從而在上單調(diào)遞增，由洛比達法則可知，解得. 實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與不等式恒成立問題，考查了分類與整合的解題思想，涉及分離參數(shù)法等技巧、涉及到洛比達法則等知

18、識，注意解題方法的積累，屬于難題.18（1）極小值為1，無極大值.實數(shù)k的值為1.（2）【解析】（1）將代入可得，求導討論函數(shù)單調(diào)性，即得極值；設是函數(shù)的一個“F點”（），即是的零點，那么由導數(shù)可知，且，可得，根據(jù)可得，設，由的單調(diào)性可得，即得.（2）方法一：先求的導數(shù)，存在兩個不相等的“F點”，可以由和韋達定理表示出，的關系，再由，可得的關系式，根據(jù)已知解即得.方法二：由函數(shù)存在不相等的兩個“F點”和，可知，是關于x的方程組的兩個相異實數(shù)根，由得，分兩種情況：是函數(shù)一個“F點”，不是函數(shù)一個“F點”，進行討論即得.【詳解】解：（1）當時， （），則有（），令得，列表如下：x10極小值故函數(shù)在

19、處取得極小值，極小值為1，無極大值.設是函數(shù)的一個“F點”（）.（），是函數(shù)的零點.，由，得，由，得，即.設，則，所以函數(shù)在上單調(diào)增，注意到，所以方程存在唯一實根1，所以，得，根據(jù)知，時，是函數(shù)的極小值點，所以1是函數(shù)的“F點”.綜上，得實數(shù)k的值為1.（2）由（a，b，），可得（）.又函數(shù)存在不相等的兩個“F點”和，是關于x的方程（）的兩個相異實數(shù)根.又，即，從而，即.，解得.所以，實數(shù)a的取值范圍為.（2）（解法2）因為（ a，b，）所以（）.又因為函數(shù)存在不相等的兩個“F點”和，所以，是關于x的方程組的兩個相異實數(shù)根.由得，.（2.1）當是函數(shù)一個“F點”時，且.所以，即.又，所以，所以

20、.又，所以.（2.2）當不是函數(shù)一個“F點”時，則，是關于x的方程的兩個相異實數(shù)根.又，所以得所以，得.所以，得.綜合（2.1）（2.2），實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)極值，以及由函數(shù)的極值求參數(shù)值等，是一道關于函數(shù)導數(shù)的綜合性題目，考查學生的分析和數(shù)學運算能力，有一定難度.19有的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關；.【解析】由題得，根據(jù)數(shù)據(jù)判斷出顧客購物體驗的滿意度與性別有關；獲得了元購物券的人中男顧客有人，記為，；女顧客有人，記為，從中隨機抽取人，所有基本事件有個，其中僅有1人是女顧客的基本事件有個，進而求出獲得紀念品的人中僅有人是女顧客的概率.【詳解】解析：由

21、題得所以，有的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關獲得了元購物券的人中男顧客有人，記為，；女顧客有人，記為，從中隨機抽取人，所有基本事件有：，共個其中僅有1人是女顧客的基本事件有：，共個所以獲得紀念品的人中僅有人是女顧客的概率【點睛】本小題主要考查統(tǒng)計案例、卡方分布、概率等基本知識，考查概率統(tǒng)計基本思想以及抽象概括等能力和應用意識，屬于中檔題20（1）證明見解析 （2）【解析】(1)先證，再證，由可得平面 ，從而推出平面 ；(2) 建立空間直角坐標系，求出平面的法向量與，坐標代入線面角的正弦值公式即可得解.【詳解】（1）證明：連接，由圖1知，四邊形為菱形，且，所以是正三角形，從而.同理可證，所以平面.又，所以平面，因為平面，所以平面平面.易知，且為的中點，所以，所以平面.（2）解：由（1）可知，且四邊形為正方形.設的中點為