全國高中物理競賽力物體的平衡訓(xùn)練題答案

1、【訓(xùn)練題】：1、一個(gè)小物體與豎直墻面之間的摩擦因數(shù)0.25 ，當(dāng)作用力與豎直方向成的角度53 時(shí)， F 至少為 10N 才能維持物體靜止，如圖所示，問：（ 1）在不變的情況下，需要多大的力才能使物體沿墻面做勻速運(yùn)動(dòng)？（ 2）在已確定的情況下，要使物體向上做勻速運(yùn)動(dòng)，有什么限制？解（ 1）物體靜止，由圖（a）可知Fx0NF s i nFy0NFc o sG解得G8(N)fFNNfGG（ b）要使物體向上勻速運(yùn)動(dòng)，由圖（b）和平衡條件可知Fx0NF s i nFy0F c o sN G解得F820(N)cos530.25sin 53（ 2）由上面的 F 表達(dá)式知cossin0即arc cot 時(shí)，

2、 F 趨向無窮大，物體不可能向上運(yùn)動(dòng)。一根長度為 l 的桿 AB 重為 G ，B 端壓在粗糙的地面上， A 端用一根足夠牢的輕繩斜拉在地上，繩與桿的夾角為。在離 B 端 a l 處有一個(gè)水平作用力 F 。問：1）桿 B 端與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)至少為多大，才能維持桿靜止？AFlalB（ 2）如果 B 端與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0 ，那么在 AB 上有一點(diǎn) D ，在 AD 之間不論施加多大的水平力F ，都不會(huì)破壞AB 的平衡，求 D 點(diǎn)的位置。解這是一個(gè)一般剛體平衡的問題，形成第二問結(jié)果的原因是：當(dāng)F 的作用點(diǎn)高于某一高度時(shí)，桿 B 端受地面的最大靜摩擦力f 與 F 力同步增大，因此形成“自鎖”

3、，如圖所示。AFy0T cosGNTF（1）Fx0即 T sinfFGxlM B0Tl sinalFNfB因?yàn)槭乔笞钚〉膭?dòng)摩擦因數(shù)，所以由fN，可解得F (1a)sinaF cosG sin（2）設(shè) D 點(diǎn)離 B 點(diǎn)的距離是xl ，通過和（ 1）相同的方程，可解得G0F1xx0 cot的表達(dá)式分子是個(gè)定值，當(dāng)分母1xx0 cot0即x110 cot此時(shí) F，即無論多大的力F ，也不會(huì)破壞 AB 桿的平衡。用摩擦角的觀念，也可以用圖解的方法得到相同的結(jié)果。因?yàn)镈 點(diǎn)以上可以作用任意大的力 F ，所以此種情況下，F(xiàn) 桿的自重 G 可以忽略不計(jì)。這樣一來，A桿就只受三個(gè)力：繩的拉力T 、水平力 F

4、和地面的作用力F ，就是T摩擦角。(1x)l tanxl tanxl0DFFxl tan1Nf0 l tan10 cotlB3質(zhì)量為 m 的兩環(huán) A 、 B 用長為 a 的細(xì)線相連套在水平桿上，N在細(xì)線的中點(diǎn)掛有一質(zhì)量為M 的物塊 C，如圖所示。 A 、 B 環(huán)fmm與桿間的靜摩擦因數(shù)為，求平衡情況下兩環(huán)的最大距離x 。解 設(shè) A 、B 相距最遠(yuǎn)時(shí)， 線與水平桿間成角，且此時(shí)線的ATB張力為 T ，則當(dāng) C 平衡時(shí)，有mg2T sinMgCM設(shè)此時(shí)桿對A 的支持力為N ，摩擦力為f ，則當(dāng)A 平衡時(shí)，有NmgT sinfT cos在 A 、 B 相距最遠(yuǎn)的情況下，fNf 為最大靜摩擦力，故有由

5、和式消去N 得fmgT sin將式代入上式得T cosmgT sin整理后得T (cossin)mg由和式消去T 得cossin2m sin( 2mM或1)sincosM由此解得cot(12m)M(1 2m )則cosM2m )212(1M由 x a cos得xa(12m M )(1 2m)212M4、 質(zhì)量為 M 1 、 M 2 的兩星體相距L ，一質(zhì)量為 m 的小L星體位于兩星體的連線上，求小星體的平衡位置，并分別M 1mM 2討論對小星體沿連線方向的擾動(dòng)和垂直于連線方向的擾動(dòng)，其平衡的穩(wěn)定性。解 如圖所示，設(shè)小行星的平衡位置離M 1 的距離為 l ，l它受 M 1 的萬有引力應(yīng)等于受M

6、2 的萬有引力，故有G M 1mG M 2ml 2( L l )2即M 1 (L l )2M 2 l 2lM 1L lM 2M 1由此得M 2LlM 11M 2當(dāng)小星體從平衡位置向右移動(dòng)一小位移x 時(shí)，它所受的合力（以向右為正）為FGmM 22M 12(Ll x)(lx)GmM 2M 1( L l ) 2 (1x )2l 2 (1 x ) 2Lll但由于M 2M 1C，代入上式得( L l )2l 2F GmC110(1x) 2(1 x )2Lll不難看出，當(dāng) x 0 （小星體向左偏移）時(shí)， F 0 ，可見，當(dāng)小星體沿連線方向偏離平衡位置時(shí)，外力引起一堆斥力，將小星體推離平衡位置，所以平衡是不

7、穩(wěn)定的。當(dāng)小星體從平衡位置沿垂直于連線方向有一小位移時(shí)，它將同時(shí)受M 1 、M 2 兩星體的引力作用，兩引力大小幾乎相等，方向間夾一鈍角，故合力指向平衡位置，平衡是穩(wěn)定的。5、 石質(zhì)的水庫底上有一棱長為 a 2m的立方體， 其材料密度是水密度的 7 倍，想用一裝置把立方體從水庫底提上來，該裝置采用吸盤的原理，如圖所示，即把一邊長為a 的正方體吸盤緊扣在立方體的上表面，抽走吸盤內(nèi)的空氣直到壓強(qiáng)p0 。試問能不能借助這個(gè)裝置把立方體拉到水面？如果不能，在什么深度立方體脫離吸盤？已知大氣壓強(qiáng) p0105 Pa .解設(shè) F1 、 F2 為水對立方體下側(cè)和上側(cè)面的壓力，F(xiàn) 為拉力，對立方體、吸盤所組成的

8、系統(tǒng)有FF1 F2mg0其中F1水 ga2 (ha)p0a2F2水 ga2hp0a2mg體 ga3由此得F (體水 ) ga3對吸盤，由平衡條件得FNF20式中 N 是重物對吸盤的向上壓力，由此得NF2Fa2 水 ghp0( 體水 ) ga當(dāng) N0 時(shí)吸盤不脫落，在N0時(shí)吸盤將脫落，即水 ghp0(體水 ) ga0h( 體水1)ap0 ( 水 g)2m6如果把一只截面是六角形的鉛筆放在與水平面成角的斜面上，垂直于斜面母線（斜面與水平面的交線） ，則鉛筆靜止不動(dòng)。如果把鉛筆平行于母線放置，則它向下滾?，F(xiàn)將鉛筆的軸與斜面母線間成夾角放置，如圖所示，鉛筆還處于平衡，試求角。解設(shè)六角形中心到六角形任意

9、一頂點(diǎn)的距離為l ，鉛筆正好處于既不向下滑動(dòng)、又不向下滾動(dòng)的臨界狀態(tài)，其靜摩擦因數(shù)為min ，與水平線的最小夾角為min ，此時(shí)鉛筆應(yīng)滿足一般物體的平衡條件，即mg sinmin mg cos0mg sincos min l cos30mg cosl sin 300式是以鉛筆同桌面接觸的下邊一個(gè)棱為軸，重力沿斜面向下和垂直于斜面的兩個(gè)分力對軸的力矩代數(shù)和，由式得minarccos( 1 cot )3由此可見，如果滿足條件 arccos( 1 cot)2 ，鉛筆處于平衡。3當(dāng) tan11的表達(dá)式有意義。，即的情況下，角337 一盛水容器繞豎直重心軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試證明容器中的水面為拋物y面。解 要證

10、明水面為拋物面，關(guān)鍵是要找到水面上任一點(diǎn)A 的坐標(biāo)Ay( x, y) 之間滿足的函數(shù)關(guān)系。 由于水面上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況并不完全相同，x故本題肯定要通過微元法來解。Ox建立如圖坐標(biāo)系，在A( x, y) 正下方 y 處沿 x 軸取一段長為x ，左右兩側(cè)截面均為S的細(xì)水柱，設(shè)水的密度為，則細(xì)水柱的質(zhì)量為mx S細(xì)水柱繞 O 作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由兩端的壓力差提供，其大小為FpSgy S設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，則細(xì)水柱作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為rx，且有2Fm 2r即gy Sx S2 x22得yx22g這是一個(gè)拋物面方程，因?yàn)橐好嫔先我稽c(diǎn)A 的坐標(biāo)滿足拋物線方程，所以過A 點(diǎn)的曲線是拋物線，繞中心軸旋轉(zhuǎn)的水面為拋物面。

11、8 一個(gè)質(zhì)量為 m 的碗，反扣在裝滿水的較大密度容器底部，碗的形狀是半徑為R ，高也為 R 的圓柱， 再挖去一個(gè)半徑同水樣是 R 的半球形空穴，如圖（a）所示。在空穴里充滿水銀，h接抽水機(jī)將水從容器里慢慢抽出。水、水銀的密度分別為、1 ，水銀試確定：(a)1）在水柱高度 h 為何值時(shí)，碗內(nèi)水銀開始從它的下邊流出？2）假定從容器里把水全部抽出，孔里水銀的高度h1 是多少？解 研究碗，它受上部水對它向下的壓力為F水壓g (hR)R2水銀對碗向上的浮力為13F浮1 gV碗31 g R（ 1）臨界條件時(shí)滿足F水壓mgF浮得hR(11)m3R2（ 2）水全部抽出后碗內(nèi)水銀的高度為h1 ，則F浮1gV11

12、gh133由F浮mg得h1 33m19 在一深度為 H 的容器中充滿液體，液體密度從表面的0 到容器底的體里浸入兩個(gè)體積同為 V 的小球，小球間用長為l 、不可伸長的輕細(xì)繩連接，第一個(gè)小球密度為1 ，第二個(gè)小球密度為2 ，過一段時(shí)間后，兩小球靜止于如圖中所示。求繩中張力。解設(shè)細(xì)繩中拉力為T ，對兩個(gè)球分別有F浮1Tm1g0F浮2Tm2 g0在液體中深度為x 處，球受到的浮力表示為F浮xx gV而x00 xgV (H這樣可得T210 l )2H這一關(guān)系只有在T0 ， x10 ， x2H 時(shí)才有可能成立。成線性變化，液1H210 如圖所示，由n 個(gè)動(dòng)滑輪組成一個(gè)復(fù)式滑輪組，每個(gè)滑輪質(zhì)量為m ，第一

13、個(gè)滑輪上吊一個(gè)重為 G 的物體，試求最末一級滑輪上需多大的力F 。解第一個(gè)滑輪上繩拉力為GmgT12F同理得其余各滑輪上繩子的拉力為T2mgT1Gmg(12)22222Gmg(12 22)T323G23Gmg(1 2222n 1 )G(2 n1)mgTn2n2n2n11 如圖（ a）所示，有一長為l 、重為 W0 的均勻桿 AB 的 A 端頂在豎直的粗糙墻壁上，桿端與墻間的摩擦因數(shù)為； B 端用一強(qiáng)度足夠而不可伸長的繩懸掛，繩子的另一端固定在墻壁上的 C 點(diǎn)，木桿呈水平狀態(tài)，繩與墻的夾角為。（ 1）求當(dāng)桿能保持平衡時(shí)，與應(yīng)滿足的條件。2）桿保持平衡時(shí)， 桿上有一點(diǎn) P 存在，若 A 與 P 點(diǎn)

14、間懸掛一重物， 則當(dāng)重物的重量 W足夠大時(shí)可以使平衡破壞；而在P、B 間任一點(diǎn)懸掛任意重量的重物都不能使平衡破壞，求PA 的距離。CCTANPBABdW0(a)W(b)解設(shè)繩 子的張力為 T ，墻對桿的摩擦力為F （向上），正壓力為 N （向外）； W 的懸掛點(diǎn)距 A 的距離為 d ，如圖（ b）所示，則根據(jù)物體平衡條件可得：FT sinW0WNT cosFlW0lW (ld)2FN由式得F1W0( 1d)W2l由、式得T sinW0WF1 W0d W2l由、式得Ncot(1 W0d W )2l將、二式代入式中得1W0(1d )Wcot ( 1 W0d W )2l2l即1 (cot1)W01

15、d (cot1)W2l根據(jù)這一結(jié)果作如下分析：（ 1）當(dāng)不掛重物時(shí)，W0 ，這時(shí)式變?yōu)?cot 1)W0 0(2即tan此為第一問的答案。（ 2）在式條件下掛上重物W ，這時(shí)式左方 (cot 1)0 。為了要使 W 足夠大時(shí)，式肯定能夠成立，則平衡條件為1d (cot1)0l即dlcot1第二問中所求P 點(diǎn)與 A 點(diǎn)間的距離為A Pdminlcot112 如圖（ a）所示，勻質(zhì)圓柱體夾在木板與豎直墻之間，其質(zhì)量為m ，半徑為 R ，與墻和木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為，板很輕，其質(zhì)量可忽略，板的一端O 與墻用光滑的鉸鏈相連，另一端 A 掛有質(zhì)量為 m 的重物， OA 長為 L ，板與豎直墻夾角，53

16、，試問 m 至少需要多大才能使系統(tǒng)保持平衡？并對結(jié)果進(jìn)行討論。Of253f1AN1N 2mG（ a）(b)解圓柱體受力如圖（b）所示，取圓柱體中心為轉(zhuǎn)軸，則f1f 2又因合力為零，有mgN 2 sinf1f 2 cos取 f1 與 f2 的交點(diǎn)為軸，有mgRN2cotN1R cot22即N1N2mg tan2顯然 N1N 2 ，這說明若平衡被破壞，圓柱體先與木板打滑，當(dāng)m 最小時(shí)，對應(yīng)有f2N 2f1N1將式代入式得N 2mg (cos sin )取 O 點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸，對木板由力矩平衡得m gL sinN2 R cot這樣得到 m 的最小值為2mmR cot L sin (cossin)2取53

17、， sin0.8 ， cos0.6， cot2，故225 Rmm1)8L (2討論：要求 m011，。若，則無論 m 多大，系統(tǒng)都不能平衡。22m 、長為 l 的均勻橫梁，橫梁保持水平，13 用兩個(gè)“爬犁”在水平雪地上運(yùn)送一根質(zhì)量為簡化示意圖如圖（ a）所示。每個(gè)爬犁的上端A 與被運(yùn)送的橫梁端頭固連，下端B 與雪地接觸，接觸面積很小。一水平牽引力F 作用于前爬犁，作用點(diǎn)到雪地的距離用h 表示。已知前爬犁與雪地間的動(dòng)摩擦因數(shù)為k1 ，后爬犁與雪地間的動(dòng)摩擦因數(shù)為k2 。問要在前后爬犁都與雪地接觸的條件下，使橫梁沿雪地勻速向前移動(dòng)， h 應(yīng)滿足什么條件？水平牽引力F 應(yīng)為多大？（爬犁的質(zhì)量可忽略不

18、計(jì)）llAmAFFf2mgf1Bk2k1BhN 2N1（ a）（ b）解整個(gè)裝置的受力情況如圖（b）所示，其中N1 與 N 2 分別為雪地對爬犁的支持力，f1 、 f2 分別為摩擦力，根據(jù)平衡條件有Ff1f2mgN1N 2FhN2l1 mgl2根據(jù)摩擦力與正壓力的關(guān)系，有f1k1 N1f2k2 N 2解以上各式得1 lk1hN 22mgl(k1k2 )h1 l (k1k2 )F2mgl( k1k2 )h根據(jù)題意， F 與 N 2 必須滿足下列條件：F0N20由 F 0 可知，式分母l(k1 k2 )h0，由 N20 可知式的分子1 lk1h 0 。由此可得 h 滿足的條件為2lh2k1在滿足式

19、的條件下，所求的F 即式。14用一根細(xì)線豎直懸掛一根長為l 的均勻細(xì)木桿，置于水桶內(nèi)水平面上l方，如圖（ a）所示。當(dāng)水桶緩慢上提時(shí)，細(xì)木桿逐漸浸入水中，當(dāng)木桿浸入水中超過一定深度l 時(shí)，木桿開始出現(xiàn)傾斜現(xiàn)象，求l 。已知木桿的密度為，水的密度為0 。解 當(dāng)木桿浸入水中后，受到重力、 繩子拉力和水的浮力的作用。浮力的作用點(diǎn)在排開水部分桿的中心處，即圖（b）中的 D 點(diǎn)，重力作用在重a）心 C 處。當(dāng)有微小的擾動(dòng) （這隨時(shí)都會(huì)發(fā)生） 使桿發(fā)生微小的傾斜時(shí) （即由圖中的虛線位置到實(shí)現(xiàn)位置） ，對懸點(diǎn) A 將出現(xiàn)重力矩和浮力矩，而且方向是相反的。如果浮力矩小于重力矩，那么木桿將自動(dòng)回到虛線位置，這是

20、的木桿處于穩(wěn)定平衡；如果浮力矩大于重力矩，則木桿就是處于不穩(wěn)定平衡了，其傾斜程度將繼續(xù)增大。設(shè)桿的截面積為S ，密度為，水的密度為0 ，桿浸沒在水中的長度為 l ，桿與豎直方向的夾角為，則重力的力矩為M GlSgl sin2M Fl S0 g(ll浮力矩為)sin2臨界點(diǎn)為M GM F即lSg l sinl S0 g(ll )sin22可解得ll (10)0因?yàn)?ll ，所以取 ll (10) 。0AC FDmg B(b)如圖所示，底邊長為 a ，高度為 b 的勻質(zhì)長方形物體置于斜面上，斜面和物塊之間的靜摩擦因數(shù)為，斜面的傾角為。當(dāng)足夠小時(shí)，物塊靜止與斜面上，如逐漸將傾角增大，當(dāng)取某個(gè)臨界值0

21、 時(shí)，物塊或?qū)㈤_始滑動(dòng)， 或?qū)⒎埂Ｔ嚪謩e求出發(fā)生滑動(dòng)和翻倒時(shí)的0 ，并說明在什么條件下出現(xiàn)的是滑動(dòng)，在什么條件下出現(xiàn)的是翻倒。解 物塊要滑動(dòng)須滿足bmg sinmg cosa即tan物塊將要翻倒時(shí)，重力的作用線必過物塊與斜面接觸的下端點(diǎn)，即a 2atanbb 2故aa時(shí)物塊將滑動(dòng)，時(shí)物塊將翻倒。bb若a，只須滿足bmg sin0mg cos 0即0arctan時(shí)物塊會(huì)滑動(dòng)；若a，只須滿足batan0b即 0 arctan a 時(shí)物塊即會(huì)翻倒。b16三個(gè)半徑均為 r ，質(zhì)量相等的球放在一個(gè)半球形碗內(nèi)，現(xiàn)把第四個(gè)半徑也為r ，質(zhì)量也相等的相同球放在這三個(gè)球的正上方，要使四個(gè)球都靜止， 大的半球形

22、碗的半徑應(yīng)滿足什么條件？不考慮各處摩擦。A解 若半球形碗的半徑太大，第四個(gè)球放上去后會(huì)使下面三個(gè)球互相散開，因此，本題求碗半徑的最大值，臨界情況出現(xiàn)在放上第四個(gè)球后，下面三個(gè)球之間的彈力恰減為零。2r把上面的球記為 A ，下面三球記為 B、 C、D ，則四個(gè)球的球心構(gòu)成一個(gè)正四面體，正四面體的邊長均為2r，如圖（ a）所示。設(shè)BODA 、 B 兩球球心連線與豎直方向夾角為。則CBOBOtan(a)A O22A BBO2332r12(2 r )2( 2 3 r )223O設(shè) A 、B 兩球作用力為 N ，對 A 球有3N cosmg對 B 球，根據(jù)圖（ b）所示，有AFF cosmgN cosO

23、BF sinN sinmg N兩式消去 F ，得(b)N sintanmgN cos將式關(guān)系代入式，得tan1 tan4142于是在臨界條件下球形碗的半徑為R BOrBOrsinAB sin1cot2r7.633r所以半球形碗的半徑必須滿足R7.633r。17 如圖所示，一個(gè)左右完全對稱的熟雞蛋的圓、尖兩端的曲率半徑分O1b別為 a 、 b ，且長軸的長度為c ，蛋圓的一端剛好可以在不光滑的水平O3c面上穩(wěn)定的平衡，證明蛋尖的一端可以在一個(gè)半球形的碗內(nèi)穩(wěn)定的直立，并求碗的半徑。O2a解 本題是受重力作用并在其它物體支持下的物體平衡，因此，可假想物體偏離平衡位置一個(gè)小角度后，由重心升降法確定平衡

24、種類。將蛋尖、蛋圓的曲率中心分別記為O1 、 O2 ，由對稱性，雞蛋的重心必在O1O2 連線上，設(shè)重心 O3 離蛋圓底端距離為d ，如圖（ a）所示，現(xiàn)使蛋繞曲率中心偏過一個(gè)微小角度，則重心位置的變化OO3O1O1O2O2A（ a）(b)h d cosasind2因?yàn)楹苄。詓in222sin 22cos12122于是有h(ad )2由題意h 0 ，則 ad ，即 O2 、 O3 共點(diǎn)。再把球形碗的球心記為O ，使蛋尖繞其曲率中心轉(zhuǎn)過一微小角度，蛋與碗的接觸點(diǎn)為A ，設(shè) OA 與豎直線夾角為，如圖（ b）所示，這時(shí)重心O2 離蛋尖底為 (c d) 。由數(shù)學(xué)知識(shí)易知： O 、 O1 、 A 三

25、點(diǎn)共線，O2（但 O2 A 連線不一定豎直） ，且有rb這時(shí)重心位置的變化可表示為h2(c d )cos()rsinb() sinbsin( c d)222仍用上面所述近似法則，并代入、關(guān)系使h20 化簡后得(r b)( cdb)rb(c d )220因?yàn)閞b所以( c db)rb(c d )將 da 代入，得rb(cd ) (cdb)（第十九屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽）今年 3 月我國北方地區(qū)遭遇了近10 年來最嚴(yán)重的沙塵暴天氣現(xiàn)把沙塵上揚(yáng)后的情況簡化為如下情景： v 為豎直向上的風(fēng)速，沙塵顆粒被揚(yáng)起后懸浮在空中（不動(dòng)）這時(shí)風(fēng)對沙塵的作用力相當(dāng)于空氣不動(dòng)而沙塵以速度v 豎直向下運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的阻力

26、此阻力可用下式表達(dá)fAv2其中 為一系數(shù)， A 為沙塵顆粒的截面積，為空氣密度（1）若沙粒的密度S 2.8103kg m3，沙塵顆粒為球形，半徑 r2.5 104m ，地球表面處空氣密度0 1.25 kg3，0.45 ，試估算在地面附近，上述v 的最小值 v1 m（2）假定空氣密度隨高度 h 的變化關(guān)系為0 (1 Ch) ，其中0 為 h 0 處的空氣密度，C 為一常量， C1.18 10 4 m1 ，試估算當(dāng)v 9.0 m s1 時(shí)揚(yáng)沙的最大高度 （不考慮重力加速度隨高度的變化）解（ 1）在地面附近，沙塵揚(yáng)起要能懸浮在空中，則空氣阻力至少應(yīng)與重力平衡，即0 Av12mg式中 m 為沙塵顆粒的

27、質(zhì)量，而Ar 2m4r 3s3得v14s gr30代入數(shù)據(jù)得v14.0 m s1（2）用h 、 h 分別表示 v9.0 m s1 時(shí)揚(yáng)沙到達(dá)的最高處的空氣密度和高度，則有h0 (1Ch)此時(shí)式應(yīng)為h Av2mg由、可解得14rs gh1v2C30代入數(shù)據(jù)得h6.8103 m（第 23 屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)復(fù)賽試題）一根長為 L（以厘米為單位）的粗細(xì)均勻的、可彎曲的細(xì)管，一端封閉，一端開口，處在大氣中。大氣的壓強(qiáng)與H 厘米高的水銀柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)相等，已知管長LH 。現(xiàn)把細(xì)管彎成L形，如圖所示。假定細(xì)管被彎曲時(shí)，管長和管的內(nèi)徑都不發(fā)生變化?？梢园阉y從l管口徐徐注入細(xì)管而不讓細(xì)管中的氣體泄出。當(dāng)細(xì)

28、管彎成L 形時(shí)，以 l 表示其豎直段的長度，問 l 取值滿足什么條件時(shí)，注入細(xì)管的水銀量為最大值？給出你的論證并求出水銀量的最大值（用水銀柱的長度表示）。解開始時(shí)豎直細(xì)管內(nèi)空氣柱長度為L，壓強(qiáng)為H（以cmHg 為單位），注入少量水銀后，氣柱將因水銀柱壓力而縮短。當(dāng)管中水銀柱長度為x 時(shí)，管內(nèi)空氣壓強(qiáng)p（ H x），根據(jù)波意耳定律，此時(shí)空氣柱長度HL（ 1）LxH空氣柱上表面與管口的距離d LLx（ 2）LHx開始時(shí) x 很小，由于L H，故d1H x即水銀柱上表面低于管口，可繼續(xù)注入水銀，直至d x（即水銀柱上表面與管口相平）時(shí)為止。何時(shí)水銀柱表明與管口相平，可分下面兩種情況討論。水銀柱表明與

29、管口相平時(shí)，水銀柱未進(jìn)入水平管此時(shí)水銀柱的長度 x l ，由波意耳定律有( Hx)( Lx) HL（ 3）由（ 3）式可得xLH（ 4）由此可知，當(dāng) lLH 時(shí)，注入的水銀柱的長度x 的最大值xmaxLH（ 5）水銀柱表面與管口相平時(shí)，一部分水銀進(jìn)入水平管此時(shí)注入水銀柱的長度x l ，由波意耳定律有( H l )( L x) HL（6）xLl（7）HllxLl（ 8）Hl由（ 8）式得lLH ，或L Hl（ 9）xLHLLH（ 10）Hl即當(dāng) l L H時(shí)，注入水銀柱的最大長度x xmax 。由上討論表明， 當(dāng) lLH時(shí)，可注入的水銀量最大， 這時(shí)水銀柱的長度為xmax ，即（ 5）式。20（第十六屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽）一個(gè)大容器中裝有互不相溶的兩種液體，它們的密度分別為1和2 （ 12 ）。現(xiàn)讓一長1為 L 、密度為( 12) 的均勻木棍， 豎直地放在上面的液體內(nèi)，其下端離兩液體分界面的距離為 3 L ，由靜止開始下落。試計(jì)算木棍到達(dá)最低處所需的時(shí)間。假定由于木棍運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)4生的液體阻力可以忽略不計(jì)， 且兩液體都足夠深， 保證木棍始終都在液體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)， 未露出液面，也未與容器相碰。解 1 用 S 表示木棍的橫截面積，從靜止開始到其下端到達(dá)兩液體交界面為止，在這過程中，木棍受向下的重力1( 12 ) LSg 和