全國高中物理競賽靜電場專題

1、靜電場【知識點(diǎn)】1、庫侖定律表述 真空中兩個靜止點(diǎn)電荷之間的相互作用力的大小和點(diǎn)電荷電量的乘積成正比，它們之間距離的平方成反比，作用力的方向沿著它們的連線，同號電荷相斥，異號電荷相吸引，即Fq1 q 240 r 3r式中，r 為矢量r的大小，即兩個點(diǎn)電荷之間的距離，0 為真空介電常數(shù)2、 電場強(qiáng)度定義實驗點(diǎn)電荷q0 放入電場中， 它所受的電場力F與電量q0 的比值 F q0 與電量q0 無關(guān)，反映了電場在空間不同點(diǎn)的性質(zhì)，定義為電場強(qiáng)，用E 表示，即FEq03、 電場場度的疊加原理表述 電場中任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度等于每個點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時在該點(diǎn)所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的矢量和 . 于是帶電系統(tǒng)的電場強(qiáng)度是

2、nnqiEEi3 ri點(diǎn)電荷系4i 1i 1ridqdlEd Er ，其中 dqdS ，連續(xù)帶電體4r 3dV4、電場線規(guī)定如圖 4 所示，滿足如下要求的幾何曲線稱為電場線，也稱E 線電場線上每一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)場強(qiáng)的方向一致；在電場中任一點(diǎn)處， 通過垂直于該處電場強(qiáng)度方向的單位面積的電場線的條數(shù)等于該點(diǎn)處電場強(qiáng)度的dSE量值，即dSend EEdS圖 4式中，E 為電場強(qiáng)度通量， 表示通過某一面積的電場線的條數(shù)5、電位移矢量D定義電場中某點(diǎn)的電位移矢量D 表示為D0 EP式中， P 為介質(zhì)的電極化強(qiáng)度，在各向同性線性電介質(zhì)中，D 可以表示為D0 r EE6、電通量定義 通過某一曲面電位移線

3、的條數(shù)， 稱作該曲面上的電位移通量， 簡稱為電通量 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為eDd SD cos dS ,有限面SSeDd SD cos dS ,閉合面SS7、 靜電場的高斯定理表述 在靜電場中，通過任一閉合面的電通量數(shù)值上等于該閉合面所包圍的自由電荷的代數(shù)和，數(shù)學(xué)表達(dá)式為D d SqiS( S內(nèi))8、 靜電場的環(huán)路定理表述在靜電場中，電場強(qiáng)度的環(huán)路積分為零，即Edl0L若試驗電荷在靜電場中沿任一閉合路徑運(yùn)動一周，則電場力所做的功恒等于零，即A q0LEdl 09、 電勢能定義若選擇點(diǎn)電荷在某參考點(diǎn)時系統(tǒng)的電勢能為零，則q0 在 P 點(diǎn)進(jìn)系統(tǒng)的電勢能為參考點(diǎn)WPq0E dlP10、電勢定義 電場中某點(diǎn)單

4、位正電荷所具有的電勢能稱為該點(diǎn)的電勢，即將單位正電荷從該點(diǎn)經(jīng)任意路徑移到電勢零點(diǎn)時電場力所做的功即WP參考點(diǎn)U Pq0E d lP11、場強(qiáng)與電勢的微分關(guān)系表述電場中某點(diǎn)電場強(qiáng)度等于該點(diǎn)電勢梯度的負(fù)值，即EU12、導(dǎo)體的靜電平衡表述若將導(dǎo)體放在靜電場中， 當(dāng)導(dǎo)體中的電荷沒有宏觀定向運(yùn)動時，電荷分布不再發(fā)生變化， 電場的分布也不再改變，這時導(dǎo)體所處的狀態(tài)稱為靜電平衡狀態(tài)，導(dǎo)體靜電平衡的條件是導(dǎo)體內(nèi)部電場強(qiáng)度處處為零13、電容器的電容定義當(dāng)電容器的兩極板帶等量異號電荷q 、q ，且電勢差為 U abU a U b 時，則電容器的電容為CqU ab14、電場的能量定義電場中單位體積內(nèi)存儲的電場能量稱

5、為電場能量密度，用we 表示，即w1 DEe2對帶電體系整個電場的能量，有如下計算公式WewedV1 DEdVVV 2對于各項線性介質(zhì)，則WewedV1 E 2 dVVV 215、電流和電流密度定義電流（ I ）單位時間內(nèi)通過導(dǎo)體任一截面的電量，即dqIdt電流密度(J ) 通有電流的導(dǎo)體中， 每一點(diǎn)電流密度大小等于通過該點(diǎn)單位垂直截面的電流，電流密度的方向是該點(diǎn)正電荷運(yùn)動的方向，即dI en dS16、電動勢定義電源內(nèi)單位正電荷從負(fù)極通過電源內(nèi)部移到正極時，非靜電力所做的功，其表達(dá)式為EdlK式中， E K 為單位正電荷反受到的“非靜電力”，又稱作“非靜電性場強(qiáng)”，因電源外部E K0 ，電動

6、勢定義又可表示為EdlLK【例題 】1、已知真空中電場的能量密度為，試求（ 1）均勻帶電球面（電荷量為，半徑為）上的電場強(qiáng)度。（ 2）帶電球面上的表面張力系數(shù)。解：球面內(nèi)，而球面外球面附近，為球面附近電荷面密度。球面上不能用高斯定理求解，因帶電面模型失效，無法確定高斯面所包圍電荷。根據(jù)對稱性應(yīng)沿徑向向外，設(shè)帶電球面緩緩地向外膨脹，半徑由變?yōu)椋瑒t電場力對單位球面積的功為，對整個球面的功為球面膨脹后，內(nèi)和外電場及能量未變，而的薄球殼內(nèi)的電場能發(fā)生變化。而電場力的功等于電勢能改變加一負(fù)號，則2）電場力做功導(dǎo)致電勢能減小，電勢能轉(zhuǎn)化為球面膨脹而增加的表面自由能。球面膨脹后增加的表面積在考慮可忽略后得題

7、中球面的膨脹是虛擬的，電場力的功也被稱為虛功，這個求解 的方法也就被稱為“虛位移”法。2、如圖所示，把一個點(diǎn)電荷放置在內(nèi)外半徑分別為、的導(dǎo)體球殼內(nèi)，求作用在此電荷上的電場力。 如果導(dǎo)體是孤立與不帶電的，它的內(nèi)表面的電勢為多少？已知距球心為。解：電荷置于殼內(nèi)，殼上產(chǎn)生感應(yīng)電荷，其中內(nèi)表面電荷受影響分布不均，而外表面電荷則分布均勻。由此知外表面電荷對作用力為零 （均勻帶電球殼內(nèi)部場強(qiáng)為零），電荷的受力只與內(nèi)表面感應(yīng)電荷有關(guān)。因內(nèi)表面與外表面之間的部分場強(qiáng)為零（金屬內(nèi)部靜電平衡時場強(qiáng)為零），故感應(yīng)電荷在外部的場抵消了在外的場，因此內(nèi)外表面感應(yīng)電荷對外部的作用等效于在位置處放置一電荷。由結(jié)論：感應(yīng)電荷

8、對內(nèi)的作用相當(dāng)于球外的一電荷，距球殼中心為，可得到兩像電荷電荷量之比為則內(nèi)部感應(yīng)電荷對電荷的作用力等于對的作用力因內(nèi)部感應(yīng)電荷與的共同作用使內(nèi)表面外處處場強(qiáng)為零，故只有此兩者存在時，球殼與無窮遠(yuǎn)等勢，電勢為零。由于球體總電荷量為零，故外表面還有電荷量存在，大小為，分布均勻，對導(dǎo)體球殼電勢貢獻(xiàn)為導(dǎo)體球殼為等勢體，故內(nèi)表面電勢亦為。3、三個完全相同的電容器相接，如圖所示。已知電容器1 帶電荷量為，上板帶正電，電容器2、 3 原來不帶電。（ 1）用導(dǎo)線將、相連，求電容器2 的上、下板帶電荷量及符號。（ 2）然后斷開、，將、相連；再斷開、，將、相連。求這時電容器2的上、下板所帶電荷量及其符號。（ 3）

9、在（ 2）情況下，將、相連，再求電容器2 的上、下板所帶電荷量及其符號。解：在第（ 1）問中連接、時，電容器2、3 串聯(lián)后再和電容器1 并聯(lián)。由于電容器2、 3 不帶電，電容器原來帶的電荷量將按跟電容成反比的原則進(jìn)行重新分配。在第（ 2）問中斷開、后，電容器1、3 均帶電，連接、時，電容器1、 3 并聯(lián)；再斷開、，將、相連時，電容器1、 2、 3 均帶電。在第（ 3）問中，將、相連，電容器1 不帶電，由于、仍相連，電容器2、 3并聯(lián)。在以上三問中，電容器所帶電荷量均守恒。設(shè)每個電容器的電容都為。（ 1）、相連后，設(shè)電容器1、 2、3 的電量分別為、，且上板都帶正電，由與電壓相等及電容公式得即由

10、電荷守恒定律，解得，為正值與假設(shè)相等，故電容器2 上板帶正電。（ 2）斷開、后，各電容器的電荷量不變。、連接前后電容器2 的電荷量不變，為。、連接后，電容器1、 3 并聯(lián)，由于電容相等，因此電荷量也相等，為。斷開、，再連接、，設(shè)電容器1、 2、 3 帶電量分別為、，仍設(shè)上板帶正電，由電荷量守恒得又聯(lián)解、，得，（ 3）在（ 2）情況下，再將、相連，電容器1 不帶電，設(shè)電容器2、3 帶電量分別為、，則故電容器 2 的上板帶負(fù)電，下板帶正電，電荷量為。4、如圖所示，、是三個電容量均為的完全相同平行板電容器，其電源電勢差為。（ 1）接通電源，求三個電容器貯能之比；（ 2）接通電源，在、中充滿介電常數(shù)為

11、的電介質(zhì)，求三個電容器貯能之比；3）在（2）中操作足夠長時間后， 再斷開電源，然后將 、 中電介質(zhì)取走，求總能量的改變；（ 4）在電介質(zhì)尚未引入、兩板間的情況下，先接通電源足夠長時間，然后再斷開電源；最后使與的兩極板間均被電介質(zhì)充滿，求三電容器貯能之比。解：（ 1）、兩電容器串聯(lián)后和電容器并聯(lián)，故，則（ 2）由題意得而另有且得故（ 3）將電介質(zhì)取走后， 設(shè)電容器的帶電荷量為，、的帶電荷量分別為、，且都為上正下負(fù)，則解得，總能量的該變量為（ 4）設(shè)最后、三電容器的帶電荷量分別為、，則由此得，根據(jù)可得5、如圖（ a）所示，一接地的無限大水平放置的導(dǎo)體平板的上方有一點(diǎn)電荷，到平板的距離為，試求：1）

12、從點(diǎn)電荷 出發(fā)時沿著水平方向 （即平行于導(dǎo)體平板）的電場線碰到導(dǎo)體表面時的位置；（ 2）從點(diǎn)電荷到導(dǎo)體平板的垂足點(diǎn)處的場強(qiáng)；（ 3）點(diǎn)電荷與導(dǎo)體平板之間的相互作用力。解：由于導(dǎo)體平板無限大， 故平板將其整個下方屏蔽起來了 （可將無限大平板視為半徑趨于無限大的球殼，從而易得上述結(jié)論），同時板上出現(xiàn)了感應(yīng)電荷。只要分析出感應(yīng)電荷的作用，則整個電場就清楚了，其他問題就得到了解決。先分析感應(yīng)電荷的作用因板的下方被屏蔽起來，故下方場強(qiáng)處處為零。這是感應(yīng)電荷的場與電荷的場疊加的結(jié)果，說明感應(yīng)電荷對板下方空間的作用等效于在電荷處的。由于感應(yīng)電荷分布在板上，其對空間的作用關(guān)于板對稱，故感應(yīng)電荷對其上方空間的作

13、用等效于置于與對稱位置處的電荷，如圖（b）所示。處用（ 1）此處討論的空間在板上方，故感應(yīng)電荷的作用在代替。B電場線從 出發(fā)， 發(fā)出的電場線總數(shù) （即其周圍閉合面的總的電通量）為電場線形狀如圖（ c）所示，該電場線繞軸 AB 旋轉(zhuǎn)一周，形成一個曲面，而其終止于板上的點(diǎn) ，也畫出一半徑為 的圓?？梢钥吹?， 由于電場線不相交，故通過圓弧的電場線條數(shù)為 （因為在 下方發(fā)出的電場線條數(shù)與從其上方發(fā)出的電場線條數(shù)相同） 。又圓面的電通量（即電場線條數(shù)）由 A 處 與 B 處 產(chǎn)生的通量疊加。于是有式中為電荷發(fā)出的總電場線條數(shù)，表示角內(nèi)包含的電場線占總條數(shù)的比例（點(diǎn)電荷電場線球?qū)ΨQ）。因子2則是因為與B點(diǎn)

14、在圓面上通量大小相等，正負(fù)相同。由上式得所以即電場線在板上終止點(diǎn)距點(diǎn)距離為。（ 2）此處討論空間仍為板上方，故感應(yīng)電荷作用仍用B 處代替。處場強(qiáng)為該場強(qiáng)方向豎直向下。（ 3）作用力大小即為與間庫侖作用力兩者間為吸引力。6、在極板面積為 ，相距為 的平行板電容器內(nèi)充滿三種不同的介質(zhì)，如圖（ a）所示。1）如果改用一種介質(zhì)充滿而電容量相同，這種介質(zhì)的介電常數(shù)是多少？（ 2）如果在和、間插有極薄的導(dǎo)體薄片，（1）問的結(jié)果應(yīng)是多少？解：（ 1）等效電路如圖（ b）所示，其中各電容器的正對面積和間距都相等，只不過插入的介質(zhì)不同而已，故等效電容為其中，故（ 2）等效電路如圖（c）所示，其中，而由此得7、如

15、圖（ a）所示，在邊長為的正三角形三個頂點(diǎn)A 、B 、C 處分別固定電荷量為的點(diǎn)電荷，在其三條中線的交點(diǎn)上放置一個質(zhì)量為m 、電荷量為 q 的帶電質(zhì)點(diǎn)，點(diǎn)顯然為帶電質(zhì)點(diǎn)的平衡位置，設(shè)該質(zhì)點(diǎn)沿某一中線稍稍偏離平衡位置，試證它將作簡諧振動，并求其振動周期。解：如圖（ b）所示， 以為坐標(biāo)原點(diǎn)在中線AOD 上設(shè)置軸 ，考察沿軸的小偏離運(yùn)動。 設(shè)偏移量為小量， A 處對其作用力記為，B 、C 兩處兩個對其合作用力記為，這些力取正時朝軸正方向，取負(fù)時朝軸負(fù)方向。記則有因，故有計算如下即得因此所受合力為這是一個線性恢復(fù)力，故將作簡諧振動，振動角頻率和周期分別為，8、如圖（ a）所示，在的空間各點(diǎn)，存在沿軸

16、正方向的電場， 其中在的區(qū)域中， 電場是非勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)的大小隨的增大而增大，即，為已知常量；在的區(qū)域中，電場是勻強(qiáng)電場， 場強(qiáng)為。在的區(qū)域中的各點(diǎn)，電場分布與的空間中的分布對稱，則場強(qiáng)的方向都是沿的空間中的分布對稱，則場強(qiáng)的方向都是沿軸的負(fù)方向。一電子，其電荷為，質(zhì)量為，在處以沿軸正方向的初速度開始運(yùn)動。求：1）電子的 方向分運(yùn)動的周期；2）電子運(yùn)動的軌跡與軸的各個交點(diǎn)中，任意兩個相鄰交點(diǎn)間的距離。解：電子開始運(yùn)動后，只受到方向的電場力的作用，在方向上沒有外力的作用，所以我們可以把電子的運(yùn)動分解成方向的勻速運(yùn)動與方向的運(yùn)動的合成。從方向來看，電子的初速度為零，在電場力的作用下開始向負(fù)方向做加

17、速運(yùn)動，在區(qū)域內(nèi)是勻加速運(yùn)動；在做速度增大而加速度減小的變加速運(yùn)動；進(jìn)入?yún)^(qū)域后，電子受到與區(qū)域內(nèi)大小相等而方向相反的對稱的力的作用，將先做加速度增大的減速運(yùn)動，再做勻減速運(yùn)動。由對稱性可得，在處其速度將變?yōu)榱?。又因為電子在非勻?qiáng)電場中受到電場力與成正比，即說明電子在區(qū)域內(nèi)將做簡諧運(yùn)動。所以電子向負(fù)方向運(yùn)動可分為三個過程：先做勻加速運(yùn)動， 再做簡諧運(yùn)動， 之后做勻減速運(yùn)動。然后，反向重復(fù)上述過程。綜上所述，不難看出，電子實際運(yùn)動可分解成方向上的周期性運(yùn)動與方向上的勻速直線運(yùn)動。（ 1）先研究電子在方向的分運(yùn)動，電子沿方向運(yùn)動的初速度為0，在電場力的作用下開始向負(fù)方向做加速運(yùn)動。在區(qū)域內(nèi)電子受到負(fù)

18、方向的力的大小為電子的加速度的大小為設(shè)電子由到處需要時間為，則有得在區(qū)域內(nèi)，電子受力其中，在此區(qū)域內(nèi)電子的方向分運(yùn)動是簡諧運(yùn)動，運(yùn)動的角頻率為因此，就方向上分運(yùn)動而言，在此區(qū)域內(nèi)電子的運(yùn)動是平衡位置在處、周期為、振幅為的簡諧運(yùn)動的一部分。在處時，電子的速度為，方向向左。設(shè)在半徑為的參考圓上，如圖（b）所示，這時旋轉(zhuǎn)半徑與軸的夾角為，則由圖可得解得，設(shè)電子自運(yùn)動到所需時間為，則由圖可得在區(qū)域內(nèi)，電子在方向上以初速度向左做勻減速運(yùn)動，到過處時，速度為零。這一過程經(jīng)歷的時間為綜上所述，電子在方向上的分運(yùn)動為在與間的往復(fù)運(yùn)動，其周期為（ 2）由于電子在方向上做勻速直線運(yùn)動，在子運(yùn)動的軌跡與軸的各個交點(diǎn)

19、中，任意兩相鄰交點(diǎn)間距離方向上做周期性運(yùn)動，不難得出電都相等，且9、有一兩極板間距為、面積為的平行板電容器，中間充滿厚度相同、介電常數(shù)均為，電阻率分別為、的兩層漏電介質(zhì)。兩極板與電壓為的直流電源相接，如圖（a）所示。電源內(nèi)阻可以忽略。穩(wěn)定后，試求：1）流過兩層介質(zhì)的電流強(qiáng)度；2）兩介質(zhì)交界面堆積的自由電荷；3）兩介質(zhì)內(nèi)的電場強(qiáng)度。解：因為平行板電容器中充滿的是漏電介質(zhì)，漏電就說明此電容器有電流通過，表現(xiàn)出電阻的特性，所以，我們可以把它等效成電阻與電容器的并聯(lián)。對于兩層漏電介質(zhì)來說，圖（ a）可簡化成為圖（ b）所示的等效電路，其中每個等效元件的電阻和電容分別為（ 1）電路穩(wěn)定以后，流過電阻和的

20、電流相等，其值為（ 2）穩(wěn)定時，電容器、上電壓分別與、兩端的電壓和相等，則兩電容器所帶的電荷量為由于、不相等，它們的差即為兩層介質(zhì)交界面上堆積的電荷，即（ 3）兩層介質(zhì)內(nèi)的電場強(qiáng)度分別為10、（第 22 屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽題）如圖所示， O 為半徑等于 R 的原來不帶電的導(dǎo)體球的球心， O1、O2、O3 為位于球內(nèi)的三個半徑皆為r 的球形空腔的球心，它們與O 共面，已知 OOOO2OOR 在 OO 1、 OO2 的連線上132距O、O為 r 的 P 、 P 點(diǎn)處分別放置帶電量為q 和O1P1122121PRROO3q2 的線度很小的導(dǎo)體（視為點(diǎn)電荷） ，在 O3 處放置一P2r帶電量為

21、q3 的點(diǎn)電荷，設(shè)法使 q1、q2 和 q3 固定不動在O2導(dǎo)體球外的 P 點(diǎn)放一個電量為 Q 的點(diǎn)電荷， P 點(diǎn)與O1、 O2 、O3 共面，位于 O3O 的延長線上，到O 的距離 OP2R 1求 q3 的電勢能2將帶有電量 q1、q2 的小導(dǎo)體釋放，當(dāng)重新達(dá)到靜電平衡時，各表面上的電荷分布有何變化？ 此時 q3 的電勢能為多少？解：（ 1）、由靜電感應(yīng)知空腔 1、 2 及 3 的表面分別出現(xiàn)電量為q1 、 q2 和q3 的面電荷， 由電荷守恒定律可知，在導(dǎo)體球的外表面呈現(xiàn)出電量 q1q2 q3 由靜電屏蔽可知，點(diǎn)電荷 q1 及感應(yīng)電荷（q1 ）在空腔外產(chǎn)生的電場為零；點(diǎn)電荷q2 及感應(yīng)電荷

22、（q2 ）在空腔外產(chǎn)生的電場為零；點(diǎn)電荷q3 及感應(yīng)電荷（q3 ）在空腔外產(chǎn)生的電場為零因此，在導(dǎo)體球外沒有電荷時，球表面的電量q1 q2q3 作球?qū)ΨQ分布當(dāng)球外 P 點(diǎn)處放置電荷Q 后，由于靜電感應(yīng)，球面上的總電量仍為q1 q2 q3，但這些電荷在球面上不再均勻分布，由球外的Q 和重新分布在球面上的電荷在導(dǎo)體球內(nèi)各點(diǎn)產(chǎn)生的合場強(qiáng)為零O3 處的電勢由位于P 點(diǎn)處的Q、導(dǎo)體球表面的電荷q1q2q3及空腔3 表面的感應(yīng)電荷（q3 ）共同產(chǎn)生 無論q1q2q3在球面上如何分布，球面上的面電荷到O 點(diǎn)的距離都是 R，因而在 O 點(diǎn)產(chǎn)生的電勢為k q1q2 q3 ， Q 在 O 點(diǎn)產(chǎn)生的電勢為k Q ，

23、這兩部分R2R電荷在 O3 點(diǎn)產(chǎn)生的電勢 U與它們在 O 點(diǎn)產(chǎn)生的電勢相等，即有Uq1q2 q3QkQ 2q12q2 2q3（ 1）kR2R2R因 q3 放在空腔 3 的中心處， 其感應(yīng)電荷q3 在空腔3 壁上均勻分布 這些電荷在 O3 點(diǎn)產(chǎn)生的電勢為Ukq3(2)r根據(jù)電勢疊加定理， O3 點(diǎn)的電勢為UUUkQ2q12q 22q3q3(3)2Rr故 q3 的電勢能Wq3UQ2q12q22q3q3(4)kq32Rr（ 2）、由于靜電屏蔽，空腔1 外所有電荷在空腔1 內(nèi)產(chǎn)生的合電場為零，空腔1 內(nèi)的電荷 q1 僅受到腔內(nèi)壁感應(yīng)電荷q1 的靜電力作用， 因 q1 不在空腔1 的中心 O1 點(diǎn)，所以

24、感應(yīng)電荷 q 在空腔表面分布不均勻，與1 相距較近的區(qū)域電荷面密度較大，對q1 的吸力較大，1q在空腔表面感應(yīng)電荷的靜電力作用下，q1 最后到達(dá)空腔1 表面，與感應(yīng)電荷q中和同理，1空腔 2 中 q2 也將在空腔表面感應(yīng)電荷q2 的靜電力作用下到達(dá)空腔2 的表面與感應(yīng)電荷q2 中和達(dá)到平衡后，腔1、2 表面上無電荷分布，腔3 表面和導(dǎo)體球外表面的電荷分布沒有變化 O3 的電勢仍由球外的電荷Q 和導(dǎo)體球外表面的電量qq2q3及空腔 3 內(nèi)壁1的電荷 q3 共同產(chǎn)生，故O3 處的電勢 U 與 q3 的電勢能 W 仍如 (3)式與 (4) 式所示11、（第 21 屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽題試題m）的

25、實驗裝置如圖所示。真空玻璃管內(nèi)，陰極）測定電子荷質(zhì)比 （電荷 K 發(fā)出的電子，經(jīng)陽極q 與質(zhì)量 A 與陰極m 之比 qK 之間的高電壓加速后， 形成一束很細(xì)的電子流，電子流以平行于平板電容器極板的速度進(jìn)入兩極板 C、D 間的區(qū)域。若兩極板C、D間無電壓，則離開極板區(qū)域的電子將打在熒光屏上的O 點(diǎn)；若在兩極板間加上電壓U，則離開極板區(qū)域的電子將打在熒光屏上的P 點(diǎn)；若再在極板間加一方向垂直于紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B 的勻強(qiáng)磁場，則打到熒光屏上的電子產(chǎn)生的光點(diǎn)又回到O 點(diǎn)?，F(xiàn)已知極板的長度l 5.00cm，C、D 間的距離d l.50cm ，極板區(qū)的中點(diǎn) M 到熒光屏中點(diǎn)O 的距離為 L 12.5

26、0cm，U 200V ，P 點(diǎn)到 O 點(diǎn)的距離 yOP3.0 cm；4B 6.3 10T。試求電子的荷質(zhì)比。（不計重力影響）。解：設(shè)電子剛進(jìn)入平行板電容器極板間區(qū)域時的速度為v0，因為速度方向平行于電容器的極板，通過長度為l 的極板區(qū)域所需的時間t1l/v0（ 1）當(dāng)兩極板之間加上電壓時，設(shè)兩極板間的場強(qiáng)為E，作用于電子的靜電力的大小為qE 方向垂直于極板由C 指向 D，電子的加速度aqE（ 2）m而EU（ 3）d因電子在垂直于極板方向的初速度為0，因而在時間t1 內(nèi)垂直于極板方向的位移12（ 4）y12at1電子離開極板區(qū)域時，沿垂直于極板方向的末速度vyat1（ 5）設(shè)電子離開極板區(qū)域后，

27、電子到達(dá)熒光屏上P 點(diǎn)所需時間為 t2t2（ L l/2） /v0（ 6）在 t2 時間內(nèi)，電子作勻速直線運(yùn)動，在垂直于極板方向的位移y2 vyt 2（ 7）P 點(diǎn)離開 O 點(diǎn)的距離等于電子在垂直于極板方向的總位移y y +y（ 8）12由以上各式得電子的荷質(zhì)比為qv02 d（ 9）myUlL加上磁場 B 后，熒光屏上的光點(diǎn)重新回到O 點(diǎn)，表示在電子通過平行板電容器的過程中電子所受電場力與磁場力相等，即qE qv0B（ l0）注意到（ 3）式，可得電子射入平行板電容器的速度v0U（ 11）Bd代人（ 9）式得qUy（ 12）mB2lLd代入有關(guān)數(shù)據(jù)求得q1.6 1011 C/kg（ 13）m1

28、2、（第 21 屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽題試題）如圖所示，接地的空心導(dǎo)體球殼內(nèi)半徑為 R，在空腔內(nèi)一直徑上的P1 和 P2 處，放置電量分別為q1 和 q2 的點(diǎn)電荷， q1q2 q，兩點(diǎn)電荷到球心的距離均為a由靜電感應(yīng)與靜電屏蔽可知：導(dǎo)體空腔內(nèi)表面將出現(xiàn)感應(yīng)電荷分布，感應(yīng)電荷電量等于A2q空腔內(nèi)部的電場是由 q1、 q2 和兩者在空腔內(nèi)表面上的感r應(yīng)電荷共同產(chǎn)生的由于我們尚不知道這些感應(yīng)電荷是怎樣2P1P分布的，所以很難用場強(qiáng)疊加原理直接求得腔內(nèi)的電勢或場a OaR強(qiáng)但理論上可以證明，感應(yīng)電荷對腔內(nèi)電場的貢獻(xiàn)，可用假想的位于腔外的（等效）點(diǎn)電荷來代替（在本題中假想(等效) 點(diǎn)電荷應(yīng)為兩個）

29、，只要假想的（等效）點(diǎn)電荷的位置和電量能滿足這樣的條件，即：設(shè)想將整個導(dǎo)體殼去掉，由q1 在原空腔內(nèi)表面的感應(yīng)電荷的假想（等效）點(diǎn)電荷q與 q1 共同1產(chǎn)生的電場在原空腔內(nèi)表面所在位置處各點(diǎn)的電勢皆為0；由 q2 在原空腔內(nèi)表面的感應(yīng)電荷的假想（等效）點(diǎn)電荷q2 與 q2 共同產(chǎn)生的電場在原空腔內(nèi)表面所在位置處各點(diǎn)的電勢皆為0這樣確定的假想電荷叫做感應(yīng)電荷的等效電荷，而且這樣確定的等效電荷是唯一的等效電荷取代感應(yīng)電荷后，可用等效電荷q1 、 q2 和 q1、 q2 來計算原來導(dǎo)體存在時空腔內(nèi)部任意點(diǎn)的電勢或場強(qiáng)1試根據(jù)上述條件，確定假想等效電荷q1 、 q2 的位置及電量求空腔內(nèi)部任意點(diǎn)A的電

30、勢UA已知 A 點(diǎn)到球心 O 的距離為 r， OA 與 OP的夾角為 21解： 解法：如圖 1 所示， S 為原空腔內(nèi)表A1面所在位置， q1 的位置應(yīng)位于B2P2OaB1OP 的延長線上的某點(diǎn)B1 處，aP1R1Sq2 的位置應(yīng)位于 OP2的延長圖 1線上的某點(diǎn)B2 處設(shè) A1 為 S 面上的任意一點(diǎn)，根據(jù)題意有q1q10(1)kkA1 P1A1 B1q2q20(2)kkA1 P2A1 B2怎樣才能使(1) 式成立呢？下面分析圖1 中OPA與OA B 的關(guān)系1111若等效電荷 q1 的位置 B1 使下式成立，即OP OB1 R2(3)1即OP1OA1(4)OA1OB1則 OP A OA B1

31、111有A1 P1OP1a(5)A1 B1OA1R由 ( 1) 式和 ( 5) 式便可求得等效電荷q1q1R(6)q1a由 (3) 式知，等效電荷 q1 的位置 B1 到原球殼中心位置O 的距離OB1R2(7)a同理， B2 的位置應(yīng)使 OP A OA B ，用類似的方法可求得等效電荷2112q2R q 2(8)a等效電荷 q2 的位置 B2 到原球殼中心 O 位置的距離OB2R2(9)a解法：在圖 1 中，設(shè) A1 P1r1 ， A1B1r1 ， OB1d 根據(jù)題意， q1 和 q1 兩者在 A1 點(diǎn)產(chǎn)生的電勢和為零有k q1k q10（ 1）r1r1式中r1( R2a22Racos )1

32、2（ 2）r1( R2d 22Rd cos )1 2（ 3）由（ 1）、（2）、（ 3）式得q2 ( R2d 22Rd cos) q2(R2a 22 Racos )（ 4）11（4）式是以 cos為變量的一次多項式，要使（4）式對任意均成立，等號兩邊的相應(yīng)系數(shù)應(yīng)相等，即q2(R2d 2 ) q2( R2a2 )（5）11q12 d q1 2 a（6）由（ 5）、（6）式得ad 2(a 2R2 ) d aR20（ 7）解得d( a 2R2 ) ( a 2R2 )（ 8）2a由于等效電荷位于空腔外部，由（8）式求得dR2（ 9）a由（ 6）、（9）式有q12R2 q12（ 10）a 2考慮到（ 1

33、）式，有R（11）q1q1a同理可求得R2（ 12）OB2aq 2R（13）q2a（ 2）A 點(diǎn)的位置如圖2 所示 A 的電勢由 q1、 q1 、 q2、 q2 共同產(chǎn)生，即U A1R 11R 1( 10)kqa B AP Aa BP AA1122因AP1 Ar 22ra cosa 2B2OB1R2R22P2 aa P1RB1 Ar2cos2raSaP Ar 22ra cosa2圖 222r R2R22B2 Ar 2cosaa代入(10) 式得U A kq1Rr 2 2ra cos a2a2r 22raR2 cosR41R(11)r 22ra cosa 2a2 r 22raR 2 cosR4【

34、訓(xùn)練題】1、一半圓均勻帶電，電荷線密度為0，試求該半圓圓心處的場強(qiáng)。2、證明：在靜電場中沒有電荷分布的地方，如果電場線相互平行，則電場強(qiáng)度的大小必處處相等。3、在點(diǎn)電荷的電場中，放入一個半徑為的接地導(dǎo)體球，從到導(dǎo)體球球心的距離為，求導(dǎo)體球?qū)Φ淖饔昧Α?、半徑分別為和的兩個同心半球面相對放置，如圖所示。兩個半球面均勻帶電，電荷面密度分別為和。求大半球面的直徑AOB上電勢的分布。5、一平行板電容器，電容=300pF，極板接在一個電源的正極，接在另一電源的負(fù)極，兩電源的電動勢均為150V，另外一極均接地。取一厚金屬板B，其面積與、相同，厚度為電容器兩極板間距離的三分之一，插入電容器兩極板的正中央，如

35、圖所示。（ 1）取一電動勢為50V 的電源，負(fù)極接地，正極與金屬板B 連通。問此時由電源輸送到B的總電荷量是多少？（ 2）在上述情況下，左右平移金屬板B，改變它在電容器兩極板間的位置，直至B 上電荷量為零。固定 B 板位置，然后切斷所有的電源，再將B板從電容器中慢慢抽出，求此時電容器兩極板之間的電壓。（ 3）求抽出 B 板過程中外力所做的功。6、右圖是一個滴水起電機(jī)的原理圖，是帶小孔的水槽，水槽中裝有食鹽水。食鹽水與電極間的電壓為，每滴食鹽水的質(zhì)量為狀電極位于的下方， 相距高度為，、之間的電容為。當(dāng)水滴流經(jīng)的狹窄通道時， 與也形成一個電容器，電容量為，。充電到，使小水滴帶上正電，然后離開的狹窄

36、通道滴下。 水滴下落的頻率很低，、之間不會同時有兩滴水存在。已知開始時上由滴水引起的水位變化可以忽略。試求：（ 1）電極可達(dá)到的最高電勢；（ 2）水滴臨到達(dá)之前的速度與該水滴之前落下的水滴滴數(shù)之間的關(guān)系。盤不帶電，7、如圖所示，A、 B是兩塊水平放置的互相平行的帶電金屬板，其間的電場可視為勻強(qiáng)電場，假設(shè)有一帶負(fù)電的微粒在點(diǎn)處沿與水平成角方向射出， 并從此時刻開始計時。已知在時，微粒到達(dá)其軌跡最高點(diǎn)，在時，微粒的動能為750eV；在以上運(yùn)動過程中， 微粒一直處于勻強(qiáng)電場內(nèi)，且未與 A、B 相碰，求微粒的初動能。8、極板相同的兩個平板空氣電容器充以同樣的電荷量，第一個電容器兩極板間的距離是第二個電

37、容器的兩倍。 如果將第二個電容器插在第一個電容器兩極板的中央， 并使所有極板都互相平行。問：系統(tǒng)的靜電場如何變化？9、如圖所示，在真空中有4個半徑為的不帶電的相同導(dǎo)體球， 球心分別位于邊長為（）的正方形的四個頂點(diǎn)上。首先，讓球 1 帶電量為（），然后，取一細(xì)金屬絲，其一端固定于球1 上，另一端分別依次與球2、 3、4、大地接觸，每次接觸時間都足以使它們達(dá)到靜電平衡。設(shè)分布在細(xì)金屬絲上的電荷可以忽略不計。 試求流入大地的電量的表達(dá)式。10、在真空中有兩個點(diǎn)電荷和，相距為，試求：（ 1）的中垂面上任意一點(diǎn)的場強(qiáng)，設(shè)場點(diǎn)到中點(diǎn)的距離為；（ 2）的延長線上任意一點(diǎn)的場強(qiáng)，設(shè)場點(diǎn)到中點(diǎn)的距離為；（ 3）

38、空間任意一點(diǎn)的場強(qiáng)，設(shè)該點(diǎn)到中點(diǎn)的距離為，與之間的夾角為（設(shè)）。11、已知使一原來不帶電的導(dǎo)體小球與一帶電荷量為的導(dǎo)體大球接觸，分開之后，小球獲得電荷量。今讓小球與大球反復(fù)接觸，在每次分開后，都給大球補(bǔ)充電荷，使其帶電荷量恢復(fù)到原來的值。求小球可能獲得的最大電荷量。12、電荷均勻分布在半球面ACB上，球面的半徑為， CD通過半球面頂點(diǎn)C 與球心的軸線，如圖所示。、為 CD軸線上在點(diǎn)兩側(cè)、離點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)。已知點(diǎn)的電勢為，試求點(diǎn)的電勢。13、圖（ a）中 a 為一固定放置的半徑為 R 的均勻帶電球體，O 為其球心。已知取無限遠(yuǎn)處的電勢為零時， 球表面處的電勢為 U1000V 。在b la離球心

39、 O 很遠(yuǎn)的 O 點(diǎn)附近有一質(zhì)子b ，它以O(shè)OREk 2000eV 的動能沿與 O O 平行的方向射向圖（ a）a 。以 l 表示 b 與 O O 線之間的垂足距離，要使質(zhì)子b 能夠與帶電球體a 的表面相碰，試求l 的最大值。把質(zhì)子換成電子，再求l 的最大值。14、考慮一個原子序數(shù)為Z 的經(jīng)典原子模型， 忽略電子間相互作用。設(shè)原子中某一電子e1 在離核 r0 處作平面勻速圓周運(yùn)動。突然，由于某個過程，外面的另一個電子被俘獲進(jìn)原子核，假定這俘獲過程進(jìn)行得如此之快，以至電子 e1 的速度未受任何影響， 且仍然留在原子系統(tǒng)中。試把描述電子e1 在這種情況下運(yùn)動的量（能量、軌道參數(shù)、周期）都用r0 、

40、電子質(zhì)量 m 、電子電荷絕對值e 、原子序數(shù) Z 表達(dá)出來，并與原來的運(yùn)動作比較。15惰性氣體分子為單原子分子，在自由原子情形、（第 26 屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽題）下，其電子電荷分布是球?qū)ΨQ的。負(fù)電荷中心與原子核重合。但如兩個原子接近，則彼此能因靜電作用產(chǎn)生極化（正負(fù)電荷中心不重合），從而導(dǎo)致有相互作用力，這稱為范德瓦爾斯相互作用。下面我們采用一種簡化模型來研究此問題。x當(dāng)負(fù)電中心與原子核不重合時，若以x 表示負(fù)電中心相對正電荷（原子核）的位移，當(dāng) x 為正時，負(fù)電中心在正電荷的右側(cè)，當(dāng)x 為負(fù)時，負(fù)圖 1電中心在正電荷的左側(cè)，如圖1 所示。這時，原子核的正電荷對荷外負(fù)電荷的作用力f 相當(dāng)

41、于一個勁度系數(shù)為 k 的彈簧的彈性力，即 f=kx，力的方向x1x2指向原子核， 核外負(fù)電荷的質(zhì)量全部集中在負(fù)電中心， 此原R子可用一彈簧振子來模擬。圖 2今有兩個相同的惰性氣體原子，它們的原子核固定，相距為R，原子核正電荷的電荷量為 q，核外負(fù)電荷的質(zhì)量為m。因原子間的靜電相互作用，負(fù)電中心相對各自原子核的位移分別為 x1 和 x2 ，且 |x1|和 |x2|都遠(yuǎn)小于R，如圖 2 所示。此時每個原子的負(fù)電荷除受到自己核的正電荷作用外，還受到另一原子的正、負(fù)電荷的作用。眾所周知，孤立諧振子的能量E=mv2/2+kx2/2 是守恒的，式中 v 為質(zhì)量 m 的振子運(yùn)動的速度，x 為振子相對平衡位置的位移。量子力學(xué)證明， 在絕對零度時， 諧振子的能量為 h/2，稱為零點(diǎn)振動能，h/ 2 ，h 為普朗克常量，k / m 為振子的固有角頻率。試計算在絕對零度時上述兩個有范德瓦爾斯相互作用的惰性氣體原子構(gòu)成的體系的能量，與兩個相距足夠遠(yuǎn)的 （可視為孤立的、沒有范德瓦爾斯相互作用的）惰性氣體原子的能量差，并從結(jié)果判定范德瓦爾斯相互作用是吸引還是排斥?？衫卯?dāng) |x|1 時的近似式 (1+ x)1/2 1+x/2-x2/8，(1+ x)-11-x+x2。16、（第23 屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽試題）如圖所示，電荷量為q1 的正點(diǎn)電荷固定在坐標(biāo)原點(diǎn)O 處，