lr第六章方差分析

1、第六章方差分析概述一、方差分析（analysis of variance，簡寫為 ANOVA）.由來：.用途:（1）比較一個因素（factor）的兩個或多個水平（levels）的效應（effect） ； （2）比較兩個或多個因素 以及它們之間的交互作用（3）回歸方程線性假設檢驗3.應用條件：（1）各個樣本是相互獨立的隨機樣本（2） 各樣本來自正總體（3）各總體方差相等，即方差齊。第一節(jié)完全隨機設計的方差分析一、全隨機設計（completely random design）的定義：見p 6二、全隨機設計試驗的目的：是通過兩個或多個樣本來推斷 相應的總體均數是否相等。三、全隨機設計方差分析的基本原

2、理：變異原因變異表現TR處理因素一組間變異（可以從各組均數間的差異看出來） E隨機因素一組內變異（即各組組內數據之間的差異）備注：隨機因素包括個體差異，測量及化驗誤差等。方差分析原理的直觀理解：f = TREE若F=1或F21時，各種處理方案間的差別可能無統(tǒng)計學意義。若F值明顯大于1時，各種處理方案間的差別有統(tǒng)計學意義四、完全隨機設計方差分析的基本步驟和方法建立假設：H0： = = 二H1： R. (i=1,，c)不全相等確定檢驗水準a和對應的臨界點Fa計算統(tǒng)計量F用統(tǒng)計量F和Fa作比較，以作出統(tǒng)計推斷，判斷規(guī) 則如下：(1)若FVFa，根據a水準判斷總體均數間 的差別無統(tǒng)計學意義，記為Pa。

3、(2)若FNFa， 根據a水準判斷總體均數間的差別有統(tǒng)計學意義，記為 PWa。完全隨機設計的數據結構(見P46表6-1)水平：在試驗設計中常把因素的不同狀態(tài)稱為水平用i (i=1，2，c)表示c個不同的處理(treatment)分組（即水平）；第i組的樣本容量為牛 （各可以不相等）, 總樣本容量為N = n1 + n2 + . + n ；用X,.表示第i組的第j個觀 察值（j=1,2,*）。七是第i組的均值；x是總均值。表6-1完全隨機設計的數據結構處理分組觀察值組均值樣本容量1XX12,X inx1n12X疽 X22，X2，2x2n2cX1 X 2- Xcncxcnc列表計算：（1）表計算各

4、組的Z x，Z x 2及總的 x和 x 2 /、2一 一（2）算校正數C = ZZ X /N 簡記為C = （SX） 2/NJ（3）計算SSt （總的離均差平方和）SST= Z 勺（X” - x）2 =z x 2 -（Z x ）2. N =（N D S總2（6-1），=1 j=1自由度V T=N -1（4）計算SS（組內離均差平方和）:eSS =赧勺（X -X ）2 =z S 2（n 1）（6-2）eij illi=1 j=1自由度 v = N - c由于sse的大小與自由度有關，能夠客觀反映組內變異的 是組內均方ms = ss /v（6-3）計算ss tr （組間離均差平方和）ss =Y n

5、 （x, - x）2，（6-4）i=1自由度 V TR = c - 1 o顯然，組間離均差平方和的大小與自由度有關。能夠客觀 反映組間變異的是組間均方 TOC o 1-5 h z msr = ssR /v tr ,（6-5）（在數學上可以證明ss廣ssR + sse（6-6）v =v +v（6-7）（6） f = 土（6-8）mse完全隨機設計資料方差分析的計算表6-2 （見P 47）表6-2完全隨機設計資料的方差分析表變異來源平方和自由度 均方 F總變異 Z X 2 C組間一 Cni=1iSS /VTR TRMStr / MSSS /Ve e組內SST-SSTR方差分析的F檢驗拒絕檢驗假設H

6、0時，只能認為被推斷的各個 總體均數不全相等。差異究竟出現在哪兩個總體之間并不清 楚。如果需要進一步明確哪兩個總體均數之間存在差異，還需 要作均數間的兩兩比較（將在本章第三節(jié)介紹）。第二節(jié)隨機區(qū)組設計的方差分析一、機區(qū)組設計（randomized block design ）的定義：二、機區(qū)組設計用途：考察兩個因素（處理因素A和區(qū)組因 素B）的作用三、機區(qū)組設計資料的總平方和可以分解為三項：(6-10)SST =氣 + SSB + SS隨機區(qū)組設計的方差分析的計算見表6-7（P51）表6-7隨機區(qū)組設計的方差分析表變異來源平方和自由度均方F總變異 X 2 - CN-1 或 cr-1因素A (

7、X,)以 r-Cc-1SS/(c-1)AMS/MSeA因素B (X c - Cr-1SS/(r-1)BMS/MSeB誤差j 1SSY - SSA-SSB(c-1)(r-1)SSe/ve其中校正項C共X如n。c為因素A的水平數，r為因素B 的水平數。在隨機區(qū)組設計中因素A每個水平觀察的例數恰好 等于因素B的水平數r；而因素B每個水平觀察的例數恰好為 因素A的水平數c。例6.3備注：有學者建議，當區(qū)組因素沒有統(tǒng)計學意義時，把區(qū)組的 變異平方和并入誤差平方和（自由度同時作相應的合并），重 新計算誤差均方及F統(tǒng)計量，以期提高檢驗的精度。表6-12下方列出了合并誤差平方和之后的檢驗結果。（見p56）第三

8、節(jié)多個樣本均數的兩兩（多重）比較均數間多重比較（multiple comparison ）的目的：是推 斷差別究竟存在于哪些總體均數之間。一、q-檢驗法（Newman-Keuls test，NK）用于對多個樣本均 數每兩個作比較，檢驗統(tǒng)計量為:（6-11）q =（族）/f 與（土 +） a b 2 n nv = ve式中n, n為兩個對比組的樣本均數，MS。是方差分析中的誤差 均方（或組內均方），nA,nB相應為兩對比組的樣本例數。V e 為方差分析中誤差均方的自由度。例6.5對例6.4中三組PAM存活率均值作兩兩比較。（1）將三組樣本均數從大到小排列，并編組次：（2）建立檢驗假設，H0：七=

9、% （兩對比組PAM總體存活率相同）H1：七七（兩對比組PAM總體存活率不同）a = 0.05應用q-檢驗法的檢驗過程歸納為表6-13（見P57）。a是排序后兩對比組間（含兩對比組）包含的組數。二、新復極差法（Duncans new multiple range method,Duncan 新法） 新復極差法可用于對照組與各處理組比較。（6-12）v = ve式中,可為兩個對比組的樣本均數，MS。是方差分析中的誤差 均方（或組內均方），nA,nB相應為兩對比組的樣本例數。V e 為方差分析中誤差均方的自由度。例6.6用新復極差法將例6.2中兩組腎缺血動物的NO均值與 對照組分別作比較。（1）樣

10、本均數從大到小排列并標識組別 （2）建立假設檢驗H0：旦.=四B （正常對照組與腎缺血60分鐘組的NO總體均值相 同）H1：旦.七（正常對照組與腎缺血60分鐘組的NO總體均值不 同）a = 0.05計算統(tǒng)計量q，查p值并統(tǒng)計推斷(二)腎缺血60分鐘再灌流組的NO均值與正常對照組比較(計 算方法如上所述)第四節(jié)析因設計的方差分析一、析因設計(factorial design )如果把不同因素間的每 一種因素水平組合分別看作是一種處理，應用前述的完 全隨機設計的方差分析方法只能對各種組合的總體均數 作比較。二、析因試驗設計的方差分析用途：不僅可以分析每個因素的 單獨效應、主效應，還可以考察實驗因素

11、之間交互作用的效應。通過析因設計可以篩選最佳治療方案、最佳藥物配方以及最佳 試驗條件等等最簡單的析因設計方案可以考察兩個因素(分別記為A與B),每個因素考察兩個水平，共有2X2=4種不同的因素水平組合。單獨效應(simple effect) 是指其他因素固定在一 個水平時，余下的一個因素不同水平之間均數的差別。 主效應(main effect)是指某一因素各水平間的平均差別。它與單獨效應的區(qū)別是，主效應所指的某因素各水平 間的平均差別是綜合了其他因素各水平與該因素每一水平所 有組合的情況。交互效應（interaction）如果一個處理因素各單獨效 應隨另一因素水平變化而變化，而且變化的幅度超出

12、隨機波動 的程度，則稱兩個因素間存在交互效應或交互作用。在臨床實 踐中，不同藥物間的協(xié)同作用或拮抗作用都可以看成是交互作 用的實例為了分析交互效應，兩因素析因設計的方差分析要求因素 間各水平的每種組合觀察的例數一定要相等三、析因設計中的因素分類：（1）隨機效應兩種類型：如果某 一試驗因素的水平很多，析因設計采用的是從該因素所有可能 的水平中隨機抽取的若干個水平（即所有水平的一個隨機樣 本），試驗的目的是通過設計方案中出現的水平（即樣本）去 推斷該因素所有水平（即全局）的狀況，這樣的因素屬于隨機 效應型。（2）固定效應：如果一個因素的每個水平的總體均數 M】，M 2,，M c是固定的數值（雖然未

13、知），則該因素屬于 固定效應型。例如，血型作為一個因素時，血型的四個水平（A、B、AB、O）的效應總體均數是固定的。所以它屬于固定效應型。 例如，為了推斷某大學30余所學院之間學生的英語等級考試 成績是否平衡，把學院作為因素，從30余所學院中隨機抽取 5所作為學院的樣本。從而設計方案中學院因素具有5個水平 （因為進入設計方案的5所學院需要通過抽樣來確定，這5個 水平的效應的總體均數是隨機變量。這與固定效應型因素不 同）。同時把性別作為具有兩個水平的另一個因素。在這項設 計中，學院就是隨機效應型因素，性別是固定效應型因素四、析因設計的統(tǒng)計模型分類：（1）隨機效應型 （random-effect

14、model）（因素A、B均為隨機效應型）、（2） 固定效應型（fixed-effectmodel）（因素A、B均為固定效應 型）（3）混合型（mixed model）（因素A為固定效應型，B為 隨機效應型）。備注（1）在不同類型的模型之間，檢驗統(tǒng)計 量f的構造是有區(qū)別的。（2）不論哪一種效應模型，方差分析 中變異的計算都是相同的。用sst表示總離均差平方和，sstr為處理因素離均差平 方和（反映的是因素水平的所有組合之間的變異），SSA與SSB 分別為因素A與B的離均差平方和，SS為交互效應的離均差 AB平方和。兩因素析因設計資料的總離均差離均差平方和SST可 分解為四項：sst = ssa

15、+ ssb + ssab + ss （6-13）其中SS. + SSB + ssLtr。如果因素A具有c個水平，因素B 具有r個水平，每個因素水平組合有n例觀察值，兩因素析因設計中各變異的計算方法如表6-14，其中校正數 C = （SX）2 /N。表6-14兩因素析因設計方差分析變異的計算變異來源平方和（SS）自由度（V） 均方盛）處理因素A因素B(S Xk )2k2一nXk)2Cnrnc-Cj因素 Ax因素 B SSR - SS - SSB誤差SS = sst - SSr總變異 Z X 2 - Ccr - 1c - 1r (c-1) (r-1)cr(n-1)crn - 1 或 N-1SSJ*

16、 A ASSMSS ab/VabSS /ve e作析因方差分析時應首先檢驗交互作用。各種模型所用的統(tǒng)計量均是：%瑚S/葉（SSJ%）/ （ SS）， （6-14）分子與分母的自由度分別為（c-1）（r-1）和cr（n-1）。一、隨機效應模型的方差分析隨機效應型析因設計：（1）如果對交互作用的檢驗結論為 有統(tǒng)計學意義，對因素A和B適用的檢驗統(tǒng)計量分別為FA=MSA/MSAB，A，V2=VAB（ 6-15）和FB=MSB/MSAB，V1=VB，V2=VAB（ 6-16）（2）如果對交互作用的檢驗結論為沒有統(tǒng)計學意義，對因素A和B適用的檢驗統(tǒng)計量分別為FA=MSA/MSW，V1=VA，V2=VW（6

17、-17）和FB=MSb/MSw，Vi=Vb，w（6-18）其中MS = （SS +SS&R） / 3 +*r）, vw=v +v .（6-19）W e AB e AB We AB 方差分析見表6-16（七）二、固定效應模型的方差分析對于固定效應型析因設計：（1）如果對交互作用的檢驗結 論為有統(tǒng)計學意義，對因素A和B適用的檢驗統(tǒng)計量分別為FA=MSA/MSe, v1=Vk v2=ve（ 6-20）和FB=MSB/MSe，官B，V2=Ve（6-21）（2）如果對交互作用的檢驗結論為沒有統(tǒng)計學意義，對因素 A和B適用的檢驗統(tǒng)計量分別為FA=MSA/MSwV1=A，V2=Ve（6-22）和 FB=MS

18、B/MSw，V1=VB，V2=VW（ 6-23）其中MSW及其自由度仍按（6-19）式計算。方差分析見表6-18（七）三、混合模型的方差分析對于混合模型，不論交互作用是否有統(tǒng)計學意義，對固定效應型因素適用的檢驗統(tǒng)計量均為F = % , v =v a，v =v ab.(6-24)B對隨機效應因素適用的檢驗統(tǒng)計量為F =郵 ,v =v , v =v .(6-25)b MS 1 B 2 e e將隨機效應型、固定效應型和混合型析因設計方差分析的檢驗 統(tǒng)計量歸納成表6-21(見P67)。注意，在所有三種模型中檢驗 交互作用的統(tǒng)計量均為F=MS急MSe。表6-21二因素析因設計不同模型的F檢驗統(tǒng)計量試驗模型因素交互 因素A 隨機型 固定型 固定型作用 因素B 隨機型 固定型 隨機型因素A有統(tǒng)計學意義無統(tǒng)計學意義因素B有統(tǒng)計學意義無統(tǒng)計學意義F =竺MSMS F =AMSMSF = -MSMSMSMSF a-F a-F = 4MSMSMSWWAB廣 MSMSMSF B-F BF BMSMSMSABeeMSMSMSF BF BF BMSMSMSWWeABABe第五節(jié)多個方差齊性檢驗建立假設檢驗H0： Q2