553 變化率問(wèn)題 導(dǎo)數(shù)的概念

1、3. 1.1變化率問(wèn)題3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念【學(xué)情分析】：本節(jié)的中心任務(wù)是形成導(dǎo)數(shù)的概念.概念形成劃分為兩個(gè)層次：1、借助氣球膨脹率問(wèn)題，了解變化率的含義；借助高臺(tái)跳水問(wèn)題，明確瞬時(shí)速度的含義2、以速度模型為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合其他實(shí)例抽象出導(dǎo)數(shù)概念，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到導(dǎo)數(shù)就是瞬時(shí)變化率，了解 導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵.學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解會(huì)有些困難，所以要對(duì)課本上的兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行深入的探討，以便順利地使學(xué)生 形成導(dǎo)數(shù)的概念?！窘虒W(xué)目標(biāo)】：知道了物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，用極限來(lái)定義物體的瞬時(shí)速度，學(xué)會(huì)求物體的瞬時(shí)速度掌握導(dǎo)數(shù)的定義【教學(xué)重點(diǎn)】：理解掌握物體的瞬時(shí)速度的意義和導(dǎo)數(shù)的定義.【教學(xué)難點(diǎn)】：理解掌握物體的瞬時(shí)速度的意義和導(dǎo)數(shù)的

2、定義.【教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)】：教學(xué)環(huán) 節(jié)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意 圖問(wèn)題1 氣球膨 脹率(一) 問(wèn)題提 出問(wèn)題1氣球膨脹率我們都吹過(guò)氣球回憶一下吹氣球的過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi) 球的半徑增加越來(lái)越慢.從數(shù)學(xué)角度，如何描述這種現(xiàn)象呢？氣球的體積V(單位Z)與半徑(單位:加)之間的函數(shù)關(guān)系是 、3V如果將半徑r表示為體積V的函數(shù)，那么r(V) -V 4兀,、I3V分析：r (V)= 3靛，當(dāng)V從0增加到1時(shí),氣球半徑增加了 r一 r(0) R 0.62氣球的平均膨脹率為r(1) ：(0) w 0.62(dm / L) 0當(dāng)V從1增加到2時(shí),氣球半徑增加了 r(2) rw 0.16氣球的平均膨脹率為1w 0.16

3、(dm/L)i一 1可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小1思考：當(dāng)空氣容量從V增加到V2時(shí),氣球的平均膨脹率是多少？r也)-r (匕)V V21o1空氣容量的增加，氣、4 -V(r) - 3兀 r 3(dm)(dm)Lt為導(dǎo)數(shù) 概念的 引入做 鋪墊問(wèn)題2高臺(tái)跳水在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度所單位：m)與起跳后的時(shí)間(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速v度粗略 地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?思考計(jì)算：0 t 0.5和1 t 2的平均速度v在 0 t 0.5 這段時(shí)間里，v = h(05，0) = 4.05(m/ s

4、)；0.5 0在1 t 2這段時(shí)間里，v =蟲(chóng)2羿) = -8.2(m/s)2 1探究：計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在0 t 65這段時(shí)間里的平均速度，并思考以下問(wèn)題: 49(1)運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)使靜止的嗎？(2 )你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎？探究過(guò)程：如圖是函數(shù)h(t)= -4.9t2+6.5t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，h(65) = h(0)，49_ h(65) - h(0)所以 v = ZE= 0(s/m)，65 - 049雖然運(yùn)動(dòng)員在0 t 65這段時(shí)間里的平均速度為0(s/m)，但實(shí)際情況是運(yùn)動(dòng)員 49仍然運(yùn)動(dòng)，并非靜止，可以說(shuō)明用平均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).,、,

5、f (x ) - f (x ).，, ,皿1.上述問(wèn)題中的變化率可用式子a，_1表示，稱(chēng)為函數(shù)fx)從x1到x2的21平均變化率 2.若設(shè)Ax = %-氣，W = f (x 2) - f (氣)(這里Ax看作是對(duì)于x1的一個(gè)“增量”可用 x+ Ax 代替 x2,同樣 Af = Ay = f (x2) - f (氣)(二) 平均變 化率概 念：AyAff (x ) f(x)f 墮 +k) f 墮)Ax TOC o 1-5 h z 3.則平均變化率為 = 2卜=1卜AxAxx - x21思考：觀察函數(shù)fx)的圖象平均變化率Af = f E) - f W 表示什么?Axx2 一 x1一起討論、分析，

6、得出結(jié)果；計(jì)算平均變化率的步驟：求自變量的增量 x=x2-xi；求函數(shù)的增量 f=f(X)-f(x)； TOC o 1-5 h z 21Af f (一) f (x,)求平均變化率=2.Axx - x注意：Ax是一個(gè)整體符號(hào)，而不是與x相乘；X2= Xf；Af=Ay=y2-y1；三.典 例分析例1.已知函數(shù)f(x)= - X2 + x的圖象上的一點(diǎn)A(-1, - 2)及臨近一點(diǎn)- - .、AyB(1 + Ax， 2 + Ay)，則人 .Ax解2 + Ay = (1 + Ax)2 + (1 + Ax),Ay (1 + Ax)2 + (1 + Ax) 2_ 人=3 AxAxAx例2.求y = x2在

7、x = x0附近的平均變化率。解：Ay = (x +Ax)2 x 2，所以 Ay = 00-00AxAxx + 2x0Ax + Ax2 一 x022 + a.-Ax- 0所以y = x2在x = x0附近的平均變化率為2x0 + Ax讓學(xué)生 進(jìn)一步 認(rèn)識(shí)瞬 時(shí)速 度，為 引入導(dǎo) 數(shù)的概 念做好 鋪墊.四、瞬 時(shí)速度我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱(chēng)為瞬時(shí)速度。運(yùn)動(dòng)員的平均速度不能反映他 在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，那么，如何求運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度呢？比如，t = 2時(shí)的瞬 時(shí)速度是多少？考察t = 2附近的情況：山罰時(shí)，在2+&衛(wèi)這段時(shí)間內(nèi)，山司時(shí)，在2n2 + A/這段時(shí)間內(nèi)j-h(_2)-h(2+Ai)

8、4.9A；2+13.W-&(2 + &)如？) -4.9A*2 -13.1A；2 (3 + 、 Az= T.9&-13.1(2 + A/) - 2At品= -4.9A；-13.1當(dāng)3 = 時(shí)，A； = -13.051； z當(dāng)= 0.01 時(shí)，A； = -13.051； z當(dāng)位 = -0.|。1時(shí)，位 = -13.通If當(dāng)位 = 0.001 時(shí)，=-13.0951； 口當(dāng)3 = -O.ljCH時(shí)，= -13.09951； z當(dāng)= 0.001 時(shí)，=-13.09951； a當(dāng)=-0.0001 時(shí)，=-13.099951； 口當(dāng)位 = 0.0001 時(shí)，A = -13.099951； 口當(dāng)= -0.

9、00001 時(shí)，A; = -13.099951； *當(dāng)= 0.0000107，= -13 099951； aq/2時(shí)度，思考：當(dāng)At趨近于0時(shí)，平均速度v有什么樣的變化趨勢(shì)？結(jié)論：當(dāng)At趨近于0時(shí)，即無(wú)論t從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于 ，平均速度v都趨近于一個(gè)確定的值13.1.從物理的角度看，時(shí)間|At|間隔無(wú)限變小時(shí)，平均速度v就無(wú)限趨近于史的瞬時(shí)速 因此，運(yùn)動(dòng)員在t = 2時(shí)的瞬時(shí)速度是13.1m / s h(2 + At) - h(2)為了表述方便，我們用hm13.1At0&表示“當(dāng)t = 2，At趨近于0時(shí)，平均速度v趨近于定值13.1 ”小結(jié)：局部以勻速代替變速，以平均速

10、度代替瞬時(shí)速度，然后通過(guò)取極限，從瞬 時(shí)速度的近似值過(guò)渡到瞬時(shí)速度的精確值。五、導(dǎo) 數(shù)的概 念設(shè)函數(shù)y = f (x)在x = x0處附近有定義，當(dāng)自變量在x = x0處有增量A時(shí)，貝屈數(shù)y = f (x)相應(yīng)地有增量A = f (x0 + Ax) - f (x0)，如果Ax 0時(shí)，Ay與Ax的比-y (也叫函數(shù)的平均變化率)有極限即-y無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)，我們把這個(gè)極AxAx限值叫做函數(shù)y = f (x)在x x0處的導(dǎo)數(shù)，記作y /尸的，即f /(x ) = lim f(% +蚩)一f(%)0Ax0Ax注意：(1)函數(shù)應(yīng)在點(diǎn)x0的附近有定義，否則導(dǎo)數(shù)不存在在定義導(dǎo)數(shù)的極限式中，Ax趨近于0

11、可正、可負(fù)、但不為0，而Ay可能為0*導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)yfx)在x=x0處的瞬時(shí)變化率當(dāng)是函數(shù)y = f (x)對(duì)自變量x在Ax范圍內(nèi)的平均變化率.一一.f (x) 一 f (x )Ax = x一x，當(dāng) Ax 0時(shí)，x x，所以 f (x ) = lim -八 0000Ax0 x x0lim1 (定義的變形)xx0 x - x0要讓學(xué) 生理解 導(dǎo)數(shù)概 念六、典 例分析例3、求y=x2在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù).分析：根據(jù)求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法的三個(gè)步驟，先求Ay，再求，最后AxAy求lim仃.Ax0 AxAy2 Ax + (Ax) 2解： Ay=(1+ Ax)2 12=2 Ax+( Ax)2.=2+

12、AxAxAx. lim Ay = lim (2+Ax)=2.項(xiàng) 3=2.Ax0 Ax Ax0注意：(Ax)2括號(hào)別忘了寫(xiě).例4、求函數(shù)f(x)= - x2 + x在x = -1附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解：父=-(-1 + 明2 + (-1 + 明-2 = 3-* AxAx1、 . Ay -(-1+Ax)2 + (-1+Ax) 2 f (-1) = lim =lim (3 - Ax) = 3AxT0 AxAxAxr0例5、(課本例1)將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行 冷卻和加熱，如果第xh時(shí)，原油的溫度(單位： C)為f (x) = x2 - 7 x +

13、15(0 x 8), 計(jì)算第2h時(shí)和第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它們的意義.解：在第2h時(shí)和第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率就是f (2)和f (6)根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，字=AxAx(2 + Ax)2 - 7(2 + Ax) +15 - (22 - 7 x 2 +15) A 。=Ax - 3Ax所以 f =lim Af = lim( Ax - 3) = -3Axr0 Ax Axr0同理可得：f(6) = 5在第2h時(shí)和第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為-3和5,說(shuō)明在2h附近，原 油溫度大約以3 C / h的速率下降，在第6h附近，原油溫度大約以5 C / h的速率上升.注：一般地，f(x

14、0)反映了原油溫度在時(shí)刻x0附近的變化情況.七、引 申例6、函數(shù)f (x)滿(mǎn)足f (1) = 2，則當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，f (1 + x) - f 。=2 xf (M 2x) - f _=x變式:設(shè)f(x)在 X=X0處可導(dǎo)， f(-0A ) f ( 0)無(wú)限趨近于 1，則 f(x )=Ax0火T一A ) f ( 0)無(wú)限趨近于1，則f(- )=Ax0 當(dāng)Ax無(wú)限趨近于0，)、 f ( 0所對(duì)應(yīng)的常數(shù)與ff(x )的Ax0關(guān)系。八、課堂小結(jié)理解平均變化率、導(dǎo)數(shù)的概念。求函數(shù)y f (x)的導(dǎo)數(shù)的一般方法：求函數(shù)的改變量A f (x + Ax) f (x).Ay f (x + Ax) f (x)求平均變化率- 八，.AxAx取極限，得導(dǎo)數(shù)y/ = f(x) lim Ay .AxT0 Ax補(bǔ)充題目：1.一直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體，從時(shí)間倒t + M時(shí)，物體的位移為、s，那么1血萱為()At T0 A從時(shí)間t到t + At時(shí)，物體的平均速度；B在t時(shí)刻時(shí)該物體的瞬時(shí)速度；C.當(dāng)時(shí)間為At時(shí)物體的速度；D.從時(shí)間t到t + At時(shí)物體的平均速度.一球沿一斜面自由滾下，其運(yùn)動(dòng)方程是s=s(t)=t2(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，求小球在t=5時(shí)的 瞬時(shí)速度，.s (5 + At) s (5)(5 +