押第15題 雙曲線（新高考）（解析）

1、押第15題 雙曲線雙曲線是高考全國卷每年必考知識點,且均以客觀題的形式進行考查,若為基礎題,主要考查雙曲線的幾何性質,考查熱點是雙曲線的漸近線與離心率,若為較難題,一般常涉及直線與雙曲線的位置關系、范圍與最值問題,2020年全國卷以填空題形式考查雙曲線,難度中等偏易,2021年全國新高考卷以填空題形式考查雙曲線,難度中等偏易,預測2022年全國新高考卷以選擇題形式考查雙曲線的可能性較大,難度依然會保持中等偏易.1.雙曲線的定義與方程(1)利用雙曲線的定義判定平面內動點與兩定點的軌跡是否為雙曲線,進而根據(jù)要求可求出雙曲線方程；(2)在“焦點三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,經常結合|PF1|

2、PF2|2a,運用平方的方法,建立與|PF1|PF2|的聯(lián)系(3)待定系數(shù)法求雙曲線方程具體過程中先定形,再定量,即先確定雙曲線標準方程的形式,然后再根據(jù)a,b,c,e及漸近線之間的關系,求出a,b的值,如果已知雙曲線的漸近線方程,求雙曲線的標準方程,可設有公共漸近線的雙曲線方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)(0),再由條件求出的值即可2.雙曲線的幾何性質(1)注意雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0,b0)的實軸長是2a,不是a.(2)雙曲線的幾何性質中重點是漸近線方程和離心率,在雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0,b0)中,離心

3、率e與雙曲線的漸近線的斜率keq f(b,a)滿足關系式e21k2.在求雙曲線的離心率范圍時要注意離心率.3.直線與雙曲線的位置關系(1)研究直線與雙曲線位置關系問題的通法：將直線方程代入雙曲線方程,消元,得關于x或y的一元二次方程當二次項系數(shù)等于0時,直線與雙曲線相交于某支上一點,這時直線平行于一條漸近線；當二次項系數(shù)不等于0時,用判別式來判定(2)用“點差法”可以解決弦中點和弦斜率的關系問題,但需要檢驗1（2021新高考全國卷數(shù)學高考真題）若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程_.【答案】【詳解】解：由題可知，離心率，即，又，即，則，故此雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.2（2021

4、全國高考乙卷真題（文）雙曲線的右焦點到直線的距離為_【答案】【詳解】由已知，所以雙曲線的右焦點為，所以右焦點到直線的距離為.故答案為：3（2021全國高考乙卷真題（理）已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_【答案】4【詳解】由漸近線方程化簡得，即，同時平方得，又雙曲線中，故，解得（舍去），故焦距.故答案為：4.4（2021全國高考甲卷真題（文）點到雙曲線的一條漸近線的距離為（）ABCD【答案】A【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，結合對稱性，不妨考慮點到直線的距離：.故選：A.5（2021全國高考甲卷真題（理）已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（）ABCD

5、【答案】A【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A1（2022山東濟南一中模擬預測）建在水資源不十分充足的地區(qū)的火電廠為了節(jié)約用水，需建造一個循環(huán)冷卻水系統(tǒng)（冷卻塔），以使水可循環(huán)使用下圖是世界最高的電廠冷卻塔中國國家能源集團勝利電廠冷卻塔，該冷卻塔高225米，創(chuàng)造了“最高冷卻塔”的吉尼斯世界紀錄該冷卻塔的外形可看作雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面，如圖：已知直線，為該雙曲線的兩條漸近線，向上的方向所成的角的正切值為，則該雙曲線的離心率為_【答案】【詳解】解：設一條漸近線向上的方向與虛軸向上的方向所成的角為，則，解得或（舍），即，故，所以

6、故答案為：.2（2022河北邯鄲一模）已知點在雙曲線的右支上，動點滿足，是雙曲線的右焦點，則的最大值為_.【答案】#【詳解】動點滿足，則點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓,設雙曲線的左焦點為，由題知，則，當且僅當，三點共線時，等號成立，所以的最大值為，故答案為：3（2022河北模擬預測）已知雙曲線的左右焦點分別為，直線在第一象限交雙曲線C右支于點A.若雙曲線的離心率滿足，且，則k的取值范圍是_.【答案】【詳解】設，由題可知，.，.又由，可知，解得.，.，依題意，.故答案為：4（2022河北石家莊二中模擬預測）已知雙曲線的左焦點為，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，點在雙曲線上，且，則雙曲線

7、的離心率為_【答案】【詳解】由題意，設，直線的方程為，與漸近線聯(lián)立，可得的坐標為，即，代入雙曲線方程可得，化簡可得，故答案為：5（2022廣東汕頭二模）如圖從雙曲線（其中）的左焦點F引圓的切線，切點為T，延長，交雙曲線右支于P，若M為線段的中點，O為原點，則的值為（用表示）_【答案】【詳解】由圖可知點在第一象限設是雙曲線的右焦點，連接、分別為、的中點，又由雙曲線定義得，故故答案為：（限時：30分鐘）1已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過原點的直線l與雙曲線在第一象限和第三象限的交點分別為A、B，四邊形的周長p與面積S滿足，則該雙曲線的離心率為_【答案】【詳解】由題知，四邊形的是平行四邊形，聯(lián)立解

8、得，又，即.由余弦定理可得，化簡得，.故答案為：2已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們一個公共點，且，橢圓、雙曲線的離心率分別為，則的最小值_【答案】【詳解】由題意，可設橢圓的長半軸為，雙曲線的實半軸為，由橢圓和雙曲線的定義可知，則，又，由余弦定理可得，整理得，即， 則，所以.3已知橢圓和雙曲線有公共的焦點，曲線和在第一象限相交于點P.且，若橢圓的離心率的取值范圍是，則雙曲線的離心率的取值范圍是_.【答案】【詳解】設橢圓，雙曲線：，橢圓與雙曲線的半焦距為c，橢圓離心率，雙曲線離心率，如圖，由橢圓定義可得：，由雙曲線定義可得：，聯(lián)立可得，由余弦定理可得：即，解得，因為，所以，可得，故，故答案為：

9、4已知雙曲線的右焦點為F，若軸，的中點為P，點A，B為雙曲線頂點，當最大時，點M恰好在雙曲線上，則該雙曲線的離心率為_.【答案】【詳解】解：設，A為左頂點，B為右頂點.當最大時，最大.又，當且僅當，即為時取等號.此時點P的坐標為，點M的坐標為.將點M的坐標代入雙曲線方程，得，得.當最大時，該雙曲線離心率為.故答案為：.5已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，過右支上一點P作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為H若的最小值為3a，則雙曲線C的離心率為_【答案】【詳解】由雙曲線定義知，則，所以，過作雙曲線一條漸近線的垂線垂足為，交右支于點，此時最小，且最小值為，易求焦點到漸近線的距離為，即，所以，即，可

10、求離心率.故答案為：.6雙曲線的兩條漸近線的夾角為_.【答案】【詳解】由題意，雙曲線，可得兩條漸近線方程為，設直線的傾斜角為，則，解得，根據(jù)雙曲線的對稱性，可得兩見解析的夾角為.故答案為.7已知雙曲線C：=1（a0，b0）的右焦點F關于它的一條漸近線的對稱點在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率為_.【答案】2【詳解】雙曲線的右焦點為，漸近線方程為，設關于的對稱點為，由題意可得，且，可得，代入可得，故，則離心率，故答案為：28已知雙曲線的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若C與直線有交點，且雙曲線上存在不是頂點的P，使得，則雙曲線離心率取值范圍范圍為_.【答案】【詳解】雙曲線C與直線有交點，則，解得，雙

11、曲線上存在不是頂點的P，使得，則點在右支上，設與軸交于點，由對稱性，所以，所以，所以，由得，所以，又中，所以，即，綜上，故答案為：9寫出一個同時滿足下列性質的雙曲線方程_中心在原點，焦點在y軸上；一條漸近線方程為焦距大于10【答案】（答案不唯一，寫出一個即可）【詳解】由中心在原點，焦點在y軸上知，可設雙曲線方程為：由一條漸近線方程為知，即由知，即，則可?。ù颂幰部扇〈笥诘钠渌麛?shù)）又，則同時滿足下列性質的一個雙曲線方程為：故答案為：（答案不唯一, 寫出一個即可）.10已知雙曲線C的方程為，則其離心率為_【答案】【詳解】由雙曲線C的方程可得：所以，所以11如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是平面上兩點，|F1F2|

12、10，圖中的一系列圓是圓心分別為F1，F(xiàn)2的兩組同心圓，每組同心圓的半徑依次是1，2，3，點A，B，C分別是其中兩圓的公共點請寫出一個圓錐曲線的離心率的值為_，使得此圓錐曲線可以同時滿足：以F1，F(xiàn)2為焦點；恰經過A，B，C中的兩點【答案】5（或）（答案不唯一）【詳解】因為，若過A，C兩點，則由題意得，此時離心率若過B，C兩點，則由題意得，此時離心率故答案為：5（或）（答案不唯一）12若雙曲線經過點，其漸近線方程為，則雙曲線的方程是_.【答案】【詳解】由題意可知，若雙曲線的焦點在x軸上,則可設，則且，聯(lián)立解得,則雙曲線的標準方程為；若雙曲線的焦點在y軸上，則可設，則，且，此時無解，綜上，雙曲線的方程為.故答案為：13已知雙曲線）的左右焦點分別是是雙曲線右支上的兩點，.記的周長分別為，若，則雙曲線的右頂點到直線的距離為_.【答案】【詳解】解：根據(jù)雙曲線的定義，.所以，故雙曲線右頂點，因為，所以在上，在上，即直線方程為：，所以雙曲線的右頂點到直線的距離為故答案為：14雙曲線的左、右焦點分別為，焦距為，以右頂點為圓心，半徑為的圓與過的直線相切于點，設與的交點為，若，則雙曲線的離心率為_.【答案】2.【詳解】因為以右頂點為圓心，半徑為的圓過的直線相切與點，A=，故可知