押第20題 統(tǒng)計(jì)概率（新高考）（解析）

1、押第20題 統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)概率是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，從2019年高考情況來看，更是有壓軸題的趨勢，并且分值和題量都略有增加。其中解答題考查涉及的主要方向有：（1）與社會生活緊密相連，緊跟時代步伐創(chuàng)設(shè)情境。（2）概率的求解同時也常滲透考查統(tǒng)計(jì)知識，背景新穎，體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)的工具性和交匯性，綜合考查考生的應(yīng)用意識、閱讀理解能力、數(shù)據(jù)處理能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用；（3）統(tǒng)計(jì)知識其核心是樣本數(shù)據(jù)的獲得和分析方法，重點(diǎn)是頻率分布直方圖、莖葉圖、樣本的數(shù)字特征、線性回歸方程、獨(dú)立性檢驗(yàn)，常與概率交匯命題，意在考查考生的數(shù)據(jù)分析能力和綜合應(yīng)用能力1均值與方差的性質(zhì)若Y=aX+b，其中a，b是常數(shù)，X是隨機(jī)變

2、量，則（1）E（k）=k，D（k）=0，其中k為常數(shù)；（2）E（aX+b）=aE（X）+b，D（aX+b）=a2D（X）；（3）E（X1+X2）=E（X1）+E（X2）；（4）D（X）=E（X2）（E（X）2；（5）若X1，X2相互獨(dú)立，則E（X1X2）=E（X1）E（X2）；（6）若X服從兩點(diǎn)分布，則E（X）=p，D（X）=p（1p）；（7）若X服從二項(xiàng)分布，即XB（n，p），則E（X）=np，D（X）=np（1p）2隨機(jī)變量是否服從超幾何分布的判斷若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：（1）該試驗(yàn)是不放回地抽取n次；（2）隨機(jī)變量X表示抽取到的次品件數(shù)（或類似事件），反之亦然3求超幾

3、何分布的分布列的步驟第一步，驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值；第二步，根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個值時的概率；第三步，用表格的形式列出分布列4求超幾何分布的均值與方差的方法（1）列出隨機(jī)變量X的分布列，利用均值與方差的計(jì)算公式直接求解；（2）利用公式E（X）=，D（X）=求解1（2021湖南高考真題）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有6個粽子，其中肉粽1個，蛋黃粽2個，豆沙粽3個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取2個.（1）用表示取到的豆沙粽的個數(shù)，求的分布列；（2）求選取的2個中至少有1個豆沙粽的概率.【詳解】（1）由條件可知，所以的分

4、布列，如下表，（2）選取的2個中至少有1個豆沙粽的對立事件是一個都沒有，則選取的2個中至少有1個豆沙粽的概率.2（2021北京高考真題）在核酸檢測中, “k合1” 混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時需對每人再進(jìn)行1次檢測,得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.現(xiàn)對100人進(jìn)行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準(zhǔn)確.（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新

5、冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設(shè)Y是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)【詳解】（1）對每組進(jìn)行檢測，需要10次；再對結(jié)果為陽性的組每個人進(jìn)行檢測，需要10次；所以總檢測次數(shù)為20次；由題意，可以取20，30，則的分布列:所以；（2）由題意，可以取25，30，兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，則.3（2021全國高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知

6、識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，；所以的分

7、布列為（2）由（1）知，若小明先回答問題，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為，；所以因?yàn)?，所以小明?yīng)選擇先回答類問題4（2021全國高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時，當(dāng)時，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實(shí)際含義【詳解】（1）.（2）設(shè)，因?yàn)椋?，若，則，故.，因?yàn)?，故有兩個不同零點(diǎn)

8、，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)且，而當(dāng)時，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，故，故為的一個最小正實(shí)根，若，因?yàn)榍以谏蠟闇p函數(shù)，故1為的一個最小正實(shí)根，綜上，若，則.若，則，故.此時，故有兩個不同零點(diǎn)，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個零點(diǎn)，且.所以為的一個最小正實(shí)根，此時，故當(dāng)時，.（3）意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過1，則若干代后被滅絕的概率小于1.1（2022福建模擬預(yù)測）在某次數(shù)學(xué)考試中，共有四道填空題，每道題5分.已知某同學(xué)在此次考試中，在前兩道題中，每道題答對的概

9、率均為，答錯的概率均為；對于第三道題，答對和答錯的概率均為；對于最后一道題，答對的概率為，答錯的概率為.(1)求該同學(xué)在本次考試中填空題部分得分不低于15分的概率；(2)設(shè)該同學(xué)在本次考試中，填空題部分的總得分為，求的分布列.【解析】(1)設(shè)“第題答對”為事件，設(shè)“得分不低于15分”為事件B，則P(B)=；(2)易知的取值可能為0，5，10，15，20， =；=； =；則的分布列為：051015202（2022廣東深圳二模）2022年北京冬奧會后，由一名高山滑雪運(yùn)動員甲組成的專業(yè)隊(duì)，與兩名高山滑雪愛好者乙、丙組成的業(yè)余隊(duì)進(jìn)行友誼賽約定賽制如下：業(yè)余隊(duì)中的兩名隊(duì)員輪流與甲進(jìn)行比賽，若甲連續(xù)贏兩場

10、則專業(yè)隊(duì)獲勝；若甲連續(xù)輸兩場則業(yè)余隊(duì)獲勝：若比賽三場還沒有決出勝負(fù)，則視為平局，比賽結(jié)束已知各場比賽相互獨(dú)立，每場比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙比賽，乙贏概率為；甲與丙比賽，丙贏的概率為p，其中(1)若第一場比賽，業(yè)余隊(duì)可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽請分別計(jì)算兩種安排下業(yè)余隊(duì)獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問：業(yè)余隊(duì)第一場應(yīng)該安排乙還是丙與甲進(jìn)行比賽？(2)為了激勵專業(yè)隊(duì)和業(yè)余隊(duì)，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時，勝隊(duì)獲獎金3萬元，負(fù)隊(duì)獲獎金1.5萬元；若平局，兩隊(duì)各獲獎金1.8萬元在比賽前，已知業(yè)余隊(duì)采用了（1）中的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎金金額共計(jì)X萬元，求X

11、的數(shù)學(xué)期望的取值范圍【解析】(1)第一場比賽，業(yè)余隊(duì)安排乙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為：;第一場比賽，業(yè)余隊(duì)安排丙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為：，因?yàn)?，所以，所?所以，業(yè)余隊(duì)第一場應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽.(2)由已知萬元或萬元.由（1）知，業(yè)余隊(duì)最優(yōu)決策是第一場應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽.此時，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為，專業(yè)隊(duì)獲勝的概率為，所以，非平局的概率為，平局的概率為.的分布列為：的數(shù)學(xué)期望為（萬元）而，所以的取值范圍為：（單位：萬元）.3（2022湖南雅禮中學(xué)二模）“不關(guān)注分?jǐn)?shù)，就是對學(xué)生的今天不負(fù)責(zé)：只關(guān)注分?jǐn)?shù)，就是對學(xué)生的未來不負(fù)責(zé).”為鍛煉學(xué)生的綜合實(shí)踐能力，長沙市某中學(xué)組織學(xué)生

12、對雨花區(qū)一家奶茶店的營業(yè)情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到的數(shù)據(jù)如下：月份x24681012凈利潤（萬元y0.92.04.23.95.25.1(1)設(shè).試建立y關(guān)于x的非線性回歸方程和（保留2位有效數(shù)字）；(2)從相關(guān)系數(shù)的角度確定哪一個模型的擬合效果更好，并據(jù)此預(yù)測次年2月（）的凈利潤（保留1位小數(shù)）.附：相關(guān)系數(shù)，回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為；參考數(shù)據(jù)：，【解析】(1)，所以，所以模型的方程為，所以，所以模型的方程為；(2)，所以，因?yàn)楦咏?，所以模型的擬合效果更好，則次年2月凈利潤為萬元.4（2022江蘇南京市第一中學(xué)三模）設(shè)， ，甲、乙、丙三個口袋中分別裝有、個小球，現(xiàn)從甲、乙、

13、丙三個口袋中分別取球，一共取出個球記從甲口袋中取出的小球個數(shù)為(1)當(dāng)時，求的分布列；(2)證明：；(3)根據(jù)第（2）問中的恒等式，證明：【解析】(1)解：當(dāng)時，甲、乙、丙三個口袋中小球的個數(shù)分別為、，隨機(jī)變量的可能取值為、，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：(2)證明：設(shè)從乙口袋抽取的小球的個數(shù)為隨機(jī)變量，由超幾何分布可知，隨機(jī)變量的分布列為，由組合數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)且時，根據(jù)分布列的性質(zhì)可知，所以，.(3)證明：由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值為：、，隨機(jī)變量的分布列為，當(dāng)時，則，設(shè)一批產(chǎn)品中有件產(chǎn)品，其中有件次品，件正品，從中抽取件產(chǎn)品，其中次品的件數(shù)記為，則的可能取值有、，根據(jù)分布列的性質(zhì)

14、可得，所以，因此，.5（2022湖南永州三模）某游樂場開展摸球有獎活動，在一個不透明的盒子中放入大小相同的10個小球，其中紅球4個，黑球6個，游客花10元錢，就可以參加一次摸球有獎活動，從盒子中一次隨機(jī)摸取4個小球，規(guī)定摸取到兩個或兩個以上的紅球就中獎.根據(jù)摸取到的紅球個數(shù)，設(shè)立如下的中獎等級：摸取到的紅球個數(shù)234中獎等級三等獎二等獎一等獎(1)求游客在一次摸球有獎活動中中獎的概率；(2)若游樂場規(guī)定：在一次摸球有獎活動中，游客中三等獎，可獲得獎金15元；中二等獎，可獲得獎金20元；中一等獎，可獲得獎金200元.請從游樂場獲利的角度，分析此次摸球有獎活動的合理性.【解析】(1)解：設(shè)一次摸球

15、有獎活動中中獎為事件，則事件包含的基本事件有：,基本事件總數(shù)為：， 游客在一次摸球有獎活動中中獎的概率為.(2)解：設(shè)游客在一次摸球有獎活動中獲得的獎金為，可以取0，15，20，200，故的分布列為01520200的數(shù)學(xué)期望 由于一次摸球有獎活動中支付給游客獎金的均值， 所以游樂場可獲利，故此次摸球有獎活動合理.（限時：30分鐘）1年國家發(fā)改委住建部發(fā)布了生活垃圾分類制度實(shí)施方案規(guī)定個城市在年底實(shí)施生活垃圾強(qiáng)制分類，垃圾回收用率要達(dá)以上.某市在實(shí)施垃圾分類之前，對該市大型社區(qū)(即人口數(shù)量在萬左右)一天產(chǎn)生的垃圾量(單位：噸)進(jìn)行了調(diào)查.已知該市這樣的大型社區(qū)有個，如圖是某天從中隨機(jī)抽取個社區(qū)所

16、產(chǎn)生的垃圾量繪制的頻率分布直方圖.現(xiàn)將垃圾量超過噸/天的社區(qū)稱為“超標(biāo)”社區(qū).（1）根據(jù)上述資料，估計(jì)當(dāng)天這個社區(qū)垃圾量的平均值(四舍五入精確到整數(shù))；（2）若當(dāng)天該市這類大型社區(qū)的垃圾量，其中近似為（1）中的樣本平均值，請根據(jù)的分布估計(jì)這個社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個數(shù)(四舍五入精確到整數(shù))；（3）市環(huán)保部門決定對樣本中“超標(biāo)”社區(qū)的垃圾來源進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從這些社區(qū)中隨機(jī)抽取個進(jìn)行重點(diǎn)監(jiān)控，設(shè)為其中當(dāng)天垃圾量至少為噸的社區(qū)個數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：；.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得該樣本中垃圾量為，的頻率分別為，所以當(dāng)天這個社區(qū)垃圾量的平均值為噸；（2）由（1）知，所以這個社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)

17、的個數(shù)為；（3）由（1）得樣本中當(dāng)天垃圾量為的社區(qū)有個，垃圾量為的社區(qū)有個，所以的可能取值為，的分布列為.2到2020年年底，經(jīng)過全黨全國各族人民共同努力，現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下9899萬農(nóng)村貧困人口全部脫貧，832個貧困縣全部摘帽，12.8萬個貧困村全部出列，區(qū)域性整體貧困得到解決，完成了消除絕對貧困的艱巨任務(wù)在接下來的5年過渡期，為鞏固脫貧成果，將繼續(xù)實(shí)行“四個不摘”，某市工作小組在2021年繼續(xù)為已脫貧群眾的生產(chǎn)生活進(jìn)行幫扶，工作小組經(jīng)過多方考察，引進(jìn)了一種新的經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物，并指導(dǎo)一批農(nóng)戶于2021年初開始種植已知該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物每年每畝的種植成本為1000元，根據(jù)前期各方面調(diào)查發(fā)現(xiàn)，由于天氣、市場經(jīng)濟(jì)等

18、因素的影響，近幾年該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物的畝產(chǎn)量與每千克售價具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物市場價格（元）1015該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物每年畝產(chǎn)量400600概率0.40.6概率0.250.75（1）設(shè)2021年當(dāng)?shù)啬侈r(nóng)戶種植一畝該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物的純收入為X元，求X的分布列；（2）已知當(dāng)?shù)啬侈r(nóng)戶在2021年初種植了3畝該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物，假設(shè)各畝地的產(chǎn)量相互獨(dú)立，求該農(nóng)戶在2021年通過種植該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物所獲得的純收入超過12000元的概率（注：純收入=種植收入-種植成本）【詳解】（1）由題知一畝地的種植收入可能為4000，6000，9000，故X的所有可能取值為3000，5000，8000，X的分布列

19、為：X300050008000P0.10.450.45（2）純收入超過12000元，即3畝地種植收入超過15000元，若價格為10元，則3畝地的總產(chǎn)量超過，因?yàn)?，所以符合條件的概率為若價格為15元，則3畝地的總產(chǎn)量超過，P（純收入超過1200元）3第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會，將于2022年2月4日至2022年2月20日在北京舉行實(shí)踐“綠色奧運(yùn)、科技奧運(yùn)、人文奧運(yùn)”理念，舉辦一屆“有特色、高水平”的奧運(yùn)會，是中國和北京的莊嚴(yán)承諾，也是全世界的共同期待.為宣傳北京冬奧會，激發(fā)人們參與冬奧會的熱情，某市開展了關(guān)于冬奧知識的有獎問答.從參與的人中隨機(jī)抽取100人，得分情況如下：（1）得分在80分以上稱

20、為“優(yōu)秀成績”，從抽取的100人中任取2人，記“優(yōu)秀成績”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）由直方圖可以認(rèn)為，問卷成績值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.求；用所抽取100人樣本的成績?nèi)ス烙?jì)城市總體，從城市總?cè)丝谥须S機(jī)抽出2000人，記表示這2000人中分?jǐn)?shù)值位于區(qū)間的人數(shù)，利用的結(jié)果求.參考數(shù)據(jù)：，.【詳解】（1）得分80以上的人數(shù)為，可能取值為0，1，2，分布列為：012.（2）取，4在剛剛過去的寒假，由于新冠疫情的影響，哈爾濱市的兩所同類學(xué)校的高三學(xué)年分別采用甲乙兩種方案進(jìn)行線上教學(xué)，為觀測其教學(xué)效果，分別在兩所學(xué)校的高三學(xué)年各隨機(jī)抽取名學(xué)生，對每名學(xué)生進(jìn)行綜合測試評分，記綜合評分為及以上的學(xué)生為優(yōu)秀學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到兩所學(xué)校抽取的學(xué)生中共有名優(yōu)秀學(xué)生.（1）用樣本估計(jì)總體，以頻率作為概率，若在兩個學(xué)校的高三學(xué)年隨機(jī)抽取名學(xué)生，求所抽取的學(xué)生中的優(yōu)秀學(xué)生數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）已知學(xué)校抽出的優(yōu)秀學(xué)生占該校抽取總?cè)藬?shù)的，填寫下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為學(xué)生綜合測試評分優(yōu)秀與教學(xué)方案有關(guān).優(yōu)秀學(xué)生非優(yōu)秀學(xué)生合計(jì)甲方案