基于放射性廢料淺海掩埋方法可行性的討論

1、-. z.2013數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練題承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括、電子、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是（從1/2/3中選擇一項填寫）： 1 參賽隊員 (打印并簽名) ： 1. * 2. * 3

2、. * 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 2013 年 8 月 17 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：-. z.2013數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練題編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：-. z.關(guān)于放射性廢料淺海掩埋法可行性分析及驗證摘要為了解決放射性廢物最終處置這一實際問題，在題設(shè)已知條件下，考慮水的阻力與圓桶速度大小的關(guān)系且不考慮海水溫度、密度等實際存在約束，本文運用 了物理學(xué)以及微分方法，建立了裝放射性廢料

3、的圓桶下沉的微分模型，同時利用了Matlab2007和C+編程，分別對模型進行求解，并對所得結(jié)果進行分析和驗證，以此判斷圓桶是否破裂導(dǎo)致核污染。首先找出圓桶的運動規(guī)律，由于圓桶在運動過程中受到本身的重力以及水的浮力H 和水的阻力f 的作用，利用物理學(xué)知識列一般方程來表示圓桶運動規(guī)律。對問題1，水的阻力與圓桶速度大小存在線性關(guān)系=，通過分析圓桶運動規(guī)律，對圓桶運動過程建立微分方程模型，在Matlab中編寫程序解決所列方程求取解。對問題2，題設(shè)中由于海水阻力與圓桶速度大小關(guān)系變?yōu)?，也即在問題1模型的基礎(chǔ)上改變水的阻力，重新建立圓桶運動過程的微分方程模型，同時在Matlab中編寫程序解決所列方程求

4、取解。結(jié)果表明：題設(shè)條件下問題1淺海掩埋法不合理，圓桶到達(dá)海底的速度為13.7720，因此大于12.2故不合理；若速度小于12.2，求取圓桶的時間為13.0025，位移為84.8438。關(guān)鍵詞：放射性廢料；淺海掩埋；可行性；微分模型 一 問題的提出美國原子能委員會以往處理濃縮的放射性廢料的方法，一直是把它們裝入密封的圓桶里，然后扔到水深為90多米的海底。生態(tài)學(xué)家和科學(xué)家們表示擔(dān)心，怕圓桶下沉到海底時與海底碰撞而發(fā)生破裂，從而造成核污染。原子能委員會分辯說這是不可能的。為此工程師們進行了碰撞實驗。發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓桶下沉速度超過12.2 m/s 與海底相撞時，圓桶就可能發(fā)生碰裂。這樣為避免圓桶碰裂，需要計

5、算一下圓桶沉到海底時速度是多少。已知圓桶質(zhì)量為239.46 kg，體積為0.2058，海水密度為1035.71，如果圓桶速度小于12.2 m/s就說明這種方法是安全可靠的，否則就要禁止使用這種方法來處理放射性廢料。假設(shè)水的阻力與速度大小成正比例，其正比例常數(shù)k=0.6。問題1： 判斷這種處理廢料的方法是否合理問題2： 一般情況下，v大，k也大；v小，k也小。當(dāng)v很大時，常用kv來代替k，則這時速度與時間關(guān)系如何 并求出當(dāng)速度不超過12.2 m/s，圓桶的運動時間和位移應(yīng)不超過多少 (k的值仍設(shè)為0.6)二 問題分析在不考慮海水溫度、密度變化等自然條件影響，同時在滿足題設(shè)條件約束情況下，通過對圓

6、桶在海水中受力分析，找出圓桶的運動規(guī)律，分析和驗證圓桶淺海掩埋的可行性。已知圓桶質(zhì)量=239.46,體積V=0.2058，海水的密度1035.71，將圓桶扔進海水里，假定初速度為0，圓桶在落入海底之前的速度低于12.2，即滿足要求圓桶不會破裂而導(dǎo)致污染。分析可知，圓桶沉入海底的過程由于受到各方面的力而有一定的運動規(guī)律，因此首先我們要找到圓桶的運動規(guī)律，其次建立微分方程模型。問題1可以分為以下三個步驟：通過對圓桶物理學(xué)上受力分析，列出一般方程；根據(jù)一般方程，列出微分方程模型；利用數(shù)學(xué)工具解決，得出結(jié)果判斷圓桶的速度是否在要求圍。問題2類似于問題1的模型，只需將阻力改為=，圓桶速度達(dá)到12.2時，

7、求解出圓桶的位移和時間。 三 模型假設(shè)1.假設(shè)水的阻力與速度大小成正比例，其正比例常數(shù)=0.6；2.當(dāng)很大時，常用來代替；3.假設(shè)水流速度為0，即此區(qū)域海水靜止；4.假設(shè)圓桶形狀不影響其下沉速度；5.假設(shè)圓桶下沉過程中可以自由下沉，只受重力和浮力以及海水阻力作用；6.假設(shè)圓桶下沉過程中不會粘黏上附著物而導(dǎo)致圓桶質(zhì)量發(fā)生變化；7.假設(shè)圓桶下沉過程中，重力加速度為一定值；8.圓桶在整個下落過程中所受浮力為一恒定值；9.圓桶從接觸水面到完全沉入水里過程中，圓桶所受浮力的變化不予考慮,并以 以圓桶恰好完全浸入海水中為起始點；10.假設(shè)海底為平面，忽略海床形狀對圓桶受力的影響；11.假設(shè)題目所給的數(shù)據(jù)真

8、實可靠。四 符號說明 圓桶的質(zhì)量：圓桶的體積：海水的密度: 地球表面重力加速度：圓桶的重力：圓桶位移： 圓桶下降的速度：圓桶所受合力： （）圓桶完全沉入水中所受浮力： （）水對圓桶的阻力： （問題一：；問題二：）五 模型的建立與求解5.1問題一的模型 5.11模型的建立 首先要找出圓桶的運動規(guī)律，由于圓桶在運動過程中受到本身的重力以及水的浮力H和水的阻力f 的作用，所以根據(jù)牛頓運動定律得到圓筒受到的合力F滿足 (1)又因為 =可得到圓桶的位移和速度分別滿足下面的微分方程：=- (2) =- (3) 5.12模型的求解由（2）式，加上初始條件 ，以及題設(shè)初始數(shù)據(jù)，求得位移函數(shù)為： =-17151

9、0.9924+429.7444+171510 (4)由方程式（3）及初始條件求得速度函數(shù)： (5)由=90,求得求得圓筒到達(dá)水深90m的海底需要時間=12.9994, 再把它帶入方程(5),求出圓桶到達(dá)海底的速度 =13.7720。根據(jù)和的數(shù)值解繪出兩者之間的關(guān)系圖象顯然此圓桶的速度已超過 12.2 ，可以得出這種處理廢料的方法不合理。因此，美國原子能委員會禁止用這種方法來處理放射性廢料。5.2問題二的模型 5.21模型的建立由題設(shè)條件，圓桶受到的阻力應(yīng)改為,類似問題一的模型，可得到圓桶的速度應(yīng)滿足如下的微分方程:= （6）5.22模型的求解根據(jù)方程（44），加上初始條件，求出圓桶的速度：=2

10、0.7303tanh(0.0519)這時若速度要小于 12.2，則經(jīng)計算可得圓桶的運動時間就不能超過=13.0025，利用位移 ，計算得位移不能超過 84.8438。六 模型結(jié)果分析與檢驗從問題一的模型求解結(jié)果可以看出，如果將圓桶投入90米深的海域，則圓桶與海底相撞時的速度，顯然大于12.2m/s，所以這種處理方法是不合理的。而根據(jù)第二問的模型求解結(jié)果，可以得出，若要堅持將核廢料投入海底進行處理，為了保證圓桶不破裂，則所投海域的海水深度不得大于84.8438m.七 模型的評價與推廣7.1模型評價 模型優(yōu)點：模型假設(shè)較為合理，所建立的模型簡單，易于操作便于求解。模型缺點：在進行模型假設(shè)時忽略了海

11、水流速、海水密度會隨著海水深度變化而變化等因素。此外當(dāng)很大時，常用來代替，如何界定很大值的值；第二問中一開始就用來代替顯得很不妥，這些都會影響到模型精度。7.2模型推廣這個模型可以推廣到物體在其他介質(zhì)(如空氣)中下落的情況,也可將介質(zhì)流速考慮到模型中去，從而將模型從靜態(tài)場推廣到動態(tài)場。八 參考文獻1 王沫然，MATLAB與科學(xué)計算，電子工業(yè)，2003 2 啟源，數(shù)學(xué)模型(第二版)，高等教育，1993.8九 附錄計算問題一的Matlab程序如下：clc,clear syms m V rho g k s=dsolve(m*D2s-m*g+rho*g*V+k*Ds,s(0)=0,Ds(0)=0);

12、s=subs(s,m,V,rho,g,k,239.46,0.2058,1035.71,9.8,0.6); s=vpa(s,10) %求位移函數(shù)v=dsolve(m*Dv-m*g+rho*g*V+k*v,v(0)=0); v=subs(v,m,V,rho,g,k,239.46,0.2058,1035.71,9.8,0.6); v=vpa(v,7) %求速度函數(shù)y=s-90; tt=solve(y) %求到達(dá)海底90米處的時間vv=subs(v,tt) %求到底海底90米處的速度繪制模型一圖像Matlab程序如下：t=0:0.0001:14;s=-171510.9924+429.7444*t+171510.9924*e*p(-0.0025056*t);v=429.7444-429.7444*e*p(-0.0025056*t);plot(s,v)hold ony=12.2;*=0:0.01:90;plot(*,y,:)*=90;y=0:0.01:16;plot(*,y)y=13.7720;*=0:0.01:90;plot(*,y)*label(海水深度s)ylabel(下落速度v)te*t(40,11.5,v=12.2m/s)a*is(0 100 0 16)計算問題二的Matlab程序如下：clc,clear syms m V rho g