第七章馬爾柯夫預(yù)測法ppt課件

1、經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策.經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策第七章 馬爾柯夫預(yù)測法.本章學(xué)習(xí)目的與要求 經(jīng)過本章的學(xué)習(xí)，了解馬爾柯夫預(yù)測法的根本概念，運用馬爾柯夫預(yù)測法進(jìn)展市場銷售預(yù)測、市場占有率預(yù)測。.本章學(xué)習(xí)重點和難點 重點是運用馬爾柯夫預(yù)測法進(jìn)展市場銷售預(yù)測、市場占有率預(yù)測。 難點是穩(wěn)定形狀市場占有率預(yù)測。.本章內(nèi)容提示第一節(jié) 馬爾柯夫過程分析的根本原理第二節(jié) 馬爾柯夫預(yù)測法的分析步驟第三節(jié) 市場占有率預(yù)測.馬爾柯夫預(yù)測法馬爾柯夫預(yù)測法是運用概率論中馬爾柯夫鏈的實際和方法研討分析有關(guān)經(jīng)濟(jì)景象的現(xiàn)狀及變化規(guī)律，并籍此預(yù)測未情況的預(yù)測方法。.馬爾柯夫過程對于一個系統(tǒng)，在由一種形狀隨機(jī)地轉(zhuǎn)移至另一種形狀的轉(zhuǎn)移過程中，存在著

2、轉(zhuǎn)移概率，這種轉(zhuǎn)移概率可以根據(jù)其前一種形狀推算出來，而與該系統(tǒng)的原始形狀和此次轉(zhuǎn)移以前的有限次或無限次轉(zhuǎn)移無關(guān)，系統(tǒng)的這種由一種形狀至另一種形狀的轉(zhuǎn)移過程為馬爾柯夫過程，其整體轉(zhuǎn)移過程稱為馬爾柯夫鏈。.馬爾柯夫分析對于某一預(yù)測對象的馬爾柯夫過程或馬爾柯夫鏈的運動、變化進(jìn)展研討分析，進(jìn)而推測預(yù)測對象的未來情況和變化趨勢的任務(wù)過程，稱為馬爾柯夫分析。.第一節(jié) 馬爾柯夫過程分析的根本原理一、概率向量二、概率矩陣三、系統(tǒng)的穩(wěn)定形狀四、形狀轉(zhuǎn)移概率矩陣.一、概率向量恣意一個行向量U，假設(shè)內(nèi)部各元素均非負(fù)，并且總和為1，那么此向量稱為概率向量。概率向量中的各元素，可以用整數(shù) 、分?jǐn)?shù)、小數(shù)或百分?jǐn)?shù)表示。.二

3、、概率矩陣 在一個nn矩陣P中，對于恣意一個元素Pij均有Pij0(i=1，2，n；j=1，2，n)。并且Pi1+Pi2+Pin=1，那么矩陣P 叫做概率矩陣。即，由概率行向量構(gòu)成的方陣。.概率矩陣性質(zhì)：1.假設(shè)A和B皆為概率矩陣，那么乘積AB亦為概率矩陣。從而推論P的m次方冪Pm也是概率矩陣。.概率矩陣性質(zhì)：2.假設(shè)概率矩陣P的有限次方冪Pm的一切元素均為正非零非負(fù)，那么P為正規(guī)概率矩陣。如概率矩陣：A2及Amm2中各元素均為正值，所以A為正規(guī)矩陣。但是，假設(shè)Am中有為零的元素存在，那么A不是正規(guī)概率矩陣。.概率矩陣性質(zhì)：3.恣意非零行向量U=u1，u2，un，乘以某一方陣A所得的結(jié)果依然為

4、U，那么稱U為方陣A的固定點，或固定向量。記作UA=U。對于正規(guī)概率矩陣P和概率向量U，假設(shè)UP=U成立，那么稱U為P的固定概率向量。并且P只需一個固定概率向量。.例設(shè)P的固定概率向量為 U=x 1-x，那么有：UP=U，所以U=1/3 2/3，為P的獨一的固定概率向量。.三、系統(tǒng)的穩(wěn)定形狀一個馬爾柯夫鏈假設(shè)是正規(guī)的，根據(jù)以上討論可知，經(jīng)過形狀轉(zhuǎn)移可以使系統(tǒng)到達(dá)某一穩(wěn)定形狀。在這種情況下，處于形狀i的概率如用Si表示，那么系統(tǒng)整體的形狀可用下面的概率向量來表示：S=S1，S2，Sn.系統(tǒng)的穩(wěn)定形狀系統(tǒng)的穩(wěn)定形狀是指系統(tǒng)即使再經(jīng)過一步形狀轉(zhuǎn)移，其形狀概率仍堅持不變的形狀。即：SP=S式中：P是反

5、映形狀轉(zhuǎn)移的正規(guī)概率矩陣，S稱為對P的穩(wěn)定形狀概率向量。假設(shè)知正規(guī)概率矩陣P，就可以根據(jù)以上關(guān)系式求出系統(tǒng)的穩(wěn)定形狀概率向量S。.求穩(wěn)定形狀概率向量假設(shè)知概率矩陣所求的穩(wěn)定形狀概率向量S=S1，S2，Sn。.根據(jù)公式有：根據(jù)公式有：并且S1+S2+Sn=1.從而有：P11S1+P21S2+Pn1Sn=S1P12S1+P22S2+Pn2Sn=S2 P1 nS1+P2 nS2+Pn nSn=SnS1+S2+Sn=1由前n個方程中去掉一個不獨立的方程，求解聯(lián)立方程組，解得S1、S2、Sn。.四、形狀轉(zhuǎn)移概率矩陣假設(shè)系統(tǒng)的形狀共有n個，系統(tǒng)的形狀i一次轉(zhuǎn)移到形狀j的概率為Pij，那么系一致次轉(zhuǎn)移概率的

6、全體組成一個矩陣，稱為形狀轉(zhuǎn)移概率矩陣，記為：P。矩陣的每一行為一概率向量，它表示由形狀i轉(zhuǎn)移到其它形狀的概率。.多步轉(zhuǎn)移概率矩陣假設(shè)系統(tǒng)的形狀不止經(jīng)過一次轉(zhuǎn)移，而是經(jīng)過多次轉(zhuǎn)移，那么可用多步轉(zhuǎn)移概率矩陣來描畫。設(shè)系統(tǒng)的形狀經(jīng)過K次轉(zhuǎn)移，那么用K步轉(zhuǎn)移概率矩陣來描畫。.設(shè)K步轉(zhuǎn)移概率矩陣為PK，即：.由定義可知：PK=PK-1P =PK-2P2 =PK-3P3 =PK-K+1PK-1 =PPK-1 =PK 即，K步轉(zhuǎn)移概率矩陣就是一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的K次方。.SK的計算設(shè)系統(tǒng)互不相容的形狀有n個，系統(tǒng)的初始形狀用概率向量S0表示，那么：經(jīng)過一次轉(zhuǎn)移，系統(tǒng)到達(dá)S1形狀，那么有：S1=S0P經(jīng)過二次

7、轉(zhuǎn)移，系統(tǒng)到達(dá)S2形狀，那么有：S2=S1P=S0P2.SK的計算依此類推，可得遞推關(guān)系式：S3=S2P=S0P3 SK=S0PK即經(jīng)過K步轉(zhuǎn)移后的形狀取決于轉(zhuǎn)移前的初始形狀S0，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P和轉(zhuǎn)移的次數(shù)K。.表示成矩陣方式：.第二節(jié) 馬爾柯夫預(yù)測法的分析步驟馬爾柯夫鏈作為一種根本的預(yù)測模型，用來預(yù)測客觀經(jīng)濟(jì)事件的未來形狀。當(dāng)分析研討由一種形狀轉(zhuǎn)移為另一種形狀時，可以運用這種模型。.運用條件運用馬爾柯夫預(yù)測法進(jìn)展預(yù)測時，首先必需將研討的問題歸納成獨立的形狀；其次是要確定經(jīng)過一個時期后，時間由一種形狀轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N形狀的概率，并且這種概率必需滿足以下條件：1.只與目前形狀有關(guān)；2.與詳細(xì)的時

8、間周期無關(guān)；3.預(yù)測期間，形狀的個數(shù)必需堅持不變。.步驟 假設(shè)研討的問題符合上述條件，那么構(gòu)成一階馬爾柯夫鏈，并可以據(jù)此建立預(yù)測模型，進(jìn)展預(yù)測。詳細(xì)步驟如下：第一步，確定系統(tǒng)的形狀；第二步，確定轉(zhuǎn)移概率矩陣；第三步，進(jìn)展預(yù)測。.例7-1某公司將最近20個月的商品銷售額統(tǒng)計如下，試預(yù)測第21個月的商品銷售額。.表7-1 各月商品銷售額 單位：萬元月 數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8 銷售額 40 45 80 120 110 38 40 50月 數(shù) 9 10 11 12 13 14 15 16銷售額 62 90 110 130 140 120 55 70 月 數(shù) 17 18 19 20銷售額 4

9、5 80 110 120 .解：劃分形狀。按銷售額多少作為劃分形狀的規(guī)范。形狀1滯銷：銷售額60萬元；形狀2平銷：60萬元銷售額100萬元；形狀3暢銷：銷售額100萬元。.那么各形狀出現(xiàn)的次數(shù)Mi為：M1=7；M2=5；M3=8。根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算比例數(shù)，建立形狀轉(zhuǎn)概率矩陣。.由形狀i轉(zhuǎn)移為形狀j的次數(shù)記為Mij，那么有：M11=3；M12=4；M13=0；M21=1；M22=1；M23=3；M31=2；M32=0；M33=5。在計算時，最后一個數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)移到哪個形狀時未知的，所以不參與計算。.轉(zhuǎn)移概率以轉(zhuǎn)移次數(shù)Mij與形狀次數(shù)Mi之比作為轉(zhuǎn)移概率，那么轉(zhuǎn)移概率Pij= Mij / Mi。各轉(zhuǎn)移概率

10、為：P11=3/7；P12=4/7；P13=0；P21=1/5；P22=1/5；P23=3/5；P31=2/7； P32=0； P33=5/7。.預(yù)測第21月的銷售額由于第20月的銷售屬形狀3，而形狀3經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移到達(dá)形狀1、2、3的概率分別為2/7、0、5/7，P33P31P32，所以第21月仍處于形狀3的概率最大，即銷售額超越100萬元的能夠性最大。.第三節(jié) 市場占有率預(yù)測在市場競爭條件下，企業(yè)向市場提供的商品份額占市場總份額的比例為企業(yè)該商品的市場占有率。市場占有率的預(yù)測是企業(yè)運營管理中的一項重要任務(wù)。下面利用馬爾柯夫預(yù)測法進(jìn)展關(guān)于市場占有率的預(yù)測的分析。.條件設(shè)市場中提供某種商品的廠商

11、共有n家。當(dāng)前的市場占有率,即本期市場占有率為：用Pij代表經(jīng)過一個時期后i廠商喪失的顧客轉(zhuǎn)移到j(luò)廠商的概率，或j廠商得到由i廠商轉(zhuǎn)來的顧客的概率。特別是當(dāng)i=j時，Pij代表i廠商保管上期顧客的概率。這樣Pij即為市場占有率的轉(zhuǎn)移概率。.轉(zhuǎn)移概率矩陣對于整個市場中各廠商的顧客的轉(zhuǎn)移概率，可用轉(zhuǎn)移概率矩陣表示：.市場占有率對于未來一個時期的市場占有率，有：.上式闡明，對于某一廠商下期市場占有率，包括本人保管下來的顧客和從其它廠商轉(zhuǎn)來的顧客兩部分占有率構(gòu)成。將上式寫成矩陣方式，有：.結(jié)論即：St+1=StP下期市場占有率取決于本期市場占有率和轉(zhuǎn)移概率。.同理，假設(shè)St-1表示上期市場占有率， S

12、t表示本期市場占有率，那么St=St-1P。本期市場占有率取決于上期市場占有率和轉(zhuǎn)移概率，而與上期以前時期的市場占有率無關(guān)。，對市場占有率的預(yù)測是符合馬爾柯夫原理的，因此可以利用馬爾柯夫的實際和方法進(jìn)展市場占有率的預(yù)測。.K期市場占有率的預(yù)測設(shè)當(dāng)前形狀為初始形狀，那么對于下一期市場占有率的預(yù)測，可以看成是在當(dāng)前形狀下經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移所到達(dá)的形狀。即：S1=S0P。假設(shè)假定各期的轉(zhuǎn)移概率不變，那么那么對于下K期市場占有率的預(yù)測，可以看成是在當(dāng)前形狀下經(jīng)過K步轉(zhuǎn)移所到達(dá)的形狀。即：SK=S0PK。.例7-2知市場上有A、B、C三種品牌的洗衣粉，上月的市場占有率分布為0.3 0.4 0.3，并且轉(zhuǎn)移概率

13、矩陣為：試求本月和下月的市場占有率。.解：依題意，設(shè)上月市場占有率為初始概率向量，即S0=(0.3 0.4 0.3，那么本月市場占有率為S1，下月市場占有率為S2，.由馬爾柯夫預(yù)測法有：本月市場占有率S1=S0P =0.25 0.37 0.38下月市場占有率S2=S1P =0.225 0.347 0.428計算結(jié)果闡明A、B、C三種品牌的洗衣粉，本月的市場占有率分別為：25%，37%和38%；下月的市場占有率分別為：22.5%，34.7%和42.8%。.S2的計算亦可采用下式S2=S1P=S0P2即可以為是在初始形狀經(jīng)過二步轉(zhuǎn)移后所到達(dá)的形狀。那么對于K個時期后的市場占有率的預(yù)測，那么可由初始

14、形狀S0與市場的轉(zhuǎn)移概率矩陣P的K次方的乘積求得。即：SK=S0PK。.例7-3有A、B、C三家企業(yè)的同種產(chǎn)品上個月在某地域市場上的占有率分別為：052、030、018。根據(jù)市場調(diào)查情況，每1000戶顧客中分別購買A、B、C三家企業(yè)產(chǎn)品的變化情況如表7-3。試用馬爾柯夫預(yù)測法分析，假設(shè)按目前趨勢開展下去，三家企業(yè)產(chǎn)品占有率的情況。.表7-3 企業(yè)占有顧客變化情況 單位：人企業(yè) 上月占有顧客數(shù) 本月流動情況 A B C A 520 312 156 52 B 300 105 105 90 C 180 18 36 126本月占有顧客數(shù) 435 297 268.解： 1確定初始形狀。以上月各企業(yè)的市場

15、占有率為初始形狀，S0=(0.52 0.30 0.18。.2確定轉(zhuǎn)移概率矩陣。轉(zhuǎn)移概率矩陣可以反映企業(yè)現(xiàn)有顧客在下一周期仍購買該企業(yè)產(chǎn)品的顧客人數(shù)的百分比，即保有率；和在下一周期轉(zhuǎn)向購買其它企業(yè)產(chǎn)品顧客人數(shù)的百分比，即轉(zhuǎn)出率。根據(jù)顧客人數(shù)轉(zhuǎn)移的數(shù)據(jù)，計算出保有率和轉(zhuǎn)出率，作為轉(zhuǎn)移概率，組成轉(zhuǎn)移概率矩陣。.表7-4 企業(yè)轉(zhuǎn)移概率計算表出 入 A B C A 312520=0.60 156520=0.30 52520=0.10B 105300=0.35 105300=0.35 90300=0.30C 18180=0.10 36180=0.20 126180=0.70 .上表結(jié)果用矩陣方式表示為：.

16、3.計算本期市場占有率。假設(shè)分析期內(nèi)轉(zhuǎn)移概率不變即顧客的偏好不變，根據(jù)馬爾柯夫預(yù)測模型，本月市場占有率S1=S0P。即： S1=0.435 0.297 0.268.4.后續(xù)周期趨勢預(yù)測假設(shè)以本月為第一個月,那么第K個月的市場占有率為SK=S0PK。假設(shè)需求進(jìn)展長期趨勢預(yù)測,那么可以此公式計算下去。根據(jù)上式，計算第一月至第十二月的市場占有率于表7-4：.表7-4 逐期市場占有率計算表預(yù)測期 市場占有率 K SAK SBK SCK 1 0.4350 0.2970 0.2680 2 0.3918 0.2881 0.3202 3 0.3679 0.2824 0.3497 4 0.3555 0.2791

17、 0.3663 5 0.3471 0.2773 0.3766 6 0.3429 0.2763 0.3808 7 0.3405 0.2757 0.3838 8 0.3392 0.2754 0.3854 9 0.3384 0.2752 0.3863 10 0.3380 0.2751 0.3868 11 0.3378 0.2751 0.3871 12 0.3376 0.2750 0.3874.分析1A企業(yè)和B企業(yè)產(chǎn)品的市場占有率逐期下降，并且A企業(yè)產(chǎn)品的市場占有率下降幅度較大；2C企業(yè)產(chǎn)品的市場占有率卻以較大的幅度逐期上升。3變化的幅度逐漸減小，趨近于不變。.5長期市場占有率預(yù)測穩(wěn)定形狀分析企業(yè)產(chǎn)品的市場占有率的穩(wěn)定形狀是各企業(yè)產(chǎn)品的市場占有率不發(fā)生逐期變化時的形狀。從例7-3可以看到，隨逐時間的推移，各企業(yè)產(chǎn)品的市場占有率逐期上升或下降，但變化的幅度逐漸減小，趨近于不變，即處于穩(wěn)定形狀。.穩(wěn)定形狀根據(jù)對穩(wěn)定形狀的分析可知，穩(wěn)定形狀時，上期形狀經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移后其形狀該當(dāng)不變。即相鄰兩個時期各企業(yè)