專題10 四邊形問題-2022中考數學壓軸題精講（解析版）

1、一、單選題1如圖1的矩形ABCD中，有一點E在AD上，今以BE為折線將A點往右折，如圖2所示，再作過A點且與CD垂直的直線，交CD于F點，如圖3所示，若AB=6，BC=13，BEA=60，則圖3中AF的長度為何？（）A2 B4 C2 D4【答案】B【關鍵點撥】本題考查翻折變換、矩形的性質、勾股定理、解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型2在矩形ABCD內，將兩張邊長分別為a和的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊，矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面

2、積為當時，的值為A2a B2b C D【答案】B【關鍵點撥】本題考查了正方形的性質，整式的混合運算，“整體”思想在整式運算中較為常見，適時采用整體思想可使問題簡單化，并且迅速地解決相關問題，此時應注意被看做整體的代數式通常要用括號括起來.3如圖，已知AOBC的頂點O（0，0），A（1，2），點B在x軸正半軸上按以下步驟作圖：以點O為圓心，適當長度為半徑作弧，分別交邊OA，OB于點D，E；分別以點D，E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧在AOB內交于點F；作射線OF，交邊AC于點G，則點G的坐標為（）A（1，2） B（，2） C（3，2） D（2，2）【答案】A【解析】如圖，過點A作AHx軸于

3、H，AG與y軸交于點M，【關鍵點撥】本題主要考查了角平分線的作法，勾股定理以及平行四邊形的性質的運用，解題時注意：求圖形中一些點的坐標時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關的線段長，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律學科*網4如圖，在矩形ABCD中，ADC的平分線與AB交于E，點F在DE的延長線上，BFE=90，連接AF、CF，CF與AB交于G有以下結論：AE=BCAF=CFBF2=FGFCEGAE=BGAB其中正確的個數是（）A1 B2 C3 D4【答案】CBFE=90，BFE=AED=45，BFE為等腰直角三角形，則有EF=BF又AEF=DFB+ABF=135，CBF=ABC+ABF=135

4、，AEF=CBF在AEF和CBF中，AE=BC，AEF=CBF，EF=BF，AEFCBF（SAS）AF=CF假設BF2=FGFC，則FBGFCB，FBG=FCB=45，學科*網ACF=45，ACB=90，顯然不可能，故錯誤，BGF=180-CGB，DAF=90+EAF=90+（90-AGF）=180-AGF，AGF=BGC，DAF=BGF，ADF=FBG=45，ADFGBF，EGCD，AD=AE，EGAE=BGAB，故正確，故選C學科*網【關鍵點撥】本題考查相似三角形的判定和性質、矩形的性質、等腰直角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題.5如圖，在矩形ABCD中，AD

5、=AB，BAD的平分線交BC于點E，DHAE于點H，連接BH并延長交CD于點F，連接DE交BF于點O，下列結論：AED=CED；OE=OD；BH=HF；BCCF=2HE；AB=HF，其中正確的有（ ）A2個 B3個 C4個 D5個【答案】DABEAHD（AAS），BE=DH，AB=BE=AH=HD，ADE=AED=（18045）=67.5，CED=1804567.5=67.5，AED=CED，故正確；AHB=（18045）=67.5，OHE=AHB（對頂角相等），OHE=AED，OE=OH，DOH=9067.5=22.5，ODH=67.545=22.5，DOH=ODH，OH=OD，OE=OD=

6、OH，故正確；EBH=9067.5=22.5，EBH=OHD，學科*網又BE=DH，AEB=HDF=45BEHHDF（ASA），BH=HF，HE=DF，故正確；6已知AOB=45，求作AOP=22.5，作法：（1）以O為圓心，任意長為半徑畫弧分別交OA，OB于點N，M；（2）分別以N，M為圓心，以OM長為半徑在角的內部畫弧交于點P；（3）作射線OP，則OP為AOB的平分線，可得AOP=22.5根據以上作法，某同學有以下3種證明思路：可證明OPNOPM，得POA=POB，可得；可證明四邊形OMPN為菱形，OP，MN互相垂直平分，得POA=POB，可得；可證明PMN為等邊三角形，OP，MN互相垂直

7、平分，從而得POA=POB，可得你認為該同學以上3種證明思路中，正確的有（）A B C D【答案】A【關鍵點撥】本題考查了菱形的判定、全等三角形的判定和角平分線的基本作圖，關鍵是掌握全等三角形的判定定理7如圖1，分別沿長方形紙片ABCD和正方形紙片EFGH的對角線AC，EG剪開，拼成如圖2所示的ALMN，若中間空白部分四邊形OPQR恰好是正方形，且ALMN的面積為50，則正方形EFGH的面積為（）A24 B25 C26 D27【答案】B【關鍵點撥】此題重點考查學生對于正方形和長方形的性質的理解，熟練掌握這兩個性質是解題的關鍵.8如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點，沿EC對折矩形ABCD，

8、使B點落在點P處，折痕為EC，連結AP并延長AP交CD于F點，連結CP并延長CP交AD于Q點給出以下結論：四邊形AECF為平行四邊形；PBA=APQ；FPC為等腰三角形；APBEPC其中正確結論的個數為（）A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】如圖，EC，BP交于點G；AFEC；AECF，四邊形AECF是平行四邊形，故正確；AFEC，FPC=PCE=BCE，PFC是鈍角，當BPC是等邊三角形，即BCE=30時，才有FPC=FCP，如右圖，PCF不一定是等腰三角形，故不正確；學&科網AF=EC，AD=BC=PC，ADF=EPC=90，RtEPCFDA（HL），ADF=APB=90，FAD=AB

9、P，當BP=AD或BPC是等邊三角形時，APBFDA，APBEPC，故不正確；其中正確結論有，2個，故選：B【關鍵點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質和判定，矩形的性質，翻折變換，平行四邊形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵9如圖，AD是ABC的角平分線，DEAC，垂足為E，BFAC交ED的延長線于點F，若BC恰好平分ABF，AE=2BF給出下列四個結論：DE=DF；DB=DC；ADBC；AC=3BF，其中正確的結論共有（ ）A4個 B3個 C2個 D1個【答案】A10如圖，矩形ABCD與菱形EFGH的對角線均交于點O，且EGBC，將矩形折疊，使點C與點O

10、重合，折痕MN恰好過點G若AB=，EF=2，H=120，則DN的長為（ ）A B C D【答案】C【解析】長EG交DC于P點，連接GC、FH；如圖所示：則CP=DP=CD=，GCP為直角三角形，四邊形EFGH是菱形，EHG=120，GH=EF=2，OHG=60，EGFH，OG=GHsin60=2=，由折疊的性質得：CG=OG=，OM=CM，MOG=MCG，PG=，OGCM，MOG+OMC=180，MCG+OMC=180，OMCG，四邊形OGCM為平行四邊形，OM=CM，四邊形OGCM為菱形，CM=OG=，根據題意得：PG是梯形MCDN的中位線，DN+CM=2PG=，DN=；故選C11如圖，在正

11、方形ABCD中，AB=9，點E在CD邊上，且DE=2CE，點P是對角線AC上的一個動點，則PE+PD的最小值是（）A B C9 D【答案】A【關鍵點撥】此題考查了軸對稱最短路線問題，正方形的性質，要靈活運用對稱性解決此類問題找出P點位置是解題的關鍵12如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，依此下去，第n個正方形的面積為（）A（）n1 B2n1 C（）n D2n【答案】B【關鍵點撥】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，正方形的性質，根據前后正方形邊長之間的關系找到Sn的規(guī)律是解題的關鍵13如圖，ABC的周長為19，點D，E在

12、邊BC上，ABC的平分線垂直于AE，垂足為N，ACB的平分線垂直于AD，垂足為M，若BC=7，則MN的長度為（）A B2 C D3【答案】CBA=BE，BAE是等腰三角形，同理CAD是等腰三角形，點N是AE中點，點M是AD中點（三線合一），MN是ADE的中位線，BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，DE=BE+CD-BC=5，MN=DE=故選：C學科*網【關鍵點撥】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵14如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AE平分BAD，分別交BC、BD于點E、P，連接

13、OE，ADC=60，AB=BC=1，則下列結論：CAD=30BD=S平行四邊形ABCD=ABACOE=ADSAPO=，正確的個數是（）A2 B3 C4 D5【答案】DEAC=ACE，AEB=EAC+ACE=60，ACE=30，ADBC，CAD=ACE=30，故正確；BE=EC，OA=OC，OE=AB=，OEAB，EOC=BAC=60+30=90，RtEOC中，OC=，四邊形ABCD是平行四邊形，BCD=BAD=120，ACB=30，ACD=90，RtOCD中，OD=，BD=2OD=，故正確；由知：BAC=90，SABCD=ABAC，故正確；由知：OE是ABC的中位線，又AB=BC，BC=AD，

14、OE=AB=AD，故正確；【關鍵點撥】本題考查了平行四邊形的性質、等腰三角形的性質、直角三角形30度角的性質、三角形面積和平行四邊形面積的計算；熟練掌握平行四邊形的性質，證明ABE是等邊三角形是解決問題的關鍵，并熟練掌握同高三角形面積的關系15如圖，在正方形ABCD中，連接AC，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，交AB、AC于點M，N，分別以M，N為圓心，大于MN長的一半為半徑畫弧，兩弧交于點H，連結AH并延長交BC于點E，再分別以A、E為圓心，以大于AE長的一半為半徑畫弧，兩弧交于點P，Q，作直線PQ，分別交CD，AC，AB于點F，G，L，交CB的延長線于點K，連接GE，下列結論：LKB=22

15、.5，GEAB，tanCGF=，SCGE：SCAB=1：4其中正確的是（）A B C D【答案】AOG是AE的中垂線，AG=EG，AEG=EAG=22.5=BAE，EGAB，故正確；LAO=GAO，AOL=AOG=90，ALO=AGO，CGF=AGO，BLK=ALO，CGF=BLK，在RtBKL中，tanCGF=tanBLK=，故正確；連接EL，【關鍵點撥】本題考查了基本作圖：角平分線和線段的垂直平分線，三角形相似的性質和判定，菱形的性質和判定，三角函數，正方形的性質，熟練掌握基本作圖是關鍵，在正方形中由于性質比較多，要熟記各個性質并能運用；是中考常考的選擇題的壓軸題二、填空題16如圖，在AB

16、C中，AD，CD分別平分BAC和ACB，AECD，CEAD若從三個條件：AB=AC；AB=BC；AC=BC中，選擇一個作為已知條件，則能使四邊形為菱形的是_（填序號）【答案】【關鍵點撥】本題考查的知識點是菱形的證明，解題關鍵是熟記菱形的性質.17如圖，CE是ABCD的邊AB的垂直平分線，垂足為點O，CE與DA的延長線交于點E連接AC，BE，DO，DO與AC交于點F，則下列結論：四邊形ACBE是菱形；ACDBAE；AF：BE2：3；S四邊形AFOE：SCOD2：3其中正確的結論有_（填寫所有正確結論的序號）【答案】【解析】ABEC，四邊形ACBE是菱形，故正確，DCE=90，DA=AE，AC=A

17、D=AE，ACD=ADC=BAE，故正確，OACD，學*科網，故錯誤，設AOF的面積為a，則OFC的面積為2a，CDF的面積為4a，AOC的面積=AOE的面積=3a，四邊形AFOE的面積為4a，ODC的面積為6aS四邊形AFOE：SCOD=2：3故正確.故答案是：【關鍵點撥】此題考查平行四邊形的性質、菱形的判定和性質、平行線分線段成比例定理、等高模型等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用參數解決問題.18如圖，在菱形ABCD中，ABC=120，將菱形折疊，使點A恰好落在對角線BD上的點G處（不與B、D重合），折痕為EF，若DG=2，BG=6，則BE的長為_【答案】2.8在RtE

18、HG中，EG2=EH2+GH2，即(8-x)2=(x)2+(6-x)2，解得，x=2.8，即BE=2.8，故答案為：2.8【關鍵點撥】本題考查的是翻轉變換的性質、菱形的性質、勾股定理、解直角三角形，掌握翻轉變換是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵19如圖2，小靚用七巧板拼成一幅裝飾圖，放入長方形ABCD內，裝飾圖中的三角形頂點E，F分別在邊AB，BC上，三角形的邊GD在邊AD上，則的值是_【答案】【關鍵點撥】考查了矩形的性質，七巧板，關鍵是熟悉七巧板的特征，表示出AB，BC的長20如圖，ABCD中，AB=7，BC=3，連接AC，分別以點A和點C

19、為圓心，大于AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN，交CD于點E，連接AE，則AED的周長是_【答案】10【關鍵點撥】本題考查了作圖基本作圖，平行四邊形的性質等，熟知線段垂直平分線的作法是解答此題的關鍵21如圖，ABCD的對角線相交于點O，且ADCD，過點O作OMAC，交AD于點M如果CDM的周長為8，那么ABCD的周長是_【答案】16【解析】四邊形ABCD是平行四邊形，OA=OC，學科*網OMAC，AM=CM，CDM的周長為8，CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=8，平行四邊形ABCD的周長是：28=16.故答案為:16.【關鍵點撥】本題考查了平行四邊形的性質與線段垂

20、直平分線的性質，解題的關鍵是熟練的掌握平行四邊形與線段垂直平分線的性質.22如圖，點E、F、G分別在菱形ABCD的邊AB，BC，AD上，AE=AB，CF=CB，AG=AD已知EFG的面積等于6，則菱形ABCD的面積等于_【答案】27【解析】如圖，在CD上截取一點H，使得CH=CD，連接AC交BD于O，BD交EF于Q，EG交AC于P，【關鍵點撥】本題考查了菱形的性質、矩形的判定與性質、平行線分線段成比例定理等，綜合性較強，有一定的難度，正確添加輔助線、熟練掌握和應用相關的性質與定理是解題的關鍵.23如圖，M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個動點，滿足，連接AC交BN于點E，連接DE交AM于點F

21、，連接CF，若正方形的邊長為6，則線段CF的最小值是_【答案】【解析】如圖，在正方形ABCD中，在和中，在和中，【關鍵點撥】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，三角形的三邊關系等，綜合性較強，有一定的難度，確定出CF最小時點F的位置是解題關鍵24如圖，在正方形ABCD中，BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點H給出下列結論：ABEDCF；DP2=PHPB；其中正確的是_（寫出所有正確結論的序號）【答案】PDH=PCD=30，DPH=DPC，DPHCPD，PB=CD，故正確；學科*網如

22、圖，過P作PMCD，PNBC，設正方形ABCD的邊長是4，BPC為正三角形，PBC=PCB=60，PB=PC=BC=CD=4，PCD=30PN=PBsin60=4=，PM=PCsin30=2，SBPD=S四邊形PBCDSBCD=SPBC+SPDCSBCD=，故答案為：25如圖，正方形ABCD的邊長為12，點E在邊AB上，BE=8，過點E作EFBC，分別交BD、CD于G、F兩點若點P、Q分別為DG、CE的中點，則PQ的長為_【答案】2 ，即，解得，FG=4，FN=2，MN=62=4，QH=4，PH=PN+QM，PH=6，學科*網PQ=2，故答案為：2【關鍵點撥】本題考查了三角形中位線定理、正方形

23、的性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質，正確添加輔助線、結合圖形熟練應用相關性質和定理進行解題是關鍵.26如圖，已知正方形ABCD，點M是邊BA延長線上的動點（不與點A重合），且AMAB，CBE由DAM平移得到若過點E作EHAC，H為垂足，則有以下結論：點M位置變化，使得DHC=60時，2BE=DM；無論點M運動到何處，都有DM=HM；無論點M運動到何處，CHM一定大于135其中正確結論的序號為_【答案】MHD=AHE=90，DHM是等腰直角三角形，DM=HM，故正確；當DHC=60時，ADH=6045=15，ADM=4515=30，RtADM中，DM=2AM，即DM=2BE，故正確；點M是

24、邊BA延長線上的動點（不與點A重合），且AMAB，AHMBAC=45，CHM135，故正確，故答案為：【關鍵點撥】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定與性質的綜合運用，掌握正方形的性質、全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵27如圖，在矩形ABCD中，點E是CD的中點，將BCE沿BE折疊后得到BEF、且點F在矩形ABCD的內部，將BF延長交AD于點G若，則=_【答案】【關鍵點撥】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，以及翻折變換的性質，熟記性質并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵學&科網28如圖，已知MON=120，點A，B分別在O

25、M，ON上，且OA=OB=a，將射線OM繞點O逆時針旋轉得到OM，旋轉角為（0120且60），作點A關于直線OM的對稱點C，畫直線BC交OM于點D，連接AC，AD，有下列結論：AD=CD；ACD的大小隨著的變化而變化；當=30時，四邊形OADC為菱形；ACD面積的最大值為a2；其中正確的是_（把你認為正確結論的序號都填上）【答案】MON=120，BOE=60，OB=OE，OBE是等邊三角形，E=60，A、C、B、E四點共圓，ACD=E=60，故不正確；當=30時，即AOD=COD=30，AOC=60，AOC是等邊三角形，OAC=60，OC=OA=AC，由得：CD=AD，CAD=ACD=CDA=

26、60，ACD是等邊三角形，AC=AD=CD，OC=OA=AD=CD，四邊形OADC為菱形，故正確；【關鍵點撥】本題考查了軸對稱的性質、圓內接四邊形的性質、等邊三角形的判定與性質、菱形的判定等，綜合性較強，有一定的難度，正確添加輔助線構建圖形并能靈活應用相關知識是解題的關鍵.29如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AB=OB，點E、點F分別是OA、OD的中點，連接EF，CEF=45，EMBC于點M，EM交BD于點N，FN=，則線段BC的長為_【答案】 連接BE，【關鍵點撥】本題考查了平行四邊形的性質、等腰直角三角形的判定和性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理；解決問題的關

27、鍵是設未知數，利用方程思想解決問題30如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD且BCAB，BD=8給出以下判斷：AC垂直平分BD；四邊形ABCD的面積S=ACBD；順次連接四邊形ABCD的四邊中點得到的四邊形可能是正方形；當A，B，C，D四點在同一個圓上時，該圓的半徑為；將ABD沿直線BD對折，點A落在點E處，連接BE并延長交CD于點F，當BFCD時，點F到直線AB的距離為其中正確的是_（寫出所有正確判斷的序號）【答案】將ABD沿直線BD對折，點A落在點E處，連接BE并延長交CD于點F，如圖所示，連接AF，設點F到直線AB的距離為h，由折疊可得，四邊形ABED是菱形，AB=BE=5

28、=AD=GD，BO=DO=4，AO=EO=3，SBDE=BDOE=BEDF，DF=，學&科網BFCD，BFAD，ADCD，GF=，SABF=S梯形ABFDSADF，5h=（5+5+）5，解得h=，故錯誤，故答案為：【關鍵點撥】本題主要考查了菱形的判定與性質，線段垂直平分線的性質以及勾股定理的綜合運用，解決問題的關鍵是利用圖形面積的和差關系進行計算三、解答題31如圖，在矩形ABCD中，AB=2cm，ADB=30P，Q兩點分別從A，B同時出發(fā)，點P沿折線ABBC運動，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2cm/s；點Q在BD上以2cm/s的速度向終點D運動，過點P作PNAD，垂足為點N連接

29、PQ，以PQ，PN為鄰邊作PQMN設運動的時間為x（s），PQMN與矩形ABCD重疊部分的圖形面積為y（cm2）（1）當PQAB時，x等于多少；（2）求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍；（3）直線AM將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分時，直接寫出x的值【答案】（1）s；（2）y=；（3）當x=s或時，直線AM將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分 (2)如圖1中，當0 x時，重疊部分是四邊形PQMNy=2xx=2x2如圖中，當x1時，重疊部分是四邊形PQENy=(2x+2x)x=x2+x.如圖3中，當1x2時，重疊部分是四邊形PNEQy=(2x+2)x2(x1)=x23x+4；綜上所述

30、，y=（3）如圖4中，當直線AM經過BC中點E時，滿足條件則有：tanEAB=tanQPB，=，解得x=如圖5中，當直線AM經過CD的中點E時，滿足條件此時tanDEA=tanQPB，=，解得x=，綜上所述，當x=或時，直線AM將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分故答案為：(1)s；(2)y=；(3)x=或【關鍵點撥】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質平行四邊形的性質、銳角三角函數、解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會用方程的思想解決問題，屬于中考壓軸題學科&網32如圖1在ABC中，矩形EFGH的一邊EF在AB上，頂點G、H分別在BC、AC上，CD是邊AB上的高，C

31、D交GH于點I若CI4，HI3，AD矩形DFGI恰好為正方形（1）求正方形DFGI的邊長；（2）如圖2，延長AB至P使得ACCP，將矩形EFGH沿BP的方向向右平移，當點G剛好落在CP上時，試判斷移動后的矩形與CBP重疊部分的形狀是三角形還是四邊形，為什么？（3）如圖3，連接DG，將正方形DFGI繞點D順時針旋轉一定的角度得到正方形DFGI，正方形DFGI分別與線段DG、DB相交于點M、N，求MNG的周長【答案】（1）2；（2）三角形；（3）4MDNNDF+MDINDF+DFRNDR45，DNDN，DMDR，NDMNDR，學科&網MNNRNF+RFNF+MI，MNG的周長MN+MG+NGMG+

32、MI+NG+FR2IG4【關鍵點撥】本題考查的是四邊形綜合題，涉及了矩形的性質、正方形的性質、平行線等分線段定理、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用旋轉法添加輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題33如圖1，矩形ABCD中，E是AD的中點，以點E直角頂點的直角三角形EFG的兩邊EF，EG分別過點B，C，F30.（1）求證：BECE（2）將EFG繞點E按順時針方向旋轉，當旋轉到EF與AD重合時停止轉動.若EF，EG分別與AB，BC相交于點M，N.（如圖2）求證：BEMCEN；若AB2，求BMN面積的最大值；當旋轉停止時，點B恰好在FG上（如圖3）

33、，求sinEBG的值.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；2；.【解析】（1）如圖1中，四邊形ABCD是矩形，AB=DC，A=D=90，E是AD中點，AE=DE，BAECDE，BE=CE（2）解：如圖2中，BEMCEN，BM=CN，設BM=CN=x，則BN=4-x，SBMN=x（4-x）=-（x-2）2+2，-0，x=2時，BMN的面積最大，最大值為2解：如圖3中，作EHBG于H設NG=m，則BG=2m，BN=EN=m，EB=m【關鍵點撥】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質、等腰直角三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、旋轉變換、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是準確尋找全等三角形解決問

34、題，學會添加常用輔助線，學會利用參數解決問題.34（1）如圖1，將矩形ABCD折疊，使BC落在對角線BD上，折痕為BE，點C落在點C處，若ADB=46，則DBE的度數為 （2）小明手中有一張矩形紙片ABCD，AB=4，AD=9（畫一畫）如圖2，點E在這張矩形紙片的邊AD上，將紙片折疊，使AB落在CE所在直線上，折痕設為MN（點M，N分別在邊AD，BC上），利用直尺和圓規(guī)畫出折痕MN（不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線段描清楚）；（算一算）如圖3，點F在這張矩形紙片的邊BC上，將紙片折疊，使FB落在射線FD上，折痕為GF，點A，B分別落在點A，B處，若AG=，求BD的長；（驗一驗）如圖4，

35、點K在這張矩形紙片的邊AD上，DK=3，將紙片折疊，使AB落在CK所在直線上，折痕為HI，點A，B分別落在點A，B處，小明認為BI所在直線恰好經過點D，他的判斷是否正確，請說明理由【答案】（1）23；（2）【畫一畫】畫圖見解析；【算一算】DB =3；【驗一驗】小明的判斷不正確，理由見解析.【解析】（1）如圖1中，（2）畫一畫：如圖2中，算一算：如圖3中，理由：連接ID，在RtCDK中，DK=3，CD=4，CK=5，ADBC，學科*網DKC=ICK，由折疊可知，ABI=B=90，IBC=90=D，CDKIBC，即，【關鍵點撥】本題考查了矩形的性質、折疊的性質、角平分線的作法、相似三角形的判定與性

36、質、解直角三角形的應用等，綜合性較強，有一定的難度，熟練掌握相關性質與定理、運用數形結合思想進行解題是關鍵.35已知：如圖，在四邊形ABCD中，ADBC點E為CD邊上一點，AE與BE分別為DAB和CBA的平分線（1）請你添加一個適當的條件 ，使得四邊形ABCD是平行四邊形，并證明你的結論；（2）作線段AB的垂直平分線交AB于點O，并以AB為直徑作O（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（3）在（2）的條件下，O交邊AD于點F，連接BF，交AE于點G，若AE=4，sinAGF=，求O的半徑【答案】（1）當AD=BC時，四邊形ABCD是平行四邊形，理由見解析；（2）作出相應的圖形見解析；（3

37、）圓O的半徑為2.5（2）作出相應的圖形，如圖所示；（3）ADBC，DAB+CBA=180，AE與BE分別為DAB與CBA的平分線，EAB+EBA=90，AEB=90，【關鍵點撥】此題屬于圓綜合題，涉及的知識有：圓周角定理，平行四邊形的判定與性質，角平分線性質，以及銳角三角函數定義，熟練掌握各自的性質及定理是解本題的關鍵36綜合與實踐折紙是一項有趣的活動，同學們小時候都玩過折紙，可能折過小動物、小花、飛機、小船等，折紙活動也伴隨著我們初中數學的學習在折紙過程中，我們可以通過研究圖形的性質和運動、確定圖形位置等，進一步發(fā)展空間觀念，在經歷借助圖形思考問題的過程中，我們會初步建立幾何直觀，折紙往往

38、從矩形紙片開始，今天，就讓我們帶著數學的眼光來玩一玩折紙，看看折疊矩形的對角線之后能得到哪些數學結論實踐操作如圖1，將矩形紙片ABCD沿對角線AC翻折，使點B落在矩形ABCD所在平面內，BC和AD相交于點E，連接BD解決問題(1)在圖1中，BD和AC的位置關系為；將AEC剪下后展開，得到的圖形是；(2)若圖1中的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅螘r(ABBC)，如圖2所示，結論和結論是否成立，若成立，請?zhí)暨x其中的一個結論加以證明，若不成立，請說明理由；(3)小紅沿對角線折疊一張矩形紙片，發(fā)現所得圖形是軸對稱圖形，沿對稱軸再次折疊后，得到的仍是軸對稱圖形，則小紅折疊的矩形紙片的長寬之比為；拓展應用(4)在圖2中

39、，若B=30，AB=4，當ABD恰好為直角三角形時，BC的長度為【答案】(1)BD/AC，菱形；(2)見解析；(3)1：1或：1；(4)4或6或8或12.將剪下后展開，得到的圖形四邊相等，將剪下后展開，得到的圖形四邊是菱形選擇證明如下，四邊形是平行四邊形，學科*網將沿翻折至，設，解得，當，時，如圖4，當時，如圖6，【關鍵點撥】本題考查折疊圖形的性質與運用，解題的關鍵時能夠知道在折疊過程中的變量與形成的新的關系.37如圖（1），已知點G在正方形ABCD的對角線AC上，GEBC，垂足為點E，GFCD，垂足為點F（1）證明與推斷：求證：四邊形CEGF是正方形；推斷：的值為 ：（2）探究與證明：將正方

40、形CEGF繞點C順時針方向旋轉角（045），如圖（2）所示，試探究線段AG與BE之間的數量關系，并說明理由：（3）拓展與運用：正方形CEGF在旋轉過程中，當B，E，F三點在一條直線上時，如圖（3）所示，延長CG交AD于點H若AG=6，GH=2，則BC= 【答案】（1）四邊形CEGF是正方形；（2）線段AG與BE之間的數量關系為AG=BE；（3）3，GEAB，故答案為：；（2）連接CG，（3）CEF=45，點B、E、F三點共線，BEC=135，ACGBCE，AGC=BEC=135，AGH=CAH=45，CHA=AHG，AHGCHA，學科*網設BC=CD=AD=a，則AC=a，則由得，AH=a，則

41、DH=ADAH=a，CH=a，由得，解得：a=3，即BC=3，故答案為：3學科*網【關鍵點撥】本題考查了正方形的性質與判定，相似三角形的判定與性質等，綜合性較強，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練掌握正方形的判定與性質、相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.38在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點，把PBC沿直線PC折疊，頂點B的對應點是點G，過點B作BECG，垂足為E且在AD上，BE交PC于點F（1）如圖1，若點E是AD的中點，求證：AEBDEC；（2）如圖2，求證：BP=BF；當AD=25，且AEDE時，求cosPCB的值；當BP=9時，求BEEF的值【答案】（1）證明見解析；（2

42、）證明見解析；108. 在ABE和DCE中，ABEDCE（SAS）；當AD=25時，BEC=90，AEB+CED=90，AEB+ABE=90，CED=ABE，A=D=90，ABEDEC，設AE=x，DE=25x，x=9或x=16，AEDE，AE=9，DE=16，CE=20，BE=15，由折疊得，BP=PG，BP=BF=PG，BEPG，ECFGCP，設BP=BF=PG=y，y=，BP=，在RtPBC中，PC=，cosPCB=；如圖，連接FG，【關鍵點撥】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，折疊的性質，利用方程的思想解決問題是解本題的關鍵39對

43、給定的一張矩形紙片ABCD進行如下操作：先沿CE折疊，使點B落在CD邊上（如圖），再沿CH折疊，這時發(fā)現點E恰好與點D重合（如圖）（1）根據以上操作和發(fā)現，求的值；（2）將該矩形紙片展開如圖，折疊該矩形紙片，使點C與點H重合，折痕與AB相交于點P，再將該矩形紙片展開求證：HPC=90；不借助工具，利用圖探索一種新的折疊方法，找出與圖中位置相同的P點，要求只有一條折痕，且點P在折痕上，請簡要說明折疊方法（不需說明理由）【答案】（1）；（2）證明見解析；見解析.（2）設AD=BC=a，則AB=CD=a，BE=a，AE=（1）a，如圖，連接EH，則CEH=CDH=90，BEC=45，A=90，AEH

44、=45=AHE，AH=AE=（1）a，設AP=x，則BP=ax，由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，AH2+AP2=BP2+BC2，即（1）a2+x2=（ax）2+a2，解得x=a，即AP=BC，又PH=CP，A=B=90，RtAPHRtBCP（HL），APH=BCP，又RtBCP中，BCP+BPC=90，APH+BPC=90，CPH=90；折法：如圖，由AP=BC=AD，可得ADP是等腰直角三角形，PD平分ADC，故沿著過D的直線翻折，使點A落在CD邊上，此時折痕與AB的交點即為P；【關鍵點撥】本題屬于折疊問題，主要考查了等腰直角三角形的性質，矩形的性質，全等三角形的判定與性質的綜合運

45、用，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，對應邊和對應角相等解題時常常設要求的線段長為x，然后根據折疊和軸對稱的性質用含x的代數式表示其他線段的長度，選擇適當的直角三角形，運用勾股定理列出方程求出答案學科&網40如圖1，在ABCD中，DHAB于點H，CD的垂直平分線交CD于點E，交AB于點F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5（1）如圖2，作FGAD于點G，交DH于點M，將DGM沿DC方向平移，得到CGM，連接MB求四邊形BHMM的面積；直線EF上有一動點N，求DNM周長的最小值（2）如圖3，延長CB交EF于點Q，過點Q作QKAB，過CD邊上的動點P作PKEF，并

46、與QK交于點K，將PKQ沿直線PQ翻折，使點K的對應點K恰好落在直線AB上，求線段CP的長【答案】（1）四邊形BHMM的面積為7.5；DNM周長的最小值為9；（2）CP的長為或連接CM交直線EF于點N，連接DN，如圖2，（2）BFCE，QF=2，PK=PK=6，學科&網過點K作EFEF，分別交CD于點E，交QK于點F，如圖3，綜上所述，CP的長為或【關鍵點撥】本題考查四邊形的綜合題，關鍵是根據相似三角形的性質和平移的性質解答，注意（2）分兩種情況分析41在平面直角坐標系中，四邊形是矩形，點，點，點.以點為中心，順時針旋轉矩形，得到矩形，點，的對應點分別為，.（）如圖，當點落在邊上時，求點的坐標

47、；（）如圖，當點落在線段上時，與交于點.求證；求點的坐標.（）記為矩形對角線的交點，為的面積，求的取值范圍（直接寫出結果即可）.【答案】（）點的坐標為.（）證明見解析；點的坐標為.（）.（）由四邊形是矩形，得.又點在線段上，得.學科*網由（）知，又，.由，得.（）.【關鍵點撥】本大題主要考查了等腰三角形的判定和性質，勾股定理以及旋轉變換的性質等知識，靈活運用勾股定理求解是解決本題的關鍵.42在菱形中，,點是射線上一動點，以為邊向右側作等邊，點的位置隨點的位置變化而變化.（1）如圖1，當點在菱形內部或邊上時，連接，與的數量關系是 ，與的位置關系是 ；（2）當點在菱形外部時，(1)中的結論是否還成

48、立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由(選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說理). (3) 如圖4，當點在線段的延長線上時，連接，若 , ,求四邊形的面積. 【答案】（1）BP=CE； CEAD；（2）成立，理由見解析；（3） . CEAD ，菱形對角線平分對角，ABPACE，學*科網， ，CFAD ，即CEAD；（2）(1)中的結論：BP=CE，CEAD 仍然成立，理由如下： 四邊形ABCD是菱形， ACBD，BD平分ABC ，【關鍵點撥】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形判定與性質等，熟練掌握相關知識，正確添加輔助線是解題的關鍵.43問題提出（1）如圖，已知ABC，請畫出ABC關于直線AC對稱的三角形問題探究（2）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在邊BC、CD上分別存在點G、H，使得四邊形EFGH的周長最??？若存在