大學(xué)物理角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

1、第五章剛體(gngt)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(Rotation of Rigid Bodies Around A Fixed Axis)1共七十一頁基本(jbn)要求理解角動(dòng)量概念，掌握角動(dòng)量定理、角動(dòng)量守恒及其應(yīng)用；理解描寫剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量，并掌握角量與線量的關(guān)系；理解力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念，計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，掌握剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律；理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能概念，能在有剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的問題(wnt)中正確地應(yīng)用機(jī)械能守恒定律。能運(yùn)用以上規(guī)律分析和解決包括質(zhì)點(diǎn)和剛體的簡單系統(tǒng)的力學(xué)問題。2共七十一頁剛體（rigid body） ：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體。（或：任意(rny)兩質(zhì)點(diǎn)間

2、距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)系）。剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)(pngdng)(translation)、轉(zhuǎn)動(dòng)(rotation)。 剛體平動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)平動(dòng)：剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間連線的空間方向總保持不變特點(diǎn)：各點(diǎn)位移、速度、加速度均相同。3共七十一頁轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體(gngt)中所有點(diǎn)同時(shí)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)或繞瞬心轉(zhuǎn)動(dòng)）。剛體(gngt)的平面運(yùn)動(dòng)： 4共七十一頁 A點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，B點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，因此，AB 桿的運(yùn)動(dòng)既不是(b shi)平動(dòng)也不是(b shi)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，而是平面運(yùn)動(dòng)。例：曲柄(qbng)連桿機(jī)構(gòu)中連桿AB的運(yùn)動(dòng)。5共七十一頁剛體的一般運(yùn)動(dòng)：質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心

3、的轉(zhuǎn)動(dòng)+質(zhì)心 ：剛體的質(zhì)量分布(fnb)的中心6共七十一頁角動(dòng)量概念(ginin)的建立，和轉(zhuǎn)動(dòng)有密切的關(guān)系。 在自然界中經(jīng)常會(huì)遇到質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系圍繞著某一個(gè)確定點(diǎn)或軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況。例如，行星繞太陽的公轉(zhuǎn)，人造衛(wèi)星(rnzowixng)繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)，電子繞原子核轉(zhuǎn)動(dòng)以及剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)等等。 在這些問題中，動(dòng)量及機(jī)械能的有關(guān)規(guī)律并不能直接用，這時(shí)若采用角動(dòng)量概念討論問題就很方便。轉(zhuǎn)動(dòng)問題與平動(dòng)問題的描述有許多相似之處，如：力的時(shí)間累積效應(yīng)沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理。力矩的時(shí)間累積效應(yīng)沖量矩、動(dòng)量矩(角動(dòng)量)、角動(dòng)量定理。角動(dòng)量 角動(dòng)量定理 (5.1,5.2)7共七十一頁預(yù)備知識(shí)(zh shi)：二矢量的矢積（叉

4、乘）大小(dxio)：方向：與 和 都垂直，且成由 轉(zhuǎn)到 的右手螺旋關(guān)系性質(zhì)：(以 和 為邊的平行四邊形面積)8共七十一頁大小(dxio)：方向：右手(yushu)螺旋定則判定力臂:(力與力臂的乘積)定義： 為作用在質(zhì)點(diǎn)上的力 對參考點(diǎn)O的力矩。 是作用點(diǎn)P相對于固定點(diǎn)O的位矢。單位：Nm （注意：不能寫作功的單位J ） 一、力矩 1、對參考點(diǎn)的力矩9共七十一頁在直角坐標(biāo)系中，力矩(l j)可表示為：注意：同一個(gè)力對于不同的參考點(diǎn)(轉(zhuǎn)軸)的力矩(l j)不同，因此說“力矩”時(shí)必須指明是相對于哪一點(diǎn)（或哪一個(gè)轉(zhuǎn)軸) 而言的。其中：10共七十一頁質(zhì)點(diǎn)系所受的總力矩(l j)（對同一參考點(diǎn)）：特別，

5、對剛體例：如圖，長為L 的細(xì)棒的質(zhì)量密度分布為 ,其中l(wèi) 為距左端的長度，求其所受重力對O點(diǎn)的力矩。解：大小(dxio)：方向：垂直紙面向里11共七十一頁P(yáng)*O : 力臂 剛體繞 O z 軸旋轉(zhuǎn)，力 作用在剛體上點(diǎn) P (P點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)), 為力的作用點(diǎn) P 到轉(zhuǎn)軸的徑矢。 對轉(zhuǎn)軸 Z 的力矩 2、對轉(zhuǎn)軸(zhunzhu)的力矩12共七十一頁O 1）若力 不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量： 2）合力矩等于(dngy)各分力矩的矢量和。 其中 對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故 對轉(zhuǎn)軸的力矩：討論(toln)：注意：合力矩與合力的矩是不同的概念，不要混淆。13共七十一頁3） 剛體內(nèi)部

6、，作用力和反作用力對同一點(diǎn)（或轉(zhuǎn)軸(zhunzhu)）的力矩互相抵消。O計(jì)算對定軸的力矩(l j)時(shí)，可用正負(fù)號(hào)來反映力矩(l j)方向。力矩的計(jì)算：計(jì)算變力對某一轉(zhuǎn)軸的力矩則應(yīng)當(dāng)采取分小段的辦法，將每一小段的力視為恒力，再按照恒力矩的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算，最后求和。14共七十一頁例：一勻質(zhì)細(xì)桿，長為 l 質(zhì)量為 m ，在摩擦系數(shù)為 的水平桌面上轉(zhuǎn)動(dòng)(zhun dng)，求：摩擦力的力矩 M阻。解：桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用，但各質(zhì)元受的摩擦阻力矩不同，靠近軸的質(zhì)元受阻(shu z)力矩小，遠(yuǎn)離軸的質(zhì)元受阻(shu z)力矩大，細(xì)桿的質(zhì)量密度：質(zhì)元質(zhì)量：質(zhì)元受阻力矩：細(xì)桿受的阻力矩：15共七十一頁R

7、練習(xí)：如圖一圓盤面密度為，半徑為R，與桌面的摩擦系數(shù)為，求：圓盤繞過圓心且和盤面(pn min)垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，圓盤所受的摩擦力矩。O解：取一小(y xio)環(huán)為面元，rdrdf若圓盤以0 的初角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤轉(zhuǎn)多少圈靜止?問題：(解答需要轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的動(dòng)能定理)16共七十一頁1、質(zhì)點(diǎn)(zhdin)的角動(dòng)量舊稱動(dòng)量矩 (Angular Momentum) 質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)以速度 在空間運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻相對原點(diǎn) O 的位矢為 ，質(zhì)點(diǎn)相對于原點(diǎn)的角動(dòng)量定義為大?。?方向(fngxing)：服從右手螺旋定則。Om單位： kg m2/s 二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理17共七十一頁2）角動(dòng)量與位矢有關(guān)，說到角動(dòng)量時(shí)必須

8、(bx)指明是對哪一參照點(diǎn)而言；例 作圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)(zhdin)的角動(dòng)量。1）角動(dòng)量是描述轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的物理量；說明： 質(zhì)點(diǎn)以角速度 作半徑為 的圓周運(yùn)動(dòng)，相對圓心的角動(dòng)量大小為：質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，角動(dòng)量是恒量。18共七十一頁3) 在直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)系中，角動(dòng)量的表達(dá)式為：例 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)(zhdin)在 xoy 面內(nèi)作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，角動(dòng)量為：19共七十一頁例如，電子(dinz)繞核運(yùn)動(dòng)，具有軌道角動(dòng)量，電子(dinz)還有內(nèi)稟的自旋運(yùn)動(dòng)，因而具有自旋角動(dòng)量，等等。4) 角動(dòng)量的概念，不但能描述(mio sh)經(jīng)典力學(xué)中的宏觀運(yùn)動(dòng)，在近代物理理論中仍然是表征微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的重要

9、物理量。角動(dòng)量是原子、分子和原子核系統(tǒng)的基本性質(zhì)之一，并且只能取特定的不連續(xù)的量值，此稱為角動(dòng)量的量子化。在這些微觀系統(tǒng)的性質(zhì)的描述中，角動(dòng)量起著非常重要的作用。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)某參考點(diǎn)O 的角動(dòng)量（動(dòng)量矩），也可稱為質(zhì)點(diǎn)對過 O 點(diǎn)垂直于運(yùn)動(dòng)平面的軸的角動(dòng)量（動(dòng)量矩）。20共七十一頁md1d2 d3ABC解：例1: 一質(zhì)點(diǎn)m，速度為，如圖所示，A、B、C 分別為三個(gè)參考點(diǎn)，此時(shí)m 相對三個(gè)點(diǎn)的距離分別為d1 、d2 、 d3 ，試分別求此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)對三個(gè)參考點(diǎn)的角動(dòng)量。大小(dxio)：方向(fngxing)：都垂直紙面向里21共七十一頁例2：有一個(gè)質(zhì)量為 m = 1 kg

10、 的物體, 在力 的作用下運(yùn)動(dòng)(yndng)。 當(dāng) t = 0 時(shí)， 求: t = 1s時(shí)對原點(diǎn) 此1s內(nèi)，力所做的功？對物體沖量？22共七十一頁質(zhì)點(diǎn)對參考點(diǎn)O 的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率，等于作用(zuyng)于質(zhì)點(diǎn)的合力對該點(diǎn) O 的力矩 。2、質(zhì)點(diǎn)(zhdin)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理的微分形式：23共七十一頁沖量矩質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：對同一(tngy)參考點(diǎn) O ，質(zhì)點(diǎn)所受到的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量。注意(zh y)：定理中的力矩和角動(dòng)量都必須是相對于同一參考點(diǎn)而言的。說明:(1) 沖量矩是質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量變化的原因。(2) 質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的變化是力矩對時(shí)間的積累的結(jié)果。24共七十一頁質(zhì)點(diǎn)所受對

11、參考點(diǎn) O 的合力矩總為零時(shí)(ln sh)，質(zhì)點(diǎn)對該參考點(diǎn) O 的角動(dòng)量為一恒矢量。 3、質(zhì)點(diǎn)(zhdin)的角動(dòng)量守恒定律：說明：1）質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒的條件是力矩總和為零。思考：質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速率圓周運(yùn)動(dòng)注意：合力為零，合力矩未必為零！合力不為零時(shí)，合力矩可能為零，有兩種情況：一、力的作用點(diǎn)就在參考點(diǎn)，此時(shí)位置矢量 = 0；二、沿力的方向的延長線通過參考點(diǎn)，此時(shí)：例：勻速率圓周運(yùn)動(dòng)；地球繞日轉(zhuǎn)動(dòng)25共七十一頁例如(lr)，行星在繞太陽的運(yùn)動(dòng)中，對太陽的角動(dòng)量守恒；人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行時(shí)，它對地心的角動(dòng)量守恒；電子繞原子核運(yùn)動(dòng)時(shí)，電子對原子核的角動(dòng)量守恒。 如果質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中受到的力始

12、終指向某個(gè)固定的中心，這種力叫做有心力，該固定中心稱為力心。有心力相對于力心的力矩恒為零。所以，在有心力作用(zuyng)下質(zhì)點(diǎn)對力心的角動(dòng)量都是守恒的。2）有心力問題26共七十一頁擺球受力如圖。逆時(shí)針順時(shí)針重力矩(l j)張力矩(l j)例：質(zhì)量為的圓錐擺擺球，以速率 v 運(yùn)動(dòng)時(shí)，對參考點(diǎn)的角動(dòng)量是否守恒？對參考點(diǎn)的角動(dòng)量是否守恒？27共七十一頁28共七十一頁例5 一半徑為 R 的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi)。一質(zhì)量為 m 的小球穿在圓環(huán)上，并可在圓環(huán)上滑動(dòng)。小球開始時(shí)靜止于圓環(huán)上的點(diǎn) A (該點(diǎn)在通過環(huán)心 O 的水平面上(min shn)，然后從 A 點(diǎn)開始下滑。設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計(jì)。求

13、：小球滑到任意點(diǎn) B 時(shí)對環(huán)心 O 的角動(dòng)量和角速度。解：小球受重力和支持力作用. 對O點(diǎn), 支持力的力矩(l j)為零，重力矩(l j)垂直紙面向里。由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：29共七十一頁考慮到有由題設(shè)條件(tiojin), 對上式積分, 有30共七十一頁例6 ：用繩系一小球使它在光滑的水平面上做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，其半徑為 r0 ，角速度為0 ?，F(xiàn)通過圓心處的小孔緩慢(hunmn)地往下拉繩使半徑逐漸減小。求：當(dāng)半徑縮為 r 時(shí)的角速度。解：mr0ro以小孔 O 為原點(diǎn)，繩對小球(xio qi)的拉力為有心力，對O 點(diǎn)其力矩為零，則小球?qū) 點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。初態(tài)： 末態(tài)： 角動(dòng)量守恒： 所以： 或

14、： 31共七十一頁應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律可以證明開普勒第二(d r)定律:16世紀(jì)末至17世紀(jì)初，開普勒仔細(xì)地分析整理了前人記錄下的大量精確的有關(guān)(yugun)行星運(yùn)動(dòng)的資料，總結(jié)出行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律、即開普勒三定律。只是開普勒尚不理解，他所發(fā)現(xiàn)的三大定律已傳達(dá)了重大的“天機(jī)”。由于角動(dòng)量正比于位矢的掠面速度，因此開普勒第二定律意味著角動(dòng)量守恒。事實(shí)上，牛頓定律及萬有引力定律提出時(shí)都以開普勒定律為驗(yàn)證實(shí)例 行星與太陽的連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積.32共七十一頁 行星在太陽的引力作用下沿橢圓(tuyun)軌道運(yùn)動(dòng)，由于引力的方向在任何時(shí)刻總與行星對于太陽的位矢反平行，因此行星受到的引力對太陽的力矩為

15、零。 角動(dòng)量的方向不變，表明(biomng)位矢和速度所決定的平面的方位不變，行星就在這個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，它的軌道是二維的。 所以，行星在運(yùn)行過程中，它對太陽的角動(dòng)量保持不變。33共七十一頁在dt時(shí)間(shjin)間隔內(nèi)，掃過的面積(min j)為而行星對太陽的角動(dòng)量的大小有心力作用，角動(dòng)量 L 守恒，故面積變化率恒定。Kepler第二定律的證明：34共七十一頁 在低軌道上運(yùn)行的地球衛(wèi)星，由于大氣摩擦阻力對地心的矩不為零，其對地心的角動(dòng)量不守恒。在此力矩(l j)的作用下，衛(wèi)星的角動(dòng)量值不斷減小，最后隕落地面。角動(dòng)量守恒(shu hn)是自然界的普遍規(guī)律。角動(dòng)量守恒、動(dòng)量守恒、能量守恒定律并稱為三

16、大守恒定律，這三大守恒定律的成立有著深刻的內(nèi)在原因?，F(xiàn)代物理學(xué)已確認(rèn)，這些守恒定律是和自然界的更為普遍的屬性時(shí)空對稱性相聯(lián)系的。 能量守恒和動(dòng)量守恒分別是時(shí)間平移對稱性和空間平移對稱性的結(jié)果，而角動(dòng)量守恒是空間旋轉(zhuǎn)對稱性的結(jié)果。(參6.4, 自學(xué))35共七十一頁例7: 一顆地球(dqi)衛(wèi)星，近地點(diǎn)181km，速率8.0km/s，遠(yuǎn)地點(diǎn)327km，求：在遠(yuǎn)地點(diǎn)處的衛(wèi)星速率。解：衛(wèi)星對地球(dqi)的角動(dòng)量守恒近地點(diǎn)遠(yuǎn)地點(diǎn)則且思考：行星對橢圓軌道的另一焦點(diǎn)角動(dòng)量是否守恒？36共七十一頁質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理(dngl)質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量各質(zhì)點(diǎn)對給定參考點(diǎn)的角動(dòng)量的矢量和慣性系中某給定參考點(diǎn)

17、37共七十一頁質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理推導(dǎo) 內(nèi)內(nèi)外外某給定參考點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)系:38共七十一頁角動(dòng)量定理(dngl)的微分形式角動(dòng)量定理(dngl)的積分形式質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理 作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對參考點(diǎn) O 的合力矩 ，等于質(zhì)點(diǎn)系對該點(diǎn)的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率. 對同一參考點(diǎn) O ，質(zhì)點(diǎn)系所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量的增量.39共七十一頁 若質(zhì)點(diǎn)系所受的外力對某固定參照點(diǎn)的力矩的矢量(shling)和為零，則質(zhì)點(diǎn)對該固定點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律由：40共七十一頁（1）（2）（3）（4）兩人同時(shí)(tngsh)到達(dá)；用力(yng l)上爬者先到；握繩不動(dòng)者先到；以上結(jié)果都不

18、對。兩人質(zhì)量相等一人握繩不動(dòng)一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略41共七十一頁同高從靜態(tài)開始往上爬忽略輪、繩質(zhì)量及軸摩擦質(zhì)點(diǎn)系若系統(tǒng)受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。系統(tǒng)的初態(tài)角動(dòng)量系統(tǒng)的末態(tài)角動(dòng)量得不論體力強(qiáng)弱, 兩人等速上升。若系統(tǒng)受合外力矩不為零，角動(dòng)量不守恒。可應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理進(jìn)行具體分析討論。42共七十一頁 例8 一質(zhì)量 的登月飛船, 在離月球表面高度 處繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)飛船采用如下登月方式：當(dāng)飛船位于點(diǎn) A 時(shí)，它向外側(cè)短時(shí)間噴氣，使飛船與月球相切地到達(dá)點(diǎn) B，且OA 與 OB 垂直。飛船所噴氣體相對飛船的速率為 。已知月球半徑 ; 在飛船

19、登月過程中，月球的重力加速度視為常量 。試求：登月飛船在登月過程中所需消耗燃料的質(zhì)量 是多少?BhORA43共七十一頁 解 設(shè)飛船在點(diǎn) A 的速度 , 月球質(zhì)量 mM ,由萬有引力和牛頓定律BhORA已知求 所需消耗燃料的質(zhì)量 .44共七十一頁得得 當(dāng)飛船在A點(diǎn)以相對速度 向外噴氣的短時(shí)間里，飛船的質(zhì)量減少了m而為 ，并獲得速度的增量 ，使飛船的速度變?yōu)?，其值為：質(zhì)量 在 A 點(diǎn)和 B 點(diǎn)只受有心力作用，角動(dòng)量守恒BhORA45共七十一頁飛船(fi chun)在 A點(diǎn)噴出氣體后, 在到達(dá)月球的過程中, 機(jī)械能守恒即于是而BhORA46共七十一頁定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理(dngl)和角動(dòng)量守恒定律

20、(5.3, 5.4)1、剛體(gngt)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量O(所有質(zhì)元的角動(dòng)量之和)對于剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，我們應(yīng)當(dāng)用角動(dòng)量來描述剛體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而不是用動(dòng)量。引入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(后詳述)有一般:47共七十一頁2、剛體(gngt)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理O質(zhì)點(diǎn)系：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：故對剛體:定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理：作用在剛體上的合外力矩的沖量矩等于(dngy)作用時(shí)間內(nèi)角動(dòng)量的增量。對非剛體：48共七十一頁 內(nèi)力矩(l j)不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量。 守恒條件：若 不變， 不變；若 變， 也變，但 不變。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理(dngl)，則若注 在沖擊等問題中， 當(dāng)剛體受到的合外力矩恒為0 時(shí)，其角動(dòng)量守恒。守恒有兩種情況：3

21、、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律49共七十一頁討論守恒(shu hn)條件：不僅要分析力（是外力還是(hi shi)內(nèi)力），而且重要的是要分析外力力矩的和。當(dāng)合外力不為0時(shí)，合外力矩可以為0 (看對何軸)當(dāng)合外力為0時(shí)，合外力矩不一定為0；50共七十一頁解：兩飛輪通過摩擦達(dá)到共同速度,合外力矩(l j)為0，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。共同(gngtng)角速度例9：兩個(gè)共軸飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1、J2，角速度分別為 1 、2，求：兩飛輪嚙合后共同的角速度 。51共七十一頁王注: 對點(diǎn)和對軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形都可用上式定義(dngy)，但其中的 r 含義不同(教材中只涉及對定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形)：對參考點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：r 為各質(zhì)點(diǎn)(

22、元) 到參考點(diǎn)的距離；對參考軸轉(zhuǎn)動(dòng)：r 為各質(zhì)點(diǎn)(元) 到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。物理意義：是剛體(gngt)轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性的量度。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大?。?）與剛體的總質(zhì)量、形狀、大小有關(guān)。2）與質(zhì)量對軸的分布有關(guān)。3）與軸的位置有關(guān)。(所以必須指明對何軸/點(diǎn)的J )對確定的剛體、給定的轉(zhuǎn)軸(或定點(diǎn))，J是一常數(shù)定義:轉(zhuǎn)動(dòng)慣量問題質(zhì)點(diǎn)系：52共七十一頁質(zhì)量離散分布質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：轉(zhuǎn)動(dòng)(zhun dng)慣性的計(jì)算: 質(zhì)量連續(xù)分布的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:：質(zhì)量元線分布體分布面分布53共七十一頁質(zhì)量線分布的剛體：質(zhì)量線密度質(zhì)量面分布的剛體：質(zhì)量面密度質(zhì)量體分布的剛體：質(zhì)量體密度只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻

23、分布的剛體(gngt)才能用積分直接計(jì)算出剛體(gngt)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對于形狀復(fù)雜的剛體(gngt)通常通過實(shí)驗(yàn)測得其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 質(zhì)量連續(xù)分布的剛體:：質(zhì)量元54共七十一頁轉(zhuǎn)軸 若連接兩小球（視為質(zhì)點(diǎn)）的輕細(xì)硬桿的質(zhì)量(zhling)可以忽略，則：可視為分立(fn l)質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的剛體:轉(zhuǎn)軸55共七十一頁例1：求半徑為 R 質(zhì)量為 M 的圓環(huán)繞(hunro)垂直于圓環(huán)平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。解：分割質(zhì)量(zhling)元 dm，各質(zhì)量元到軸的距離相等，繞圓環(huán)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:相當(dāng)于質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，與質(zhì)量在環(huán)上的分布無關(guān)。56共七十一頁 例 2： 一質(zhì)量為 、半徑為 的均勻圓

24、盤，求：通過盤中心 O 并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 解 設(shè)圓盤面密度為 ，在盤上取半徑為 ，寬為 的圓環(huán)。圓環(huán)質(zhì)量所以:圓環(huán)對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與盤上質(zhì)量對軸的分布(fnb)有關(guān)dm思考: 圓柱如何？解題(ji t)時(shí)常用到57共七十一頁OO 解 設(shè)棒的線密度為 ，取一距離轉(zhuǎn)軸 OO 為 處的質(zhì)量元 , 例 3 : 一質(zhì)量為 、長為 的均勻細(xì)長棒，求：通過棒中心（和端點(diǎn)）并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。OO如轉(zhuǎn)軸(zhunzhu)過端點(diǎn)垂直于棒轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與軸的位置(wi zhi)有關(guān)。58共七十一頁勻質(zhì)矩形(jxng)薄板轉(zhuǎn)軸(zhunzhu)通過中心垂直板面I = (a + b ) 22m12勻

25、質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過中心垂直環(huán)面I = m R 2勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸沿著環(huán)的直徑2I =2m R勻質(zhì)厚圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸I = (R1 - R2 ) 22m2勻質(zhì)圓柱體轉(zhuǎn)軸通過中心垂直于幾何軸mI = R + 22m124L勻質(zhì)薄球殼轉(zhuǎn)軸通過球心2I =2m R3R2=0時(shí), 即為圓柱59共七十一頁平行(pngxng)軸定理:P轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小(dxio)取決于剛體的質(zhì)量、形狀、大小、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的位置。 質(zhì)量為 的剛體，如果對過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ，則對任一與該軸平行，相距為 的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：CO注意例:圓盤對P 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:O(證明需用質(zhì)心性質(zhì)，此略)60共七十一頁例：如圖所示，求：剛體(gn

26、gt)對經(jīng)過棒端O且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？(棒長為L、圓盤半徑為R）例：以長為 l、質(zhì)量為 m 的勻質(zhì)細(xì)桿繞其一端(ydun)垂直于桿的軸轉(zhuǎn)動(dòng)為例，利用平行軸定理求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 。解：繞細(xì)桿質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：繞桿的一端轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為O記??！61共七十一頁轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算方法：）直接(zhji)由定義求：（注意 r 為到軸的垂直距離）復(fù)雜形狀的剛體，可以先求出簡單形體的，再相加。（注意(zh y)對同一軸）平行軸定理：62共七十一頁 例5 質(zhì)量很小長度為l 的均勻(jnyn)細(xì)桿，可繞過其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí)，有一只小蟲以速率 垂直落在距點(diǎn)O為 l/4 處，并背離點(diǎn)O 向細(xì)桿的端點(diǎn)A 爬行。設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為m。求：欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行? 解：小蟲與細(xì)桿的碰撞視為完全非彈性(tnxng)碰撞，碰撞前后系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。63共七十一頁由角動(dòng)量定理(dngl)即考慮到64共七十一頁例：質(zhì)量為m 半徑(bnjng)為R 的勻質(zhì)薄球殼，求：其繞過球心的軸（直徑）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：在球面(qimin)取一圓環(huán)帶，半徑65共七十一頁例：質(zhì)量為m 半徑(bnjng)為R 的勻質(zhì)球