高考數(shù)學(xué)之不等式放縮常用技巧(帶答案)

1、高考數(shù)學(xué)備考之放縮技巧證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類競(jìng)賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：奇巧積累:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)(12) (13) (14) (15) (16) (17) 一、裂項(xiàng)放縮 例1.(1)求的值; (2)求證:.解析:(1)因?yàn)?所以(2)因?yàn)?所以例2.(1)求證:(

2、2)求證: (3)求證:(4) 求證：解析:(1)因?yàn)?所以 (2) (3)先運(yùn)用分式放縮法證明出,再結(jié)合進(jìn)行裂項(xiàng),最后就可以得到答案 (4)首先,所以容易經(jīng)過裂項(xiàng)得到再證而由均值不等式知道這是顯然成立的，所以例3.求證:解析: 一方面: 因?yàn)?所以另一方面: 當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以綜上有例4、已知an=n ，求證： eq o(,sup5(n),sdo5(k=1) eq f( eq r(k) , eq ao(2,k) ) 3證明： eq o(,sup5(n),sdo5(k=1) = eq o(,sup5(n),sdo5(k=1) 1 eq o(,sup5(n),sdo5(k=2) eq f(1

3、, eq r(k1)k(k1) ) eq o(,sup5(n),sdo5(k=2) eq f(2, eq r(k1)(k1) ( eq r(k1) eq r(k1) ) =1 eq o(,sup5(n),sdo5(k=2) ( eq f(1, eq r(k1) ) eq f(1, eq r(k1) ) ) =11 eq f(1, eq r(n1) ) 23例5、已知數(shù)列滿足求證：證明: 例6.已知,求證:.解析:所以從而二、函數(shù)放縮例7.求證：. 解析:先構(gòu)造函數(shù)有,從而所以例8.求證:(1)解析:構(gòu)造函數(shù),得到,再進(jìn)行裂項(xiàng),求和后可以得到答案 函數(shù)構(gòu)造形式: ,例9.求證:解析:提示:函數(shù)構(gòu)

4、造形式: 例10.求證: 解析:,疊加之后就可以得到答案 函數(shù)構(gòu)造形式:(加強(qiáng)命題)例11. 已知證明. 解析: ,然后兩邊取自然對(duì)數(shù),可以得到然后運(yùn)用和裂項(xiàng)可以得到答案)放縮思路：。于是， 即注：題目所給條件（）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論來(lái)放縮： ，即例12. 已知函數(shù)是在上處處可導(dǎo)的函數(shù),若在上恒成立.( = 1 * ROMAN I)求證：函數(shù)上是增函數(shù)； ( = 2 * ROMAN II)當(dāng)；( = 3 * ROMAN III)已知不等式時(shí)恒成立，求證：解析:( = 1 * ROMAN I),所以函數(shù)上是增函數(shù) ( = 2 * ROMAN I

5、I)因?yàn)樯鲜窃龊瘮?shù),所以 兩式相加后可以得到 (3) 相加后可以得到: 所以令,有 所以(方法二) 所以 又,所以三、分式放縮 姐妹不等式:和 記憶口訣”小者小,大者大” 解釋:看b,若b小,則不等號(hào)是小于號(hào),反之.例13. 姐妹不等式:和也可以表示成為和解析: 利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)可得 即例14.證明:解析: 運(yùn)用兩次次分式放縮: (加1) (加2) 相乘,可以得到: 所以有四、分類放縮例15.求證:解析: 例16、求證：證明：此題采用了從第三項(xiàng)開始拆項(xiàng)放縮的技巧，放縮拆項(xiàng)時(shí)，不一定從第一項(xiàng)開始，須根據(jù)具體題型分別對(duì)待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。五、借助數(shù)列遞推關(guān)系例

6、17.求證: 解析: 設(shè)則,從而,相加后就可以得到所以例18. 求證: 解析: 設(shè)則,從而,相加后就可以得到例19. 若,求證: 解析: 所以就有六、均值不等式放縮例20.設(shè)求證解析: 此數(shù)列的通項(xiàng)為，即注： = 1 * GB3 應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過“度”了！ = 2 * GB3 根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)選取所需要的重要不等式，這里 其中，等的各式及其變式公式均可供選用。例21.已知函數(shù)，若，且在0，1上的最小值為，求證：解析: 例22、已知，證明：不等式對(duì)任何正整數(shù)都成立.證明：要證，只要證 .因?yàn)?，故只要證 ，即只要證 .因?yàn)?，所以命題得證.本題通過化簡(jiǎn)整理之后，再利用基本不等式由放大即可.七、經(jīng)典題目方法探究探究.已知函數(shù).若在區(qū)間上的最小值為,令.求證:.證明:首先:可以得到.先證明 (方法一) 所以(方法二)因?yàn)?相乘得: ,從而.(方法三)設(shè)A=,B=,因?yàn)锳B,所以A2AB,所以, 從而.下面介紹幾種方法證明(方法一)因?yàn)?所以,所以有 (方法二),因?yàn)?所以 令,可以得到,所以有(