12365-工程流體力學(xué)楊建國第7章

1、7.1 相似原理7.2 量綱分析7.3 模型試驗工程實例第7章 相似原理與量綱分析第7章 相似原理與量綱分析教學(xué)提示：相似理論和量綱分析是有關(guān)流體力學(xué)問題試驗研究的基礎(chǔ)。本章討論兩個流動相似的充分必要條件、模型試驗的條件和方法、量綱分析的原理和用途。教學(xué)要求：掌握兩個流動相似的充分必要條件、相似準(zhǔn)則數(shù)、近似模型試驗原理和 定理。7.1 相似原理對于大多數(shù)實際流體的流動問題，由于流動現(xiàn)象和流動結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，采用理論分析方法至今尚有困難。其中一些問題是對流動現(xiàn)象的全部過程了解不夠，難以用數(shù)學(xué)工具來描述；另一些問題是雖然建立了流體運(yùn)動微分方程組，但由于流動邊界條件復(fù)雜及方程本身的非線性，使得在數(shù)學(xué)上

2、難以求解。盡管最近數(shù)十年來計算流體力學(xué)飛速發(fā)展，使得能夠進(jìn)行流體流動的數(shù)值模擬和計算機(jī)實驗，但在汁算中仍然需要作大量的假設(shè)和近似，因而它不可能取代傳統(tǒng)的實驗流體力學(xué)。許多實際流體流動問題到目前為止還只能通過實驗得出數(shù)據(jù)和結(jié)論，更重要的是，實驗還可以用于建立理論研究所需的數(shù)學(xué)模型及驗證某些理論的正確性。相似原理與量綱分析是實驗流體力學(xué)的理論基礎(chǔ)，同時也是對流動現(xiàn)象進(jìn)行理論分析的一個重要手段。7.1.1相似概念相似的概念最早出現(xiàn)于幾何學(xué)中，即假如兩個幾何圖形的對應(yīng)邊成一定的比例，那么這兩個圖形便是幾何相似的?？梢园堰@一概念推廣到某個物理現(xiàn)象的所有物理量上。若兩個物理現(xiàn)象相似，是指它們進(jìn)行著同一物理

3、過程，且各物理量在各對應(yīng)點上和對應(yīng)瞬時大小成比例關(guān)系，如涉及的物理量是向量，則這些物理量的方向應(yīng)該對應(yīng)一致。模型可以表示物理系統(tǒng)，它可以用來預(yù)測系統(tǒng)的我們想要的功能和規(guī)律；原是被預(yù)測的物理系統(tǒng)。例如：建筑物、航空器、輪船、河流、港口、堤壩、空氣和水污染等都是原型7.1.2相似條件1 幾何相似幾何相似是指用于實驗的模型(Model)和待研究的實物或原型(Prototype)全部對應(yīng)的線性長度成比例，即它們形狀完全一樣，只是大小不同。式(7-1) (7-3)中，下標(biāo)“m”代表模型參數(shù)下標(biāo)“p”代表模型參數(shù)。線性比例常數(shù)(Length scale ratio) 是基本比例常數(shù)。有時處理原型問題時，尤

4、其是關(guān)于原型表面的問題時，是非常困難的。這時就利用相似原理，模型與原型全部對應(yīng)線性長度成相同的比例，利用模型來分析原型。例如：兩幾何相似的翼型流場參見圖7-1。2 運(yùn)動相似在幾何相似的兩個流場中，如果質(zhì)點的運(yùn)動情況相同,即各對應(yīng)點、對應(yīng)時刻上的速度和加速度的方向?qū)?yīng)一致、大小都維持固定的比例關(guān)系，則稱運(yùn)動相似。如圖7-2所示，為兩直徑不同的圓管中，流體作層流運(yùn)動時的速度分布曲線，二者的速度方向都平行于管中心線，并且其中速度比例常數(shù) 是基本比例常數(shù)。要滿足運(yùn)動相似，兩個流動中各對應(yīng)點流動參數(shù)變化的時間間隔應(yīng)具有同一比例常數(shù)時間比例常數(shù) (Time scale ratio)，即如果兩個流動粘性力相

5、似，則兩個流動的雷諾數(shù)必相等，反之亦然。雷諾數(shù)就是兩個流動粘性力相似的判據(jù)。同樣道理，我們可以得到其它各種力相似的判據(jù)，歸納于表7-1中。我們將表7-1中的無量綱數(shù)統(tǒng)稱為相似準(zhǔn)則數(shù)(Dimensionless ratios)。5兩流動相似的充分必要條件相似的現(xiàn)象都屬于同一類現(xiàn)象，所以它們遵循同一客觀規(guī)律，能用同一微分方程所描述。若兩流動相似，則兩流動必須滿足：幾何相似、運(yùn)動相似和動力相似；或者對于由相同微分方程控制的流動來說，若滿足以下幾個單值條件相似，那么它們相似。單值條件包括如下幾個條件：幾何條件，如：形狀和大??；物理條件，如：密度和粘度；邊界條件，如：入口、出口和壁面等；初始條件，如：速

6、度、溫度和初始時的物理參數(shù)。7.2 量綱分析由表述不同流動問題的數(shù)學(xué)方程式均可得到相應(yīng)的相似準(zhǔn)則數(shù)和相似準(zhǔn)則數(shù)方程，并可求相似比尺關(guān)系，這種方法稱為方程分析法。如果表述流動問題的數(shù)學(xué)方程式事先并不知道，則可應(yīng)用量綱分析方法，求出有關(guān)物理量的無量綱數(shù)或相似準(zhǔn)則數(shù)方程，從而提供找出流動規(guī)律的可能性，這是量綱分析方法在實驗研究中最具價值的優(yōu)點。7.2.1量綱和諧原理任何個正確而完整反映客觀規(guī)律的物理方程式，其各項的量綱都必須一致，這個基本性質(zhì)稱為量綱和諧性原理(Principle of Dimensional Homogeneity, PDH)，又稱為“量綱齊次原理”。量綱和諧性原理是由傅立葉于18

7、22年提出來的。它是量綱分析方法的理論基礎(chǔ)，并可具體表達(dá)成：只有相同類型的物理量才能相加減，也就是相同量綱的物理量才可以相加減或比較大?。徊煌愋臀锢砹肯嗉訙p沒有任何意義。例如：速度可以和速度相加，但決不可加上粘性系數(shù)或壓力。當(dāng)然，相同量綱但采用不同單位的物理量之間是可以相加減和比較大小的，因為只要將其單位稍加換算即可完成。7.2.2量綱分析的方法1基本量綱任何物理量都是有單位的，但是量綱與單位不同。例如長度的單位可以是m，cm或mm，但他們的量綱都是L；時間的單位可以是mix或s，但它的量綱都是T；速度的單位可以是 ，但它的量綱都是 ,即所有這些不同的單位，都可以由某些不能用其它量綱導(dǎo)出的基

8、本量綱組成。在不同的單位制中，有不同的基本量綱。國際單位制中的基本量綱中：長度為L，時間為T,質(zhì)量為M，溫度為 。2瑞利法假定有一物理過程，現(xiàn)在僅有的資料是：已知其中一個量與其它 個量有關(guān)，要求確定這個函數(shù)關(guān)系的具體形式。這一問題可用量綱和諧性原理來解決，具體步驟如下。列出影響這一物理過程的全部 個物理量的函數(shù)5 定理的局限性量綱分析只是一個獲得物理方程的有用的工具，借助于它人們可以分析復(fù)雜現(xiàn)象中各物理量之間的關(guān)系，但是我們不能依賴它來獲得流動現(xiàn)象的完整解答，如果我們忽略了流動現(xiàn)象中的某個重要因素，得到的結(jié)果可能是不完全的，也可能是錯誤的。我們在利用量綱分析來解決流動問題的時候，必須首先對流動

9、現(xiàn)象有深刻的了解。7.3 模型試驗7.3.1全面力學(xué)相似模型試驗全面力學(xué)相似，指的是兩種流動（如模型和原型）滿足幾何相似、運(yùn)動相似和動力相似，并且具有相似的初始和邊界條件。7.3.2近似?；ㄋ^近似?；ǎ床荒鼙ＷC全面力學(xué)相似的模型實驗方法。該方法的實質(zhì)是抓主要矛盾。在設(shè)計模型和安排實驗時，首先分析一下相似條件中哪些是主要的，對過程起決定作用，哪些是次要的，不是起決定作用的。對于起主要作用的條件盡量加以保證；對次要條件，只作近似保證，甚至忽略不計。這樣，一方面使實驗?zāi)軌蜻M(jìn)行，另一方面又不致引起較大偏差。近似?；ㄓ腥N，現(xiàn)分述如下：1弗勞德?；ㄔ谒こ毯蜔o壓明渠流動中，重力起主導(dǎo)作用。

10、以水位落差形式表現(xiàn)的重力是流動的原因，以水靜壓表現(xiàn)的重力是水工結(jié)構(gòu)的主要因素。7.3.3方程分析法從前面的敘述中我們知道，用兩種方法可以導(dǎo)出相似準(zhǔn)則，第一種是量綱分析方法，通過確定與物理現(xiàn)象有關(guān)的變量，使用 定理，即可找到無量綱數(shù)的函數(shù)關(guān)系，同時也確定了無量綱數(shù)，即相似準(zhǔn)則。但這種方法存在缺陷。若對所研究的物理現(xiàn)象理解不透，一旦遺漏了一個或多個重要的變量。將會得出錯誤結(jié)論。第二種方法是利用現(xiàn)有的描述現(xiàn)象的微分方程組和全部單值條件導(dǎo)出相似準(zhǔn)則來，這種方法稱為方程分析法。該方法從描述流動的基本方程出發(fā)，得到的相似準(zhǔn)則是可靠的，因為它不會附加額外的和遺漏重要的變量。同時該方法也表明，即使微分方程組不能解，但能列出微分方程式也是非常有用的。通常采用的方程分析法有兩種：相似轉(zhuǎn)換法和方程無量綱化法。1.相似轉(zhuǎn)換法這種方法導(dǎo)出相似準(zhǔn)則的具體步驟如下：寫出描述現(xiàn)象的基本微分方程組和全部單值條件；寫出相似倍數(shù)的表示式；將相似倍數(shù)的表