經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)字

1、 經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第四章一元函數(shù)積分學(xué)學(xué)習方法引薦疑難問題分析典型習題講解 張掖電大分校 00金融 周志萍1 經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2 第四章 一元函數(shù)積分學(xué)【學(xué)習方法引薦與主要內(nèi)容回顧】 在學(xué)習本章開始的積分學(xué)內(nèi)容時，應(yīng)著重在以下幾方面 多下功夫 第一、透徹理解原函數(shù)與不定積分的概念。 所謂F(x)是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，是指F(x)的導(dǎo)函數(shù) F(x)=f(x), 所以要求一個已知函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，也就是找出一個函數(shù)F(x),它求導(dǎo)后能夠等于這個已知函數(shù)f(x)，這顯然是求導(dǎo)的逆運算，因此，熟練掌握導(dǎo)數(shù)基本公式及基本的求導(dǎo)方法是 學(xué)習積分的關(guān)鍵。 第二、熟記并靈活運用積分基本公式。 有一個導(dǎo)數(shù)

2、公式就有一個積分公式，由此得到的積分基本公式是進行積分的基礎(chǔ) 無論是湊微分法還是分部積分法，歸根結(jié)蒂還是要利用積分基本公式求得最后結(jié)果。但是需要特別注意的是，切不可將公式中的積分變量死記為x,而應(yīng)看成是對任意一個變量t, s, q 或中間變量u(u=u(x)可微）都是成立的。例如由 cosxdx=sinx+c,可有cosudu sinu+c. 3 后一公式的成立正是湊微分法得以實施的基本保證。 第三，重點掌握不定積分的湊微分法和分部積分法。【疑難分析】 一、關(guān)于原函數(shù) 求一個已知函數(shù)f(x)的原函數(shù)F（x),也就是說什么函數(shù)求導(dǎo)后可以得到這個已知函數(shù)f(x)，為了方便理解這個問題，我們不妨如下

3、思考： 求導(dǎo) 已知 結(jié)果 F(X) (f(x) 結(jié)果 已知 求原函數(shù) 4 （即全體原函數(shù)），對一個已知函數(shù)f(x)求其全體原函數(shù)的運算，我們用符號f(x)dx來表示。由此上表可改寫為可見，求原函數(shù)問題與求導(dǎo)問題是一對反問題，若求得了一個已知函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)F(x),即表明F(x)求導(dǎo)后結(jié)果 為f(x).由求導(dǎo)法則知，此時對任意常數(shù)c,函數(shù)F(X)+c都是f(x)的原函數(shù) F(X) 已知 結(jié)果 F(X)+c (f(x) 結(jié)果 已知 f(x)dx 5 理解了原函數(shù)（不定積分）的概念，就不難理解不定積分 的性質(zhì) f(x)dx= f(x)+c 及 （f(x)dx ） = f(x) 二、關(guān)于積分

4、方法 1、湊微分法的基本思想就是“湊微分，使變量一致”例如 2exd(x) =e2xd(2x) 就是通過湊微分2 dx =(2x)dx=d(2x)使 exd(2x) eudu 而使變量一致的目的是為了利用基本公式直接求出積分結(jié) 果，如上面的 eudu就可利用公式 eudu=eu+c 得到 6 eudu = eu+c ex+c 從而由此例可知湊微分法的全部過程 2exd(x) e2xd(2x) eudu eu+c e2x+ceudu = eu+c7 由于微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是dy=ydx,他們間僅差一個微分因子dx，所以湊微分實際上就是湊導(dǎo)數(shù)，例如 2dx=(2x)dx=d(2x) 2xdx=(x2

5、)dx=d(x2)等等，這是因為，任意一個函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)與dx相乘的結(jié)果f(x) dx就是函數(shù)f(x)的微分d f(x）。 2、分部積分法 分部積分法的基本思想是將一個難以用直接積分法或湊微分發(fā)求出的積分（通常是兩個函數(shù)乘積的積分），設(shè)法化為求另一個方便用直接積分法或湊微分法計算的積分。例如:計算積分xexdx,就可以按照分部積分公式xexdx=xe x- exdx將計算xexdx問題化為求另一積分exdx的問題。顯然積分exdx是方便計算出結(jié)果的。那么，在一般情況下，如何將一個不易計算的積分化為另一個易于計算的積分呢？分部積分的列表法給我們提供了一般準則，即對兩個函數(shù)乘積的積分

6、ugdx 將被積函數(shù)中的兩個因子u 、g如下表左右排列 8 求導(dǎo)列 積分列 (+) u g (-) u v(= gdx)此表的運算方法是以下五句話：橫向函數(shù)相乘再積分（ ugdx, - uvdx);左列函數(shù)依次求導(dǎo)數(shù)；右列函數(shù)依次求積分；斜向函數(shù)相乘不積分（uv)；符號選擇依次取正負（(+),(-)）。 即 ugdx=uv - uvdx 可見，分部積分的關(guān)鍵是正確選擇求導(dǎo)列和積分列。一般地，函數(shù)u 、g哪個為求導(dǎo)列，哪個為積分列應(yīng)按照如下規(guī)則選?。? 積分列函數(shù)的積分方便求出（即原函數(shù)易求）。如xlnxdx,x應(yīng)排右列(lnx不一積分)。 左列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)逐漸簡單，如 x2exdx, x2應(yīng)排左

7、列（ex求導(dǎo)后不會逐漸簡單）。 左導(dǎo)右積的結(jié)果相乘逐步簡化且其積分最終得以方便計算出9 結(jié)果（這正是分部積分法的目的所在，否則分部無意義）。如 xs inxdx、x為左邊求導(dǎo)列（x=1),sinx為右邊積分列（ sinxdx = -cosx + c,一般地取c = 0)結(jié)果相乘的積分 1(-cosx)dx=- cosxdx 更為簡單且容易計算出結(jié)果。 有了上述一般準則，我們可以將常見的需要用分部積分法計算的積分的列表方式歸結(jié)為下表 被積函數(shù) 左列（求導(dǎo)列） 右列（積分列） xneax xn eax xnsinaxxn xn sinax xncosax xn cosax xnlnx lnx xn

8、 lnx lnx 1 eax sinbx eax cosbx 任意 任意 10 需要說明的是：分部積分法是可以多次運用的，此時在分部積分的列表法中只需同法依次左導(dǎo)右積下去即可，如x2exdx就可有 (+) x2 ex () 2x ex (+) 2 ex () 0 ex 按列表法的運算規(guī)則，可直接寫出積分結(jié)果為表中斜箭頭所連兩項之積的代數(shù)和，即 x2exdx=x2ex 2xex+2ex+c 至于分部積分的左導(dǎo)右積的列表方法列到哪一步為止，一般地，只需列到左右函數(shù)相乘的積分方便利用積分基本公式求出結(jié)果即可。例如上例中列兩次表后即可看出左右函數(shù)相乘的積分 2exdx是方便求出結(jié)果2ex +c的，此時便不再列表下去。 11 另外，分部積分列表法選擇求導(dǎo)列也可以依照如下的規(guī)律，即：“指三冪對反”后者為求導(dǎo)列12 【典型習題講解】 1、分析：我們知道(2 + lnx )= 2 + ( l nx ) = ， 因此 解： + c13 2、 xln(x+1)dx分析：此被積函數(shù)為冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之積，應(yīng)選對數(shù)函數(shù)為求導(dǎo)列 (+) ln(x+1) x