典型例題第三章一階微分方程的解的存在定理

1、第三章一階微分方程的解的存在定理例3-1求方程dy2xdx滿足初始條件y( 0)0的解的逐次逼近yi(x),y2(x),y3(x),并求出h的最大值,其中h的意義同解的存在唯一性定理中的h。解函數(shù)f(x,y)x2y2在整個平面上有意義，則在以原點(diǎn)為中心的任一閉矩形區(qū)域dy22D : x a, y b上均滿足解的存在唯一性定理的條件，初值問題xvdx的解在V(0)0h,h上存在唯一，其中h一/b、一min(a, ),MM/ 22、max (x y )。(x,y) d因?yàn)橹鸫伪平瘮?shù)序列為xyn(x)V。f(x,yn1(x)dx,x0此時，x。0,y。0,f(x,y)x2y2,所以yo(x)0 H

2、YPERLINK l bookmark81 o Current Document x 22 ,yi(x)0 xy0 (x)dxx 22V2(x)0 xyi (x)dxx 22 ,V3(x)0 xy2 (x)dx610 x 2x918914 x)dx 396937c1115xx2xx363207959535現(xiàn)在求h的最大值。因?yàn)閔min(a,2b2),ab對任給白正數(shù)a,b, a2 b2 2ab,上式中，當(dāng) a b時,b2.2a b取得最大值2ab2a此時，h min( a,2ab1) min( a,),當(dāng)且僅當(dāng)a2a1. 2, ,口即a b 時，h取得2a,上.2最大值為上。2(逐次逼評注：本

3、題主要考查對初值問題的解的存在唯一定理及其證明過程的基本思想b一一一_近萬法)的理斛。牛寸力1J地，對其中的hmin(a,一),Mmaxf(x,y),D:xa,yM(x,y)dx等常數(shù)意義的理解和對逐次逼近函數(shù)列yn(x)y0f(x,yn(x)dx的構(gòu)造過程的理Xo解。3-2證明下列初值問題的解在指定區(qū)間上存在且唯一。1)2)21 3x 0,0 x (J。 1以原點(diǎn)為中心作閉矩形區(qū)域D : x 1, y1。易驗(yàn)證f(x, y) ycosx2在區(qū)域D上滿足解的存在唯一性定理的條件，求得M max(x,y) D22y cosx1 12 ,則 h min(一,一)2 2因此初值問題22y y cos

4、x y(0) 01 1一 1的斛在2,2上存在唯一，從而在區(qū)間。，萬上方程yy2 cosx2,滿足條件y(0) 0的解存在唯一。2)以原點(diǎn)為中心作閉矩形區(qū)域D：x a, y b。易驗(yàn)證f(x, y)y2x在D上滿足解的存在唯一性定理的條件，并求得M max y(x,y) Da b2 ，221ycosx,y(0)0,0 x-o一b則hmin(a,2-)ab由于 a b22、. ab,所以當(dāng)ab2時，當(dāng)ab2取到最小值2Jb,從而一b3可ab2 TOC o 1-5 h z b11取到取大值,故hmin(a,)o2、ab2,a2.a.2.1.2當(dāng)且僅當(dāng)1r1411Fa一,即a()3,b()3時，h取

5、到最大值為h(一)3。2,.a222 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 222即證明了初值問題yyx的解在區(qū)間(工尸.1尸上存在唯一。y(0)022一,、1T從而在區(qū)間0,(1)3上解存在唯一。2評注：此例是應(yīng)用解的存在唯一性定理，求出初值問題解存在唯一的區(qū)間。一般解法是先作出適當(dāng)?shù)拈]矩形區(qū)域；然后驗(yàn)證在此區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件；最后求出定理中的ho例3-3證明如果在13!矩形域D上存在且連續(xù)，則f(x,y)在D上關(guān)于y滿足利普y希茲條件，反之不成立。證因?yàn)樵陂]矩形域D上f存在且連續(xù)，所以在區(qū)域D上有界，即M0,yy(x,y)D有成

6、立，利用中值定理,(x, y1),(x,y2) Df(x,)一f(x,y1)f(x,y2)=y1y2Myy2,y其中是介于y1,y2之間的點(diǎn)，命題得證。反之不成立。因?yàn)閷τ诜匠蘢yy,取以原點(diǎn)為中心的矩形域D,f(x,y)y在y0無導(dǎo)數(shù),dx但f(x,y1)f(x,y2)=|yy?|y1y2,故f(x,y)在D上關(guān)于y滿足利普希茲條件。評注：通過本例的證明顯然可以得到下面結(jié)論：若f在某矩形區(qū)域D內(nèi)某一點(diǎn)y(xo,y)處不存在，且在(xo,y)的鄰域內(nèi)無界，則f(x,y)在D上關(guān)于y不滿足利普希茲條件。例3-4舉例說明定理中的兩個條件是保證初值問題的解存在唯一的充分條件，而非必要條件。解1)當(dāng)連

7、續(xù)條件不滿足時，解也可能存在唯一。如方程dydxf(x, y)a y ax a 00 y ax顯然f(x,y)在以原點(diǎn)為中心的矩形域中不連續(xù)，間斷點(diǎn)為直線yax,但解存在唯一，過原點(diǎn)的解為yax,a0。2)當(dāng)利普希茲條件不滿足時，解也可能存在唯一。如方程dy一、ylnyy0子f(x,y)，dx0y0由于f(x,yi)f(x,0)yiInyj0Iny40|,yi0,Inyi|,無界，因而f(x,y)在(x,0)的任何鄰域內(nèi)不滿足利普希茲條件。然而dydxyln，焉 dxInIny|xCi,InyCzex,C2exyey0可見方程通過(x,0)解存在唯一。評注：在應(yīng)用定理時，一定要注意，當(dāng)條件不滿

8、足時，不能得出解不存在唯一的結(jié)論。例3-5利用解的存在唯一性定理，尋找區(qū)域G,使得(x0,y0)G,方程dydx.1 y2滿足初始條件y(Xo)yo的解存在唯一。解設(shè)f(x,y)41y2,顯然，它在整個平面上連續(xù)。而f(x,y)y，由例3-3,在不包含y1的區(qū)域內(nèi)，有f(x,y)%1y2y.1y2滿足利普希茲條件。若y 1時，f(x,y)不存在，但當(dāng) yy1, f(x, y)無界，即在包含點(diǎn) (x,i)或 y(x,1)的任何區(qū)域中利普希茲條件不成立。故得所求區(qū)域?yàn)镚 (x,y) xy 1, 1 x 1,1 x評注：尋找解的存在唯一性定理中的條件所滿足的區(qū)域，就是尋找f (x, y)連續(xù)和關(guān)于y

9、滿足利普希茲條件的區(qū)域。對于所得到的區(qū)域G , (x0,y0) G ,都能存在一個完全包含在G內(nèi)的閉矩形區(qū)域，使得在此矩形域中滿足解的存在唯一性定理的條件，從而保證初值問題的解存在唯一。例3-6對于方程dy且和點(diǎn)(0,yo)能否應(yīng)用定理dxx解當(dāng)yo0時，我們可以考慮方程dx_xdyyxdxx其右端函數(shù)f(x,y)一滿足定理的條件，即方程通過點(diǎn)(O,yo)的解存在唯一，此ydyy時解為xo。yoo時，定理不能用。事實(shí)上，由方程dy、的通解表達(dá)式y(tǒng)Cx知，方程通過dxx(o,o)的解不為一。評注：在研究解的存在唯一性時，也可以將x視為y的函數(shù)。例3-7能否用逐次逼近序列求初值問題dydxy(0)

10、的解。x解不能，因?yàn)橛弥鸫伪平瘮?shù)序列y0(x)y0,yn(x)y0f(x,yn1(x)dx得xox*o(x)0,a(x)o0dx0,.,a(x)0,.o32x2即n(x)收斂于解y0。但另一方面，通過方程直接求解得y(x)分也是方程3dyy3滿足條件y(0)0的解，即用逐次逼近函數(shù)序列就不能得到此解。dx評注：應(yīng)在保證初值問題解存在唯一的情況下，利用逐次逼近序列序列求近似解。例3-8證明：如果函數(shù)f(x,y)于整個xoy平面上連續(xù)有界，且關(guān)于y滿足局部利普希茲條件，則方程包f(x,y)的任一解均可以延拓到區(qū)間dx證易驗(yàn)證f(x,y)滿足延拓定理的推論的條件，則過平面上任一點(diǎn)(x0,y0)的解

11、存在唯一且可延拓，設(shè)過(x,y)的解為。因?yàn)閒 (x, y)有界，即 M 0, (x, y)慮下列三個初值問題R2,均有不等式f(x,y) M成立，我們考dyM,dxf(x,y),dxMy(x0)v。y(%)v。y(x0)v。顯然,M f (x, y) M ,由第一比較定理，得,當(dāng)x x0時,M(xx)y0(x,x0,y0)M(xx)y0,當(dāng)xx0時，M(xx)y0(x,x0,y0)M(xx)y0,即對任何有限區(qū)間(，)，當(dāng)x趨于區(qū)間端點(diǎn)時，都不可能無界，由延拓定理的推論知，的解可延拓到整個區(qū)間(，)。又由(x0,y0)的任意性，命題得證。)的充分評注：解的延拓定理的條件再加上f(x,y)有界

12、是保證解的存在區(qū)間為(條件，而非必要條件，比如柯西問題2y1y,yy(xo)y0的解為ysh(xC),其存在區(qū)間為(,)，而1y2在xoy面上無界。例3-9設(shè)f(x,y)在R2上連續(xù)，求證：對XoR,只要y0充分小，初值問題y(y2e2x)f(x,y)y(xo)V。的解必可延拓到x。，)。證因?yàn)閒(x,y)在R2上連續(xù)，則方程的右端函數(shù)F(x,y)(y2e2x)f(x,y)在R2上連續(xù)；且在任意有界閉區(qū)域G上都有下式成立F(x,yi)F(x,y2)22x-22x一(yie)f(x,yi)(y2e)f(x,y2)MGViy2其中MG表示(yiy2)f(x,y)在G中的最大值。這樣F(x,y)就關(guān)

13、于y滿足局部利普希茲條件。故初值問題(1)的解必存在唯一、且連續(xù)可微，可進(jìn)行延拓。下面將證明對x。R,當(dāng)y。充分小時，初值問題(1)的解在區(qū)間x。，)上存在。用反證法。若不然，初值問題(1)有解y(x),其中取y。ex。，它的右行飽和區(qū)間為x。，)，且當(dāng)x時(x)無界。這樣，必存在點(diǎn)x1(x。，)，使得(x1)ex1(或區(qū))ex1),且(x1)ex1。(或(xjex1。)。另一方面，由于y(y2e2x)f(x,y),可知在曲線yex上，解曲線的斜率為零，即有(x1)。矛盾。因此，對x。R,當(dāng)y。ex。時，初值問題(1)的解在區(qū)間x。，)上存在。評注：在應(yīng)用解的延拓定理時，注意特殊曲線上積分曲線

14、的性質(zhì)。類似的問題有:設(shè)f(x,y)在R2上連續(xù)，求證：對X。R,只要yo充分小，初值問題y(y2x2)f(x,y)y(xo)Vo的解必可延拓到x0,)。例3-10試證對任意xo,yo,方程dy2x2一滿足初始條件y(xo)yo的解都dxxy1在(,)上存在。2x證函數(shù)2x2在整個xoy平面上滿足存在唯一性定理的條件，且有xy12x2Lxy1將原方程與下列方程曳o與業(yè)1dxdx比較，由比較定理，原方程滿足y(xo)yo的解y(x)在其存在區(qū)間上滿足Voy(x)yo(xxo),當(dāng)xxo時，yo(xxo)y(x)yo,當(dāng)xxo時，由延拓定理，積分曲線yy(x)可以無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)，故y(x)必在(，)上存在。評注：本例是比較定理的應(yīng)用，也可用例3-8直接得出結(jié)論。例3-11利用克萊羅(Clairaut)方程構(gòu)造一個以y(x)為奇解的一階方程式，這里假設(shè)C1a,b,且(x)為x的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。解需要構(gòu)造的一階方程式是克萊羅方程，且y(x)應(yīng)滿足此方程的p判別曲線方程，因此，我們構(gòu)造p判別曲線方程y(x)xp(x)xp,其中將x視為p的函數(shù)，現(xiàn)尋求x關(guān)于p的表達(dá)式。為此，對式y(tǒng)xp&x)xp兩端關(guān)于p求偏導(dǎo)數(shù)，得x(x(