二次型以及其規(guī)范形

1、關(guān)于二次型及其規(guī)范形第一張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月定理 任一秩為r的二次型 均可經(jīng)過適當(dāng)?shù)目赡婢€性替換 化為 其中 ， ， 。 第二張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 推論 任一秩為r的對稱矩陣均合同于一個下列形式的對角矩陣 其中 。 第三張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè) 是 n元二次型，且 秩(A) = r： 1f 是復(fù)二次型 存在可逆復(fù)線性替換 把 f 化為 其中 。 再令 第四張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月則 f 被進一步變?yōu)?稱上式為復(fù)二次型的規(guī)范形。 定理 任意復(fù)二次型均可經(jīng)過適當(dāng)?shù)目赡鎻?fù)線性替換化為規(guī)范形且規(guī)范形唯一。 推論 對任意一個秩為r

2、的n階復(fù)對稱矩陣A，必存在n階可逆復(fù)矩陣C ，使得 第五張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 例 設(shè)A、B均為n階復(fù)對稱矩陣，則 A與B在復(fù)數(shù)域上合同的充分必要條件是 2f 是實二次型 存在可逆實線性替換 把 f 化為 其中 。 第六張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月再令 則 f 被進一步變?yōu)榉Q上式為實二次型的規(guī)范形。 定理（慣性定理） 任意實二次型均可經(jīng)過適當(dāng)?shù)?可逆實線性替換化為規(guī)范形且規(guī)范形唯一。 第七張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 推論 對任意一個秩為r的n階實對稱矩陣A，一定存在n階可逆實矩陣C，使得 其中p由A唯一確定。 定義 在秩為r的實二次型f的規(guī)范形中，系

3、數(shù)是1(或 -1)的平方項個數(shù) p(或 r -p )稱為 f 的正(或負)慣性指數(shù)，稱 2p - r為 f 的符號差。 第八張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 注 實二次型的任一標準形中，系數(shù)大于(小于)零的平方項個數(shù)即為正(負)慣性指數(shù)。 例 已知實對稱矩陣 與下述三個對角矩陣 之一合同，試確定之。 第九張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月解 考慮二次型 對其作可逆線性替換 則 第十張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月由此得 f 的正、負慣性指數(shù)均為1。 而二次型 中，只有 的正、負慣性指數(shù)均為1。所以，f 只能通過非退化線性變換為 ，即 A只能與 合同。 例 設(shè) A是n階實對稱矩陣且n為奇數(shù)。證明：若 ，則存在n維非零列向量 ，使第十一張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月證明 考慮 n元二次型 用正交替換 把其化為標準型 則第十二張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 因 ， ，且 n為奇數(shù)，所以 均不為零且至少有一個大于零。不妨設(shè) 。 取 n維列向量 ，則 第十三張，PPT共十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 令 。因 可逆，