平面彎曲1-梁的內(nèi)力.課件

1、梁 的 內(nèi) 力 INTERNAL FORCES IN THE BEAM 1 工程實(shí)際中的彎曲問題 2 梁的荷載和支座反力 3 梁的內(nèi)力及其求法 4 內(nèi)力圖 5 彎矩、剪力、荷載集度之間的關(guān)系 6 疊加法作剪力圖和彎矩圖1 工程實(shí)際中的彎曲問題 梁在垂直于其軸線的荷載作用下要變彎，其軸線由原來的直線變成曲線，這種變形叫做彎曲變形。產(chǎn)生彎曲變形的構(gòu)件稱為受彎構(gòu)件。AB一、平面彎曲的基本概念F2F1 The member of which the deformation is mainly bending is generally called beam(梁).M工程實(shí)例 建筑工程中的各類梁、火車軸

2、、水壓作用下的水槽壁等。橋式吊梁火車軸 平面彎曲：梁的軸線在變形后仍保持在同一平面(荷載作用面)內(nèi)，即梁的軸線成為一條平面曲線。 (a)ABF2F1 (c)對(duì)稱（平面）彎曲(Planar bending) 對(duì)稱平面 F2F1 (b)2 梁的荷載和支座反力 一、梁的荷載 1 集中力：作用在微小局部上的橫向力； 2 集中力偶：作用在通過梁軸線的平面（或與該面平行的平面）內(nèi)的力偶。MeF3 分布荷載：沿梁長(zhǎng)連續(xù)分布的橫向力。荷載集度：用q(x)表示 分布荷載的大小 均布荷載非均布荷載q(x)q(x)=C二、梁的支座及支座反力支座形式1 固定鉸約束2 可動(dòng)鉸約束3 固定支座 計(jì)算簡(jiǎn)圖 確定梁的“計(jì)算簡(jiǎn)

3、圖” 包含： 以梁的軸線經(jīng)代替實(shí)際的梁； 以簡(jiǎn)化后的支座代替實(shí)際的支座； 實(shí)際支承理想支承 以簡(jiǎn)化后的荷載代替實(shí)際的荷載。 三、梁的分類 按支座情況 簡(jiǎn)支梁：一端固定鉸，一端可動(dòng)鉸外伸梁：一端或兩端向外伸出的簡(jiǎn)支梁懸臂梁：一端固定支座，另一端自由 按支座反力的求解方法 靜定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；ABAMAFAzFAxFAyFAxFB 超靜定梁：僅用平衡方程不能求出全部未知反力的梁。FF 按梁的橫截面 等截面梁：橫截面沿梁的長(zhǎng)度沒有變化； 變截面梁：橫截面沿梁的長(zhǎng)度有變化。汽車鋼板彈簧魚腹梁3 梁的內(nèi)力及其求法 一、求梁的內(nèi)力的方法截面法內(nèi)力的形式及名稱剪力彎矩N或kNNm或kNm1

4、1MFQFRAaAAFRAFRB laF1F2內(nèi)力的求法BF1FRAF2FQ M?MFQFRAaA內(nèi)力的正負(fù)號(hào)剪力彎矩MM M M FQFQ順時(shí)針轉(zhuǎn)為正逆時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)上壓下拉為正上拉下壓為負(fù)FQFQ 例1 圖示簡(jiǎn)支梁受兩個(gè)集中力作用，已知F1=12kN，F(xiàn)2=10kN，試計(jì)算指定截面1-1、2-2的內(nèi)力。解：(1) 求支座反力BAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m(2)求1-1截面上的內(nèi)力 FRAAFQ1M11mF10.5mBAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m (3)求2-2截面上的內(nèi)力 F2F1AM2FQ2FRABAF111FRAFRB3m1mF2

5、221m1.5m0.5m 結(jié)論： 1 梁的任一橫截面上的剪力在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）所有豎向力（包括斜向外力的豎向分力、約束反力）的代數(shù)和；且截面左邊向上（右邊向下）的外力使截面產(chǎn)生正號(hào)的剪力。 2 梁的任一橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）所有豎向力對(duì)該截面形心力矩的代數(shù)和（包括外力偶、約束反力偶）；且截面左邊順時(shí)針（右邊逆時(shí)針）的力矩使截面產(chǎn)生正號(hào)的彎矩。F2F1M2FQ2FRAMFQ 例2 試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論寫出圖示梁1-1截面上的剪力和彎矩的表達(dá)式。qF1FRBlbcMeF2de11fMFQ 例3 求圖示簡(jiǎn)支梁1-1與2-2截面的剪力和彎矩。FRB解：(1)求支座反力F

6、RABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m(2)求1-1截面的剪力FQ1、彎矩M1根據(jù)1-1截面左側(cè)的外力計(jì)算可得：根據(jù)1-1截面右側(cè)的外力計(jì)算可得可見計(jì)算結(jié)果完全相同。FRBFRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m (3) 求2-2截面的剪力FQ2、彎矩M2 根據(jù)2-2截面右側(cè)的外力計(jì)算可得：FRBFRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m4 內(nèi)力圖剪力圖和彎矩圖 為了形象地看到內(nèi)力的變化規(guī)律，通常將剪力、彎矩沿梁長(zhǎng)的變化情況用圖形表示出來，這種表示剪力和彎矩變化規(guī)律的圖形分別稱為剪力圖和彎矩圖。 具體作法是： 剪

7、力方程： 彎矩方程： 例4 求作圖示受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁的剪力圖和彎矩圖。 解：(1)求支座反力(2)列出剪力方程和彎矩方程 取距左端為x處的任一截面，此截面的剪力和彎矩表達(dá)式分別為:xFRAFRBBqlA(3)畫剪力圖、彎矩圖，標(biāo)出特征值FQ圖ql/2ql/2ql2/8M圖xFRAFRBBqlA 例5 簡(jiǎn)支梁受一集中力F=9ql和一集中力偶Me=ql2作用，試作出其剪力圖和彎矩圖。 分析： 1-1、2-2截面上的剪力 結(jié)論：當(dāng)梁中間受力較復(fù)雜時(shí)，剪力方程和彎矩方程不可能用一個(gè)統(tǒng)一的函數(shù)式來表達(dá)，必須分段 列出其表達(dá)式。 分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷載的起點(diǎn)和終點(diǎn)為界(分段點(diǎn)如

8、何確定？) 1122（ ? ）3344BA(O)lCDF Mel/3l/3 解：(1)求支座反力 (2)分三段AC、CD、DB列出剪力方程和彎矩方程 AC段FRAFRBBA(O)lCDF Mel/3l/3 CD段 DB段 FRAFRBBA(O)lCDF Mel/3l/3(3)畫剪力圖、彎矩圖，標(biāo)出特征值 FQ圖M圖1122BA(O)CDFRAFRBlF Mel/3l/3 結(jié)論： 當(dāng)梁上荷載有變化時(shí)，剪力方程和彎矩方程不可能用一個(gè)統(tǒng)一的函數(shù)式來表達(dá)，必須分段列出其表達(dá)式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷載的起點(diǎn)和終點(diǎn)為界。 剪力圖和彎矩圖一般是連續(xù)的，且左右兩端的剪力和彎矩為零（從零開

9、始，到零結(jié)束） 。在集中力作用處剪力圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值等于集中力的大小，方向與集中力的方向相同；在有集中力偶作用的地方彎矩圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值等于集中力偶的大小，方向?yàn)椤绊樝履嫔稀薄?5 彎矩、剪力、荷載集度之間的關(guān)系 一、彎矩、剪力、荷載集度之間的關(guān)系 BA(O)CDlF Mel/3l/3即：彎矩對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于梁上相應(yīng)位置截面上的剪力。 即：剪力對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于梁上相應(yīng)位置分布荷載的集度 。 Bq(x)xdxlAq(x)dxFQ(x)+dFQ(x)FQ(x) M(x)+dM(x)M(x) 二、剪力圖、彎矩圖的規(guī)律q 0 0 0 0 0MM 剪力為零的截面或其左、右側(cè)剪力的正負(fù)號(hào)改變的截面

10、該截面的彎矩有極大值；該截面的彎矩有極小值。結(jié)論： “+”“-” “-”“+” 結(jié)論（規(guī)律）： (2)當(dāng)梁的支承情況對(duì)稱，荷載反對(duì)稱時(shí)，則彎矩圖永為反對(duì)稱圖形，剪力圖永為對(duì)稱圖形。 (1)當(dāng)梁的支承情況對(duì)稱，荷載也對(duì)稱時(shí)，則彎矩圖永為對(duì)稱圖形，剪力圖永為反對(duì)稱圖形；FQ圖M圖CBAq/2EIlABCEIlq/2q/2 例7 圖示左端外伸梁，外伸端A作用一集中力偶Me=qa2，BA段所受荷載的分布集度為q，試?yán)梦⒎株P(guān)系作梁的剪力圖、彎矩圖。解：(1)求支座反力三、畫剪力圖、彎矩圖的簡(jiǎn)便方法Bq3aAMeCaFRAFRB(2)作剪力圖(3)作彎矩圖x7/6qa11/6qa=121/72qa2FQ

11、圖M圖MeMmaxBq3aAMeCaFRAFRB2m2m2mFRA=5kNFRB=4kNP=3kNM1=2kNmM2=6kNmq=1kN/m2mBA+466683222FQ (kN)M(kNm)例 作用梁的內(nèi)力圖例8 試作出圖(a)示簡(jiǎn)支梁的剪力圖和彎矩圖。 A(O)Fl/2DEaa/2BlF/2F/2A(O)aa/2Bl6 疊加法作剪力圖和彎矩圖BqACMeDlbaF 結(jié)論：q、F、Me共同作用時(shí)產(chǎn)生的內(nèi)力等于q、F、Me分別單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的內(nèi)力之和。 因此，當(dāng)梁上有幾種（或幾個(gè)）荷載作用時(shí)，可以先分別計(jì)算每種（或每個(gè)）荷載單獨(dú)作用時(shí)的梁的反力和內(nèi)力，然后將這些分別計(jì)算所得的結(jié)果代數(shù)相加得梁

12、的反力和內(nèi)力。這種方法稱為疊加法。 將上面的剪力方程和彎矩方程寫成如下的統(tǒng)一形式： 線彈性，位移可以疊加1F1F1+F2F22FOFOFO21FOFOFO 非線性彈性，位移不可以疊加F11F22F1+F22疊加原理成立的前提條件：（1）小變形（2）材料滿足虎克定理（線性本構(gòu)關(guān)系）當(dāng)變形為微小時(shí)，可采用變形前尺寸進(jìn)行計(jì)算。1、疊加原理：當(dāng)梁在各項(xiàng)荷載作用下某一橫截面上的彎矩等于各荷載單獨(dú)作用下同一橫截面上的彎矩的代數(shù)和。2、區(qū)段疊加法作彎矩圖： 設(shè)簡(jiǎn)支梁同時(shí)承受跨間荷載q與端部力矩MA、MB的作用。其彎矩圖可由簡(jiǎn)支梁受端部力矩作用下的直線彎矩圖與跨間荷載單獨(dú)作用下簡(jiǎn)支梁彎矩圖疊加得到。即：+MA

13、MBM0+MAMBM0彎曲內(nèi)力BMAAqMBlB 注意：這里所說的彎矩疊加，是縱坐標(biāo)的疊加而不是指圖形的拚合。d圖中的縱坐標(biāo)如同M圖的縱坐標(biāo)一樣，也是垂直于桿軸線AB。（1）選定外力的不連續(xù)點(diǎn)(如集中力、集中力偶的作用點(diǎn)，分布力的起點(diǎn)和終點(diǎn)等)為控制截面，求出控制截面的彎矩值。 （2）分段畫彎矩圖。當(dāng)控制截面之間無荷載時(shí)，該段彎矩圖是直線圖形。當(dāng)控制截面之間有荷載時(shí)，用疊加法作該段的彎矩圖。 例七 作圖示簡(jiǎn)支梁的彎矩圖。利用內(nèi)力圖的特性和彎矩圖疊加法，將梁彎矩圖的一般作法歸納如下：彎曲內(nèi)力2FCl/2ABFl/2l/2M作業(yè)： P114 習(xí)題5-1 5-2 5-3 5-6 5-7 5-8 (思

14、考)5-9 5-11 5-121 q(x)=0 結(jié)論:彎矩圖為一水平直線 。FQM+lABMe 結(jié)論:剪力圖為一水平直線，彎矩圖為斜率的絕對(duì)值等于FS一斜直線 （）。lFABFQFMFl-lFABFQF-MFl+ 結(jié)論:剪力圖為一水平直線，彎矩圖為斜率的絕對(duì)值等于FS一斜直線 （）。 2 q(x)0 結(jié)論:剪力圖為斜率等于q的 一斜直線（） ，彎矩圖為拋物線（開口向下）。BqlAM圖FQ圖ql/2ql/2 3 q(x)0 結(jié)論:剪力圖為斜率等于q的 一斜直線（） ，彎矩圖為拋物線（開口向上）。qBlAxFQ圖ql/2ql/2ql2/8M圖 4 集中力F作用處 結(jié)論:在集中力作用處剪力圖發(fā)生突變(彎矩不變)，突變的數(shù)值等于集中力的大小，方向與剪力的方向相同。 1FQ圖M圖FRAFRBlFaAB 已知簡(jiǎn)支梁在均布載荷q作用下，梁的中點(diǎn)撓度為 。求梁在中點(diǎn)集中力F作用下(見圖)，求梁的撓曲線與梁變形前的軸線所圍成的面積 。wFl/2l/2 5 集中力偶Me作用處 結(jié)論:在有集中力偶作用的地方彎矩圖發(fā)生突變(剪