彈塑性本構(gòu)關(guān)系課件

1、講的挺好的彈塑性力學(xué)本構(gòu)關(guān)系附加應(yīng)力對附加應(yīng)變負做功，即附加應(yīng)力對附加應(yīng)變做功為非負，即有(1) 穩(wěn)定材料與非穩(wěn)定材料穩(wěn)定材料非穩(wěn)定材料（應(yīng)變硬化和理想塑性材料）（應(yīng)變軟化材料）德魯克公設(shè)和依留申公設(shè)是傳統(tǒng)塑性力學(xué)的基礎(chǔ)，它把塑性勢函數(shù)與屈服函數(shù)緊密聯(lián)系在一起。德魯克公設(shè)只適用于穩(wěn)定材料，而依留申既適用于穩(wěn)定材料，又適用于不穩(wěn)定材料。(2) 德魯克塑性公設(shè)的表述 德魯克公設(shè)可陳述為：對于處在某一狀態(tài)下的穩(wěn)定材料的質(zhì)點(試件)，借助于一個外部作用在其原有應(yīng)力狀態(tài)之上，緩慢地施加并卸除一組附加壓力，在附加應(yīng)力的施加和卸除循環(huán)內(nèi)，外部作用所作之功是非負的。 設(shè)材料單元體經(jīng)歷任意應(yīng)力歷史后，在應(yīng)力ij

2、0下處于平衡，即開始應(yīng)力ij0在加載面內(nèi)，然后在單元體上緩慢地施加一個附加力，使ij0達到ij，剛好在屈服面上，再繼續(xù)加載到ij+dij，在這一階段，將產(chǎn)生塑性應(yīng)變dijp，最后應(yīng)力又卸回到ij0。若整個應(yīng)力循環(huán)過程中，附加應(yīng)力dij所作的塑性功不小于零，即附加應(yīng)力的塑性功不出現(xiàn)負值，則這種材料就是穩(wěn)定的，這就是德魯克公設(shè)。在應(yīng)力循環(huán)中，外載所作的功為：不論材料是不是穩(wěn)定，上述總功不可能是負的，不然，我們可通過應(yīng)力循環(huán)不斷從材料中吸取能量，這是不可能的。要判斷材料穩(wěn)定必須依據(jù)德魯克公設(shè)，即附加應(yīng)力所作的塑性功不小零得出由于彈性應(yīng)變ije在應(yīng)力循環(huán)中是可逆的，因而于是有：(3) 德魯克塑性公設(shè)的

3、重要推論屈服面的外凸性塑性應(yīng)變增量方向與加載曲面正交1 屈服曲面的外凸性此式限制了屈服面的形狀： 對于任意應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力增量方向與塑性應(yīng)變向量之間所成的夾角不應(yīng)該大于90穩(wěn)定材料的屈服面必須是凸的.(a)滿足穩(wěn)定材料的屈服面(b) 不滿足穩(wěn)定材料的屈服面2 塑性應(yīng)變增量向量與屈服面法向平行加載面切平面必與加載面的外法線重合，否則總可以找到A0使A0Adp0不成立(如右圖)。標(biāo)量d，稱為塑性因子表明，塑性應(yīng)變分量ij之間的比例可由在加載面上的位置確定。加載準則意義：只有當(dāng)應(yīng)力增量指向加載面的外部時才能產(chǎn)生塑性變形。3德魯克塑性公設(shè)的評述德魯克公設(shè)的適用條件：（1）應(yīng)力循環(huán)中外載所作的真實功與ij

4、0起點無關(guān)；應(yīng)力循環(huán)中外載所作真實功與附加應(yīng)力功(2)附加應(yīng)力功不符合功的定義，并非真實功（4）德魯克公設(shè)的適用條件： ij0在塑性勢面與屈服面之內(nèi)時，德魯克公設(shè)成立； ij0在塑性勢面與屈服面之間時，德魯克公設(shè)不成立；附加應(yīng)力功為非負的條件（3）非真實物理功不能引用熱力學(xué)定律；勢面線屈服面（5）金屬材料的塑性勢面與屈服面基本一致。3.1.3 依留申塑性公設(shè)的表述 依留申塑性公設(shè)：在彈塑性材料的一個應(yīng)變循環(huán)內(nèi)，外部作用做功是非負的，如果做功是正的，表示有塑性變形，如果做功為零，只有彈性變形發(fā)生。 設(shè)材料單元體經(jīng)歷任意應(yīng)力歷史后，在應(yīng)力ij0下處于平衡，即初始的應(yīng)變ij0在加載面內(nèi)，然后在單元體

5、上緩慢地施加荷載，使ij達到屈服面，再繼續(xù)加載達到應(yīng)變點ij+dij，此時產(chǎn)生塑性應(yīng)變dijp 。然后卸載使應(yīng)變又回到原先的應(yīng)變狀態(tài)ij0，并產(chǎn)生了與塑性變量所對應(yīng)的殘余應(yīng)力增量dijp。殘余應(yīng)力增量與塑性應(yīng)變增量存在關(guān)系：式中，D為彈性矩陣。根據(jù)依留申公設(shè)，在完成上述應(yīng)變循環(huán)中，外部功不為負，即只有在彈性應(yīng)變時，上述WI=0。根據(jù)Druker塑性公設(shè)可將Druker塑性公設(shè)改寫成：由圖(a)可知，對于彈性性質(zhì)不隨加載面改變的非耦合情況，外部作用在應(yīng)變循環(huán)內(nèi)做功WI和應(yīng)力循環(huán)所作的外部功之間僅差一個正的附加項：因此可將應(yīng)變循環(huán)所作的外部功，寫成上式表明，如果德魯克塑性公設(shè)成立，WD0，則依留申

6、塑性公設(shè)也一定成立，反之，依留申塑性公設(shè)成立，并不要求WD0，也就是說，德魯克塑性公設(shè)是依留申塑性公設(shè)的充分條件，而不是必要條件。ABCD當(dāng)應(yīng)力點由A到B時，d0,塑性變形dp0，總變形d0應(yīng)變空間加載面外凸加載準則(取大于號表示有新的塑性變形發(fā)生)塑性勢面與屈服面相同根據(jù) 關(guān)于 的正交法則，可得： 由應(yīng)力空間中的屈服與應(yīng)變空間中屈服面的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可得：結(jié)合可得：3.1.4 塑性位勢理論與流動法則 與彈性位勢理論相類似，Mises于1928年提出塑性位勢理論。他假設(shè)經(jīng)過應(yīng)力空間的任何一點M，必有一塑性位勢等勢面存在，其數(shù)學(xué)表達式稱為塑性位勢函數(shù)，記為：或式中，為硬化參數(shù)。塑性應(yīng)變增量可以用塑性

7、位勢函數(shù)對應(yīng)力微分的表達式來表示，即： 上式就稱為塑性位勢理論。它表明一點的塑性應(yīng)變增量與通過該點的塑性勢面存在著正交關(guān)系，這就確定了應(yīng)變增量的方向，也就確定了塑性應(yīng)變增量各分量的比值。 流動規(guī)則也稱為正交定律，是確定塑性應(yīng)變增量各分量的比值，也即塑性增量方向的一條規(guī)定。上式是流動規(guī)則的一種表示形式，另外還有另一種表示形式： 它表明塑性應(yīng)變增量與通過該點的屈服曲面成正交關(guān)系。 與德魯克公設(shè)表達式比較，可以看出，服從于德魯克公設(shè)的材料，塑性勢函數(shù)g就是屈服函數(shù)。即g=，由此得到的塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系通常稱為與加載條件相關(guān)聯(lián)的流動法則。如果g ，即屈服面與塑性應(yīng)變增量不正交，則其相應(yīng)的塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

8、稱為非關(guān)聯(lián)流動法則。 在應(yīng)變空間，流動規(guī)則可用下式表示：和都為非負的比例系數(shù)。3.2 硬化規(guī)律塑性模型三要素屈服條件流動法則硬化規(guī)律判斷何時達到屈服屈服后塑性應(yīng)變增量的方向，也即各分量的比值決定給定的應(yīng)力增量引起的塑性應(yīng)變增量大小硬化規(guī)律：加載面在應(yīng)力空間中的位置、大小和形狀的變化規(guī)律。（確定加載面依據(jù)哪些具體的硬化參量而產(chǎn)生硬化的規(guī)律稱為硬化定律）硬化模型：實際土體硬化規(guī)律+簡化假設(shè)（如采用等值面硬化理論，主應(yīng)力方向不旋轉(zhuǎn)，加載面形狀不變等）金屬材料：采用等向強化和隨動強化；巖土材料：靜力問題采用等向強化；循環(huán)荷載 和動力問題采用隨動強化或混合強化常用模型3.2.1 等向強化模型這種模型無論

9、在哪個方向加載拉伸和壓縮強化總是相等地產(chǎn)生和開展；在復(fù)雜加載條件下，即表示應(yīng)力空間中作形狀相似的擴大，如圖中OABDDE代表等向強化，圖中B與D點所對應(yīng)的應(yīng)力值均為s(指絕對值)，在這種情況下，壓縮屈服應(yīng)力和彈性區(qū)間都隨著材料強化而增大。 在應(yīng)力空間中，這種后繼屈服面的大小 只與最大的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而與中間的加載路徑無關(guān)。在右圖中，路徑1與路徑2的最終應(yīng)力 狀態(tài)都剛好對應(yīng)于加載過程中最大應(yīng)力狀態(tài)，因此兩者的最終后繼屈服是一樣的；而路徑3的最終后繼屈服面由加載路徑中最大應(yīng)力狀態(tài)來定。3.2.2 隨動強化模型 圖中OABCDE代表隨動強化模型，彈性卸載區(qū)間是襯始屈服應(yīng)力s的兩倍。根據(jù)這種模型，材料

10、的彈性區(qū)間保持不變，但是由于拉伸時的強化而使壓縮屈服應(yīng)力幅值減小。 與等向強化模型不同，隨動強化模型是考慮包辛格效應(yīng)的。在單向拉壓情況下，隨動強化模型可以用下式表示：包辛格逆效應(yīng)（Bauschinger）分直接包辛格效應(yīng)及包辛格逆效應(yīng)。直接包辛格效應(yīng)指拉伸后鋼材縱向壓縮屈服強度小于縱向拉伸屈服強度，如圖1所示；包辛格逆效應(yīng)在相反的方向產(chǎn)生相反的結(jié)果，如圖2所示。 普拉格將隨動強化模型推廣到復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)中，他假定在塑性變形過程中，屈服面形狀和大小都不改變，只是在應(yīng)力空間內(nèi)作剛體平移。3.2.3 混合強化模型 運動硬化和等向硬化的組合，可以構(gòu)成更一般的硬化模型，稱為混合強化模型這時，后繼屈服面既有

11、位置的改變，也產(chǎn)生均勻的膨脹。等向強化混合強化隨動強化(運動強化)初始屈服面3.2.4 加工硬化規(guī)律 加工硬化規(guī)律是決定一個給定的應(yīng)力增量引起的塑性應(yīng)變增量的一條規(guī)則，在流動規(guī)律中，d這個因素可以假定為：式中，A為硬化參數(shù)H的函數(shù)。 不同的學(xué)者曾建議不同的硬化規(guī)律來計算A的數(shù)值，常用的硬化規(guī)律有下列幾種：塑性功Wp硬化定律：矩陣形式：由得：塑性應(yīng)變ijp硬化定律：進一步有：由得： 塑性體應(yīng)變vp 硬化定律設(shè)廣義塑性力學(xué)中，如果取于是：矩陣形式：由則有：3.3 彈塑性本構(gòu)關(guān)系屈服條件流動法則硬化規(guī)律判斷何時達到屈服屈服后塑性應(yīng)變增量的方向，也即各分量的比值決定給定的應(yīng)力增量引起的塑性應(yīng)變增量大小

12、本節(jié)內(nèi)容塑性本構(gòu)關(guān)系彈性本構(gòu)關(guān)系彈塑性本構(gòu)關(guān)系 塑性增量理論又稱為塑性流動理論，它把塑性變形看成非線性流動。塑性增量理論把應(yīng)變增量分為彈性應(yīng)變增量和塑性應(yīng)變增量兩部分，即式中，彈性應(yīng)變增量應(yīng)用廣義虎克定律 計算，塑性應(yīng)變增量根據(jù)塑性增量理論計算。塑性增量理論主包括三個部分：關(guān)于屈服面理論，關(guān)于流動規(guī)則理論，關(guān)于加工硬化(或軟化)理論。應(yīng)用彈塑性增量理論計算塑性應(yīng)變：首先，要確定材料的屈服條件，對加工硬化材料，需要確定材料是否服從 相關(guān)聯(lián)流動規(guī)則。若材料服從不相聯(lián)流動規(guī)則，沿需確定材料的塑性勢函數(shù)。然后，還需要確定材料的硬化或軟化規(guī)律。最后可運用流動規(guī)則理論確定塑性應(yīng)變增量的方向，根據(jù)硬化規(guī)律計

13、算塑性應(yīng)變增量的大小。3.3.1 塑性增量理論3.3.2 一個普遍的彈塑性模量張量表達式 加工硬化規(guī)律是決定一個給定的應(yīng)力增量引起的塑性應(yīng)變增量的一條規(guī)則，在流動規(guī)律中，d這個因素可以假定為：廣義虎克定律用增量形式表示：根據(jù)塑性勢函數(shù)：以及進一步有：(b)(a)將(b)代入(a)得：再代入(b)得：彈塑性模量張量彈性狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)彈性應(yīng)變塑性狀態(tài)當(dāng)前應(yīng)力狀態(tài)、加卸載狀態(tài)、加載歷史、加載路徑、微觀結(jié)構(gòu)塑性應(yīng)變沿加載路徑積分應(yīng)力應(yīng)變?nèi)筷P(guān)系應(yīng)力應(yīng)變增量關(guān)系彈塑性本構(gòu)關(guān)系的建立3.3.3 廣義虎克定律基本方程增量表達式于是：于是代入引入側(cè)限變形模量M彈性常數(shù)關(guān)系表3.3.4 無靜水壓力影響的理想彈塑性材料本構(gòu)關(guān)系理想塑性材料，適用于金屬材料。采用相關(guān)聯(lián)流動法則 由于某屈服單元周圍材料仍處于彈性狀態(tài)，限制了 其塑性應(yīng)變的發(fā)展，其d值不會任意發(fā)展，而將依靠問題的整體來定。屈服函數(shù)記為：塑性應(yīng)變增量：可改寫為：于是有：在塑性變形階段，加載時根據(jù)于是理想彈塑性材料的本構(gòu)方程可表示為又可寫成：(1) Prandtl Reuss 模型P