高考數(shù)學備考訓練表面積和體積

1、2013高考數(shù)學備考訓練-表面積和體積一、選擇題1一個長方體其一個頂點的三個面的面積分別是eq r(2)，eq r(3)，eq r(6)，這個長方體的對角線是()A2eq r(3)B3eq r(2)C6 D.eq r(6)答案D解析設長方體共一頂點的三棱長分別為a、b、c，則abeq r(2)，bceq r(3)，aceq r(6)，解得：aeq r(2)，b1，ceq r(3)，故對角線長leq r(a2b2c2)eq r(6).2圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為6和4的矩形，則圓柱的全面積為()A6(43)B8(31)C6(43)或8(31)D6(41)或8)(32)答案C解析分清哪個為母線，哪個

2、為底面圓周長，應分類討論3已知正方體外接球的體積是eq f(32,3)，那么正方體的棱長等于()A2eq r(2) B.eq f(2r(3),3)C.eq f(4r(2),3) D.eq f(4r(3),3)答案D解析由題意知Veq f(4,3)R3eq f(32,3)，R2，外接球直徑為4，即正方體的體對角線，設棱長為a，則體對角線leq r(3)a4，aeq f(4r(3),3).4(2010新課標全國卷)設三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為()Aa2 B.eq f(7,3)a2C.eq f(11,3) a2 D5a2答案B解析如圖，O1，O分別

3、為上、下底面的中心，D為O1O的中點，則DB為球的半徑，有rDBeq r(OD2OB2)eq r(f(a2,4)f(a2,3)eq r(f(7a2,12)，S表4r24eq f(7a2,12)eq f(7,3)a2.5將棱長為3的正四面體的各頂點截去四個棱長為1的小正四面體(使截面平行于底面)，所得幾何體的表面積為()A7eq r(3) B6eq r(3)C3eq r(3) D9eq r(3)答案A解析原正四面體的表面積為4eq f(9r(3),4)9eq r(3)，每截去一個小正四面體，表面減小三個小正三角形，增加一個小正三角形，故表面積減少42eq f(r(3),4)2eq r(3)，故所

4、得幾何體的表面積為7eq r(3).故選A.6.水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖是一個正方體的表面展開圖，若圖中“2”在正方體的上面，則這個正方體的下面是()A0 B8C奧 D運答案B7.(2010北京卷，理)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，動點E，F(xiàn)在棱A1B1上，動點P，Q分別在棱AD，CD上若EF1，A1Ex，DQy，DPz(x，y，z大于零)，則四面體PEFQ的體積()A與x，y，z都有關B與x有關，與y，z無關C與y有關，與x，z無關D與z有關，與x，y無關答案D解析由于點Q到直線A1B1的距離為2eq r(2)，EF1，

5、故EFQ的面積為定值，所以這個三角形的面積與x，y無關，由于點P到平面EFQ的距離等于點P到平面A1B1CD的距離，這個距離等于點P到直線A1D的距離，等于eq f(r(2),2)z，故四面體PEFQ的體積為eq f(1,3)eq f(1,2)12eq r(2)eq f(r(2),2)zeq f(1,3)z，故四面體PEFQ的體積只與z有關，與x，y無關8半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，則這個半球的體積與正方體的體積之比為()A.eq r(5)6 B.eq r(6)2C2 D512答案B解析方法一：作過正方體對角面的截面，如圖，設半球的半徑為R，正方體的棱長為a，那么CCa，OCeq f(r(2),2

6、)a.在RtCCO中，由勾股定理得CC2OC2OC2，即a2(eq f(r(2),2)a)2R2，Req f(r(6),2)a，V半球eq f(2,3)R3eq f(2,3)(eq f(r(6),2)a)3eq f(r(6),2)a3，V正方體a3.因此V半球V正方體eq f(r(6),2)a3a3eq r(6)2.方法二：將半球補成整個球，同時把原半球的內(nèi)接正方體再補接一個同樣的正方體，構(gòu)成的長方體剛好是球的內(nèi)接長方體，那么這個長方體的對角線便是它的外接球的直徑，設原正方體棱長為a，球的半徑是R，則根據(jù)長方體的對角線性質(zhì)，得(2R)2a2a2(2a)2，即4R26a2，Req f(r(6),

7、2)a.從而V半球eq f(2,3)R3eq f(2,3)(eq f(r(6),2)a)3eq f(r(6),2)a3，V正方體a3.因此V半球V正方體eq f(r(6),2)a3a3eq r(6)2.二、填空題9.如圖所示，在長方體ABCDABCD中，用截面截下一個棱錐CADD，求棱錐CADD的體積與剩余部分的體積之比為_解析方法一設ABa，ADb，DDc，則長方體ABCDABCD的體積Vabc.又SADDeq f(1,2)bc，且三棱錐CADD的高為CDa.V三棱錐CADDeq f(1,3)SADDCDeq f(1,6)abc.則剩余部分的幾何體積V剩abceq f(1,6)abceq f

8、(5,6)abc.故V棱錐CADDV剩eq f(1,6)abceq f(5,6)abc15.方法二已知長方體可以看成側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ADDABCCB，設它的底面ADDA面積為S，高為h，則它的體積為VSh.而棱錐CADD的底面面積為eq f(1,2)S，高是h，因此，棱錐CADD的體積VCADDeq f(1,3)eq f(1,2)Sheq f(1,6)Sh.余下的體積是Sheq f(1,6)Sheq f(5,6)Sh.所以棱錐CADD的體積與剩余部分的體積之比為eq f(1,6)Sheq f(5,6)Sh15.10已知一個圓錐的展開圖如圖所示，其中扇形的圓心角為120，底面圓的半徑為1，

9、則該圓錐的體積為_答案eq f(2r(2),3)解析因為扇形弧長為2，所以圓錐母線長為3，高為2eq r(2)，所求體積Veq f(1,3)122eq r(2)eq f(2r(2),3).11已知A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)，D(0,3)，四邊形ABCD繞y軸旋轉(zhuǎn)210，則所得幾何體的體積為_答案eq f(35,12)解析如圖，V圓錐eq f(1,3)(2)22eq f(8,3).V圓臺eq f(1,3)1(222112)eq f(7,3).四邊形ABCD繞y軸旋轉(zhuǎn)360所得幾何體的體積為eq f(8,3)eq f(7,3)5.繞y軸旋轉(zhuǎn)210所得幾何體的體積為eq f(210,3

10、60)5eq f(35,12).12一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為eq f(9,8)，底面周長為3，那么這個球的體積為_答案eq f(4,3)三、解答題13(2010全國卷，理)已知正四棱錐SABCD中，SA2eq r(3)，那么當該棱錐的體積最大時，它的高為多少？解析設正四棱錐SABCD的底邊長為2x，則ACBD2eq r(2)x，高heq r(122x2)，所以體積Veq f(1,3)4x2eq r(122x2).V2eq f(16,9)x4(122x2)，(V2)eq f(6412,9)x3eq f(64,3)x5，由(

11、V2)0，得x2.14已知六棱錐PABCDEF，其中底面為正六邊形，點P在底面上的投影為正六邊形中心，底面邊長為2cm，側(cè)棱長為3cm，求六棱錐PABCDEF的體積分析由已知條件可以判斷六棱錐為正六棱錐，要求其體積，求出高即可解析如圖，O為正六邊形中心，則PO為六棱錐的高，G為CD中點，則PG為六棱錐的斜高，由已知得：CD2cm，則OGeq r(3)，CG1，在RtPCG中，PC3，CG1，則PGeq r(PC2CG2)2eq r(2).在RtPOG中，PG2eq r(2)，OGeq r(3)，則POeq r(PG2OG2)eq r(5).VPABCDEFeq f(1,3)SABCDEFPOe

12、q f(1,3)6eq f(r(3),4)22eq r(5)2eq r(15).15棱長為a的正四面體的四個頂點均在一個球面上，求此球的表面積解析以正四面體的每條棱作為一個正方體的面的一條對角線構(gòu)造如圖所示的正方體，則該正四面體的外接球也就是正方體的外接球由圖知正方體的棱長為eq f(r(2),2)a，正方體的對角線長為eq f(r(6),2)a，設正四面體的外接球的半徑為R，則2Req f(r(6),2)a，Req f(r(6),4)a，于是球的表面積S4(eq f(r(6),4)a)2eq f(3,2)a2.1正六棱錐PABCDEF中，G為PB的中點，則三棱錐DGAC與三棱錐PGAC體積之

13、比為()A11 B12C21 D32答案C解析如圖，設棱錐的高為h，VDGACVGDACeq f(1,3)SADCeq f(1,2)h，VPGACeq f(1,2)VPABCVGABCeq f(1,3)SABCeq f(h,2).又SADCSABC21，故VDGACVPGAC21.2要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20cm，要使體積最大，則高應為_答案eq f(20r(3),3)解析設圓錐底面半徑為r，高為h，則h2r2202，req r(400h2)，圓錐體積Veq f(1,3)r2heq f(1,3)(400h2)heq f(1,3)(400hh3)，令Veq f(1,3)(4003h2)0

14、得heq f(20r(3),3)，當h0；當heq f(20r(3),3)時，V0，heq f(20r(3),3)時，體積最大3.(2010上海春季高考)在右圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40 cm，母線長最短50 cm、最長為80 cm，則斜截圓柱側(cè)面面積S_cm2.答案26004把一個棱長為a的正方體，切成27個全等的小正方體，則所有小正方體的表面積為_答案18a21如圖1，一個正三棱柱容器，底面邊長為a，高為2a，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個側(cè)面作為底面，如圖2，這時水面恰好為中截面，則圖1中容器內(nèi)水面的高度是_圖1圖2答案eq f(3,2)a解析如圖1中容器內(nèi)液面的高度為h

15、，液體的體積為V，則VSABCh，又如題圖2中液體組成了一個直四棱柱，其底面積為eq f(3,4)SABC，高度為2a，則Veq f(3,4)SABC2a，heq f(f(3,4)SABC2a,SABC)eq f(3,2)a，故填eq f(3,2)a.2如圖所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為3，長度為2的線段MN的一個端點M在DD1上運動，另一端點N在底面ABCD上運動，則MN的中點P的軌跡(曲面)與共一頂點D的三個面所圍成的幾何體的體積為_答案eq f(,6)解析由于ABCDA1B1C1D1是正方體，所以DD1DN，故三角形DMN是直角三角形，斜邊MN2，又因為P為MN中點，所

16、以DP1，即P點到定點D的距離等于常數(shù)1，因此P點的軌跡是一個以D為球心，1為半徑的球面被正方體所截得的部分，所以所求幾何體的體積Veq f(1,8)eq f(4,3)13eq f(,6).3(09陜西)若正方體的棱長為eq r(2)，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積為()A.eq f(r(2),6) B.eq f(r(2),3)C.eq f(r(3),3) D.eq f(2,3)答案B解析由正方體的對稱性可知，任意兩個面的中心的連線長度相等，故所得凸多面體為兩個共底的特殊正四棱錐，且其棱長均為1，如圖，在正四棱錐PO1O2O3O4中，底面O1O2O3O4為正方形，易得其面積為1，在三角形PO2O4中，易求得其高為eq f(r(2),2)，故VPO1O2O3O4eq f(1,3)1eq f(r(2),2)，從而所求凸多面體的體積為2VPO1O2O3O4eq f(r(2),3)，選B.4.如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且ADE、BCF均為正三角形，EFAB，EF2，則該多面體的體積為_答案eq f(r(2),3)解析過A、B兩點分別作AM、BN垂直于EF，垂足分別為M、N，連結(jié)DM、CN，可證得DMEF、CNEF，多面體ABC