十種求數(shù)列通項公式的方法,數(shù)列技巧與方法,解題方法[1]

1、十種求數(shù)列通項公式的方法一、公式法例1已知數(shù)列an滿足an1=2a32，ai=2，求數(shù)列an的通項公式。an申解:aM=2an+3沃2兩邊除以2小，得2計an3an1an3,an,nn：；1nn22，則222,故數(shù)列2是32，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出an3歹EX，進(jìn)而求出數(shù)列aiaiTOCo1-5hz23an3113n=1(n-1)以22為首項，以2為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得22，aan=(|n2)2n所以數(shù)列an的通項公式為22。an卅an評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式叭=2務(wù)+32轉(zhuǎn)化為2曲2nan的通項公式。二、累加法例2已知數(shù)列an滿足a

2、n1二an2n，1,印=1，求數(shù)列an的通項公式。解.由an1=an2n1得an1-an=2n1則an=(an-an4)(an4-an_2)I11(a3-a2)(a2-a1)a1=2(n-1)12(n-2)1|l|(221)(211)12=(n-1)(n1)12=n=2(n-1)(n-2)|l|21(n-1)1=21(n-1)1所以數(shù)列an的通項公式為an=n。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an3n2n1轉(zhuǎn)化為an1-an=2nT，進(jìn)而求出(務(wù)一an斗)+(an4-and)+川+(a3-a2)+(a2-印)+印，即得數(shù)列an的通項公式。例3已知數(shù)列an滿足an廠an+2漢彳+1，a1=3，

3、求數(shù)列an的通項公式。解.由冇1-an231得an1-an-231則an=(anan(anj1-andIII(a3-a2)(a?-aj印n1n221=(231)(23一1)|(231)(231)3n1n221=2(33|l(33)(n一1)33(1一3心)=2(n-1)3=3n=3n1-3-3n-13n-1n=3n-1.評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an1二*231轉(zhuǎn)化為務(wù)1-務(wù)=231，進(jìn)而求出務(wù)=（an-務(wù)）（an-an_2）川（a3-a2）（a2-a1）a1，即得數(shù)列an的通項公式。已知數(shù)列an滿足務(wù)1=3an231ai=3，求數(shù)列an的通項公式。解:an1=3a231兩邊除以3n1

4、，=OnZ.得3n13n33an1an_21n11nnT則3333，故an.ananandan_2an_2久門(Tn一)(_32)(3233anan_133/21、/2121、3(3莎)(2滬)(2評3+(丄+丄+L+川+丄)+13(3n3n3n43232丿珂2*2(n-1)an2(-1)和)因此3n31-3211an=2n3n13n_322評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式影）川僚崎）(an_anj)亠(an4_an-2)亠/cn-1丿(n-1&-2丿(進(jìn)而求出3333an3an231轉(zhuǎn)化為3n1an1_an_3n笄黑）川僚號近an，即得數(shù)列3n的通項公式，最后再求數(shù)列an的通項公式。三、累

5、乘法已知數(shù)列an滿足an1=2(n1)5an,3=3，求數(shù)列an的通項公式。n電21)5因為an1=2(n1)5an,a1=3，所以an=0，則an，故anananan丄川旦電aa2a1anan_2二2(n11)5112(n21)V川2(21)522(11)513=2心n(n-1)川325n(nJ)=32nl5門！(n)(n；|.213n(n.1)n12所以數(shù)列an的通項公式為=325n!.評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系an1=2(n1)5亟=2(n+1)5nan轉(zhuǎn)化為an，進(jìn)而求anan1a3a2a1務(wù)上a2a1，即得數(shù)列an的通項公式。(2004年全國I第15題，原題是填空題)已知數(shù)列a

6、n滿足ai=1,an=a12a23aN-n(-a1n(求)an的通項公式。解：因為an=印2a23aH(n-1乩(n一2)所以an1=ai2a23aa丨1(n-1)an4na.用式_式得anan=門.則an1=(n1)an(n一2)n!2a2.2也=n-1(n_2)故務(wù)a*aniH3l色=n(n-1)4匯3a所以andanda2由an=a1+2a2+3aa十川十(n1歸心(n工2)，取n=2得a?=印+2a2，則a?=a1，又知ai=1，則a2，代入得an=1345川n二也2。所以，an的通項公式為3n評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式a.i=(n1)an(n

7、一2)亟=n+1(nH2)轉(zhuǎn)化為anan進(jìn)而求出務(wù)也川旦a2an2a2，從而可得當(dāng)n2時，an的表達(dá)式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。四、待定系數(shù)法通項公式。四、待定系數(shù)法例7已知數(shù)列an滿足an2an35，a1=6，求數(shù)列*的通項公式。解：設(shè)an半+x7n+=2(an+x漢5n)將an1=2an35代入式，得2an35x5“1=N25，等式兩邊消去2an，得3弓.x弓1=窘.5,兩邊除以5n，得35x=2x則x=-1代入式得an1-5二2(an-5)n1an*-5_2由a1-51=6-5=0及式得an-F，則an-5n，則數(shù)列務(wù)-5是以1nnndna1一5=1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則

8、習(xí)一5二2，故二25。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an1=2an35轉(zhuǎn)化為an1-52(an-5)從而可知數(shù)列an一5是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列an一5的通項公式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。例8已知數(shù)列an滿足an3an524，a1,求數(shù)列an的通項公式。解：設(shè)anx2n1y=3(anx2y)將an1=3an524代入式，得3an52n4x2n1y=3(anx2ny)整理得(52x)2n4y=3x2n3y。52x=3xx=5n1-52n1-2an13(nD21(n1)18=2an3n210n182，故數(shù)列an3n10n18令4y=3y，則y二2令4y=3y，則y二2，代入式得an152

9、n由印+3匯12+10H+18=1+31=32式0及式得an+3n2+10n+18式0an152n由印+3匯12+10H+18=1+31=32式0及式得an+3n2+10n+18式02=3(an52n2)由ai521212=13“及式,a得an+5漢2n+2式0，則an+5x2n+2故數(shù)列an522是以a1522二1T2二13為首項，以3為公比的等比數(shù)列,nn1n_Jn因也匕an+5辺2+2=133_貝yan=13x3_5=2-2。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an3an524轉(zhuǎn)化為n41nn叭皿2+2=3(an+5+2)，從而可知數(shù)列佝+護2+2是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列an522的通項公

10、式，最后再求數(shù)列an的通項公式。2例9已知數(shù)列an滿足an1二2%3n4n5印=1，求數(shù)列%的通項公式。解：設(shè)an1x(n1)2y(n1)z=2(a.xn2ynz)2將an2an3n4n5代入式，得2222an+3n+4n+5+x(n+1)+y(n+1)+z=2(an+xn+yn+z)則222an(3x)n(2xy4)n(xyz5)=2an2xn2yn2z等式兩邊消去2an，得(3+x)n2+(2x+y+4)n+(x+y+z+5)=2xn2+2yn+2zTOCo1-5hz3x=2xx=3II2xy4=2yy=10解方程組xyz2z，則z二18，代入式，得22an13(n1)10(n1)18=2

11、(an3n10n18)令公比的等比數(shù)列a132110118為首項3：1以an+3n2+10n+18=32乂2nJ1則an=2n*3n210n182評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an2an3n4n5轉(zhuǎn)化為22an+3(n+J+mn十帖18“+3n+10n+18),從而可知數(shù)列22an3nFnW是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列an3n10nT8的通項公式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。五、對數(shù)變換法ai=7，求數(shù)列an的通項公式。ai=7，求數(shù)列an的通項公式。n5例10已知數(shù)列an滿足an1=23an,n5解：因為冇1=23an，a1=7，所以ann5解：因為冇1=23an，a1=7，所以ann50

12、,an10。在an1=23an式兩邊取常用對數(shù)得lgan1=5lgannIg3Ig2常用對數(shù)得lgan1=5lgannIg3Ig2設(shè)Igan1x(n1)y=5(lga.xny)將式代入式，得5|gann|g3Jg2x(n1)y=5(|ganxny)，兩邊消去5|ga并整理，得(lg3+x)n+x+y+lg2=5xn+5y，則Ig3x=5xx+y+lg2=5y，故xQ4164Ig3Ig3Ig2代入式，得Igan1T(n1)wT=5(lganJgln.蛭必)4164里1厘趙了.里1.空1g2由4164416Igai=0及式,得4164,.g3/丄八丄Ig3丄Ig2lgan1(n1)4丿164=5,

13、Jg3Jg3Jg25Igann則n4164lgann型4所以數(shù)列4164164為首項，以5為公比的等lgIgn+一+-數(shù)列，則416In_g165g3Ig2此Ig3Ig3Ig2an=(Ig741611=(lg7Ig34Ig36Ig24)5)5心一聖n441nn二Ig3Ig26一41nn1./O41-Ig(7343花24)5-Ig(313花24)5n-Ig(343乖2刁)5nj35n_4nJ1=ig(734nJ=Ig(7n=Ig(75n&5n143古fk)5n-l汀)5n_4nan=75亠31624o5n-J1Ig34Ig316Ig2刁13悟2刁)1Igan1Ig3n竹4：+4g5ang4ngJ

14、g3I)g241644164,從而可知數(shù)列Iag-g3nIg3Ig2IgIg3annIg3%416是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列4164的通項轉(zhuǎn)化為5an評注：本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式公式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。六、迭代法例11已知數(shù)列an滿足an1=aV”，3,5，求數(shù)列an的通項公式。_3(n+)2n_3n2n解：因為an4二an，所以an=and3(n書2ni,3n2nJ-=and32(n書n2(2(n亠anQ3(n2)2nJ32(n書n2(n2)fni)=anl33(nd)(n4)n2(n工令缶亠二a.a3二a112.|l(n(n書nd2心心(n13二a1n(n壘rn

15、!22n(n4)3n1n!22_5，所以數(shù)列an的通項公式為an_5評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。_3(n和2n即先將等式K1二K兩邊取常用對數(shù)得lgan申lgan#=3(n+12lgan，即lga.3(n1)2n，再由累乘法可推知igan嚴(yán)lgan_Llganilgan2lga2lgaigc二加32n(n1)2n(nd)，從而3n1n!2an=52o七、數(shù)學(xué)歸納法例12已知數(shù)列例12已知數(shù)列aa.8(n1)an審an22an滿足(2n1)2(2n3)2ai89，求數(shù)列an的通項公式。aa.8(n8解：由(2n1)(2n3)及9，得a28(1+1)22(211)(2

16、13)882=+99252425TOCo1-5hz8(2+1)248匯348a3=a222(221)(221)(223)2252549498(3+1)488漢480a4=a322(231)(233)49498181由此可猜測an(2n1)(2k*1)，則當(dāng)n=k+1時,-1=2(2n1)，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。2(211)-18a1=2=(1)當(dāng)n=1時，(211)9，所以等式成立。ak(2)假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即2(2k1)-1ak1=ak8(k+1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2-18(k1)222(2k1)(2k1)(2k3)(2k1)2-1(2k3)28(k1)22(

17、2k+1)2(2k+3)2(2k1)2(2k3)2_(2k3)28(k1)22(2k+1)(2k+3)(2k1)2(2k3)-(2k1)222(2k+1)2(2k+3)22(2k3)-1-(2k3)22(k1)12-122(k1)12由此可知，當(dāng)n=k1時等式也成立。根據(jù)（1）,（2）可知，等式對任何N都成立。n項，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項評注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。八、換元法例13已知數(shù)列an滿足*1例13已知數(shù)列an滿足*14an.124an),=1，求數(shù)列an的通項公式。解：令bn=.124an，則an(b；-1)24故知昭一1），

18、代入亦卡4務(wù)礙）得TOCo1-5hz12112(堺1-1)14(b；-1)bn241624即4b：1=(bn3)224an-0+3則2話勺+3，即bn+=2bn2，bn+-2(bn-3)可化為2，所以bn_3是以y124印-3“1241七二2為首項，以2為公比的等比數(shù)列,因此J24an3+an=2(f)n+n342+評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將1249n的換元為bn，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化V3bn1bn22形式，從而可知數(shù)列bn-3為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列bn-3的通項公式,最后再求出數(shù)列an的通項公式。九、不動點法21an24an卅=，例14已知數(shù)列an滿足4an*1印=4，求數(shù)列an的通項公式。21x-24解:令X=4x1，得4x2-20 x240，則X1=2,X2=3是函數(shù)f(x)21x-244x1的兩個不動點。因為an1-2an1-32俺-24c肓彳221an-24n34an121an-24-2(4an1)-21an-24-3(4an1)13a2613an-29an279an3所以數(shù)列二=2一3J是以a1一34一3n_2為首項，以9為公比的等比數(shù)列，故an_313n、21x2421x24f(x)=x=評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)4X1的不動點，即方程4xT的兩an+2_13an-2an_2個根x1=2，X