中考復(fù)習二次函數(shù)知識點(典型試題) (2)

1、中考復(fù)習專題二次函數(shù)知識點總結(jié)二次函數(shù)知識點：二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：結(jié)論：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小?？偨Y(jié)：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)

2、向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值2. 的性質(zhì)： 結(jié)論：上加下減?？偨Y(jié)：3. 的性質(zhì)：結(jié)論：左加右減?？偨Y(jié)：4. 的性質(zhì)：總結(jié)：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值向下X=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐

3、標； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”概括成八個字“左加右減，上加下減”三、二次函數(shù)與的比較請將利用配方的形式配成頂點式。請將配成?？偨Y(jié)：從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中四、二次函數(shù)圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關(guān)于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：開口

4、方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.五、二次函數(shù)的性質(zhì) 1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為當時，隨的增大而減??；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值 2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減??；當時，有最大值六、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：（，為常數(shù)，）；2. 頂點式：（，為常數(shù)，）；3. 兩根式：（，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

5、七、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系 1. 二次項系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項系數(shù)，顯然 當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； 當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小2. 一次項系數(shù) 在二次項系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸 在的前提下，當時，即拋物線的對稱軸在軸左側(cè)；當時，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，即拋物線對稱軸在軸的右側(cè) 在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當時，即拋物線的對稱軸在軸右側(cè)；當時，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，即拋物線對稱軸在軸的左側(cè)

6、總結(jié)起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置 3. 常數(shù)項 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正； 當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為； 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負 總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问剑拍苁菇忸}簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（

7、?。┲?，一般選用頂點式；3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式二、二次函數(shù)圖象的對稱 二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達 1. 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 2. 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 3. 關(guān)于原點對稱 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是； 4. 關(guān)于頂點對稱 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是 5. 關(guān)于點對稱 關(guān)于點對稱后，得到的解析式是 根據(jù)

8、對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠不變求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當函數(shù)值時的特殊情況.圖象與軸的交點個數(shù)： 當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根這兩點間的距離. 當時，圖象與軸只有一個交點； 當時，圖象與軸沒有交點. 當時，圖象落在軸的上方，無論為任

9、何實數(shù)，都有； 當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數(shù)，都有 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；拋物線與軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根拋物線與軸只有一個交點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根拋物線與軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數(shù)根. 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，的符號，或由二次函數(shù)中，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，

10、可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標. 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：圖像參考： 第二部分 典型習題.拋物線yx22x2的頂點坐標是 （ D ）A.（2，2） B.（1，2） C.（1，3） D.（1，3）.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ C）ab0，c0ab0，c0ab0，c0ab0，c0 第,題圖 第4題圖.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，c

11、0 Da0，b0，c0.如圖，已知中，BC=8，BC上的高，D為BC上一點，交AB于點E，交AC于點F（EF不過A、B），設(shè)E到BC的距離為，則的面積關(guān)于的函數(shù)的圖象大致為（ ）.拋物線與x軸分別交于A、B兩點，則AB的長為 4 6.已知二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標為、（），則對于下列結(jié)論：當x2時，y1；當時，y0；方程有兩個不相等的實數(shù)根、；，；，其中所有正確的結(jié)論是（只需填寫序號）7.已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B；一拋物線的解析式為.（1）若該拋物線過點B，且它的頂點P在直線上，試確定這條拋物線的解析式；（2）過點B作直線BCAB交x軸交于點C，若拋物線的對稱軸恰好過C點，試確定

12、直線的解析式.解：（1）或 將代入，得.頂點坐標為，由題意得，解得.（2）8.有一個運算裝置，當輸入值為x時，其輸出值為，且是x的二次函數(shù)，已知輸入值為,0,時, 相應(yīng)的輸出值分別為5,（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）在所給的坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象寫出當輸出值為正數(shù)時輸入值的取值范圍. 解：（1）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為,yOx則,即 ,解得故所求的解析式為:.（2)函數(shù)圖象如圖所示.由圖象可得，當輸出值為正數(shù)時，輸入值的取值范圍是或第9題9.某生物興趣小組在四天的實驗研究中發(fā)現(xiàn)：駱駝的體溫會隨外部環(huán)境溫度的變化而變化，而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同他們將一頭駱駝

13、前兩晝夜的體溫變化情況繪制成下圖請根據(jù)圖象回答：第一天中，在什么時間范圍內(nèi)這頭駱駝的體溫是上升的?它的體溫從最低上升到最高需要多少時間? 第三天12時這頭駱駝的體溫是多少?興趣小組又在研究中發(fā)現(xiàn)，圖中10時到 22時的曲線是拋物線，求該拋物線的解 析式解：第一天中，從4時到16時這頭駱駝的體溫是上升的 它的體溫從最低上升到最高需要12小時第三天12時這頭駱駝的體溫是39 10.已知拋物線與x軸交于A、 B兩點，與y軸交于點C是否存在實數(shù)a，使得ABC為直角三角形若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由解：依題意，得點C的坐標為（0，4） 設(shè)點A、B的坐標分別為（，0），（，0）， 由，解得，

14、 點A、B的坐標分別為（-3，0），（，0） ， ，當時，ACB90 由， 得 解得 當時，點B的坐標為（，0）， 于是 當時，ABC為直角三角形當時，ABC90由，得解得當時，點B（-3，0）與點A重合，不合題意當時，BAC90由，得解得不合題意綜合、，當時，ABC為直角三角形11.已知拋物線yx2mxm2. （1）若拋物線與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側(cè)，并且AB，試求m的值；（2）設(shè)C為拋物線與y軸的交點，若拋物線上存在關(guān)于原點對稱的兩點M、N，并且 MNC的面積等于27，試求m的值.解: (1)（x1，0）,B(x2，0) . 則x1 ，x2是方程 x2mxm20的兩根.x1 x

15、2 m , x1x2 =m2 0 即m2 ;又ABx1 x2 , m24m3=0 . NMCxyO解得：m=1或m=3(舍去) , m的值為1 . （2）M(a，b)，則N(a，b) . M、N是拋物線上的兩點, 得：2a22m40 . a2m2 .當m2時，才存在滿足條件中的兩點M、N. .這時M、N到y(tǒng)軸的距離均為, 又點C坐標為（0，2m）,而SM N C = 27 ,2（2m）=27 .解得m=7 . 12.已知：拋物線與x軸的一個交點為A（1，0）（1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；（2）D是拋物線與y軸的交點，C是拋物線上的一點，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋

16、物線的解析式；（3）E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為52的點，如果點E在（2）中的拋物線上，且它與點A在此拋物線對稱軸的同側(cè)，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使APE的周長最小?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由解法一：（1）依題意，拋物線的對稱軸為x2 拋物線與x軸的一個交點為A（1，0）， 由拋物線的對稱性，可得拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為（3，0）（2） 拋物線與x軸的一個交點為A（1， 0）， t3a D（0，3a） 梯形ABCD中，ABCD，且點C在拋物線 上， C（4，3a） AB2，CD4 梯形ABCD的面積為9， a1 所求拋物線的解析式為或（3）設(shè)點

17、E坐標為（，）.依題意， 且 設(shè)點E在拋物線上，解方程組 得 點E與點A在對稱軸x2的同側(cè)， 點E坐標為（，）設(shè)在拋物線的對稱軸x2上存在一點P，使APE的周長最小 AE長為定值， 要使APE的周長最小，只須PAPE最小 點A關(guān)于對稱軸x2的對稱點是B（3，0）， 由幾何知識可知，P是直線BE與對稱軸x2的交點設(shè)過點E、B的直線的解析式為， 解得 直線BE的解析式為 把x2代入上式，得 點P坐標為（2，）設(shè)點E在拋物線上， 解方程組 消去，得 0 . 此方程無實數(shù)根綜上，在拋物線的對稱軸上存在點P（2，），使APE的周長最小解法二：（1） 拋物線與x軸的一個交點為A（1，0）， t3a 令 y

18、0，即解得 ， 拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為（3，0）（2）由，得D（0，3a） 梯形ABCD中，ABCD，且點C在拋物線上， C（4，3a） AB2，CD4 梯形ABCD的面積為9， 解得OD3 a1 所求拋物線的解析式為或（3）同解法一得，P是直線BE與對稱軸x2的交點 如圖，過點E作EQx軸于點Q設(shè)對稱軸與x軸的交點為F由PFEQ，可得 點P坐標為（2，）以下同解法一13.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點M的坐標（2）若點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q當點N在線段BM上運動時（點N不與點B，點M重合），設(shè)NQ的長為l，四邊形NQA

19、C的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍； （3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使PAC為直角三角形?若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；（4）將OAC補成矩形，使OAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點坐標（不需要計算過程）解：（1）設(shè)拋物線的解析式， 其頂點M的坐標是 （2）設(shè)線段BM所在的直線的解析式為，點N的坐標為N（t，h）， 解得， 線段BM所在的直線的解析式為 ，其中 s與t間的函數(shù)關(guān)系式是，自變量t的取值范圍是（3）存在符合條件的點P，且坐標是，設(shè)點P的坐標為P，則，分以

20、下幾種情況討論：i）若PAC90，則 解得：，（舍去） 點ii）若PCA90，則 解得：（舍去） 點iii）由圖象觀察得，當點P在對稱軸右側(cè)時，所以邊AC的對角APC不可能是直角（4）以點O，點A（或點O，點C）為矩形的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這邊OA（或邊OC）的對邊上，如圖a，此時未知頂點坐標是點D（1，2）， 以點A，點C為矩形的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊AC的對邊上，如圖b，此時未知頂點坐標是E，F(xiàn) 圖a 圖b14.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，1）求這個二次函數(shù)的解析式，并判斷該函數(shù)圖象與x軸的交點的個數(shù)解：根據(jù)題意，得a21. a1 這個二次函數(shù)解析式是因為這個二次函數(shù)

21、圖象的開口向上，頂點坐標是（0，2），所以該函數(shù)圖象與x軸有兩個交點15.盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分在大橋截面111000的比例圖上，跨度AB5 cm，拱高OC0.9 cm，線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長，DEAB，如圖（1）在比例圖上，以直線AB為x軸，拋物線的對稱軸為y軸，以1 cm作為數(shù)軸的單位長度，建立平面直角坐標系，如圖（2） （1）求出圖（2）上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式，寫出函數(shù)定義域； （2）如果DE與AB的距離OM0.45 cm，求盧浦大橋拱內(nèi)實際橋長（備用數(shù)據(jù)：，計算結(jié)果精確到1米）解：（1）由于頂點C在y軸上，所以設(shè)以這部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式為 因為點A（，0）（或B（，0）在拋物線上， 所以，得因此所求函數(shù)解析式為 （2）因為點D、E的縱坐標為， 所以，得 所以點D的坐標為（，