列不定方程解應(yīng)用題教師版

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)列不定方程解應(yīng)用題教學目標熟練掌握不定方程的解題技巧能夠根據(jù)題意找到等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)解方程學會解不定方程的經(jīng)典例題知識精講一、知識點說明歷史概述不定方程是數(shù)論中最古老的分支之一古希臘的丟番圖早在公元世紀就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程中國是研究不定方程最早的國家，公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，公元世紀的張丘建算經(jīng)中的百雞問題標志著中國對不定方程理論有了系統(tǒng)研究宋代數(shù)學家秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來考點說明在各類競賽考試中，

2、不定方程經(jīng)常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，除此以外，不定方程還經(jīng)常作為解題的重要方法貫穿在行程問題、數(shù)論問題等壓軸大題之中在以后初高中數(shù)學的進一步學習中，不定方程也同樣有著重要的地位，所以本講的著重目的是讓學生學會利用不定方程這個工具，并能夠在以后的學習中使用這個工具解題。二、運用不定方程解應(yīng)用題步驟1、根據(jù)題目敘述找到等量關(guān)系列出方程2、根據(jù)解不定方程方法解方程3、找到符合條件的解模塊一、不定方程與數(shù)論把拆成兩個正整數(shù)的和，一個是的倍數(shù)（要盡量?。?，一個是的倍數(shù)（要盡量大），求這兩個數(shù)【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 這是一道整數(shù)分拆的常規(guī)題可設(shè)拆成的兩個數(shù)分別為和，則有：，要讓

3、取最小值，取最大值可把式子變形為：，可見是整數(shù)，滿足這一條件的最小為7，且當時，則拆成的兩個數(shù)分別是和【答案】則拆成的兩個數(shù)分別是和甲、乙二人搬磚，甲搬的磚數(shù)是的倍數(shù)，乙搬的磚數(shù)是的倍數(shù)，兩人共搬了塊磚問：甲、乙二人誰搬的磚多？多幾塊？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 設(shè)甲搬的是塊，乙搬的是塊那么觀察發(fā)現(xiàn)和都是的倍數(shù)，所以也是的倍數(shù)由于，所以只能為6或12時，得到；時，此時不是整數(shù)，矛盾所以甲搬了塊，乙搬了塊，甲比乙搬得多，多塊【答案】甲比乙搬得多，多塊現(xiàn)有足夠多的角和角的郵票，用來付元的郵資，問角的郵票需要多少張？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答

4、設(shè)角和角的郵票分別有張和張，那么就有等量關(guān)系：嘗試的取值，當取時，能取得整數(shù)，當再增大，取大于等于的數(shù)時，沒有自然數(shù)解所以角的郵票需要張【答案】角的郵票需要張用十進制表示的某些自然數(shù)，恰等于它的各位數(shù)字之和的倍，則滿足條件的所有自然數(shù)之和為_.【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】北大附中，資優(yōu)博雅杯若是四位數(shù)，則，矛盾，四位以上的自然數(shù)也不可能。 若是兩位數(shù)，則，也不可能，故只有三位數(shù). ，化簡得.由于， 所以或.時，或，；時，. 所以所有自然數(shù)之和為.【答案】所有滿足條件的自然數(shù)之和為模塊二、不定方程與應(yīng)用題有兩種不同規(guī)格的油桶若干個，大的能裝千克油，小的能裝千

5、克油，千克油恰好裝滿這些油桶問：大、小油桶各幾個？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 設(shè)有大油桶個，小油桶個由題意得：可知，所以由于、必須為整數(shù)，所以相應(yīng)的將的所有可能值代入方程，可得時，這一組整數(shù)解所以大油桶有個，小油桶有個小結(jié)：這道題在解答時，也可聯(lián)系數(shù)論的知識，注意到能被5整除的數(shù)的特點，便可輕松求解.【答案】大油桶有個，小油桶有個在一次活動中，丁丁和冬冬到射擊室打靶，回來后見到同學“小博士”，他們讓“小博士”猜他們各命中多少次“小博士”讓丁丁把自己命中的次數(shù)乘以，讓冬冬把自己命中的次數(shù)乘以，再把兩個得數(shù)加起來告訴他，丁丁和冬冬算了一下是，“小博士”正確地說出了他們各

6、自命中的次數(shù)你知道丁丁和冬冬各命中幾次嗎？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 設(shè)丁丁和冬冬分別命中了次和次，則：可見除以4的余數(shù)為3，而且不能超過6，所以，即丁丁命中了次，冬冬命中了次【答案】丁丁命中了次，冬冬命中了次某人打靶，發(fā)共打了環(huán)，全部命中在環(huán)、環(huán)和環(huán)上問：他命中環(huán)、環(huán)和環(huán)各幾發(fā)？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 假設(shè)命中10環(huán)發(fā)，7環(huán)發(fā)，5環(huán)發(fā)，則由可知除以5的余數(shù)為3，所以、9如果為9，則，所以只能為4，代入原方程組可解得，所以他命中環(huán)發(fā)，環(huán)發(fā)，環(huán)發(fā)【答案】命中環(huán)發(fā)，環(huán)發(fā)，環(huán)發(fā)某次聚餐，每一位男賓付元，每一位女賓付元，每帶一個孩子付元，現(xiàn)在

7、有的成人各帶一個孩子，總共收了元，問：這個活動共有多少人參加(成人和孩子)？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 設(shè)參加的男賓有人，女賓有人，則由題意得方程：，即，化簡得這個方程有四組解：，和，但是由于有的成人帶著孩子，所以能被整除，檢驗可知只有后兩組滿足所以，這個活動共有人或人參加【答案】這個活動共有人或人參加單位的職工到郊外植樹，其中有男職工，也有女職工，并且有的職工各帶一個孩子參加男職工每人種棵樹，女職工每人種棵樹，每個孩子都種棵樹，他們一共種了棵樹，那么其中有多少名男職工？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 因為有的職工各帶一個孩子參加，則職工總?cè)?/p>

8、數(shù)是的倍數(shù)設(shè)男職工有人，女職工有人則職工總?cè)藬?shù)是人，孩子是人得到方程：，化簡得：因為男職工與女職工的人數(shù)都是整數(shù)，所以當時，；當時，；當，其中只有是的倍數(shù)，符合題意，所以其中有12名男職工【答案】其中有12名男職工張師傅每天能縫制件上衣，或者件裙褲，李師傅每天能縫制件上衣，或者件裙褲，兩人天共縫制上衣和裙褲件，那么其中上衣是多少件？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 如果天都縫制上衣，共可縫制件，實際上比這多縫制了件，這就要把上衣?lián)Q成裙褲，張師傅每天可多換件，李師傅每天可多換件，設(shè)張師傅縫制裙褲天，李師傅縫制裙褲天，則：，整數(shù)解只有，因此共縫制裙褲件，上衣共件【答案】上衣共

9、件小花狗和波斯貓是一對好朋友，它們在早晚見面時總要叫上幾聲表示問候若是早晨見面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫一聲；若是晚上見面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫三聲細心的小娟對它們的叫聲統(tǒng)計了天，發(fā)現(xiàn)它們并不是每天早晚都見面在這天內(nèi)它們共叫了聲問：波斯貓至少叫了多少聲？ 【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 早晨見面小花狗和波斯貓共叫聲，晚上見面共叫聲設(shè)在這15天內(nèi)早晨見面次，晚上見面次根據(jù)題意有：(，)可以湊出，當時，；當時，；當時，因為小花狗共叫了 聲，那么越大，小花狗就叫得越多，從而波斯貓叫得越少，所以當，時波斯貓叫得最少，共叫了(聲)【答案】叫了聲甲、乙兩人生產(chǎn)一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品由一

10、個配件與一個配件組成甲每天生產(chǎn)300個配件，或生產(chǎn)150個配件；乙每天生產(chǎn)120個配件，或生產(chǎn)48個配件為了在10天內(nèi)生產(chǎn)出更多的產(chǎn)品，二人決定合作生產(chǎn)，這樣他們最多能生產(chǎn)出多少套產(chǎn)品？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 假設(shè)甲、乙分別有天和天在生產(chǎn)配件，則他們生產(chǎn)配件所用的時間分別為天和天，那么10天內(nèi)共生產(chǎn)了配件個，共生產(chǎn)了配件個要將它們配成套，配件與配件的數(shù)量應(yīng)相等，即，得到，則此時生產(chǎn)的產(chǎn)品的套數(shù)為，要使生產(chǎn)的產(chǎn)品最多，就要使得最大，而最大為10，所以最多能生產(chǎn)出套產(chǎn)品【答案】最多能生產(chǎn)出套產(chǎn)品某服裝廠有甲、乙兩個生產(chǎn)車間，甲車間每天能生產(chǎn)上衣16件或褲子20件；乙

11、車間每天能生產(chǎn)上衣18件或褲子24件現(xiàn)在要上衣和褲子配套，兩車間合作21天，最多能生產(chǎn)多少套衣服？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 假設(shè)甲、乙兩個車間用于生產(chǎn)上衣的時間分別為天和天，則他們用于生產(chǎn)褲子的天數(shù)分別為天和天，那么總共生產(chǎn)了上衣件，生產(chǎn)了褲子件根據(jù)題意，褲子和上衣的件數(shù)相等，所以，即，即那么共生產(chǎn)了套衣服要使生產(chǎn)的衣服最多，就要使得最小，則應(yīng)最大，而最大為21，此時故最多可以生產(chǎn)出套衣服【答案】最多可以生產(chǎn)出套衣服有一項工程，甲單獨做需要天完成，乙單獨做需要天完成，丙單獨做需要天完成，現(xiàn)在由甲、乙、丙三人同時做，在工作期間，丙休息了整數(shù)天，而甲和乙一直工作至完成

12、，最后完成這項工程也用了整數(shù)天，那么丙休息了 天【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 設(shè)完成這項工程用了天，其間丙休息了天根據(jù)題意可知：，化簡得由上式，因為與都是的倍數(shù)，所以必須是的倍數(shù)，所以是的倍數(shù)，在 的條件下，只有，一組解，即丙休息了天【答案】丙休息了天實驗小學的五年級學生租車去野外開展“走向大自然，熱愛大自然”活動，所有的學生和老師共人恰好坐滿了輛大巴車和輛中巴車，已知每輛中巴車的載客人數(shù)在人到人之間，求每輛大巴車的載客人數(shù)【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 設(shè)每輛大巴車和中巴車的載客人數(shù)分別為人和人，那么有：由于知道中巴車的載客人數(shù)，也就是知道了

13、的取值范圍，所以應(yīng)該從入手顯然被除所得的余數(shù)與被除所得的余數(shù)相等，從個位數(shù)上來考慮，的個位數(shù)字只能為1或6，那么當?shù)膫€位數(shù)是或時成立由于的值在20與25之間，所以滿足條件的，繼而求得，所以大巴車的載客人數(shù)為人【答案】大巴車的載客人數(shù)為人實驗小學的五年級學生租車去野外開展“走向大自然，熱愛大自然”活動，所有的學生和老師共人恰好坐滿了輛大巴車和輛中巴車，已知每輛中巴車的載客人數(shù)在人到人之間，求每輛大巴車的載客人數(shù)設(shè)大巴車和中巴車的載客人數(shù)分別為人和人，那么有：考慮等式兩邊除以7的余數(shù)，由于被除余，所以被除余，符合條件的有：、，所以，繼而求得，所以大巴車的載客人數(shù)為人【答案】大巴車的載客人數(shù)為人每輛

14、大汽車能容納54人，每輛小汽車能容納36人現(xiàn)有378人，要使每個人都上車且每輛車都裝滿，需要大、小汽車各幾輛？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 設(shè)需要大、小汽車分別為輛、輛，則有：，可化為可以看出是3的倍數(shù)，又不超過10，所以可以為0、3、6或9，將、3、6、9分別代入可知有四組解：；或；或；或即需大汽車1輛，小汽車9輛；或大汽車3輛，小汽車6輛；或大汽車5輛，小汽車3輛；或大汽車7輛【答案】大汽車1輛，小汽車9輛；或大汽車3輛，小汽車6輛；或大汽車5輛，小汽車3輛；或大汽車7輛小偉聽說小峰養(yǎng)了一些兔和雞，就問小峰：“你養(yǎng)了幾只兔和雞？”小峰說：“我養(yǎng)的兔比雞多，雞兔共條

15、腿”那么小峰養(yǎng)了多少兔和雞？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 這是一道雞兔同籠問題，但由于已知雞兔腿的總數(shù)，而不是雞兔腿數(shù)的差，所以用不定方程求解設(shè)小峰養(yǎng)了只兔子和只雞，由題意得： 即：，這是一個不定方程，其可能整數(shù)解如下表所示：由題意，且，均不為，所以，也就是兔有只，雞有只【答案】兔有只，雞有只一個家具店在1998年總共賣了213張床起初他們每個月賣出25張床，之后每個月賣出16張床，最后他們每個月賣出20張床問：他們共有多少個月是賣出25張床？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】香港保良局亞洲區(qū)城市小學數(shù)學邀請賽設(shè)賣出25、16、20張床

16、的月份分別為、個月，則：由得，代入得顯然這個方程的正整數(shù)解只有，所以只有1個月是賣出25張床的【答案】只有1個月是賣出25張床的五年級一班共有人，每人參加一個興趣小組，共有、五個小組若參加組的有人，參加組的人數(shù)僅次于組，參加組、組的人數(shù)相同，參加組的人數(shù)最少，只有人那么，參加組的有_人【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】希望杯，二試設(shè)參加組的有人，參加組、組的有人，則，由題知，整理得；由于，若，得，滿足題意；若，則，與矛盾；所以只有，符合條件，故參加組的有人【答案】參加組的有人將一群人分為甲乙丙三組，每人都必在且僅在一組已知甲乙丙的平均年齡分為，.甲乙兩組人合起來

17、的平均年齡為；乙丙兩組人合起來的平均年齡為則這一群人的平均年齡為 .【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】我愛數(shù)學夏令營設(shè)甲乙丙三組分別有人，依提議有： 由化簡可得，由化簡可得，所以； 因此，這一群人的平均年齡為【答案】個大、中、小號鋼珠共重克，大號鋼珠每個重克，中號鋼珠每個重克，小號鋼珠每個重克問：大、中、小號鋼珠各有多少個？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 設(shè)大、中、小號鋼珠分別有個，個和個，則： ，得可見是3的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)，且小于30，所以只能為21，故，代入得，所以大、中、小號鋼珠分別有3個、3個和8個【答案】大、中、小號鋼珠分別

18、有3個、3個和8個袋子里有三種球，分別標有數(shù)字，和，小明從中摸出12個球，它們的數(shù)字之和是問：小明最多摸出幾個標有數(shù)字的球？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 設(shè)小明摸出標有數(shù)字，和的球分別為，個，于是有 由，得，由于，都是正整數(shù)，因此在中，取時取最大值，所以小明最多摸出5個標有數(shù)字2的球【答案】最多摸出5個標有數(shù)字2的球公雞1只值錢5，母雞一只值錢3，小雞三只值錢1，今有錢100，買雞100只，問公雞、母雞、小雞各買幾只？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 設(shè)買公雞、母雞、小雞各、只，根據(jù)題意，得方程組 由，得，即：，因為、為正整數(shù)，所以不難得出應(yīng)為的

19、倍數(shù)，故只能為、，從而相應(yīng)的值分別為、，相應(yīng)的值分別為、所以，方程組的特殊解為，所以公雞、母雞、小雞應(yīng)分別買只、只、只或只、只、只或只、只、只【答案】公雞、母雞、小雞應(yīng)分別買只、只、只或只、只、只或只、只、只小明玩套圈游戲，套中小雞一次得分，套中小猴得分，套中小狗得分小明共套了次，每次都套中了，每個小玩具都至少被套中一次，小明套次共得分問：小明至多套中小雞幾次？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 設(shè)套中小雞次，套中小猴次，則套中小狗()次根據(jù)得分可列方程：，化簡后得顯然越小，越大將代入得，無整數(shù)解；若，解得，所以小明至多套中小雞次【答案】小明至多套中小雞次開學前，寧寧拿著媽

20、媽給的元錢去買筆，文具店里的圓珠筆每支元，鉛筆每支元寧寧買完兩種筆后把錢花完請問：她一共買了幾支筆？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 (法一)由于題中圓珠筆與鉛筆的數(shù)量都不知道，但總費用已知，所以可以根據(jù)不定方程分析兩種筆的數(shù)量，進而得解設(shè)她買了支圓珠筆，支鉛筆，由題意列方程：，所以，因為均為整數(shù)，所以應(yīng)該能被整除，又因為，所以或，當時，當時，寧寧共買了支筆或支筆(法二)換個角考慮：將“一支圓珠筆和一支鉛筆”看成一對，分析寧寧可能買了幾對筆，不妨設(shè)為對，余下的一定是圓珠筆與鉛筆中的唯一一種一對筆的售價為“元，由題意可知，又為整數(shù)當時，余款為，不能被或整除，這種情況不可能；

21、當時，余款為，能被整除，也就是說配對后，余下支圓珠筆此時，寧寧買了支圓珠筆，支鉛筆，共支筆當時，余款為，能被整除，也就是說配對后，余下支圓珠筆此時，寧寧買了支圓珠筆，支鉛筆，共支筆當時，余款為，不能被或整除，這種情況不可能，由上面的分析可知，寧寧共買了支筆或支筆【答案】寧寧共買了支筆或支筆小華和小強各用角分買了若干支鉛筆，他們買來的鉛筆中都是分一支和分一支的兩種，而且小華買來的鉛筆比小強多小華比小強多買來鉛筆多少支【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】迎春杯，預(yù)賽設(shè)買分一支的鉛筆支，分一支的鉛筆支則：，是的倍數(shù)用，代入檢驗，只有，滿足這一要求，得出相應(yīng)的，即小華買鉛

22、筆支，小強買鉛筆支，小華比小強多買支【答案】小華比小強多買支藍天小學舉行“迎春”環(huán)保知識大賽，一共有名男、女選手參加初賽，經(jīng)過初賽、復(fù)賽，最后確定了參加決賽的人選已知參加決賽的男選手的人數(shù)，占初賽的男選手人數(shù)的；參加決賽的女選手的人數(shù)，占初賽的女選手人數(shù)的，而且比參加初賽的男選手的人數(shù)多參加決賽的男、女選手各有多少人？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 由于參加決賽的男選手的人數(shù)，占初賽的男選手人數(shù)的；參加決賽的女選手的人數(shù)，占初賽時女選手人數(shù)的，所以參加初賽的男選手人數(shù)應(yīng)是的倍數(shù)，參加初賽的女選手的人數(shù)應(yīng)是的倍數(shù)設(shè)參加初賽的男生為人，參加初賽的女生為人根據(jù)題意可列方程：解

23、得，或又因為參加決賽的女選手的人數(shù)，比參加決賽的男選手的人數(shù)多，也就是要比大，所以第一組解不合適，只有，滿足故參加決賽的男選手為人，女選手為人【答案】男選手為人，女選手為人今有桃個，分給甲、乙兩班學生吃，甲班分到的桃有是壞的，其他是好的；乙班分到的桃有是壞的，其他是好的甲、乙兩班分到的好桃共有幾個？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 甲班分到的桃是的倍數(shù)，乙班分到的桃是的倍數(shù)，假設(shè)甲班分到桃個，乙班分到桃個于是：，解得，即甲班分到桃(個)，乙班分到桃(個)所以，兩班共分到好桃 (個)【答案】兩班共分到好桃個甲、乙兩人各有一袋糖，每袋糖都不到粒如果甲給乙一定數(shù)量的糖后，甲的糖

24、就是乙的倍；如果乙給甲同樣數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的倍甲、乙兩人共有多少粒糖？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 設(shè)甲、乙原有糖分別為粒、粒，甲給乙的數(shù)量為粒，則依題意有：，且整理得由得，代入得，即因，故或若，則，不合題意因而，對應(yīng)方程組有唯一解，則甲、乙共有糖粒【答案】甲、乙共有糖粒有兩小堆磚頭，如果從第一堆中取出塊放到第二堆中去，那么第二堆將比第一堆多一倍如果相反，從第二堆中取出若干塊放到第一堆中去，那么第一堆將是第二堆的倍問：第一堆中的磚頭最少有多少塊？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 設(shè)第一堆磚有塊，則根據(jù)第一個條件可得第二堆磚有塊再設(shè)從第二堆

25、中取出塊放在第一堆后，第一堆將是第二堆的倍，可列方程：，化簡得，那么因為是整數(shù)，與互質(zhì)，所以應(yīng)是的倍數(shù)，最小是，推知最小是，所以，第一堆中的磚頭最少有塊【答案】第一堆中的磚頭最少有塊甲乙丙三個班向希望工程捐贈圖書，已知甲班有人捐冊，有人各捐冊，其余都各捐冊，乙班有人捐冊，人各捐冊，其余各捐冊；丙班有人各卷冊，人各捐冊，其余各捐冊。已知甲班捐書總數(shù)比乙班多冊，乙班比丙班多冊，各班捐書總數(shù)在冊與冊之間，問各班各有多少人？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】華杯賽，復(fù)賽我們設(shè)甲班有人，乙班有人，丙班有人，那么三個班的捐書數(shù)目分別為：，根據(jù)題意有：，即有又因為各班的捐書數(shù)

26、目都在到之間，因此我們知道：捐書最多的甲班有，而捐書最少的丙班有，從而有，于是有，所以有或。經(jīng)檢驗，當時，不是整數(shù)，而當時，有，也就是說，甲乙丙三班人數(shù)分別為，?！敬鸢浮考滓冶嗳藬?shù)分別為，在新年聯(lián)歡會上，某班組織了一場飛鏢比賽如右圖，飛鏢的靶子分為三塊區(qū)域，分別對應(yīng)分、分和分每人可以扔若干次飛鏢，脫靶不得分，投中靶子就可以得到相應(yīng)的分數(shù)若恰好投在兩塊(或三塊)區(qū)域的交界線上，則得兩塊(或三塊)區(qū)域中分數(shù)最高區(qū)域的分數(shù)如果比賽規(guī)定恰好投中分才能獲獎，要想獲獎至少需要投中 次飛鏢【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級組，復(fù)賽假設(shè)投中17分、11分、4分的

27、次數(shù)分別為次、次和次，那么投中飛鏢的總次數(shù)為次，而總得分為分，要想獲獎，必須由于，得到當?shù)闹狄欢ê?，要使最小，必須使盡可能大若，得到，此時無整數(shù)解；若，得到，此時，；若，得到，此時最大為4，當時，這種情況下；若，得到，此時，；若，得到，此時最大為6，當時，這種情況下；若，得到，此時最大為9，當時，這種情況下；若，得到，此時最大為8，當時，這種情況下經(jīng)過比較可知的值最小為10，所以至少需要投中10次飛鏢才能獲獎【答案】至少需要投中10次飛鏢才能獲獎模塊三、不定方程與生活中的應(yīng)用題某地用電收費的標準是：若每月用電不超過度，則每度收角；若超過度，則超出部分按每度角收費某月甲用戶比乙用戶多交元角電費，

28、這個月甲、乙各用了多少度電？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 3元3角即33角，因為既不是的倍數(shù)又不是的倍數(shù)，所以甲、乙兩用戶用電的情況一定是一個超過了50度，另一個則沒有超過由于甲用戶用電更多，所以甲用戶用電超過度，乙用戶用電不足度設(shè)這個月甲用電度，乙用電度因為甲比乙多交角電費，所以有容易看出，可知甲用電度，乙用電度【答案】甲用電度，乙用電度某區(qū)對用電的收費標準規(guī)定如下：每月每戶用電不超過度的部分，按每度元收費；超過度而不超過度的部分，按每度元收費；超過度的部分按每度元收費某月甲用戶比乙用戶多交電費元，乙用戶比丙用戶多交元，那么甲、乙、丙三用戶共交電費多少元？(用電都按

29、整度數(shù)收費)【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 由于丙交的電費最少，而且是求甲、乙電費的關(guān)鍵，先分析一下他的用電度數(shù)因為乙用戶比丙用戶多交元，所以二者中必有一個用電度數(shù)小于度(否則差中不會出現(xiàn)元)，丙用電少，所以丙用電度數(shù)小于度，乙用電度數(shù)大于度，但是不會超過度(否則甲、乙用電均超過度，其電費差應(yīng)為的整數(shù)倍，而不會是元)設(shè)丙用電()度，乙用電()度，由題意得：所以是的倍數(shù)，又均為整數(shù)，且都大于小于所以，所以丙用電度，交電費元；乙交電費元，甲交電費元，三戶共交電費元【答案】三戶共交電費元馬小富在甲公司打工，幾個月后又在乙公司兼職，甲公司每月付給他薪金元，乙公司每月付給他薪金元

30、年終，馬小富從兩家公司共獲薪金元他在甲公司打工 個月，在乙公司兼職 個月【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 設(shè)馬小富在甲公司打工月，在乙公司兼職月(，、都是不大于的自然數(shù))，則有，化簡得若為偶數(shù)，則的末位數(shù)字為，從而的末位數(shù)字必為，這時但時，不是整數(shù)，不合題意，所以必為奇數(shù)為奇數(shù)時，的末位數(shù)字為，從而的末位數(shù)字為，或但時容易看出，與矛盾所以，代入得于是馬小富在甲公司打工個月，在乙公司兼職個月【答案】在甲公司打工個月，在乙公司兼職個月甲、乙、丙、丁、戊五人接受了滿分為分(成績都是整數(shù))的測驗已知：甲得了分，乙得了最高分，丙的成績與甲、丁的平均分相等，丁的成績剛好等于五人的平均

31、分，戊比丙多分求乙、丙、丁、戊的成績【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 法一：方程法 設(shè)丁的分數(shù)為分，乙的分數(shù)為分，那么丙的分數(shù)為分，戊的分數(shù)為分，根據(jù)“丁的成績剛好等于五人的平均分”，有，所以因為，所以，得到，故，代入得所以丁得分，丙得分，戊得分，乙得分法二：推理法因為丁為五人的平均分，所以丁不是成績最低的；丙的成績與甲、丁的平均分相等，所以丙在甲與丁之間；又因為戊和乙都比丙的成績高，所以乙、丙、丁、戊都不是最低分，那么甲的成績是最低的因為甲是分，所以丁可能是分或分(由丙的成績與甲、丁的平均分相等知丁的得分是偶數(shù))，經(jīng)檢驗丁得分時與題意不符，所以丁得分，則丙得分，戊得分，

32、乙得分【答案】丁得分，則丙得分，戊得分，乙得分有兩個學生參加4次數(shù)學測驗，他們的平均分數(shù)不同，但都是低于90分的整數(shù)他們又參加了第5次測驗，這樣5次的平均分數(shù)都提高到了90分求第5次測驗兩人的得分(每次測驗滿分為100分)【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 設(shè)某一學生前4次的平均分為分，第5次的得分為分，則其5次總分為，于是顯然，故，解得由于為整數(shù)，可能為88和89，而且這兩個學生前4次的平均分不同，所以他們前4次的平均分分別為88分和89分，那么他們第5次的得分分別為：分；分【答案】第5次的得分分別為：分；分小明、小紅和小軍三人參加一次數(shù)學競賽，一共有100道題，每個人各

33、解出其中的60道題，有些題三人都解出來了，我們稱之為“容易題”；有些題只有兩人解出來，我們稱之為“中等題”；有些題只有一人解出來，我們稱之為“難題”已知每個題都至少被他們中的一人解出，則難題比容易題多 道【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】填空 設(shè)容易題、中等題和難題分別有道、道、道，則，由得，即，所以難題比容易題多20道【答案】難題比容易題多20道甲、乙兩個同學在一次數(shù)學擂臺賽中，試卷上有解答題、選擇題、填空題各若干個，而且每個小題的分值都是自然數(shù)結(jié)果公布后，已知甲做對了5道解答題，7道選擇題，9道填空題，共得52分；乙做對了7道解答題，9道選擇題，11道填空題，共得68分問：解答題、選擇題、填空題的每道小題各多少分？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 設(shè)每道解答題為分，每道選擇題為分，每道填空題為分，有，解得因為、都是自然數(shù)，而且不為0，所以有，或者，分別代入原方程解得或者所以解答題、選擇題、填空題的每道小題的分數(shù)分別為4分、2分、2分或者3分、4分、1分【答案】每道小題的分數(shù)分別為4分、2分、2分或者3分、4分、1分甲乙丙三人參加一個共有個選擇題的比賽，計分辦法是在分的基礎(chǔ)上，每答對一題加分，答錯一題扣分，不答既不扣分