第八章非平穩(wěn)和季節(jié)時間序列模型分析方法ppt課件

1、非平穩(wěn)和季節(jié)時間序列模型分析方法 在第四章中，我們引見了非平穩(wěn)時間序列模型，但是在前面的討論中，對于時間序列的特性分析，以及模型的統(tǒng)計分析都集中于平穩(wěn)時間序列問題上。本章將引見幾個非平穩(wěn)時間序列的建模方法，并且分析不同的非平穩(wěn)時間序列模型的動態(tài)性質(zhì)。8.1 ARIMA模型的分析方法8.1.1 ARIMA模型的構(gòu)造具有如下構(gòu)造的模型稱為求和自回歸挪動平均(Autoregressive Integrated Moving Average)，簡記為ARIMA(p,d,q)模型： (8.1) 式中：式(8.1)可以簡記為：式中， 為零均值白噪聲序列。由式(8.2)顯而易見，ARIMA模型的本質(zhì)就是差分

2、運算與ARMA模型的組合。這一關(guān)系意義艱苦，這闡明任何非平穩(wěn)序列只需經(jīng)過適當階數(shù)的差分運算實現(xiàn)差分后平穩(wěn)，就可以對差分后序列進展ARMA模型擬合了。而ARMA模型的分析方法非常成熟，這意味著對差分平穩(wěn)序列的分析也將是非常簡單、非?？煽康牧?。 (8.2)例如，設(shè)ARIMA(1,1,1)模型圖8.1是給出的ARIMA(1,1,1)模型一個模擬數(shù)據(jù)，樣本容量為200，可以看出時間趨勢是非常明顯的。圖8.2是經(jīng)過一階差分得到的數(shù)據(jù)。經(jīng)過一階差分我們看到下降的時間趨勢被去掉，新的序列看起來是平穩(wěn)的。圖8.1 ARIMA(1,1,1)模型一個模擬數(shù)據(jù) 圖8.2 模擬數(shù)據(jù)的一階差分數(shù)據(jù) 求和自回歸挪動平均模

3、型這個名字的由來是由于階差分后序列可以表示為：式中， ，即差分后序列等于原序列的假設(shè)干序列值的加權(quán)和，而對它又可以擬合自回歸挪動平均(ARMA)模型，所以稱它為求和自回歸挪動平均模型。 特別地，當d=0時，ARIMA(p,d,q)模型實踐上就是ARMA(p,q)模型；當p=0時，ARIMA(o,d,q)模型可以簡記為IAM(d,q)模型；當q=0時，ARIMA(p,d,0)模型可以簡記為ARI(p,d)模型.當d=1,p=q=0時，ARIMA(0,1,0)模型為： (8.3)該模型被稱為隨機游走(Random Walk)模型，或醉漢模型。隨機游走模型的產(chǎn)生有一個有趣的典故。它最早于1905年7

4、月由卡爾皮爾遜(Karl Pearson)在雜志上作為一個問題提出：假設(shè)有一個醉漢醉得非常嚴重，完全喪失方向感，把他放在荒郊野外，一段時間之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？思索到他完全喪失方向感，那么他第步的位置將是他第步的位置再加一個完全隨機的位移。用數(shù)學模型來描畫恣意時辰這個醉漢能夠的位置，即為一個隨即游走模型(8.3)。 1905年8月，雷利爵士(Lord Rayleigh)對卡爾皮爾遜的這個問題作出了解答。他算出這個醉漢離初始點的間隔為至的概率為：且當n很大時，該醉漢離初始點的間隔服從零均值正態(tài)分布。這意味著，假設(shè)有人想去尋覓醉漢的話，最好是去初始點附近找他，該地點是醉漢未來

5、位置的無偏估計值。作為一個最簡單的ARIMA模型，隨機游走模型目前廣泛運用于計量經(jīng)濟學領(lǐng)域。傳統(tǒng)的經(jīng)濟學家普遍以為投機價錢的走勢類似于隨機游走模型，隨機游走模型也是有效市場實際(Efficient Market Theory)的中心。8.1.2 ARIMA模型的性質(zhì)一、平穩(wěn)性假設(shè)服從ARIMA(p,d,q)模型：式中：記 ， 被稱為廣義自回歸系數(shù)多項式。顯然ARIMA模型的平穩(wěn)性完全由 的根的性質(zhì)決議。由于階差分后平穩(wěn)，服從ARMA(p,q)模型，所以無妨設(shè)那么 (8.4)由式(8.4)容易判別，ARIMA(p,d,q)模型的廣義自回歸系數(shù)多項式共有p+d個特征根，其中p個在單位圓內(nèi)，d個在單

6、位圓上。由于有d個特征根在單位圓上而非單位圓內(nèi)，所以當 時，ARIMA(p,d,q)模型不平穩(wěn)。二、方差齊性對于ARIMA(p,d,q)模型，當 時，不僅均值非平穩(wěn)，序列方差也非平穩(wěn)。以最簡單的隨機游走模型ARIMA(0,1,0)為例：那么這是一個時間的遞增函數(shù)，隨著時間趨向無窮，序列 的方差也趨向無窮。但1階差分之后，差分后序列方差齊性8.1.3 ARIMA模型建模在掌握了ARMA模型建模的方法之后，嘗試運用ARIMA模型對察看序列建模是一件比較簡單的事情。它遵照如下的操作流程，如以下圖所示： 圖8.3 ARIMA模型建模流程8.1.4 ARIMA模型預(yù)測在最小均方誤差預(yù)測原理下，ARIMA

7、模型的預(yù)測和ARMA模型的預(yù)測方法非常類似。 ARIMA(p,d,q)模型的普通表示方法為： 和ARMA模型一樣，也可以用歷史觀測值的線性函數(shù)表示它：式中， 的值由如下等式確定：假設(shè)把 記為廣義自相關(guān)函數(shù)，有容易驗證 的值滿足如下遞推公式：式中，那么， 的真實值為：由于 的不可獲得性，所以 的估計值只能為：真實值與預(yù)告值之間的均方誤差為：要使均方誤差最小，當且僅當：所以，在均方誤差最小的原那么下，期預(yù)告值為：期預(yù)告誤差為：真實值等于預(yù)告值加上預(yù)告誤差：期預(yù)告的方差為：例8.1 對1950年2005年我國進出口貿(mào)易總額數(shù)據(jù)單位：億元人民幣序列建立ARIMA模型數(shù)據(jù)見附錄1.151. 對原序列NX

8、的分析 (1) 做出1950年2005年我國進出口貿(mào)易總額數(shù)據(jù)NX的時序圖及自相關(guān)圖，如圖8.4，圖8.5。 圖8.4 圖8.5 (2) 對該序列做單位根檢驗，原假設(shè)：；備擇假設(shè)：，檢驗結(jié)果如圖8.4。圖8.6 根據(jù)圖8.6的檢驗結(jié)果，我們可以以為這一序列非平穩(wěn)。2. 對原序列取對數(shù)并分析 由于這一序列有著非常明顯的指數(shù)趨勢，因此我們對它進展取對數(shù)的運算，以消除指數(shù)趨勢的影響，將取對數(shù)后的序列命名為 ，即 。 作出序列 的時序圖與自相關(guān)圖分別如圖8.7，8.8。 圖8.7 圖8.8 依然對序列 做單位根檢驗，檢驗結(jié)果如圖8.9。 圖8.9 根據(jù)這一檢驗結(jié)果，我們看到這一序列依然沒有平穩(wěn)，結(jié)合圖

9、8.7和圖8.8，我們看到在序列 中有著明顯的增長趨勢，因此我們還需求對其進展差分處置。 3. 對序列 進展查分處置 我們將序列 進展一階差分處置，得到一個新序列 ，即 。 畫出序列 的時序圖，并進展相應(yīng)的單位根檢驗，如圖8.10，圖8.11。 圖8.10 圖8.11 根據(jù)上述結(jié)果，可以以為這一序列曾經(jīng)平穩(wěn)，接下來，可以針對該序列做進一步的建模擬合。4. 針對平穩(wěn)序列 的建立ARMA模型(1) 畫出序列 的自相關(guān)圖，如圖。根據(jù)該圖，我們可以初步判別該序列的偏自相關(guān)圖一階截尾，而針對自相關(guān)圖并不能馬上做出判別。圖8.12(2) 針對序列 我們嘗試幾種不同的模型擬合，比如ARMA1，1，ARMA1

10、，2，ARMA1，3等。經(jīng)過不斷的嘗試，我們最終選擇了ARMA1，6模型，并且該模型中挪動平均部分的系數(shù)只需MA6的系數(shù)是顯著的，這樣我們就把1-5階的系數(shù)全部放棄，最終的估計結(jié)果如圖8.13。 圖8.13經(jīng)過圖8.11，我們可以看到最終選擇的模型的整體檢驗效果還是良好的。 (5) 對擬合模型后的殘差序列做純隨機性檢驗，檢驗結(jié)果如圖8.14。 圖8.14 經(jīng)過這一檢驗，我們看到殘差序列曾經(jīng)可以以為是一個純白噪聲的序列，闡明我們的模型曾經(jīng)將有用信息充分提取了。 這一模型的整體擬合效果見圖8.15。 圖8.15 綜合上述分析過程，實踐上我們是針對原序列NX：1950年2005年我國進出口貿(mào)易總額數(shù)

11、據(jù)序列，建立了一個ARIMA1，1，6模型進展擬合，模型機構(gòu)如下：8.2 季節(jié)時間序列模型的分析方法8.2.1季節(jié)時間序列的重要特征一、季節(jié)時間序列表示許多商業(yè)和經(jīng)濟時間序列都包含季節(jié)景象，例如，冰淇淋的銷量的季度序列在夏季最高，序列在每年都會反復(fù)這一景象。相應(yīng)的周期為4。類似地，在美國汽車的月度銷售量和銷售額數(shù)據(jù)在每年的7月和8月也趨于下降，由于每年這時汽車廠家將會推出新的產(chǎn)品；在西方，玩具的銷售量在每年12月份會添加，主要是由于圣誕節(jié)的緣故；在中國，每年農(nóng)歷5月份糯米的銷售量大大地添加，這是由于中國的端午節(jié)有吃粽子的習慣。以上三種情況的季節(jié)周期都是12個月。由上面的例子可以看到，很多的實踐

12、問題中，時間序列會顯示出周期變化的規(guī)律，這種周期性是由于季節(jié)變化或其他物理要素所致，我們稱這類序列為季節(jié)性序列。單變量的時間序列為了分析方便，可以編制成一個二維的表格，其中一維表示周期，另一維表示某個周期的一個觀測值，如表8.1所示。 表8.1 單變量時間序列觀測數(shù)據(jù)表例如，19932000年各月中國社會消費品零售總額序列，是一個月度資料，其周期S=12，起點為1993年1月，詳細數(shù)據(jù)見附錄。二、季節(jié)時間序列的重要特征季節(jié)性時間序列的重要特征表現(xiàn)為周期性。在一個序列中，假設(shè)經(jīng)過S個時間間隔后觀測點呈現(xiàn)出類似性，比好像處于波峰或波谷，我們就說該序列具有以S為周期的周期特性。具有周期特性的序列稱為

13、季節(jié)時間序列，S為周期的長度，不同的季節(jié)時間序列會表現(xiàn)出不同的周期，季度資料的一個周期表現(xiàn)為一年的四個季度，月度資料的周期表現(xiàn)為一年的12各月，周資料表現(xiàn)為一周的7天或5天。例如，圖8.16的數(shù)據(jù)是1993年1月到2000年12月的中國社會消費品月銷售總額。 圖8.16 1993年1月2000年12月的中國社會消費品月銷售總額當然影響一個季節(jié)性時間序列的要素除了季節(jié)要素外，還存在趨勢變動和不規(guī)那么變動等。我們研討季節(jié)性時間序列的目的就是分解影響經(jīng)濟目的變量的季節(jié)要素、趨勢要素和不規(guī)那么要素，據(jù)以了解它們對經(jīng)濟的影響。8.2.2 季節(jié)時間序列模型一、隨機季節(jié)模型季節(jié)性隨機時間序列時間間隔為周期長

14、度S的兩個時間點上的隨機變量有相對較強的相關(guān)性，或者說季節(jié)性時間序列表現(xiàn)出周期相關(guān)，比如對于月度數(shù)據(jù)，S=12， 與 有相關(guān)關(guān)系，于是我們可以利用這種周期相關(guān)性在 與 之間進展擬合。設(shè)一個季節(jié)性時間序列 經(jīng)過D階的季節(jié)差分 后為一平穩(wěn)時間序列 ，即 ，那么一階自回歸季節(jié)模型為 或 (8.5)其中， 為白噪聲序列。將 代入式8.5，得 (8.6)同樣的思緒，一個一階挪動平均季節(jié)模型為 或 (8.7)推行之，季節(jié)性的SARIMA為 (8.8)其中，二、乘積季節(jié)模型式(8.8)的季節(jié)性SARIMA模型中，我們假定是 白噪聲序列，值得留意的是實踐中 不一定是白噪聲序列。由于式(8.8)的模型中季節(jié)差分

15、僅僅消除了時間序列的季節(jié)成分，自回歸或挪動平均僅僅消除了不同周期一樣周期點之間具有的相關(guān)部分，時間序列還能夠存在長期趨勢，一樣周期的不同周期點之間也有一定的相關(guān)性，所以，模型能夠有一定的擬合缺乏，假設(shè)假設(shè) 是ARIMAp,d,q模型，那么式(8.8)可以改為 (8.9)其中，稱式(8.9)為乘積季節(jié)模型，記為 。假設(shè)將模型的AR因子和MA因子分別展開，可以得到類似的 模型，不同的是模型的系數(shù)在某些階為零，故 是疏系數(shù)模型或子集模型。三、常見的隨機季節(jié)模型為了讀者學習起來方便，這里列舉幾個常見的隨機季節(jié)模型，并簡介其生成的過程。在實踐問題中，季節(jié)性時間序列所含有的成分不同，記憶性長度各異，因此模

16、型方式也是多種多樣的。這里以季節(jié)周期S=12為例，引見幾種常見的季節(jié)模型。模型一 (8.10)模型(8.10)先對時間序列 做雙重差分，挪動平均算子由 和 兩個因子構(gòu)成，該模型是交叉乘積模型 。實踐上該模型是由兩個模型組合而成。由于序列存在季節(jié)趨勢，故先對序列進展季節(jié)差分 ，差分后的序列是一階季節(jié)挪動平均模型，那么 (8.11)但式(8.11)僅僅擬合了間隔時間為周期長度點之間的相關(guān)關(guān)系，序列還存在非季節(jié)趨勢，相鄰時間點上的變量還存在相關(guān)關(guān)系，所以模型顯然擬合缺乏， 不僅是非白噪聲序列而且非平穩(wěn)， 如滿足以下的模型 (8.12)式(8.12)擬合了序列滯后期為一期的時間點之間的相關(guān)， 為白噪聲

17、序列，將式(8.12)代入式(8.11)，那么得到模型一。模型二 (8.13)模型(8.13)也是由兩個模型組合而成，一個是 (8.14)它描寫了不同年份同月的資料之間的相關(guān)關(guān)系，但是又有欠擬合存在，由于 不是白噪聲序列。假設(shè) 滿足以下MA1的模型，那么 (8.15)將式(8.15)代入式(8.14)，得到模型二。 8.2.3 季節(jié)性檢驗和季節(jié)模型的建立檢驗一個時間序列能否具有季節(jié)性是非常必要的，假設(shè)一個時間序列季節(jié)性顯著，那么擬適宜應(yīng)的季節(jié)時間序列模型是合理的，否那么會有欠擬合之嫌。假設(shè)不是一個具有顯著季節(jié)性的時間序列，即使是一個月度數(shù)據(jù)資料，也不應(yīng)該擬合季節(jié)性時間序列模型。下面我們討論如何

18、識別一個時間序列的季節(jié)性。一、季節(jié)性時間序列自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的檢驗根據(jù)Box-Jenkins的建模方法，自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的特征是識別非季節(jié)性時間序列的工具。從第七章第二節(jié)的討論曾經(jīng)看到季節(jié)性時間序列模型實踐上是一種特殊的ARIMA模型，不同的是它的系數(shù)是稀疏的，即部分系數(shù)為零，所以對于乘積季節(jié)模型的階數(shù)識別，根本上可以采用Box-Jenkins的方法，調(diào)查序列樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)，從而對季節(jié)性進展檢驗。1. 季節(jié)性MA模型的自相關(guān)函數(shù)假設(shè)某一季節(jié)性時間序列順應(yīng)的模型為 (8.16) (8.17) 是白噪聲序列。將式(8.17)代入(8.16)，可得整理后，有這實踐上是一

19、個疏系數(shù)的MA(S+1)模型，除滯后期為1，S和S+1時的滑動平均參數(shù)不為零以外，其他的均為零。根據(jù)前面第三章的討論，不難求出其自相關(guān)函數(shù)。可見當?shù)玫綐颖镜淖韵嚓P(guān)函數(shù)后，各滑動平均參數(shù)的矩法估計式也就不難得到了。更普通的情形，假設(shè)一個時間序列服從模型 (8.18)其中， 。整理后可以看出該時間序列模型是疏系數(shù)MA(ms+q)，可以求出其自相關(guān)函數(shù)，從而了解時間序列的統(tǒng)計特征。2. 季節(jié)性AR模型的偏自相關(guān)函數(shù)假定 是一個季節(jié)時間序列，服從假設(shè)我們將上式展開整理后，可以得到這是一個階段為S+1的疏系數(shù)AR模型，根據(jù)偏自相關(guān)函數(shù)的定義，該模型的滯后期1，S和S+1不為零，其他的偏自相關(guān)函數(shù)能夠會顯

20、著為零。更普通的情形，假設(shè)一個時間序列服從模型 (8.19)其中， ，整理后可以看到該時間序列模型是疏系數(shù)AR(kS+p)模型，求出其偏自相關(guān)函數(shù)，可以了解時間序列的統(tǒng)計特征。 季節(jié)時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)既不拖尾也不截尾，也不呈現(xiàn)出線性衰減趨勢，假設(shè)在滯后期為周期S的整倍數(shù)時出現(xiàn)峰值，那么建立乘積季節(jié)模型是順應(yīng)的，同時SAR算子 和SMA算子 的階數(shù)也可以經(jīng)過自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的表現(xiàn)得到。關(guān)于差分階數(shù)和季節(jié)差分階數(shù)的選擇是試探性的，可以經(jīng)過調(diào)查樣本的自相關(guān)函數(shù)來確定。普通情況下，假設(shè)自相關(guān)函數(shù)緩慢下降同時在滯后期為周期S的整倍數(shù)時出現(xiàn)峰值，通常闡明序列同時有趨勢變動和季節(jié)

21、變動，應(yīng)該做一階差分和季節(jié)差分。假設(shè)差分后的序列所呈現(xiàn)的自相關(guān)函數(shù)有較好的截尾和拖尾性，那么差分階數(shù)是適宜的。 例8.3 繪制1993年1月至2000年12月中國社會消費品零售總額序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖圖8.17。 圖8.17圖8.17顯示中國社會消費品零售總額月度時間序列的自相關(guān)函數(shù)緩慢下降，且在滯后期為周期倍數(shù)時出現(xiàn)峰值，滯后期為12的自相關(guān)函數(shù)為0.645，滯后期為24的自相關(guān)函數(shù)為0.318，闡明該時間序列是一個典型的既有趨勢又有季節(jié)變動的序列，由于該序列不是一個平穩(wěn)的時間序列，所以我們不能由其偏自相關(guān)函數(shù)簡單建立一個自回歸模型，該序列建模必需將序列進展差分變化，使其平穩(wěn)化。EVIE

22、WS軟件引見()一、X-12季節(jié)調(diào)整方法簡介X-12-ARIMA方法最早由美國普查局Findley等人在20世紀90年代左右提出，現(xiàn)已成為對重要時間序列進展深化處置和分析的工具，也是處置最常用經(jīng)濟類目的的工具，在美國和加拿大被廣泛運用。其在歐洲統(tǒng)計界也得到引薦，并在包括歐洲中央銀行在內(nèi)的歐洲內(nèi)外的許多中央銀行、統(tǒng)計部門和其他經(jīng)濟機構(gòu)被廣泛運用。X-12-ARIMA方法提供了四個方面的改良和提高，1可選擇季節(jié)、買賣日及假日進展調(diào)整，包括調(diào)整用戶定義的回歸自變量估計結(jié)果，選擇輔助季節(jié)和趨勢過濾器，以及選擇季節(jié)、趨勢和不規(guī)那么要素的分解方式；2對各種選項條件下調(diào)整的質(zhì)量和穩(wěn)定性做出新診斷；3 對具有

23、ARIMA誤差及可選擇穩(wěn)健估計系數(shù)的線性回歸模型，進展廣泛的時間序列建模和模型選擇才干分析；4提供一個新的易于分批處置大量時間序列才干的用戶界面。 X-12-ARIMA方法現(xiàn)已廣泛運用于世界各國的中央銀行、統(tǒng)計部門和其他經(jīng)濟機構(gòu)，并且已成為對重要時間序列進展深化處置和分析的工具。二、案例：1993-2000年中國社會消費品零售總額月度序列單位：億元經(jīng)過1993-2000年中國社會消費品零售總額月度序列的時序圖圖8.16，我們可以察看到該序列有著很強的季節(jié)特征。經(jīng)過該序列的自相關(guān)函數(shù)圖圖8.17及單位根檢驗結(jié)果圖8.19的進一步判別，以為該序列非平穩(wěn)，并且有著很強的季節(jié)特征。圖8.19首先顯示的是Seasonal Adjustment季