第一章地球物理反演理論緒論課件

1、一、本課程的性質(zhì)和任務(wù) 性質(zhì)：地球物理反演理論是固體地球物理學(xué)專業(yè)的通開課程，通過本課程的學(xué)習(xí)加深學(xué)生對(duì)地球物理專業(yè)理論實(shí)質(zhì)的理解和認(rèn)識(shí)。促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解本專業(yè)和相關(guān)專業(yè)的結(jié)合，從而拓寬學(xué)生的專業(yè)知識(shí)面，并對(duì)地球物理學(xué)專業(yè)的發(fā)展和現(xiàn)狀有新的認(rèn)識(shí) 。任務(wù)：掌握地球物理反演理論的基本原理與方法（什么是反演問題、正演問題，線性反演方法原理，廣義反演方法，B-G反演理論，非線性反演問題）；能夠應(yīng)用地球物理反演理論的基本原理與方法解決科研中的實(shí)際問題。二、本課程的內(nèi)容1、緒論2、參數(shù)化模型的最小長(zhǎng)度解3、廣義反演法4、Backus-Gilbert反演理論 5、非線性反演方法緒論1，地球物理反演的研究對(duì)

2、象2，地球物理反演的發(fā)展簡(jiǎn)史 3，地球物理反演的研究?jī)?nèi)容和方法 地球物理反演的研究對(duì)象地球物理反演是在地球物理學(xué)中利用地球表面觀測(cè)到的物理現(xiàn)象推測(cè)地球內(nèi)部介質(zhì)物理狀態(tài)的空間變化及物性結(jié)構(gòu)的一個(gè)分支。地球物理學(xué)可分為固體地球物理學(xué)和勘探地球物理學(xué)兩大方面，其理論上有一個(gè)共同的核心問題：如何根據(jù)地面上的觀測(cè)信號(hào)推測(cè)地球內(nèi)部與信號(hào)有關(guān)部位的物理狀態(tài)，如物理性質(zhì)、受力狀態(tài)或熱流密度分布等，這些問題就構(gòu)成了地球物理反演的獨(dú)特研究對(duì)象。具體地說，地球物理反演研究的是各種地球物理方法中反演問題共同的數(shù)學(xué)物理性質(zhì)和解估計(jì)的構(gòu)成和評(píng)價(jià)方法。它是從各個(gè)地球物理分支中抽象出來(lái)的邊緣學(xué)科。地球物理反演又可分為單一地球

3、物理現(xiàn)象的反演和多種地球物理現(xiàn)象的聯(lián)合反演。地球物理反演的發(fā)展簡(jiǎn)史 如果把天然地震的震源參數(shù)的推測(cè)歸入地球物理反演范圍，那么我國(guó)東漢的科學(xué)家張衡應(yīng)該是從事地球物理反演的先驅(qū)。牛頓根據(jù)萬(wàn)有引力定律推測(cè)地球密度，開爾文研究地球的彈性和熱傳導(dǎo)，都是早期地球物理反演的范例。 地球物理學(xué)中反演問題的研究，在早期主要來(lái)自科學(xué)家對(duì)地球內(nèi)部構(gòu)造的好奇心，并受到物理學(xué)與地質(zhì)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)。1880年美國(guó)學(xué)者J. A. Ewing 等人發(fā)明了近代地震儀，地震記錄的分析便提到日程上來(lái)，上世紀(jì)初，地震、地磁和重力的數(shù)據(jù)都有了一定程度的積累，地球物理數(shù)據(jù)的分析問題逐漸受到了重視，而定量的分析地球物理數(shù)據(jù)便導(dǎo)致了地球物理反

4、演問題的研究。 地球物理反演的發(fā)展簡(jiǎn)史 Hergloz于1907年提出的地震走時(shí)數(shù)據(jù)反演；1909年A. Mohorovicic 發(fā)現(xiàn)莫霍面；1912年 Beno Gutenbeg 發(fā)現(xiàn)古登堡面；1947年第一臺(tái)電子數(shù)字計(jì)算機(jī)的誕生標(biāo)志著科學(xué)技術(shù)的一場(chǎng)革命，對(duì)地球物理數(shù)據(jù)分析產(chǎn)生了巨大的推動(dòng)作用；1950地球物理中的正演問題廣泛使用了電子計(jì)算機(jī)，而與正演計(jì)算關(guān)系緊密的試錯(cuò)法和擬合法也隨之用計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)；1967年-70年,美國(guó)地球物理學(xué)家Backus 和應(yīng)用數(shù)學(xué)家Gilbert創(chuàng)建BG 理論，BG理論在70年代后期逐漸普及；90年代非線性理論在自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域都成為研究前沿；目前聯(lián)合反演理論

5、及其應(yīng)用。 地球物理反演的研究?jī)?nèi)容和方法 地球物理反演的出發(fā)點(diǎn)是描述地球內(nèi)部發(fā)生的物理現(xiàn)象滿足的數(shù)學(xué)物理方程。數(shù)學(xué)家稱為偏微分方程，物理學(xué)家稱之為運(yùn)動(dòng)方程或場(chǎng)方程對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的研究和證實(shí)是物理學(xué)方法論的核心!。典型的物理學(xué)研究方法如下圖 ：地球物理反演的研究?jī)?nèi)容和方法1，運(yùn)動(dòng)方程2，地球物理數(shù)據(jù)3，介質(zhì)模型和激發(fā)模型4，上述3方面的總體配合反演失敗的原因地球物理反演研究的方法是對(duì)地球數(shù)據(jù)、模型和約束條件作準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)描述的基礎(chǔ)上，根據(jù)數(shù)學(xué)物理方程導(dǎo)出在計(jì)算機(jī)上快速實(shí)現(xiàn)的準(zhǔn)確穩(wěn)定算法，以進(jìn)行某種物理不可實(shí)現(xiàn)過程的計(jì)算機(jī)“仿真”。地球物理反演研究的內(nèi)容不僅涉及到地球物理學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，還與信息科學(xué)、計(jì)算

6、機(jī)科學(xué)發(fā)展有關(guān)。地球物理反演的研究?jī)?nèi)容和方法目前，人類對(duì)地球內(nèi)部的物理性質(zhì)以及礦產(chǎn)資源的分布已經(jīng)有了不同程度的了解。這種知識(shí)多數(shù)來(lái)自于地表地質(zhì)和地球物理、地球化學(xué)資料的反演和解釋，而不是來(lái)自于鉆井。對(duì)于地球表層的了解是如此，深層更是如此。地球物理學(xué)是把地球作為研究對(duì)象的一門學(xué)科。地球物理學(xué)中的反演問題就是研究利用地球物理的觀測(cè)數(shù)據(jù)去反推描述地球物理模型特征的理論與方法。反演問題：具體來(lái)說，就是有結(jié)果及某些一般原理（或模型）出發(fā)去確定表征問題特性的參數(shù)（或稱模型參數(shù)）。反演問題是相對(duì)于正演問題而存在。正演問題：就是按事物的一般原理（或模型）以及相關(guān)的條件（初條件、邊界條件）來(lái)預(yù)測(cè)、確定事物的結(jié)果

7、。反演問題和正演問題數(shù)學(xué)物理模型和響應(yīng)函數(shù)的正演問題在地球物理學(xué)中，將觀測(cè)數(shù)據(jù)和地球的物理模型參數(shù)聯(lián)系起來(lái)的數(shù)學(xué)表達(dá)式叫數(shù)學(xué)物理模型，雖然地球物理問題千差萬(wàn)別，但把觀測(cè)數(shù)據(jù)和模型參數(shù)聯(lián)系起來(lái)的數(shù)學(xué)物理模型卻只有線性和非線性兩大類。如以x表示模型參數(shù)，y表示觀測(cè)數(shù)據(jù)，F(xiàn)表示聯(lián)系x 和y的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)滿足：（1）F（x1+x2） F（x1）+ F（x2）y（2）F（ax）=aF（x） =y 以上兩個(gè)條件時(shí)，稱F為線性函數(shù)。在地球物理學(xué)中，大多數(shù)情況下觀測(cè)數(shù)據(jù)和模型參數(shù)之間不滿足線性關(guān)系，但在一定條件下可以簡(jiǎn)化或近似簡(jiǎn)化成線性關(guān)系。不管是線性反演還是非線性反演，都涉及到響應(yīng)函數(shù)的計(jì)算（或理論觀測(cè)值

8、的計(jì)算，因此正演是反演的前提和條件，只有準(zhǔn)確地求出地球響應(yīng)函數(shù)，才有可能得到可靠的地球物理模型。模型空間數(shù)據(jù)空間反演問題和正演問題反演理論的任務(wù)可以歸納為解決5大問題1、解的存在性：即給定一組觀測(cè)數(shù)據(jù)后，是否一定存在一個(gè)能擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)的解或模型；2、模型構(gòu)制：如果存在性是肯定的，如何求得或構(gòu)制能擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)的模型；3、非唯一性：能擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)的模型是唯一，還是非唯一的；4、解的穩(wěn)定性：當(dāng)反演問題中的數(shù)據(jù)稍有變化時(shí)其解是否會(huì)發(fā)生大的變化？5、結(jié)果的評(píng)價(jià)：如果解是非唯一的，如何才能從構(gòu)制的模型中提取關(guān)于真實(shí)模型的地球物理信息。地球物理學(xué)中的反演理論的目的是根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)求取相應(yīng)的地球物理模型參數(shù)。非

9、線性問題的線性化和連續(xù)模型的離散化非線性問題線性化的常用的兩種方法A、參數(shù)代換法：通過參數(shù)代換將非線性方程線性化的方法近震直達(dá)波走時(shí)表的編制問題 非線性問題的線性化和連續(xù)模型的離散化B、Taylor級(jí)數(shù)展開法： 對(duì)問題給定一個(gè)初始模型m，它與真實(shí)模型差異不大，則將模型函數(shù)在m處按Taylor級(jí)數(shù)展開，取一階項(xiàng)，使方程變換為線性方程。一般模型移項(xiàng)得非線性問題的線性化和連續(xù)模型的離散化當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)和模型之間呈線性泛函數(shù)時(shí)，可以將連續(xù)m（z）離散化，實(shí)現(xiàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)的反演。右邊d（j）是第j個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)， m（z）是地球物理模型，是z的連續(xù)函數(shù)，G是核函數(shù)。如果將線性函數(shù)中的模型m（z）離散化，將它分為N個(gè)

10、區(qū)間mi（z） ，則線性函數(shù)可變?yōu)椋和ㄟ^求解矩陣方程d=Gm而實(shí)現(xiàn)反演目的。反演問題的概念及公式反演問題的主要內(nèi)容有三方面：1、解的適定問題，包括解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性2、反演問題的求解方法3、反演問題的解的評(píng)價(jià)解的適定問題，包括解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性解的存在性、唯一性與反演問題的數(shù)學(xué)確定性有關(guān)；而解的穩(wěn)定性則與反演問題的物理確定性以及求解方法對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的處理狀況有關(guān)。論證解的存在性有時(shí)也是提供解法的過程：對(duì)于選定的模型和已知條件，若解存在，那么它是否是唯一解？若不是唯一解，為解決其唯一性，通常應(yīng)加上附加的約束條件，或增加觀測(cè)數(shù)據(jù)，或二者兼而有之。觀測(cè)數(shù)據(jù)通常是有誤差的，且與測(cè)量的狀況

11、有關(guān)。解的穩(wěn)定性就是研究當(dāng)反演問題中的數(shù)據(jù)稍有變化時(shí)其解是否會(huì)發(fā)生大的變化？若數(shù)據(jù)的微小變化所引起的解在定義域中的變化也是微小的，則認(rèn)為解的值連續(xù)依賴于數(shù)據(jù)，問題的解是穩(wěn)定。若此時(shí)解在定義域中的變化很大且不規(guī)則，則稱問題的解是不穩(wěn)定的，即為病態(tài)。反演問題的求解方法在處理反演問題中，通常我們更關(guān)心的是求解方法。由于實(shí)際問題的復(fù)雜性，有時(shí)盡管作過解的存在性與唯一性的驗(yàn)證，但并不等于就有了求解的方法。且在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，也不強(qiáng)求要先解決適定性才能求解。許多問題都是通過反復(fù)的實(shí)踐與演變，才能建立起比較完整的理論。反演問題的解的評(píng)價(jià)研究解的評(píng)價(jià)的一系列準(zhǔn)則及折衷原則是反演問題的一個(gè)重要內(nèi)容。沒有給出解的評(píng)價(jià)

12、的反演理論是不完全的，且它不同于一般正演問題的誤差分析，而是在反演理論中提取真實(shí)解信息的重要工具。 模型構(gòu)制問題超定問題的最小方差解模型構(gòu)制問題純欠定問題的最小模型解模型構(gòu)制問題混定問題的馬奎特法模型構(gòu)制問題恰定問題的解模型構(gòu)制問題 在模型的構(gòu)制時(shí)，如何處理觀測(cè)數(shù)據(jù)和模型參數(shù)，有三種不同的觀點(diǎn)和方法： 1、把觀測(cè)數(shù)據(jù)和模型參數(shù)（既可是離散模型，也可以是能用有限個(gè)參數(shù)表征的連續(xù)模型）都看成是隨機(jī)變量，通過研究它們所遵循的概率分布對(duì)觀測(cè)資料進(jìn)行反演 。2、把觀測(cè)數(shù)據(jù)作為隨機(jī)變量，把模型看成是由一些確定參數(shù)所決定的。反演的任務(wù)就是估算這些待定的參數(shù)和誤差。 3、視觀測(cè)數(shù)據(jù)為隨機(jī)變量，模型是連續(xù)函數(shù)，

13、形成一套連續(xù)介質(zhì)的反演理論與方法，這就是著名的B-G反演法。 適定問題：反演問題中，對(duì)于允許的數(shù)據(jù)d的每一個(gè)集合，問題的解m存在且唯一，且連續(xù)依賴于d,這時(shí)，線性偏微分方程問題稱為適定問題，或說其解是適定的（well or properly posed problem)。不適定問題：部分不滿足或全不滿足上述條件的問題便稱作不適定問題（ill or improperly posed problems)。條件適定問題：實(shí)際的反演問題中，觀測(cè)數(shù)據(jù)存在誤差；在實(shí)際使用的計(jì)算機(jī)中，數(shù)的位數(shù)也是有限的，其指數(shù)傳播的誤差就可能造成算法的不穩(wěn)定性；-.-.-.如此諸多原因的每一方面，都造成問題的實(shí)際物理內(nèi)容的

14、確定存在性與相應(yīng)數(shù)學(xué)問題的不適定性之間的明顯矛盾。為使問題得以解決，只有對(duì)問題的解加上適當(dāng)?shù)母郊訔l件，使問題成為適定的。在數(shù)學(xué)上面臨的問題是在“條件適定”（conditionally well posed)概念下求解不適定問題。反演問題的數(shù)學(xué)適定性討論對(duì)反演問題求解，不能強(qiáng)求反演問題的精確解，而應(yīng)當(dāng)去尋求那種滿足方程但近似滿足定解條件，或近似滿足方程但精確滿足定解條件，或兩者都近似滿足的解。對(duì)于反演問題的答案（解），人們往往習(xí)慣于希望象解正演問題一樣得到解的確切數(shù)值。但由于反演問題的不適定性，能按這樣的方式得到的反問題的精確解甚少，實(shí)際得到的是“根據(jù)模型設(shè)計(jì)所期望得到的解的類型與根據(jù)已知資料（數(shù)據(jù)）實(shí)際能得到的信息之間的各種各樣的折衷解”。不同的折衷方案給出反問題的不同形式的解。常用的解的形式：1、模型參數(shù)的估算值2、模型參數(shù)的約束值3、模型參數(shù)的加權(quán)平均值反演問題的解及其評(píng)價(jià)地球物理學(xué)中的反演理論的目的是根據(jù)數(shù)據(jù)求取相應(yīng)的地球物理模型。所以，首先必須確定觀測(cè)數(shù)據(jù)和地球模型參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，使既可以根據(jù)給定的模型參數(shù)計(jì)算相應(yīng)的觀測(cè)數(shù)據(jù)（即實(shí)現(xiàn)正演計(jì)算），也可以根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)求取地球物理模型的參數(shù)，實(shí)現(xiàn)反演映射。正演是反演的前提和條件，只有解決了正演計(jì)算，