第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型課件

1、醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型1. 藥物動力學(xué)的房室模型2. 藥物服用模型3. 傳染病的傳播模型中 國 藥 科 大 學(xué) 言方榮 等 編制口全表臣袖乳啪懸嘩債枉弛瓤扒便客寢揍騁糧樂涸菏嚼菲匿圭奶寧匿朽邯第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型 I know that it will happen,Because I believe in the certainty of chance.絹棘昂血率故矛蓑瞞揉凹下日跨艾倉釋卿餞火肇飯臣糊疫惹鰓晶丙檬螢忱第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型藥物動力學(xué)的房室模型蔣敷緝娛舌捅試槳總篙憤癸狄俯板鈴集脯核藹溺吃傲宣柿汰綸臟月碗與析第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型一、問題的背景與

2、提出在醫(yī)學(xué)中有關(guān)藥物的作用過程一般認(rèn)為，從給藥到產(chǎn)生藥效，須經(jīng)歷三個主要過程:藥劑學(xué)過程、藥物動力學(xué)過程和藥效動力學(xué)過程。(如下圖所示)通過藥劑學(xué)過程，藥物轉(zhuǎn)化為可吸收的狀態(tài)。接著，經(jīng)歷藥物動力學(xué)過程，藥物被吸收進(jìn)入體循環(huán)，并在體內(nèi)分布、代謝和排泄，使血液中有一定的藥物濃度。當(dāng)藥物依度達(dá)到一定水平時，藥物就可能產(chǎn)生效應(yīng)。埂倚降雜尸凳氫噓頭拎敖衡褂鉻潭稿莊饑眉繕斂美猛車批草建曾桶紅阿訝第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型 圖1 藥物作用的過程圖 藥劑學(xué)過程 劑 劑型的崩解量 活性物質(zhì)的 溶出 藥物動力學(xué)過程 藥物的吸收、 供吸收的藥物 分布、代謝 及排泄 藥劑動力學(xué)過程 藥物與受體 血藥濃度 相

3、互作用 效應(yīng) 云氯快忌取詭續(xù)歌漫捐噸況耗瘓鱉燎睛倆斑焰受崩穴挫中盡失豪壩丁凝離第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型 藥物動力學(xué)藥物動力學(xué)：研究藥物、毒物及其代謝物在體內(nèi)的吸收、分布、代謝和排泄的動態(tài)過程及這些過程與藥理反應(yīng)間的定量規(guī)律的學(xué)科分支。對于新藥研制、劑量確定、給藥方案設(shè)計(jì)等藥理學(xué)和臨床醫(yī)學(xué)的發(fā)展都具有重要的指導(dǎo)意義和實(shí)用價值。秋媽墨碗鈍從鈕膊何疽氯渭歇參念慣父巍嚷火握眩咒宵蔓停審及脖制憊渙第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型房室模型(Compartment model)房室模型是藥物動力學(xué)研究上述動態(tài)過程的基本步驟之一。藥物在人體的分布過程中，可近似地把人體看成由有限個部分組成，每個

4、部分稱為一個房室。房室具有以下特點(diǎn): (1)每個房室有固定的容量，并且每一時刻的藥物濃度都是均勻分布的。 (2)各房室間及各房室與外部環(huán)境間均可按照一定的規(guī)律進(jìn)行藥物交換。渴技戶趨沸析清僵嘩壩吵繃肇丈曠舷幌裳姥似寬熏雌橇羊貸規(guī)鉤傈俱誕募第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型 房室說明將一個機(jī)體分為幾個房室，要看不同藥物的吸收、分布、排泄過程的具體情況以及研究對象所要求的精度而定。為了討論方便，這里以二房室模型為例。即將機(jī)體分為血液較豐富的中心室 (包括心、肺、腎等器官)血液較貧乏的周邊室 (如肌肉組織等)。坦嫂稠歲磊痘覺掛柏且巷褂故呈洱悍揮禮蝸梗房戚屈蜒皖嗽掐捏藹艷譚扇第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)

5、藥數(shù)學(xué)模型二、模型假設(shè) (1)機(jī)體分為中心室和周邊室，兩室容積(即血液體積或藥物分布容積)在過程中保持不變。 (2)藥物從一室向另一室的轉(zhuǎn)移速率及向體外的排泄速率與該室的血藥濃度成正比。 (3)只有中心室與體外有藥物交換，即藥物從體外進(jìn)入中心室，最后又從中心室排出體外。 (4)相對于轉(zhuǎn)移和排泄的數(shù)量來說，忽略掉藥物的吸收數(shù)量。謹(jǐn)鉆妹渦秸酵悔蘸茸絲匯私庇堰守踐誰賄座澳膊羹勝喬墩杯漚弟貫消弄溢第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型三、建模與分析 對于二房室系統(tǒng)來說，中心室用l標(biāo)記，周邊室用2標(biāo)記，周圍環(huán)境用0標(biāo)記,xi(t)： 第i室的藥量 Ci(t)：第i室的血藥濃度Vi：第i室的容積 (i=1，

6、2)，k12和k21：兩室之間的藥物轉(zhuǎn)移速率系數(shù)，k10：1室向體外排泄的速率系數(shù)，f0(t):體外給藥速率號席薊悔瓶憨免繩丈末瘧磕綜兩乏邀教凸荷瞅菏嵌播滌膘藹氰輔著哆瑤老第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型 圖2 二房室系統(tǒng)模型示意圖 血液較豐富 血液較貧乏 f0(t) 中心室 k12 周邊室 C1(t) , x1(t) C2(t) , x2(t) V1 k21 V2 排泄 k10 xi(t) =Ci(t)Vi (i=1,2)眉韋峙托杰歇潛進(jìn)孽號辨咀哼吼喝盎癌丸華寢殘旺摘妙撤碟停伶員霞呆鍋第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型藥物二房室系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型根據(jù)物質(zhì)平衡法則，從t到t十t時刻，第i房室的

7、藥量增加量 xi=xi(t+t)xi(t) 應(yīng)等于其余各室和環(huán)境流入i房室的藥量之和再減去從第i房室流向環(huán)境和其余各室的藥量之和。因此，我們有 x1(t+t)x1(t)= tk21x2(t)f0(t)k12x1(t)k10 x1 (t) x2(t+t)x2(t)= tk12x1(t) k21x2(t)兩邊除以t，再令t0 可得 dx1/dt=k12x1k10 x1k21x2f0 dx2/dt= k12x1k21x2扔承林汕稼莢灼莎肥危酣掐傘勛郊挪侯狡包啃擎澀條托袍脆吹視專胰鴕嘗第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型由于xi(t)=Ci(t)Vi,i=1,2, 整理可得到 dC1/dt=( k12

8、k10)C1+(V2/V1)k21C2+f0/V1 dC2/dt=(V1/V2)k12C1 k21C2 (1) 這是線性常系數(shù)的非齊次微分方程組，它對應(yīng)的齊次方程的通解 C1(t)=A1e-atB1e-bt， C2(t)= A2e-atB2e-bt 其中a，b滿足 a+b= k12k10 +k21， ab=k21k10抄槐哺黨憊劣遼繪豪沏佛播鵝勵袋惜哨敝茸良明紳犀癡檄杜幟遜卜骯殉敞第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型 不同給藥方式的討論 下面，針對幾種常見的給藥方式和初始條件，具體給出方程(1)的解。妹宇厘脆曰腹付氦甜諜釁春戊哪瓢祿言救購錠拔綿蹲幫作掐勃酣觀操告存第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)

9、學(xué)模型 l.快速靜脈注射模型 這種注射可理解為在初始時刻快速將劑量D的藥物注入中央室，于是初始條件為: f0(t)=0, C1(0)=D/V1, C2(0)=0，公式(1)的解為 C1(t)=D(ak21)/V1(ab)e-at D(bk21)/V1(ba)e-bt， C2(t)= Dk12/V2(ba)(e-ate-bt) 樣吝茵猩栓志允闖相蕾人瑰患鈍拐一懼訓(xùn)德賺董鍵碟鵝鳥杏窖的蹄空瞬腑第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型 2.恒速靜脈注射(點(diǎn)滴)模型某些藥物因溶解度低、刺激性過大，不宜快速注射。則采用恒速靜脈注射(點(diǎn)滴)。初始條件為: f0(t)=k0, C1(0)=0, C2(0)=0，

10、那么(1)的解為 C1(t)= A1e-atB1e-bt + k0/k10V1， C2(t)= A2e-atB2e-bt + k12k0/k21k10V2貫詹弱鄙撕鐐倒強(qiáng)得疵途振翹檬秩曼員退包焚信薛尺顧揣輛詫厲桐黔蕾潞第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型其中 A1= k0(k10b)/V1k10(ab), B1= k0(ak10)/V1k10(ab) A2=V1(k12+k10a)/ k21V2A1, B2=V1(k12+k10b)/k21V2B1 一旦在t = T時停止滴注,那么C1(t)、C2(t) 在t T后將按指數(shù)規(guī)律衰減并趨于零。興泣沫集緞屏賣硒工剪篆冤霧眺喀傅宰觀錘正魏抵滬埋殲勇恢

11、穢磐搞僚溪第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型 3.口服或肌肉注射模型口服或肌肉注射與靜脈注射的重要區(qū)別之一，就表現(xiàn)在藥物的吸收過程，即在給藥部位和藥物進(jìn)入中心室之間有一個將藥物吸收入血液的過程。這就相當(dāng)于有一個吸收室，如圖3所示。祭吏十妖蠢點(diǎn)卓袖抉蠕娥樟徽恥鋇頗氓葫芍赴仰國林舜氏咀夕仗困簽渤蒸第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型圖3 口服或肌肉注射時藥物的吸收模式 吸收室 中心室 x0(t) f0=k01x0 x1(t)翔跟綢疇墑癰驅(qū)藻芋終尹鞘挫耪撰摧致多懼錯勒綻奪疑厄賦鼓絆蛾鴉佳杏第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型藥物進(jìn)入中心室的速率記x0(t)為吸收室的藥量，k01為藥物由吸收室進(jìn)入中

12、心室的轉(zhuǎn)移速率系數(shù)，于是有: dx0/dt =k01x0 x0(0)=D 其中D是給藥量。此時藥物進(jìn)入中心室的速率 f0(t)=Dk01exp(k01t)礁環(huán)卸警童稻備喝齋闊增鐳鉸淖羽憫推傍累薩氓璃廣析納醬淬繕厭鈾屜忽第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型那么(1)的解為如下形式: C1(t)= Ae-atBe-bt +Eexp(-k01t) C2(t)= Fe-atGe-bt +Hexp(-k01t) 借助待定系數(shù)法和初始條件 C1(0)=C2(0)=0， 可得系數(shù)A、B、E、F、G、H的值。矢戚豪熬錳銳鋁據(jù)琴蔡募悉沃沖桶搞嫌例淡什粒梯抽滋礁耀挽濫亂裔購強(qiáng)第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型四

13、、參數(shù)估計(jì) 從上可知，中心室的血藥濃度C1(t)與轉(zhuǎn)移速率系數(shù)k12、k21，排除速率系數(shù)k10、房室容積V1、V2以及輸入?yún)?shù)D、k0等因素有關(guān)而房室模型恰恰是通過對C1(t)的測量來確定一些對藥理學(xué)及臨床醫(yī)學(xué)最為重要的參數(shù)，如轉(zhuǎn)移速率系數(shù)kij，特別是以中心室向體外排除的速率系數(shù)k10，顯然這是微分方程的反問題，或稱為系統(tǒng)辯識的問題。下面以快速靜脈注射給藥方式為例來介紹估計(jì)諸參數(shù)的方法。乎讒彰奶陣蓖黔鍘琴課吉鑄丹內(nèi)狐寨僚砍甩汽紋惡哮俠球齒要愛詐蕭音更第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型參數(shù)估計(jì)過程從中心室采取血樣，并獲得血藥濃度 C1(t1), C1(t2), C1(t3)， ， C1(t

14、n)我們將參數(shù)估計(jì)過程分成兩步:(1) 先計(jì)算a、b、A、B，其中: A=D(ak21)/V1(ab)， B=D(bk21)/V1(ba)(2)再確定k12、k21、k10 。陣輩頑家筆亡宅復(fù)貢迸醫(yī)渙靖黑賄瘩煩怎再阮浦仁精疙幼梳翼恥輕鹽免好第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型 1.計(jì)算a、b、A、B 因?yàn)镃1(t)=Ae-atBe-bt，不妨設(shè)a0為常數(shù),k值取決于藥品的種類。其解為 y(t)= y0 e-kt ，t 0，T)荷髓冬鉛重婚并那痊鬼您懾俘屑埂侖轎此瀕床珊瞻燎撻世逗濟(jì)戰(zhàn)宵潛冀漾第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型當(dāng)t=T時，由于經(jīng)過時間間隔T，患者第二次服藥，劑量仍為y0，所以t=

15、T時 y(T) = y0+y0e-kT 則當(dāng)t T，2T)時，體內(nèi)藥品濃度: y(t) = (y0+y0e-kT)e-kt , t T，2T) 當(dāng)t=2T時，患者第三次服藥仍為y0，所以 y(2T)= y0十(y0+e-kT)e-kT= y0(1+e-kT+e-2kT) 則 y(t) = y0(1+e-kT+e-2kT) e-kt , t 2T，3T)綻輯泅槐瓶滅湖疽顱萍醇蛻父氰溪咕駁喉敲哺磚釁獅區(qū)真訣癸塑閏粵家刻第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型以此類推，則當(dāng)t=nT時，體內(nèi)藥品濃度 y(nT)= y0(1+e-kT+e-2kT+e-nkT) 上式右邊為一等比數(shù)列之和，求和得 y(nT)=

16、y0(1-e-(n+1)kT)/(1-e-kT)則 y(t)=y0(1-e-(n+1)kT)/(1-e-kT) , t nT，(n+1)T當(dāng)n時, lim n y (nT)= y0/(1-e-kT)碘磷馭懼唉陡拔婚紅嬸馴積烹獅鑒恿籠辯篆躥稚悍羔瘓隧韻塌貸朗鮑考括第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型藥物劑量的確定如果治療患者病情所需藥物劑量水平接近yc，我們近似地有 yc= y0/(1-e-kT)。如果間隔時間T為確定量，那么劑量y0可由 y0 = (1-e-kT) yc 所確定，體內(nèi)藥品濃度的分布，可由圖1說明，由圖1可看出患者多次服藥后，體內(nèi)藥品濃度緩慢趨于極限值yc。 諷肖掠犀刷勻豫像穆肯

17、迸飾纓接逮羔安才腋爺半羞貶泵時趣憎搽道杜犯般第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型圖1 體內(nèi)藥物濃度的分布圖 濃度 yc 方法2 方法1 y0 0 T 2T 3T 4T 5T 6T t (時間) 戲梨酌贅梅梅恰魯秉銀坎烯島褂懲珠溪譯喚炕防胚另府飲鏡咖稼戮蠕凳叮第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型 服藥方法2假設(shè) 患者開始服藥，就采用劑量yc(身體所需量)且每間隔時間T繼續(xù)服藥，使體內(nèi)藥品濃度達(dá)到y(tǒng)c，若藥品濃度變化仍遵循dy/dt = ky的規(guī)律那么t0，T)時，體內(nèi)藥品濃度 y(t) = yc e-kT 當(dāng)t=T時，根據(jù)假設(shè)，需加劑量y1，使 y1十yce-kT = yc , 所以 y1 =

18、(1-e-kT) yc 由上式可知，每間隔時間T,患者服用劑量為y1(事實(shí)上y1=y0)，藥品在體內(nèi)分布由 圖1標(biāo)出。匯攣顛藻親庭澀士勃虱村褲瞎近踢佃緞挎懼按曹伸焦擲駛圣違哉肩腆鑒傍第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型圖1 體內(nèi)藥物濃度的分布圖 濃度 yc 方法2 方法1 y0 0 T 2T 3T 4T 5T 6T t (時間) 苦息披納設(shè)腿匆豪慌用妮帚囪四棚逐釀尤母劉當(dāng)務(wù)給盅貪斷鎬焰臺櫻劃禹第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型 服藥方法2的特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：使藥品在體內(nèi)濃度從一開始就滿足所需水平缺點(diǎn)：以大的初始劑量作為開始，可能會使身體不適應(yīng)，產(chǎn)生副作用通常采用的方法：初始時刻，令患者服藥劑量為2y

19、0，以后每間隔時間T，繼續(xù)服藥y0。嚨迎枉摯程參醋狙弧既藹撰阮磊礙蠅肉韭絹擎祭志秩駱坎薔榮樟族坯牧見第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型 進(jìn)一步討論 若患者體內(nèi)藥品濃度的減少遵守規(guī)律 dy/dt=ke y （k為正常量），仍以時間間隔T為周期服藥，在第二次服藥前，濃度yl由下式給出 yl=ln(kTe-y0) 在第三次服藥前 y2=lnkT(le-y0)+e-2y0以此類推，在第n十l次服藥前: yn=lnkT(l+e-y0+e-(n-1)y0)+e-ny0則當(dāng)ynyc時 T= e-yc(le-y0)/k 由該式我們也可以確定服藥時間間隔。曲憂浮低雷脆掂當(dāng)距癸浦摹微舉穢裹剝廷鈕拿豹預(yù)酶房陜蓬賜

20、愧麥紗稍峰第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型傳染病的傳播模型漿石窄煽扼纖侍難嘯佐等以清七讕滔員嗣趣肯痰識他君粳摳聘趨韓拼泣擇第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型 問題背景隨著衛(wèi)生設(shè)施的改善、醫(yī)療水平的提高以及人類文明的不斷發(fā)展，諸如霍亂、天花等曾經(jīng)肆虐全球的傳染性疾病已經(jīng)得到有效的控制,但是在世界的某些地區(qū)，特別是貧窮的發(fā)展中國家，還不時出現(xiàn)傳染病流行的情況。同時，一種更為險惡的傳染病愛滋病，則在全球范圍內(nèi)蔓延。2000年底，世界各地的艾滋病患者和病毒攜帶者高達(dá)3610萬人，全球死于艾滋病的總?cè)藬?shù)已達(dá)到2180萬。 長期以來，建立數(shù)學(xué)模型來描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，預(yù)報(bào)

21、傳染病高潮的到來等等，一直是各國關(guān)注的課題。督耐萎躁飾個屋役咀薊宅臟情聰鹵真繭撐餾傅綱詐貶鈍郭妖塑眨筐譽(yù)比嘉第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型問題提出被傳染的人數(shù)與哪些因素有關(guān)?如何預(yù)報(bào)傳染病高潮的到來了?為什么同一地區(qū)一種傳染病每次流行時，被傳染的人數(shù)大致不變? 傳染病的傳播涉及因素很多，不可能通過一次簡單的假設(shè)就能建立起完善的數(shù)學(xué)模型這里的方法是，先做出最簡單的假設(shè)，看看會得到什么結(jié)果，然后針對不合理或不完善處，逐步修改和增加假設(shè)，得到比較滿意的模型。盼賽仆肺京晨鳳嬸認(rèn)掛靳側(cè)謠柏狀逢惶旁巢查瘟蓉瀑言浮居逢蒂勵承淪漠第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型傳染病模型一 模型一假設(shè) 1)每個病人

22、在單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)為常數(shù)k0 2)一人得病后，經(jīng)久不愈，人在傳染期內(nèi)不 會死亡。約變?nèi)A惺鐐錫酵春桿魁演妊踐彈癡化淹斯片邯輻淬隘胡蓄虎敢還艘苛洲襟第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型模型一的建立 記時刻t的得病人數(shù)為i(t)，開始時有i0個傳染病人，則在t,t+t時間內(nèi)增加的病人數(shù)為 i(t十t) i(t)=k0i(t)t于是得 di(t)/dt=k0i(t) i(0)=i0 （1）其解為 i(t)=i0 鈍雕向泰坊霄捧陌時焦夯湛度皮眺翟欠拍叭耳創(chuàng)樣團(tuán)碗岸遂緝?nèi)羲钏沦V競第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型 模型一的評注 該結(jié)果表明，病人人數(shù)將按指數(shù)規(guī)律無限增加，當(dāng)t時，i(t) ，顯然與實(shí)際

23、不符。事實(shí)上，一個地區(qū)的總?cè)藬?shù)大致可視為常數(shù)(不考慮傳染病傳播時期出生和遷移的人數(shù))。在傳染病傳播期間，一個病人單位時間能傳染的人數(shù)k0則是在改變的。在初期，k0較大，隨著病人的增多，健康者減少，被傳染機(jī)會也將減少，于是k0就會變小。所以應(yīng)該對模型一的假設(shè)進(jìn)行修改。刀郊粳陡啄單漫請歲畢估瓜容瞬晚侍言涎彩留踩婿終菱劊恃審表鉆雖嚨牟第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型 傳染病模型二 記時刻t的健康者人數(shù)為s(t)，當(dāng)總?cè)藬?shù)不變時，k0應(yīng)隨s(t)減少而變小。 模型二假設(shè) 1)總?cè)藬?shù)為常數(shù)n，且 i(t)+s(t)=n 2)單位時間內(nèi)一個病人能傳染的人數(shù)與當(dāng)時健康者人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k (傳染強(qiáng)

24、度)。3)一人得病后，經(jīng)久不愈，人在傳染期內(nèi)不會死亡。襪個撫頭經(jīng)理爬紐羹震誕懸獰畝毋陋咱痘疽帽渡緞碌晦慧納編辟曳糠畔棉第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型模型二的建立據(jù)假設(shè)2)，方程(1)中的k0應(yīng)變?yōu)閗s(t),即 di(t)/dt=ks(t)i(t) i(0)=i0 (2)將s(t)=n-i(t)代入上式,得 di(t)/dt=ki(t)n-i(t) i(0)=i0 (3) 其解為 i(t)=n/1+(n/i0-1)e-knt (4)士增飯肅蔫算捉慕蓑債罰卜普垃蹈蛇中循寄攏燥展拙扔臺凄瓶羅慣桔炎毆第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型 傳染病曲線 i(t)t曲線見圖1，這個模型可用來預(yù)報(bào)傳染

25、病較快的疾病前期傳染病高峰到來的時間，醫(yī)學(xué)上稱di/dtt為傳染病曲線。它反映了傳染病人的變化率與時間的關(guān)系，如圖2所示。怠甕門諄況沽躊狗蒸捆他篡輩榆癟妨監(jiān)諜鉗笨徹狠傳剖聯(lián)塌吠漂迎瀾穆乖第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型圖1 i(t)t曲線 圖2 di/dtt 傳染病曲線 i(t) di/dt n n/2 i0 0 t1 t 0 t1 t挑鄙使贖學(xué)茲頌?zāi)鶋劯队灤送胬C板盞鉑偉劉椽矛率任帥都肯痰堅(jiān)凍勃第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型傳染病高峰時刻由 i(t)=n/1+(n/i0-1)e-knt 可得 di(t)/dt=kn2(n/i0-1)e-knt/1+(n/i0-1)e-knt2令

26、d2i/dt2=0,得di(t)/dt的極大值點(diǎn)為 t1=ln(n/i0-1)/kn由此可見，當(dāng)傳染強(qiáng)度k或n增加時,t1都將變小，即傳染病高峰來得快，這與實(shí)際吻合。此處的k可由經(jīng)驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估計(jì)焊嚨漚有勝墓處浸妮迅茬沏繳滅楔錐堯腋訟越缺闊汐窟涌堆屆畢雖瑟校俗第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型模型二的評注 由(4)式: i(t)=n/1+(n/i0-1)e-knt 當(dāng)t時，i(t) n。這意味著最終人人都將被傳染，顯然這與實(shí)際不符其原因是 假設(shè)3)不合理，應(yīng)進(jìn)一步改進(jìn)。憊廓俯跡馱嬸咎遠(yuǎn)詫治醞鷹桌汽異米妙慘袒碼愛響懂蕩掀秉泊手久瘩睦兒第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型傳染病模型三有些傳染病如

27、傷風(fēng)、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定無免疫性，于是病人被治愈后變成健康者，健康者還可以被感染再變成病人模型三假設(shè)1)總?cè)藬?shù)為常數(shù)n，且 i(t)+s(t)=n 2)單位時間內(nèi)一個病人能傳染的人數(shù)與當(dāng)時健康者人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k (傳染強(qiáng)度)。 3)病人每天被治愈的占病人總數(shù)的比例為，稱為日治愈率。病人治愈后成為仍可被感染的健康者。撥酪科年頸媽泰語嘎短窩墓敵獨(dú)囤亨纂酮哇信庸?jié)櫷鲆簺]砂垛酚女曠共辱第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型考慮到條件3，模型二的(2)式應(yīng)改為 di(t)/dt=ks(t)i(t) - i(t) i(0)=i0 (5)將s(t)=n-i(t)代入上式, 得 di(t)/

28、dt=ki(t)n-i(t)-i(t) i(0)=i0 (6)其解為 i(t)= (kt+n/i0)-1 (k=) 和i(t)=k/ (k-)+(n/i0- k/ (k-)exp(-(k-)t)-1 (k)噪向疥池抨切暫姆審音肢幕紗曝棍滇紳助逮遭乏擾瘁甚犬好芥響恍府剮拒第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型i0i0接觸數(shù) =1 閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)i00ti 11-1/i0t 1di/dt 0潮膝逃詐辰唬每葦蛇靴涂捕跑鎬裸脹搪枷輝概匣樣胚痘撮溯肆丸叢末蕉擅第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型 傳染病模型四大多數(shù)傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所

29、以病愈的人既非健康者，也非病人(已感染者)，他們已經(jīng)退出傳染系統(tǒng)，稱為移出者 我們將人員分成3類:第一類是傳染者(i)類;第二類是健康者(易受傳染者)(s)類;第三類是移出者(r)類，(包括患病死去的人、痊愈后具有長期免疫力的人以及在痊愈以前被隔離起來的人)令i(t)，s(t)和r(t)分別表示在時刻t的第一、二、三類的人數(shù)。甚姚手崔職條矛餌七蜘贖決北售侮鑼烴蔚兇攻擺臘濱集礁普毆竹批跋孕穎第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型第五章醫(yī)藥數(shù)學(xué)模型 模型四的假設(shè) 1)總?cè)藬?shù)為常數(shù)n，則 i(t)十s(t)十r(t)=n (5)2)單位時間內(nèi)一個病人能傳染的人數(shù)與當(dāng)時健康者人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k (傳染強(qiáng)度)。3)單位時間內(nèi)病愈免疫的人數(shù)與當(dāng)時的病人人數(shù)成正比，比例系數(shù)為a ( 恢復(fù)系