北京市門頭溝區(qū)2021-2022學(xué)年高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意：1答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案種數(shù)是( )A18種B36種C54種D72種2已知正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等，是的中點(diǎn)，則所成的角的余弦值為

2、（ ）ABCD3已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且點(diǎn)到該漸近線的距離為，則雙曲線的實(shí)軸的長為ABCD4復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限5集合，則（ ）ABCD6某四棱錐的三視圖如圖所示，記為此棱錐所有棱的長度的集合，則（ ）.A，且B，且C，且D，且7已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍（ ）ABCD8設(shè)，則（ ）ABCD9趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約公元222年，趙爽為周髀算經(jīng)一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，又稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的，如圖（1）

3、，類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖（2）所示的圖形，它是由個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小正六邊形組成的一個(gè)大正六邊形，設(shè)，若在大正六邊形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小正六邊形的概率為（ ）ABCD10若的展開式中的系數(shù)之和為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）ABCD111如圖，正方體中，分別為棱、的中點(diǎn)，則下列各直線中，不與平面平行的是（ ）A直線B直線C直線D直線12已知等差數(shù)列滿足，公差，且成等比數(shù)列，則A1B2C3D4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_.14正四面體的一個(gè)頂點(diǎn)是圓柱上底面的圓心，另外三個(gè)頂點(diǎn)圓柱下底面的圓

4、周上，記正四面體的體積為，圓柱的體積為，則的值是_.15甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加淮南文明城市創(chuàng)建志愿服務(wù)活動(dòng)，服務(wù)活動(dòng)共有“走進(jìn)社區(qū)”、“環(huán)境監(jiān)測”、“愛心義演”、“交通宣傳”等四個(gè)項(xiàng)目，每人限報(bào)其中一項(xiàng)，記事件為“4名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同”，事件為“只有甲同學(xué)一人報(bào)走進(jìn)社區(qū)項(xiàng)目”，則的值為_.16設(shè)滿足約束條件且的最小值為7，則_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知拋物線與直線.（1）求拋物線C上的點(diǎn)到直線l距離的最小值；（2）設(shè)點(diǎn)是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，是定點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，求證A，Q，B共線；并在時(shí)求點(diǎn)P坐標(biāo).18

5、（12分）已知三棱錐中側(cè)面與底面都是邊長為2的等邊三角形，且面面，分別為線段的中點(diǎn).為線段上的點(diǎn)，且.（1）證明：為線段的中點(diǎn)；（2）求二面角的余弦值.19（12分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，是棱上的一點(diǎn)，滿足平面.（）證明：；（）設(shè)，若為棱上一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的大小為30，求的值.20（12分）設(shè)橢圓：的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知橢圓離心率為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.（）求橢圓的方程；（）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線斜率的取值范圍.21（12分）已知函數(shù)f(x)=ex-x2 -kx（其中e為自

6、然對(duì)數(shù)的底，k為常數(shù)）有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）證明：f(x)的極大值不小于122（10分）已知函數(shù)（1）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證： 參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1B【解析】把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)即得.【詳解】把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，則不同的分配方案有種.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合，屬于基礎(chǔ)題.2C【解析】試題分析：設(shè)的交點(diǎn)為，連接，則為所成的角或其補(bǔ)角；

7、設(shè)正四棱錐的棱長為，則，所以，故C為正確答案考點(diǎn)：異面直線所成的角3B【解析】雙曲線的漸近線方程為，由題可知設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，解得，所以，解得，所以雙曲線的實(shí)軸的長為，故選B4D【解析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出，再寫出其共軛復(fù)數(shù)，得共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)得結(jié)論【詳解】，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)的幾何意義掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵5A【解析】計(jì)算，再計(jì)算交集得到答案.【詳解】，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算，屬于簡單題.6D【解析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，根據(jù)三視圖的長度，進(jìn)一步求出個(gè)各棱長.【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖

8、轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為四棱錐體，如圖所示：所以：，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，主要考查運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.7B【解析】由,可得,結(jié)合在上單調(diào)遞增,易得,即可求出的范圍.【詳解】由,可得,時(shí),而,又在上單調(diào)遞增,且,所以,則,即,故.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.8C【解析】試題分析：，故C正確考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)求值9D【解析】設(shè)，則，小正六邊形的邊長為，利用余弦定理可得大正六邊形的邊長為，再利用面積之比可得結(jié)論.【詳解】由題意，設(shè)，則，即小正六邊形的邊長為，所以，在中，由余弦定理得，即，

9、解得，所以，大正六邊形的邊長為，所以，小正六邊形的面積為，大正六邊形的面積為，所以，此點(diǎn)取自小正六邊形的概率.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查余弦定理、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題10B【解析】由，進(jìn)而分別求出展開式中的系數(shù)及展開式中的系數(shù)，令二者之和等于，可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由，則展開式中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)為，二者的系數(shù)之和為，得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11C【解析】充分利用正方體的幾何特征，利用線面平行的判定定理，根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù)，判斷B的正誤.根據(jù)與 相交，判斷C的正誤.根據(jù)，判斷D的

10、正誤.【詳解】在正方體中，因?yàn)?，所以 平面，故A正確. 因?yàn)?，所以，所以平?故B正確.因?yàn)椋云矫?，故D正確.因?yàn)榕c 相交，所以 與平面 相交，故C錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的幾何特征，線面平行的判定定理，還考查了推理論證的能力，屬中檔題.12D【解析】先用公差表示出，結(jié)合等比數(shù)列求出.【詳解】,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.屬于簡單題，化歸基本量，尋求等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)求出，由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式得出常數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，從而得常數(shù)項(xiàng)【詳解】由題意，展開式通項(xiàng)為，由

11、得，常數(shù)項(xiàng)為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式是解題關(guān)鍵14【解析】設(shè)正四面體的棱長為，求出底面外接圓的半徑與高，代入體積公式求解【詳解】解：設(shè)正四面體的棱長為，則底面積為，底面外接圓的半徑為，高為正四面體的體積，圓柱的體積則故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查多面體與旋轉(zhuǎn)體體積的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題15【解析】根據(jù)條件概率的求法，分別求得，再代入條件概率公式求解.【詳解】根據(jù)題意得所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查條件概率的求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.163【解析】根據(jù)約束條件畫出可行域，再把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，對(duì)參數(shù)a分類討論，

12、當(dāng)時(shí)顯然不滿足題意；當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過可行域中的點(diǎn)A時(shí)，截距最小，即z有最小值，再由最小值為7，得出結(jié)果；當(dāng)時(shí)，的截距沒有最小值，即z沒有最小值；當(dāng)時(shí)，的截距沒有最大值，即z沒有最小值，綜上可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)約束條件畫出可行域如下：由，可得出交點(diǎn)，由可得，當(dāng)時(shí)顯然不滿足題意；當(dāng)即時(shí)，由可行域可知當(dāng)直線經(jīng)過可行域中的點(diǎn)A時(shí)，截距最小，即z有最小值，即，解得或（舍）；當(dāng)即時(shí)，由可行域可知的截距沒有最小值，即z沒有最小值；當(dāng)即時(shí)，根據(jù)可行域可知的截距沒有最大值，即z沒有最小值.綜上可知滿足條件時(shí).故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題，約束條件和目標(biāo)函數(shù)中都有參數(shù)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.三、解

13、答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）；（2）證明見解析，或【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出；（2）設(shè)，表示出直線，的方程，利用表示出，即可求定點(diǎn)的坐標(biāo)【詳解】（1）設(shè)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，時(shí)取等號(hào)），則拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值；（2）設(shè)，直線，的方程為分別為，由兩條直線都經(jīng)過點(diǎn)點(diǎn)得，為方程的兩根，直線的方程為，共線又，解，點(diǎn)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，時(shí)，時(shí)，或【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線過定點(diǎn)的解法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力18（1）見解析；（2）【解析】（1）設(shè)為中點(diǎn)，連結(jié)，

14、先證明，可證得，假設(shè)不為線段的中點(diǎn)，可得平面，這與矛盾，即得證；（2）以為原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求解平面，平面的法向量的法向量，利用二面角的向量公式，即得解.【詳解】（1）設(shè)為中點(diǎn)，連結(jié).，又 平面，平面，.又分別為中點(diǎn)，又，.假設(shè)不為線段的中點(diǎn)，則與是平面內(nèi)內(nèi)的相交直線，從而平面，這與矛盾，所以為線段的中點(diǎn).（2）以為原點(diǎn)，由條件面面，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)平面的法向量為所以取，則，.同法可求得平面的法向量為，由圖知二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何與空間向量綜合，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.19（）

15、證明見解析（）【解析】（）由平面，可得，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，即得證；（）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，計(jì)算平面的法向量，由直線與平面所成角的大小為30，列出等式，即得解.【詳解】（）如圖，連接交于點(diǎn)，連接，則是平面與平面的交線，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，故.（）由條件可知，所以，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，故取因?yàn)橹本€與平面所成角的大小為30所以，即，解得，故此時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何和空間向量綜合，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.20（）（）【解析】（）由題意可得，解得即可求出橢圓的C的

16、方程；（）由已知設(shè)直線l的方程為y=k (x-2) ，(k0)， 聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得B的坐標(biāo)，再寫出MH所在直線方程，求出H的坐標(biāo)，由BFHF,解得.由方程組消去y，解得，由,得到,轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的不等式，求得k的范圍.【詳解】（）因?yàn)檫^焦點(diǎn)且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為3，所以，因?yàn)闄E圓離心率為，所以，又，解得，所以橢圓的方程為；（）設(shè)直線的斜率為，則，設(shè)，由得，解得，或，由題意得，從而，由（）知，設(shè)，所以，因?yàn)椋?，所以，解得，所以直線的方程為，設(shè)，由消去，解得，在中，即，所以，即，解得，或.所以直線的斜率的取值范圍為.【點(diǎn)睛】

17、本題考查在直線與橢圓的位置關(guān)系中由已知條件求直線的斜率取值范圍問題，還考查了由離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于難題.21（1）；（2）見解析【解析】（1）求出，記，問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同解，求導(dǎo)，研究極值即可得結(jié)果 ；（2）由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)，且，則可求出極大值，記，求導(dǎo)，求單調(diào)性，求出極值即可.【詳解】（1），由， 記，由，且時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增， 由題意，方程有兩個(gè)不同解，所以；（2）解法一：由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)，且，所以的極大值為， 記，則，因?yàn)?，所以，所以時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增， 所以，即函數(shù)的極大值不小于1. 解法二：由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)，且，所以的極大值為， 因?yàn)?，所?即函數(shù)的極大值不小于1.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，考查學(xué)生綜合分析