電磁場(chǎng)理論基礎(chǔ)電子教案：第二章 靜電場(chǎng)-1

1、第二章 靜電場(chǎng)2.1 電荷與電荷密度 一、電荷1. 帶電體與電荷 帶電體的特性：能夠吸引輕小物體 2. 電荷分類(lèi) 正電荷、負(fù)電荷 3. 電量 帶電體所帶電荷的多少叫電量，在國(guó)際單位制（SI單位制）中，電量的單位是庫(kù)侖（C） 4. 電荷的基本性質(zhì) 1）分布的離散性 2）量子性 e1.60210-19C 3）守恒性 電荷守恒定律 4）相對(duì)論不變性1. 體密度2. 面密度3. 線(xiàn)密度 4. 點(diǎn)電荷二、電荷密度2.2 庫(kù)侖定律 文字表述在真空中，兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷之間的作用力，與這兩個(gè)電荷的電量乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比，作用力的方向在兩個(gè)電荷的連線(xiàn)上，兩電荷同號(hào)為斥力，異號(hào)為吸力。 數(shù)學(xué)表達(dá)

2、式 1）來(lái)自實(shí)驗(yàn)定律的表達(dá)式 x y z 真空中的兩個(gè)點(diǎn)電荷 一、庫(kù)侖定律2）電磁學(xué)通用表達(dá)式通常將系數(shù) 記為其中稱(chēng)為真空電容率或真空介電常數(shù) 于是3）庫(kù)侖定律符合牛頓第三定律 二、靜電力的疊加原理 數(shù)學(xué)表達(dá)式例題2.1解：利用疊加原理 三個(gè)點(diǎn)電荷的力 x y z 2.3 電場(chǎng)和電場(chǎng)強(qiáng)度 2. 電場(chǎng)力的本質(zhì)一個(gè)電荷的電場(chǎng)作用在另一個(gè)電荷上的力。一、電場(chǎng)1. 法拉第的場(chǎng)的觀點(diǎn) 3. 電場(chǎng)的物質(zhì)性1）電場(chǎng)是伴隨著電荷而生的一種特殊物質(zhì)。 2）電場(chǎng)沒(méi)有可見(jiàn)的形態(tài)，但其具有可以被檢測(cè)的運(yùn)動(dòng)速度、能量和動(dòng)量，占有空間。 3）場(chǎng)和實(shí)物是物質(zhì)存在的兩種不同形式。 電荷在其周?chē)臻g產(chǎn)生電場(chǎng)這種物質(zhì)，當(dāng)其它帶電

3、體的電荷處于這個(gè)電場(chǎng)之中時(shí)，就會(huì)與該電場(chǎng)作用而受力。二、電場(chǎng)強(qiáng)度1. 電場(chǎng)強(qiáng)度的引入A點(diǎn)：表明： 是一個(gè)大小和方向都確定的值，與試驗(yàn)電荷本身電量的大小和符號(hào)無(wú)關(guān)。B點(diǎn)：比值 是另外的一個(gè)確定值 可見(jiàn)， 是一個(gè)反映電場(chǎng)空間各點(diǎn)性質(zhì)的物理量，我們將其記作 ，稱(chēng)為電場(chǎng)強(qiáng)度。單位：牛頓/庫(kù)侖(N/C) 伏特/米(V/m) 物理意義： 電場(chǎng)強(qiáng)度是一個(gè)矢量函數(shù)，它逐點(diǎn)描述了電場(chǎng)空間的性質(zhì)。用電場(chǎng)強(qiáng)度表示電場(chǎng)力：定義式2. 點(diǎn)電荷的電場(chǎng)試驗(yàn)電荷 在場(chǎng)源點(diǎn)電荷Q的電場(chǎng)中所受的庫(kù)侖力為于是，點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度表示為3. 電場(chǎng)的疊加原理其中 代表自Qi 到P (x, y, z)點(diǎn)的相對(duì)位置矢量 1）離散電荷系統(tǒng) 如果

4、真空中有N個(gè)點(diǎn)電荷Q1、Q2、QN，則任意場(chǎng)點(diǎn)P (x, y, z) 處的總電場(chǎng)強(qiáng)度等于各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和2）連續(xù)電荷系統(tǒng)體電荷體電荷的電場(chǎng) 微元電荷總場(chǎng)強(qiáng) 面電荷、線(xiàn)電荷的電場(chǎng)面電荷線(xiàn)電荷求：圓面電荷軸線(xiàn)上的電場(chǎng)r x x P a dr 4. 例題2.3面積微元的電場(chǎng)其中圓環(huán)的電場(chǎng)圓面的電場(chǎng)解：討論：1） x a 的情況 這與點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式一致?？梢?jiàn)，只要a / x足夠小，就可以把帶電圓面視為點(diǎn)電荷。 這個(gè)結(jié)論表明，帶電體能否被看作點(diǎn)電荷，不在于其本身絕對(duì)尺寸的大小，而在于其線(xiàn)度與它到場(chǎng)點(diǎn)的距離相比是否足夠小。2.4 電力線(xiàn)與電通量 一.電力線(xiàn) 1定義： 電力線(xiàn)是充滿(mǎn)電場(chǎng)空

5、間的一個(gè)假想曲線(xiàn)族，曲線(xiàn)上每一點(diǎn)的切線(xiàn)方向與該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的方向平行，曲線(xiàn)的疏密與場(chǎng)強(qiáng)的大小成正比。 3性質(zhì)： 電力線(xiàn)發(fā)自正電荷（或無(wú)窮遠(yuǎn)），止于負(fù)電荷（或無(wú)窮遠(yuǎn)），不形成閉合回線(xiàn)，在無(wú)電荷處不中斷。 任何兩條電力線(xiàn)不會(huì)相交。這說(shuō)明靜電場(chǎng)中每一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)只有一個(gè)方向。微分方程 電力線(xiàn)實(shí)質(zhì)上就是矢量分析中所介紹的矢量線(xiàn)，其微分方程為 4幾種常見(jiàn)電荷系統(tǒng)的電力線(xiàn) 二. 電通量 1電通量密度單位：庫(kù)侖/米2(C/m2)，與電荷面密度的單位相同。方向：在真空中， 與 方向處處相同，模值相差0。定義： 稱(chēng)為（真空）電通量密度(也稱(chēng)作電位移矢量)2電通量定義：電場(chǎng)中任意點(diǎn)處矢量面元與該點(diǎn)電通量密度矢量的點(diǎn)積，

6、叫作此面元所通過(guò)的電通量，記作其中為面元法線(xiàn)與矢量的夾角單位：電通量是標(biāo)量，單位是庫(kù)侖（C），與電荷單位相同。如果S為一閉合曲面，則S上通過(guò)的電通量可以寫(xiě)成討論：/2（即 與 指向曲面的兩側(cè)）時(shí)， 為負(fù)， 由于閉合曲面一般都規(guī)定其面元法線(xiàn)指向外，因此，若 0 稱(chēng)有電通量“流出”閉合面； a的區(qū)域內(nèi)在r a 時(shí)取“”，r a 時(shí)取“” ，得方法2 利用電位定義式求解利用高斯定律求電場(chǎng)強(qiáng)度 r a 時(shí) r a 時(shí) 利用電位定義式求U討論：當(dāng)電荷以面密度分布時(shí)，電荷面兩側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度是不相等的，而兩側(cè)的電位卻是連續(xù)的，這一結(jié)論對(duì)于面電荷兩側(cè)的電場(chǎng)和電位具有普遍意義。求: (a) 此線(xiàn)電荷產(chǎn)生的任意點(diǎn)電

7、位。 (b) 當(dāng)L時(shí)，任意點(diǎn)的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度。例2.10 真空中長(zhǎng)度為L(zhǎng)的線(xiàn)電荷與z 軸重合且電荷沿線(xiàn)均勻分布，電荷密度為 解: (a) 設(shè)線(xiàn)電荷L的中點(diǎn)為原點(diǎn)，L 所在直線(xiàn)為z軸建立柱坐標(biāo)系 利用疊加原理 電荷元(b)當(dāng)L時(shí) 這表明，當(dāng)場(chǎng)源電荷延伸至無(wú)限時(shí)，直接應(yīng)用無(wú)限遠(yuǎn)參考點(diǎn)的電位積分式將出現(xiàn)電位發(fā)散的結(jié)果。 改進(jìn)：將參考點(diǎn)選在有限遠(yuǎn)的某一點(diǎn)上。 (b) 解法1 利用電位定義求解利用高斯定律利用電位定義式無(wú)限長(zhǎng)線(xiàn)電荷的電場(chǎng) 選取有限遠(yuǎn)點(diǎn) 為參考點(diǎn)積分路徑只有 段 ，所以(b) 解法2 利用有限長(zhǎng)度線(xiàn)電荷的結(jié)果求解U選取有限遠(yuǎn)點(diǎn) 為參考點(diǎn)利用電位定義式，可求得電場(chǎng)強(qiáng)度當(dāng)r = r0時(shí)，上式等

8、于零，可見(jiàn)這里 是電位參考點(diǎn)。 2.8 電位的泊松方程和拉普拉斯方程1、靜電場(chǎng)的微分方程泊松（Poison）方程拉普拉斯（Laplace）方程在= 0 的無(wú)電荷區(qū)域內(nèi)，Poison方程變?yōu)長(zhǎng)aplace方程根據(jù)電位定義式高斯定律得到泊松方程2、例題2.11解：在所求區(qū)域內(nèi)，電位函數(shù)滿(mǎn)足Poison方程 對(duì) x 兩次積分，得 代入邊界條件 兩個(gè)無(wú)限大平面 x = 0 和 x = a 之間均勻填充體密度為 的電荷，已知 ，求兩平面間任意點(diǎn)的電位和電場(chǎng)。 求得待定常數(shù) 所以，電位分布 電場(chǎng)強(qiáng)度 2.9 電偶極子 一對(duì)等值異號(hào)點(diǎn)電荷相距一微小距離所構(gòu)成的電荷系統(tǒng) 。1、定義2、電偶極子的（遠(yuǎn)區(qū)）電位應(yīng)

9、用疊加原理展開(kāi)同理因此3、電偶極矩引入一個(gè)矢量，模值為p = Ql，方向由Q指向Q 電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場(chǎng)強(qiáng)度 電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電位 電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電位和電場(chǎng)分別與 r2 和 r3 成反比。因此，其位和場(chǎng)隨距離 r 的下降速度比單個(gè)點(diǎn)電荷更為迅速，這是由于兩個(gè)點(diǎn)電荷Q 和Q 的作用在遠(yuǎn)區(qū)相互抵消的緣故。 4、等電位面和電力線(xiàn)等電位面電力線(xiàn)令則球坐標(biāo)系中代入電場(chǎng)分量表達(dá)式所以，電力線(xiàn)方程為5、不依賴(lài)坐標(biāo)系的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式是電偶極子中心指向場(chǎng)點(diǎn)P 的相對(duì)位置矢量 6、均勻外場(chǎng)中的電偶極子電位電場(chǎng)強(qiáng)度+Q-Q電偶極子中心所受的合力為零而所受力矩矢量形式：轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)是力圖使偶極矩與外場(chǎng)方向一致 例2.12 在均勻外電場(chǎng)中，放置一個(gè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的電偶極子，試求零電位面