工程統(tǒng)計學課件：第2章 參數(shù)估計

1、第 2 章 參數(shù)估計第 2 章 參數(shù)估計2.1 參數(shù)估計的一般問題 2.2 一個總體參數(shù)的區(qū)間估計2.3 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計2.4 樣本量的確定學習目標估計量與估計值的概念點估計與區(qū)間估計的區(qū)別評價估計量優(yōu)良性的標準一個總體參數(shù)的區(qū)間估計方法兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計方法樣本量的確定方法2.1 參數(shù)估計的一般問題2.1.1 估計量與估計值2.1.2 點估計與區(qū)間估計2.1.3 評價估計量的標準-參數(shù)估計的一般問題估計量與估計值 (estimator & estimated value)估計量：用于估計總體參數(shù)的隨機變量如樣本均值，樣本比例, 樣本方差等例如: 樣本均值就是總體均值 的一個估計量

2、參數(shù)用 表示，估計量用 表示估計值：估計參數(shù)時計算出來的統(tǒng)計量的具體值如果樣本均值 x =80，則80就是的估計值-參數(shù)估計的一般問題點估計 (point estimate)用樣本的估計量的某個取值直接作為總體參數(shù)的估計值例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計；用兩個樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計無法給出估計值接近總體參數(shù)程度的信息雖然在重復抽樣條件下，點估計的均值可望等于總體真值，但由于樣本是隨機的，抽出一個具體的樣本得到的估計值很可能不同于總體真值一個點估計量的可靠性是由它的抽樣標準誤差來衡量的，這表明一個具體的點估計值無法給出估計的可靠性的度量 -參數(shù)估計的一般問題區(qū)間估計 (i

3、nterval estimate)在點估計的基礎上，給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量加減估計誤差而得到根據(jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計量與總體參數(shù)的接近程度給出一個概率度量比如，某班級平均分數(shù)在7585之間，置信水平是95% 樣本統(tǒng)計量 (點估計)置信區(qū)間置信下限置信上限-參數(shù)估計的一般問題區(qū)間估計的圖示x95% 的樣本 -1.96 x +1.96x99% 的樣本 - 2.58x +2.58x90%的樣本 -1.65 x +1.65x置信水平(confidence level) 將構造置信區(qū)間的步驟重復很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平 表示為

4、 (1 - 為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%相應的 為0.01，0.05，0.10-參數(shù)估計的一般問題置信區(qū)間 (confidence interval)由樣本統(tǒng)計量所構造的總體參數(shù)的估計區(qū)間稱為置信區(qū)間統(tǒng)計學家在某種程度上確信這個區(qū)間會包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間 用一個具體的樣本所構造的區(qū)間是一個特定的區(qū)間，我們無法知道這個樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值我們只能是希望這個區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個，但它也可能是少數(shù)幾個不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個總體參數(shù)以一定的概率落在這一區(qū)間的表述是錯誤的-參數(shù)估計的一般問題置

5、信區(qū)間 (95%的置信區(qū)間)重復構造出的20個置信區(qū)間點估計值評價估計量的標準無偏性(unbiasedness)無偏性：估計量抽樣分布的數(shù)學期望等于被 估計的總體參數(shù)P( )BA無偏有偏-參數(shù)估計的一般問題有效性(efficiency)有效性：對同一總體參數(shù)的兩個無偏點估計 量，有更小標準差的估計量更有效 AB 的抽樣分布 的抽樣分布P( )-參數(shù)估計的一般問題一致性(consistency)一致性：隨著樣本量的增大，估計量的 值越來越接近被估計的總體參數(shù)AB較小的樣本量較大的樣本量P( )-參數(shù)估計的一般問題2.2 一個總體參數(shù)的區(qū)間估計2.2.1 總體均值的區(qū)間估計2.2.2 總體比例的區(qū)

6、間估計2.2.3 總體方差的區(qū)間估計-一個總體參數(shù)的區(qū)間估計1.假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差() 已知如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似 (n 30)2. 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z總體均值 在1- 置信水平下的置信區(qū)間為總體均值的區(qū)間估計 (正態(tài)總體、已知，或非正態(tài)總體、大樣本)-一個總體參數(shù)的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計(例題分析)【 例 】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對食品質(zhì)量進行監(jiān)測，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求。現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標準差為10g。試估計該批產(chǎn)品平均

7、重量的置信區(qū)間，置信水平為95%25袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3-一個總體參數(shù)的區(qū)間估計解：已知N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： 。由于是正態(tài)總體，且方差已知。總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44g109.28g總體均值的區(qū)間估計(例題分析)-一個總體參數(shù)的區(qū)間估計【例】一

8、家保險公司收集到由36個投保人組成的隨機樣本，得到每個投保人的年齡(單位：周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間 36個投保人年齡的數(shù)據(jù) 233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532總體均值的區(qū)間估計(例題分析)-一個總體參數(shù)的區(qū)間估計解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： ， 總體均值在1- 置信水平下的置信區(qū)間為投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲41.63歲總體均值的區(qū)間估計(例題分析)-一個總體參數(shù)的區(qū)間估計1.假定條件總體服從正態(tài)分

9、布,但方差() 未知小樣本 (n 30)2.使用 t 分布統(tǒng)計量總體均值 在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體均值的區(qū)間估計 (正態(tài)總體、未知、小樣本)-一個總體參數(shù)的區(qū)間估計t 分布 t 分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布 xt 分布與標準正態(tài)分布的比較t 分布標準正態(tài)分布t不同自由度的t分布標準正態(tài)分布t (df = 13)t (df = 5)z-一個總體參數(shù)的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計(例題分析)【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機抽取16只，測得其使用壽命(單位

10、：h)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù) 1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470-一個總體參數(shù)的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計(例題分析)解：已知N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： ， 總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8h1503.2h-一個總體參數(shù)的區(qū)間估計總體比例的區(qū)間估計1.假定條件總體服從二項分布可以由正態(tài)分布來近似使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z3. 總體比例在1-置信水平下的置信區(qū)

11、間為-一個總體參數(shù)的區(qū)間估計體總比例的區(qū)間估計(例題分析)【例】某城市想要估計下崗職工中女性所占的比例，隨機地抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間解：已知 n=100，p65% , 1- = 95%，z/2=1.96該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%74.35% -一個總體參數(shù)的區(qū)間估計總體方差的區(qū)間估計1.估計一個總體的方差或標準差2.假設總體服從正態(tài)分布總體方差 2 的點估計量為s2,且4. 總體方差在1- 置信水平下的置信區(qū)間為-一個總體參數(shù)的區(qū)間估計總體方差的區(qū)間估計(圖示) 2 21- 2 總體方差的1

12、- 的置信區(qū)間自由度為n-1的2總體方差的區(qū)間估計(例題分析)【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間 25袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3-一個總體參數(shù)的區(qū)間估計總體方差的區(qū)間估計(例題分析)解:已知n25，1-95%

13、 ,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得 s2 =93.21 2置信度為95%的置信區(qū)間為 該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標準差的的置信區(qū)間為7.54g13.43g-一個總體參數(shù)的區(qū)間估計一個總體參數(shù)的區(qū)間估計(小結)待估參數(shù)均值比例方差大樣本小樣本大樣本2分布2已知2已知Z分布2未知Z分布Z分布Z分布2未知t分布-一個總體參數(shù)的區(qū)間估計2.3 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計2.3.1 兩個總體均值之差的區(qū)間估計2.3.2 兩個總體比例之差的區(qū)間估計2.3.3 兩個總體方差比的區(qū)間估計-兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計總體參數(shù)符號表示樣本統(tǒng)計量均值差比例差方差比-兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體均值之差的區(qū)間估計

14、(獨立大樣本)1.假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布，1、 2已知若不是正態(tài)分布, 可以用正態(tài)分布來近似(n130和n230)兩個樣本是獨立的隨機樣本使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z-兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體均值之差的估計(大樣本)1.1， 2已知時，兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為2. 1、 2未知時，兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為-兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體均值之差的估計(例題分析)【例】某地區(qū)教育管理部門想估計兩所中學的學生高考時的英語平均分數(shù)之差，為此在兩所中學獨立抽取兩個隨機樣本，有關數(shù)據(jù)如右表 。建立兩所中學高考英語平均分數(shù)之差95%的置信區(qū)間

15、 兩個樣本的有關數(shù)據(jù) 中學1中學2n1=46n1=33S1=5.8 S2=7.2-兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體均值之差的估計(例題分析)解: 兩個總體均值之差在1-置信水平下的置信區(qū)間為 兩所中學高考英語平均分數(shù)之差的置信區(qū)間為5.03分10.97分-兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體均值之差的區(qū)間估計 (獨立小樣本)1.假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布兩個總體方差未知但相等：1=2兩個獨立的小樣本(n130和n230)2, 總體方差的合并估計量估計量x1-x2的抽樣標準差-兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體均值之差的估計(小樣本:12=22 )1.兩個樣本均值之差的標準化兩個總體均值之差1-2在1-

16、 置信水平下的置信區(qū)間為-兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計1.假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布兩個總體方差未知且不相等：12兩個獨立的小樣本(n130和n230)2. 使用統(tǒng)計量兩個總體均值之差的估計(小樣本: 1222 )-兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體均值之差的估計(小樣本: 1222 )兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為自由度-兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體均值之差的估計(例題分析)【例】沿用前例。假定第一種方法隨機安排12名工人，第二種方法隨機安排8名工人，即n1=12，n2=8 ，所得的有關數(shù)據(jù)如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時間服從正態(tài)分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立兩

17、種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間差值的置信區(qū)間 兩個方法組裝產(chǎn)品所需的時間 方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.2-兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體均值之差的估計(例題分析)解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得 自由度為兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間之差的置信區(qū)為0.192min9.058mni-兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體均值之差的區(qū)間估計(匹配大樣本)假定條件兩個匹配的大樣本(n1 30和n2 30)兩個總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布兩個總體均值之差d =1-2在1- 置信水

18、平下的置信區(qū)間為對應差值的均值對應差值的標準差-兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體均值之差的估計(匹配小樣本)假定條件兩個匹配的小樣本(n1 30和n2 30)兩個總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布 兩個總體均值之差d=1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為-兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體均值之差的估計【例】由10名學生組成一個隨機樣本，讓他們分別采用A和B兩套試卷進行測試，結果如下表 。試建立兩種試卷分數(shù)之差d=1-2 95%的置信區(qū)間 10名學生兩套試卷的得分 學生編號試卷A試卷B差值d17871726344193726111489845691741754951-27685513876601698

19、577810553916STATISTICS-兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體均值之差的估計解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得兩種試卷所產(chǎn)生的分數(shù)之差的置信區(qū)間為6.33分15.67分-兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體比例之差區(qū)間的估計1.假定條件兩個總體服從二項分布可以用正態(tài)分布來近似兩個樣本是獨立的2.兩個總體比例之差1- 2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為-兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體方差比的區(qū)間估計1.比較兩個總體的方差比用兩個樣本的方差比來判斷如果S12/ S22接近于1,說明兩個總體方差很接近如果S12/ S22遠離1,說明兩個總體方差之間存在差異總體方差比在1-置信水平下的置信區(qū)間為-兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體方差比的區(qū)間估計(圖示)FF1- F 總體方差比的1-的置信區(qū)間方差比置信區(qū)間示意圖-兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計(小結)待估參數(shù)均值差比例